专题07 全等三角形、解直角三角形及其应用、四边形、圆综合（4大考点）（湖北专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题07 全等三角形、解直角三角形及其应用、四边形、圆综合 4大考点概览 考点01全等三角形 考点02解直角三角形及其应用 考点03四边形 考点04圆综合 全等三角形 考点01 1．（2026·湖北孝感·一模）如图，在中，，D，E分别是，边的中点，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】证明即可． 【详解】证明：∵，分别是，边的中点， ∴，， ∵， ． 在和中， ， ∴， ． 2．（2026·湖北随州·一模）如图，是的对角线，于点E，于点F，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质可得，，从而得到，可证明，即可求证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 3．（2026·湖北黄石·一模）如图，在和中，点、、、在同一直线上，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，先证明，，再利用证明，则可证明． 【详解】证明：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 4．（2026·湖北襄阳·一模）如图，点C在线段上，，且，．连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质得，再根据即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 5．（2026·湖北十堰·一模）如图，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用可证，根据全等三角形的性质可知，根据内错角相等，两直线平行可证结论成立． 【详解】证明：在和中 ， ． 6．（2026·湖北襄阳·一模）如图，在中，D为边上一点，F为延长线上一点，交的延长线于点E，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质得出相等的角，证明，得出相等的边，然后根据等边对等角即可． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·湖北十堰·一模）已知：如图，点为矩形内一点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据矩形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识，证明即可． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（2026·湖北·一模）如图，为的中点，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由可得，由中点的定义可得，进而可证明，因此． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 解直角三角形及其应用 考点02 9．（2026·湖北襄阳·一模）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度在同一平面内．（参考数据：） (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，根据正弦的定义求出； （2）过点作，根据矩形的性质求出，求出，再根据正弦的定义求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作 ， 在中，，， 则． 答：小明一家步行上升的垂直高度约为． （2）解：如图，过点作， 根据题意，可知四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则． 答：缆车的行驶路线的长约为． 10．（2026·湖北襄阳·一模）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 实施过程 1．选取与树底位于同一水平地面的处； 2．测量，两点间的距离； 3．站在处，用测角仪测量从眼睛处看树顶的仰角； 4．测量到地面的高度． 1．选取与树底位于同一水平地面的处； 2．测量两点间的距离； 3．在处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至处，眼睛刚好从镜中看到树顶； 4．测量两点间的距离； 5．测量到地面的高度． 测量数据 1．； 2．； 3．． 1．； 2．； 3．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 【答案】 【分析】“测角仪”方案：证明四边形是矩形，得到，，解直角三角形求出，计算即可；“平面镜”方案， 证明，利用相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：“测角仪”方案， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ； “平面镜”方案， ，，，， ， ，即， ． 11．（2026·湖北随州·一模）高速公路在促进经济发展、保障交通安全和提升出行便利方面发挥着重要作用，所以修高速公路遇山需开凿隧道．如图，工程队拟沿方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工，要使A、C、E三点在一条直线上，工程队从上的一点B取，米，，那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：） 【答案】点E与点D之间的距离是640米 【分析】利用三角形外角的性质可得，再由，即可求解． 【详解】解：，，， ， 在中，， ， 答：点E与点D之间的距离是640米． 12．（2026·湖北随州·一模）【综合与实践】 班级同学在老师的指导下，前往某革命烈士纪念馆开展综合实践活动． 活动主题 1.瞻仰革命先烈，继承前辈遗志； 2.测量革命先烈纪念碑的高度 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 他们在土坡A，B上测量革命先烈纪念碑的顶端的仰角及A，B两点间的距离等，如图所示 测绘过程与数据信息 ①在土坡的底端测得的仰角； ②在土坡顶端测得的仰角； ③测得土坡的坡角； ④测得，且，，，在同一平面上； ⑤用计算器计算得，，，，， 请根据表格中提供的信息，求革命先烈纪念碑的高度． 【答案】24米 【分析】过点B作交延长线于点，作交延长线于点E，在中，求得和的长，设，则，在中，求得，推出，在中，利用三角函数的定义列式计算即可求解． 【详解】解：如图：过点B作交延长线于点，作交延长线于点E， 由题意得：，， 在中，， ， 设，则， 在中， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， 答：革命先烈纪念碑的高度为24米． 13．（2026·湖北黄石·一模）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为6米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4.8米，当太阳光线与地面的夹角为时． (1)求遮阳篷边缘点A到墙体的距离； (2)求阴影的长． （结果精确到0.1米．参考数据：，，） 【答案】(1)5.7米 (2)2.7米 【分析】（1）作，再根据得出答案； （2）作，再求出，然后说明四边形是矩形，可得米，米，接下来求出米，最后根据得出答案． 【详解】（1）解：过点A作于点T， 在中，， 所以遮阳篷边缘点A到墙体的距离是5.7米； （2）解：过点A作于点K， 在中，（米）， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，（米）， 在中，， ∴米， ∴， 所以阴影的长为2.7米． 14．（2026·湖北荆州·一模）小明想测扬州大运塔的高度．他在点处测得此时塔尖的仰角是，向前走了30米至点处，测得此时塔尖的仰角是，已知小明的眼睛离地面高度是米，请聪明的你帮他求出塔的高度．（参考数据：） 【答案】米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题．证明四边形均为矩形．在和中，根据三角函数的定义列式计算即可解答． 【详解】解：由题意得，， 则四边形均为矩形， 所以米，米， 在中，，则．设米， 在中，， 则，即， 解得：， 所以米， 则（米）． 答：这座高塔的高度为米． 15．（2026·湖北十堰·一模）小聪升国旗时站在距旗杆底部30m的B处，他看旗杆顶部D的仰角为39°，他的眼睛A到地面距离，求旗杆顶端到地面CD的高（）． 【答案】26m 【分析】过点作于点，求出和即可求出答案． 【详解】解：过点作于点， 则，， 在中，， 答：旗杆的高度约为26m． 16．（2026·湖北孝感·一模）小丽同学用测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，） 【答案】树的高度为米 【分析】由正切函数得，再由即可求解． 【详解】解：由题意，得，， ，， 在中，， ， ． 答：树的高度为米． 四边形 考点03 17．（2026·湖北襄阳·一模）如图，两个含有角且完全相同的三角板和三角板，沿直线滑动，下列说法错误的是（   ） A．四边形是平行四边形 B．当点与点重合时，四边形是菱形 C．四边形不可能是正方形 D．当点为中点时，四边形是矩形 【答案】D 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：， ， ， 四边形是平行四边形， 选项A正确； 四边形是平行四边形， 、重合时，垂直平分， ∴， 四边形是菱形， 选项B正确； 当四边相等时，，， 四边形不可能是正方形， 选项C正确． 当是中点时，无法证明， 选项D错误． 18．（2026·湖北孝感·一模）如图，在正方形中，点E在的延长线上，点F是的中点，连接并延长交于点G，连接，．若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，，， ∴（）， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴． 19．（2026·湖北随州·一模）如图，已知正方形的边长为6，点E是边上一点，连接，将绕点D逆时针旋转至，点E与点F对应，连接与交于点G，若，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】过E作交于点H，则，结合正方形的性质可得设，则，证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：过E作交于点H，则， 正方形的边长为6， ，，， ∴，是等腰直角三角形，， ， 设，则， 由旋转性质知：， ，， ， B、C、F三点共线，即， ，， ， ， ， ， ， ， ，即． 20．（2026·湖北十堰·一模）如图，已知，正方形的边长为6，E是边上一点，，交延长线于点F，连接，交于点G，则面积为（   ）． A．5 B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据正方形的性质以及已知条件证明可得，进而得到、，再证明可求得，即；最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为6， ∴，，，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 21．（2026·湖北·一模）如图，将正方形纸片对折得到折痕，连接线段，沿折痕折叠使落在线段上，点D的对应点为点N，连接线段．图中与正方形纸片的边长成黄金比的线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【分析】本题考查正方形基本性质，相似三角形基本性质以及黄金分割比，能够正确作出辅助线证得三角形相似是解题关键； 延长，交的延长线交于点，先证得，进而，再通过折叠得，，，进而，，设，则，，进而求出，进而可得到，进而可求解． 【详解】解：如图，延长，交的延长线于点， ∵四边形是正方形． ∴，，， ∴，， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中与正方形纸片的边长成黄金比的线段是， 故选：C． 22．（2026·湖北荆州·一模）如图，在矩形中，点E为边的中点，连接，沿折叠，点落在矩形内部，点的对应点为，连接，若，则的长为（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】过点E作于点G，由线段中点得，根据折叠可得，，从而得出为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质得到，在中利用即可解答． 【详解】解：如图，过点E作于点G，    ∵四边形为矩形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 根据折叠可得，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴． 圆综合 考点04 23．（2026·湖北荆门·一模）一个矩形相邻两边的长分别为m，n，则这个矩形的周长是________． 【答案】 【分析】根据矩形的周长是（长宽）即可解答． 【详解】解：根据题意可得矩形的周长是． 24．（2026·湖北·一模）在坐标系中的位置如图，点的坐标为，则的面积等于______． 【答案】 【分析】根据点的坐标确定和的值，再利用平行四边形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵点的坐标为 ∴，， ∴． 25．（2026·湖北随州·一模）如图在矩形中，，，点是边的中点，点是矩形左侧的一个动点，且，连接，线段的最大长度_____． 【答案】 【分析】使用勾股定理计算出，由“两点之间，线段最短”可知，，因此当，，三点共线时，最大． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在直角中，， ∵， ∴当，，三点共线时，取得最大值． 26．（2026·湖北襄阳·一模）如图，点为等边三角形外一点，连接、且，过点作分别交、于点、，若，，则的长为_______；的长为 _________． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质和平行线的性质证明是等边三角形，从而求得的长；过点作交于点，证明 ，进而证得四边形是菱形，利用及已知比例关系列方程求解的长． 【详解】解： 是等边三角形， ，， ， ， 在中，，， 是等边三角形， ； 如图，过点作交于点， ， ， ， ， ，， ， 在和中 ， ， ， ，， 平行四边形是菱形， ， ， 设，则， ， ，解得， ． 27．（2026·湖北黄石·一模）如图，等腰与等腰，，，，，垂足为H，直线交于点O．将绕点C顺时针旋转： （1）______； （2）的最大值是______． 【答案】 / 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）延长到N，使得，连接，，延长交于M，取的中点F，连接，，根据可证，然后根据角度关系可证得，从而得到，然后得到点O为中点，可得到是中位线，从而求出，然后在，利用勾股定理计算出，当O，A，F三点共线时，有最大值，即可解决问题 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵在等腰中，， ∴由勾股定理得； （2）如图，延长到N，使得，连接，，延长交于点M，取的中点F，连接，，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴当O，A，F三点共线时，有最大值，的最大值为． 28．（2026·湖北·一模）如图正方形，点为边上一动点，连接，作于点，连接，以长为横坐标，以长为纵坐标，绘制图象如图所示，则（1）______；（2）的最小值为______． 【答案】 / 【分析】由图象可知，当时，，容易判断此时是等腰直角三角形，由勾股定理可得．取的中点，连接、，根据直角三角形的性质和勾股定理可得，，，结合，因此当、、三点共线时，取得最小值． 【详解】解：由图可知，当时，， 如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 如图，取的中点，连接、， 在中，点为斜边的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值． 29．（2026·湖北黄石·一模）在边长为1的正方形中，，连接，将沿折叠得到，交于点，延长交于点，则点到的距离是______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理的应用、矩形的判定和性质和一元二次方程的求解，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 根据题意可知，，，过点作于，作于，证明四边形为矩形，设，，在和中，运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠可知：，，， 过点作于，作于． ∵， ∴四边形为矩形， 设，． 在中， ， 在中， ， 联立得 ， 代入中得， 解得或（舍去）， 故答案为：． 30．（2026·湖北随州·一模）如图，正方形中，，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，连接，交于点G，将沿翻折，得到，连接，交于点N，若点F是边的中点，则①的度数为______；②线段的长是______． 【答案】 45 【分析】①过点E作的平行线，交于点H，交于点K，则，则四边形是矩形，过点G作于点P，于点Q，可证四边形是正方形，设，则，，根据可求x，进而可证，即可得解． ②设，则，证明，根据相似三角形的性质可求a，再根据勾股定理即可得解． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ，，， 过点E作的平行线，交于点H，交于点K，则，则四边形是矩形，过点G作于点P，于点Q，则， ，，， ， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ，， ， ∵点F是边的中点， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， 解得（不合题意，舍去）， ，， ， ②由翻折的性质可知，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 在中，， 由翻折的性质可知，， ， 在中，． 31．（2026·湖北襄阳·一模）如图，在正方形中，点，分别为边，上的点，将，分别沿，折叠，点，恰好落在上的点处，再将沿折叠，点落在上的点处，连接与交于点． （1）______度； （2）若，则的长为______． 【答案】 【分析】（1）根据折叠的性质可得，由平角的定义求得即可； （2）先求得，解求得，，进而求得，由折叠的性质可得，，，求得，再解，即可求得的长． 【详解】解：（1）由折叠可知，， ， ； （2）四边形是正方形， ， ， 在中，，， ， 由折叠可知，，，， ，， 在中，． 32．（2026·湖北黄石·一模）如图，点F是菱形对角线上一动点，点E是线段上一点，且，连接、，设的长为x，，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，则_______，图象最低点的横坐标是_______． 【答案】 5 1 【分析】由图象可知：当时，，此时，即点B、F重合，则有，然后可求，取点E关于成轴对称的点G，连接，与交于点，如图，则有，，所以，根据三角形三边不等关系可得，所以当点F与点重合时，此时y取最小值，进而通过得到进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：当时，，此时，即点B、F重合，， ∵， ∴， ∴， ∴； 取点E关于成轴对称的点G，连接，与交于点，如图，则有，，所以，根据三角形三边不等关系可得，所以当点F与点重合时，此时y取最小值， 由题意得， 由图象得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴图象最低点的横坐标是1． 五、单选题 33．（2026·湖北十堰·一模）如图，是的半径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点C，连接并延长交于点B，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，证明为等边三角形，可得，再由圆周角定理解答即可． 【详解】解：连接， 垂直平分， ∴， 为等边三角形， ， ． 34．（2026·湖北·一模）如图，为的直径，点C，D是上位于异侧的两点，分别连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据弧，弦，圆心角的关系得出，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：连接， ∵，为的直径， ∴， ∴， ∴． 35．（2026·湖北随州·一模）如图，四边形内接于，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 36．（2026·湖北襄阳·一模）如图，内接于，且圆心O在上，以点A为圆心，任意长为半径作弧分别交，于E，F两点，再以F为圆心，长为半径作弧，交于另一点G，连接并延长交于D，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可知，，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，再根据直径所对的圆周角是直角，即可求解． 【详解】解：由题意可知，, ,, , ∴， ∵圆心在上，即为直径， , , ． 37．（2026·湖北随州·一模）如图，的直径垂直于弦，垂足是，已知，，则的长为（        ） A． B．4 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用圆周角定理求出，从而判定为等腰直角三角形，求出的长，再根据垂径定理求出的长． 【详解】解： 直径垂直于弦 ， 在中， 是等腰直角三角形 ． 六、解答题 38．（2026·湖北孝感·一模）如图，是的直径，为上一点，为外一点，是的切线，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）连接，，交于，先证明，再证明，根据垂直于同一条直线的两直线平行即可得证； （2）先利用勾股定理求出，再根据等面积法求出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，，交于D． ， ， 是的半径， 是的切线， 是的切线， ， ， 是的垂直平分线， ． 是的直径， ，即， ． （2）由（1）垂直平分， ，，， ， ， ， ， 是的直径， ，， ． 39．（2026·湖北十堰·一模）如图，已知，是的直径，，交于点，的延长线交的延长线于点． (1)求证：是切线； (2)若，，求及的半径长． 【答案】(1)证明见解析 (2)；的半径长为 【分析】（1）连接，可证是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可知，所以可得，因为，可证，所以可得，从而可证是的切线； （2）在中利用勾股定理可以求出，在中利用勾股定理可以求出的长度． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接， ， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， 又点在上， 是的切线； （2）解：，，， ， 在中，由勾股定理得， 设的半径为， 在中，由勾股定理得， ， 解得：， 的半径长为． 40．（2026·湖北襄阳·一模）如图，内接于，点是直径延长线上一点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)图中阴影部分的面积为． 【分析】（1） 连接，结合推得，再结合，，即可证； （2）结合圆周角定理得，再结合外角性质推得，， 由等角对等边得，利用解直角三角形的计算求出，最后由即可得解． 【详解】（1）证明：连接， ，     ， ， ， ，， ， ，          是的半径，               是的切线； （2）解：，   ，   ，， ，即， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 41．（2026·湖北黄石·一模）如图，是的直径，，是上两点，，过作交的延长线于． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）连接，根据圆周角定理，结合已知条件可通过内错角相等，两直线平行，证得，从而得到，进而求得，即可证得结论； （2）连接，过点作于，易证四边形是矩形，则，然后根据勾股定理求得，最后利用垂径定理即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵交的延长线于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，过点作于， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的判定与性质，切线的判定定理，矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，灵活运用以上知识点，作出合适的辅助线是解题的关键． 42．（2026·湖北随州·一模）如图，已知中，，O是底边边的中点，腰与相切于点D，分别交底边于F、G两点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求优弧的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查圆的切线判定与性质，弧长公式，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）过O作于点E，连接，，证明平分，再根据切线的性质定理得到，即可得到结论； （2）设的半径为r，则，，根据勾股定理求出解得，即，得到，再利用弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：过O作于点E，连接，， O是的中点，， 平分， 是的切线， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）设的半径为r，则，， 在中，， ， 解得，即， 在中，， ， 优弧的长． 43．（2026·湖北黄石·一模）在中，已知为直径，点E是弧上一点，弦，且．连交于点N，点P在的延长线上，． (1)求证：是的切线： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出，．证出，即，即可得出结论； （2）连接，证出为的直径．由垂径定理得出，在中，由勾股定理求得的半径，再由勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：连接，如图2所示： ∵， ∴， ∴为的直径． ∵， ∴， 设的半径为， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得， ∴． ∴． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07全等三角形、解直角三角形及其应用、四边形、圆综合 ☆4大考点概脱 考点01全等三角形 考点02解直角三角形及其应用 考点03四边形 考点04圆综合 考点01 全等三角形 1.(2026湖北孝感一模)如图，在ABC中，AB=AC,D,E分别是AB,AC边的中点，连接CD,BE, 求证：CD=BE. 2.(2026湖北随州一模)如图，BD是口ABCD的对角线，AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,求证： DE=BF. A B 3.(2026湖北黄石·一模)如图，在△AFD和BEC中，点A、E、F、C在同一直线上，己知AD=CB, AE=CF,AD∥BC.求证：∠B=∠D. D B 4.(2026湖北襄阳·一模)如图，点C在线段AB上，AD∥BE,且AD=BC,BE=AC.连接DC,EC,求 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 证：△ADC≌△BCE. 5.(2026湖北十堰一模)如图，AE=DE,BE=CE,求证：AB|CD D 6.(2026湖北襄阳一模)如图，在ABC中，D为边CB上一点，F为CB延长线上一点，EF∥AC交AB 的延长线于点E,EF=CD,CA=FD.求证：∠DEA=∠DAE. 7.(2026湖北十堰一模)已知：如图，点P为矩形ABCD内一点，PA=PD,求证：PB=PC. D B 8.(2026湖北一模)如图，C为BD的中点，∠BCE=∠ACD,CA=CE,求证：AB=ED. 考点02 解直角三角形及其应用 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(2026湖北襄阳·一模)暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山.他们从山底A处出发，先步行200m到 达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处.已知山坡AB的坡角α=16°，缆车的行驶路线BC与水平面的夹角 阝=37°，这座山的高度CD=296m,A,B,C,D在同一平面内.（参考数据： sinl6°≈0.28，cosl6≈0.96，tanl6°≈0.29：sin37°≈0.60，cos37°≈0.830，tan37°≈0.75) BSB. D ()求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）： (2)求缆车的行驶路线BC的长（结果取整数）. 10.(2026湖北襄阳一模)某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树AB的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 1.选取与树底B位于同一水平地面的E 1.选取与树底B位于同一水平地面的D 处； 处： 2.测量E,B两点间的距离； 2.测量D,B两点间的距离； 3.在E处水平放置一个平面镜，沿射线 实施过程 3.站在D处，用测角仪测量从眼晴C处 BE方向后退至D处，眼晴C刚好从镜中 看树顶A的仰角LACF; 看到树顶A; 4.测量C到地面的高度CD. 4.测量E,D两点间的距离； 5.测量C到地面的高度CD. 1.DB=10m; 1.EB=10m; 测量数据 2.∠ACF=32.5°； 2.ED=2m: 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.CD=1.6m 3.CD=1.6m 1.图上所有点均在同一平面内； 1.图上所有点均在同一平面内： 2.AB,CD均与地面垂直； 备注 2.AB,CD均与地面垂直； 3.把平面镜看作一个点，并由物理学知 3.参考数据：tan32.5°≈0.64. 识可得LCED=LAEB, 请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度。 11.(2026湖北随州一模)高速公路在促进经济发展、保障交通安全和提升出行便利方面发挥着重要作用， 所以修高速公路遇山需开凿隧道.如图，工程队拟沿AC方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一 边点E处同时施工，要使A、C、E三点在一条直线上，工程队从AC上的一点B取∠ABD=140°， BD=1000米，∠D=50°，那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：cos50°≈0.64） BC 140° 50 D 12.(2026湖北随州一模)【综合与实践】 班级同学在老师的指导下，前往某革命烈士纪念馆开展综合实践活动。 1.瞻仰革命先烈，继承前辈遗志： 活动主题 2.测量革命先烈纪念碑的高度 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 他们在土坡A,B上测量革命先烈纪念碑P?的顶端P的仰角及A,B两点 间的距离等，如图所示 模 活 型 动 抽 过 象 C >B 程 D 测 ①在土坡AB的底端A测得P的仰角∠QAP=67.4°； 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 绘 ②在土坡顶端B测得P的仰角∠CBP=45°； 过 ③测得土坡AB的坡角∠DAB=36.9°； 程 ④测得AB=10m,且A,B,P,Q在同一平面上； 吻 ⑤用计算器计算得sin36.9°≈0.60，c0s36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75， 静 sin67.4°≈0.92，c0s67.4°≈0.38，tan67.4°≈2.40 据 信 息 请根据表格中提供的信息，求革命先烈纪念碑的高度Q 13.(2026湖北黄石·一模)为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙 外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为6米，与水平面的夹角为 17.5°，且靠墙端离地高BC为4.8米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时. B .17.50℃ 1450 E D (I)求遮阳篷边缘点A到墙体BC的距离； (2)求阴影CD的长， (结果精确到0.1米.参考数据：sin17.5°≈0.3，cos17.5°≈0.95，tan17.5°≈0.31) 14.(2026湖北荆州一模)小明想测扬州大运塔的高度.他在点C处测得此时塔尖A的仰角是37°，向前走 了30米至点F处，测得此时塔尖A的仰角是45°，已知小明的眼晴离地面高度是1.2米，请聪明的你帮他求 出塔AB的高度.（参考数据：sin379≈3， c0s37≈ 5'an37≈3)】 4 30 G 15.(2026湖北十堰.一模)小聪升国旗时站在距旗杆底部30m的B处，他看旗杆J顶部D的仰角为39°，他 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的眼睛A到地面距离AB=1.7m,求旗杆顶端到地面CD的高(tan39°≈0.81). 39 B 16.(2026湖北孝感·一模)小丽同学用测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A,站立此 处，测得树顶端D的仰角为37°，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A 的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度.（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， tan37°≈0.75) 考点03 四边形 17.(2026湖北襄阳一模)如图，两个含有30°角且完全相同的三角板ABC和三角板DEF,沿直线FC滑 动，下列说法错误的是() B A.四边形ACDF是平行四边形 B.当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形 C.四边形ACDF不可能是正方形 D.当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形 18.(2026湖北孝感一模)如图，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，点F是CD的中点，连接 EF并延长交AD于点G,连接BG,BF.若AB=4CE=4,则sin∠FBG=() 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D CE A.5 B. c.25 D.2 5 19.(2026湖北随州一模)如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是AB边上一点，连接AC,DE,将 ADE绕点D逆时针旋转90°至△DCF,点E与点F对应，连接EF与AC交于点G,若AG=2√2CF,则 AE的长为() D A G A.2 B.2 C.22 20.(2026湖北十堰一模)如图，已知，正方形ABCD的边长为6，E是CD边上一点，DE=2,AF⊥AE 交CB延长线于点F,连接EF,交AB于点G,则△AFG面积为(). D B A.5 B.4.8 C.4.5 D.4 21.(2026湖北一模)如图，将正方形纸片ABCD对折得到折痕EF,连接线段CE,沿折痕CM折叠使 CD落在线段CE上，点D的对应点为点N,连接线段MN.图中与正方形纸片ABCD的边长成黄金比的线 段是() M A.线段EN B.线段AM C.线段MW D.线段CM 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 22.(2026湖北荆州一模)如图，在矩形ABCD中，点E为边BC的中点，连接DE,△DCE沿DE折叠， 点C落在矩形内部，点C的对应点为F,连接BF,若AD=I0,tan∠BFE=2,则BF的长为() D F B A.25 B.2 C.4 D.7 考点04 圆综合 23.(2026湖北荆门一模)一个矩形相邻两边的长分别为m,n,则这个矩形的周长是 24.(2026湖北一模)口ABCD在坐标系中的位置如图，点C的坐标为6,4)，则▣ABCD的面积等于 25.(2026湖北随州一模)如图在矩形ABCD中，AB=12,AD=8,点E是边AB的中点，点F是矩形左 侧的一个动点，且EF=5,连接DF,线段DF的最大长度一· E B 26.(2026湖北襄阳一模)如图，点A为等边三角形BCD外一点，连接AB、AD且AB=AD,过点A作 CD分别交BC、BD于点E、F,若E,EF=5,则BE的长为：AE的长为 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 27.(2026湖北黄石一模)如图，等腰Rt△ABC与等腰Rt CDE,AC=BC,CD=DE,AC=2CD=4, DH⊥AE,垂足为H,直线HD交BE于点O.将△CDE绕点C顺时针旋转： D B (1)EC= (2)OA的最大值是 28.(2026湖北一模)如图正方形ABCD,点E为边AB上一动点，连接EC,作BF⊥EC于点F,连接 AF,以AE长为横坐标x,以AF长为纵坐标y,绘制图象如图所示，则(1)AD=;(2)y的最小 值为 y D E 2/2 0 29.(2026湖北黄石一模)在边长为1的正方形48CD中，BE-号，连接CE,将△CB5沿CE折叠得到 △CGE,CG交BD于点M,延长CG交AD于点F,则点G到AB的距离是 F A D M B 30.(2026湖北随州一模)如图，正方形ABCD中，AD=12,点E是对角线BD上一点，连接AE,过点 E作EF⊥AE,交BC于点F,连接AF,交BD于点G,将△EFG沿EF翻折，得到△EFM,连接AM,交 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EF于点N,若点F是BC边的中点，则①∠AFE的度数为 ·;②线段AM的长是 B 31.(2026湖北襄阳一模)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别为边BC,CD上的点，将△ABE, △ADF分别沿AE,AF折叠，点B,D恰好落在EF上的点G处，再将△CEF沿EF折叠，点C落在AF上 的点H处，连接AG与EH交于点M, (1)∠AFD=度； (2)若DF=√3，则AM的长为 32.(2026湖北黄石一模)如图，点F是菱形对角线BD上一动点，点E是线段BC上一点，且CE=4BE, 连接EF、CF,设BF的长为x,EF+CF=y,点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，则 BC= 图象最低点的横坐标是一· VA 五、单选题 33.(2026湖北十堰一模)如图，0A是00的半径，分别以点A和点0为圆心，大于)0A的长为半径作 弧，两弧交于M,N两点，作直线MN交⊙O于点C,连接CO并延长交OO于点B,连接BA,则∠ABC的 度数是() 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.30° B.35° C.40° D.45° 34.(2026湖北一模)如图，AB为O0的直径，点C,D是⊙0上位于AB异侧的两点，分别连接 AD,BD,CB,CD.若AD=BD,则LDCB的度数为() 0 B D A.30° B.45° C.60° D.75 35.(2026湖北随州一模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，∠DBC=50°，则∠DAC的度数为() D 0。 B E A.50° B.55° C.65° D.70° 36.(2026湖北襄阳一模)如图，ABC内接于⊙0，且圆心O在AC上，以点A为圆心，任意长为半径 作弧分别交AB,AC于E,F两点，再以F为圆心，EF长为半径作弧，交⊙A于另一点G,连接AG并延 长交⊙0于D,连接BD,若LCBD=55°，则∠D的度数为() D B A.25° B.35o C.45 D.55° 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 37.(2026湖北随州一模)如图，Q0的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,己知∠CAB=22.5°，OE=√2 ,则CD的长为( A A.32 B.4 C.3 D.22 六、解答题 38.(2026湖北孝感一模)如图，AB是00的直径，C为00上一点，P为⊙0外一点，PC是00的切线， 且∠0BP=90°，连接AC. 4 (I)求证：OP∥AC; (②)若0A=3,0P=5,求AC的长. 39.(2026湖北十堰.一模)如图，已知，AB是⊙0的直径，BC⊥AB,BD⊥OC交O0于点D,CD的延 长线交BA的延长线于点E. D B (I)求证：CD是O0切线； (2)若BC=6,DE=4,求BE及O0的半径长. 40.(2026湖北襄阳一模)如图，ABC内接于⊙O,点E是直径AD延长线上一点，∠EBD=∠BAE. 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：BE是⊙O的切线： (2)若∠C=2LE,AB=2√3，求图中阴影部分的面积. 41.(2026湖北黄石一模)如图，AB是O0的直径，C,D是00上两点，∠ABD=2LA,过C作 CE⊥DB交DB的延长线于E. B (1)求证：CE是⊙0的切线； (2)若O0的半径为5，CE=4,求DB的长 42.(2026湖北随州一模)如图，已知ABC中，AB=AC,O是底边BC边的中点，腰AB与00相切于 点D,⊙O分别交底边BC于F、G两点， D B G (1)求证：AC是⊙0的切线： (2)若BD=2√3，BF=2,求优弧FGD的长. 43.(2026湖北黄石一模)在O0中，己知AB为直径，点E是弧AD上一点，弦DE∥AB,且DE1CD.连 BE交CD于点N,点P在CD的延长线上，PN=PE. 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B (①)求证：PE是⊙0的切线： (2)若CD=8,BF=2,求DE的长 2/23