第18讲 锐角三角函数及其应用-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精练册（河北专用）

第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 第18讲 锐角三角函数及其应用（近三年210分） 河北十年真题练 2016~2025) 考点一 仰角、俯角(10年1考) 4.(2018河北11题)如图，快艇从P处向正北航 1.(2019河北3题)如图，从点C观测点D的 行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转 仰角是… 80°继续航行，此时的航行方向为…() ( A.北偏东30° B.北偏东80° C.北偏西30° D.北偏西50° 5.已知岛P位于岛Q的正西方向，由岛P,Q 分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45° 水平地面 方向上，下图中符合条件的是…（ A.∠DAB B.∠DCE 北 C.∠DCA D.∠ADC 北 考点二方位角(10年6考) 东 R P30°45△Q 2.(2023河北2题)淇淇一家要到革命圣地西柏 A B 坡参观.如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70° 北 北 P 的方向，则淇淇家位于西柏坡的…( 东 东 459 309 45 A.南偏西70°方向 北 B.南偏东20°方向 ·东 :淇淇家 C D C.北偏西20°方向 70° D.北偏东70°方向 西柏坡 6.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方 向的M处，它以每小时40海里的速度向正 3.(2020河北12题)如图，从笔直的公路1旁 北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北 一点P出发，向西走6km到达l;从P出发 偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距 向北走6km也到达l.下列说法错误的是 离为… A.40海里 北 A.从点P向北偏西45°走3km到达l B.60海里 东 B.公路1的走向是南偏西45° C.70海里 C.公路1的走向是北偏东45° D.80海里 70 D.从点P向北走3km后，再向西走3km 到达l 考点三 锐角三角函数(10年11考，2025 最新考查) 北 、809 北 东 7.在△ABC中，∠ABC=90°.若AC=100, B 、50° 东 A sinA=号，则AB的长是 …( P A.00 B.503 C.60 D.80 3 5 第3题图 第4题图 107 中考冲刺数学 8,如图，在△ABC中，sinB=号，tamC=2, 距离AB=CD=1.6m,点P到BQ的距离 PQ=2.6m,AC的延长线交PQ于点E. AB=3,则AC的长为 ……………( (注：图中所有点均在同一平面) (1)求∠β的大小及tana的值； (2)求CP的长及sin∠APC的值， A.2 B.5 2 C.√5 D.2 9.(2025河北16题)2025年3月是第10个全 国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早 0 抓小抓关键，更快降低近视率”.如图是一幅 眼肌运动训练图，其中数字1~12对应的点 均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心.图 中以数字0~12对应的点为端点的所有线 段中，有一条线段的长与其他的都不相等. 若该圆的半径为1，则这条线段的长为 参考数据：sin15°=√6-2 11.(2022河北24题)如图，某水渠的横断面是 4 以AB为直径的半圆O,其中水面截线 sin75°=6+2 MN∥AB.嘉琪在A处测得垂直站立于B 4 处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯 眼肌运动训练图 角为7°.已知爸爸的身高为1.7m. (1)求∠C的大小及AB的长； (2)请在图中画出线段DH,用其长度表示 最大水深（不说理由），并求最大水深约为 多少米.（结果保留小数点后一位，参考数 据：tan76°取4，√17取4.1) 使用方法：以0,1,2,3，…的顺序沿着箭头方向 移动眼球.移动一圈后再回到原点，反复进行. 考点四锐角三角函数的应用(10年10考) 10.(2024河北22题)中国的探月工程激发了 同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过 窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时 淇淇距窗户的水平距离BQ=4m,仰角为 ∠a;淇淇向前走了3m后到达点D,透过 点P恰好看到月亮，仰角为∠B,如图是示 意图.已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的 108 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 【创新考法】 测量过程： 12.(方案设计)综合与实践 步骤1：如图2，在空旷地找一点C; 【阅读材料】 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值 如图1，在锐角△ABC中，∠A,∠B,∠C 测得∠A≈43°，∠B≈51° 的对边长分别为a,6e,则有A品B 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值 测得BC≈341m,AC≈388.5m. snC这是解三角形的重要结论，可用于 【问题解决】 解决实际问题. (1)请你利用【阅读材料】中的结论计算A, 【问题提出】 B两岛间的距离；（参考数据：sin43°≈ 万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水 0.682,sin51°≈0.777，sin86°≈0.998) 水源地.某综合与实践小组要绘制一幅万 【评价反思】 绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A, (2)设计其他方案计算A,B两岛间的距 B两岛间的实际距离.由于地形原因，无法 离.要求：选用【方案设计】中的工具，写出 利用测距仪直接测量，该小组对这一问题 你的方案和所用的数学知识. 进行了探究 图 图2 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角 度、水平面高度) 煮 测角仪 测距仪 无人机 全国视野分层练 基础过关练 2.（2025云南)如图，在Rt△ABC 1.(2025河北石家庄校级摸松)下列三角函数 中，∠C=90°.若AB=13,BC= 值是有理数的是… 5,则sinA= …() B.cos60° B.2 1 A.sin60° C.tan 60 D.sin45° B c品 D是 109 中考冲刺数学 3.(2025河北邢台信都二模)如图，已知从点A 7.(2025辽宁)如图，为了测量树AB的高度， 看点B,仰角为22°，嘉淇做一个数学游戏， 在水平地面上取一点C,在C处测得 把由仰角描述换成用方向角来描述，则点B ∠ACB=51°，BC=6m,则树AB的高约为 位于点A的 ) m.(结果精确到0.1m.参考数据： 北 sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈ →东 1.23) A A.南偏西68°方向上B.南偏西22°方向上 C.北偏东22°方向上D.北偏东68°方向上 4.(2025河北保定定兴一模)如图，一艘快艇 从A地出发，向正北方向航行5海里后到 8.(2025黑龙江绥化)如图，某水库堤坝横断 达B地，然后右转60°继续航行到达C 面迎水坡AB的斜面坡度i=1：√2（斜面坡 地，若C地在A地北偏东30°方向上，则 度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC AC=…………………(） 的比)，堤坝高BC=15m,则迎水坡面AB 北 的长度是 60° B A C 9.(2025内蒙古)如图，因地形原因，湖泊两端 A.5海里 B.5y3海里 A,B的距离不易测量，某科技小组需要用 2 无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行 C.5√5海里 D.号海里 至距湖面90m的点C处，从C点测得A点 5.（2025户东深圳)如图为人行天桥的示意 的俯角为60°，测得B点的俯角为30°(A,B, 图，若高BC长为10米，斜道AC长为 C三点在同一竖直平面内)，则湖泊两端A, 30米，则sinA的值为 …(） B的距离为 m(结果保留根号). 60y℃30° N2号 B.3 c D 6.（2024甘肃临夏州)如图，在△ABC中， AB=AC-5,mB=青则BC的长是（) 10.(2025湖南)如图，某处有一个晾衣装置， 固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线 1于点B,D,AB=19分米，CD>AB.在点 A,C之间的晾衣绳上有固定挂钩E,AE= 13分米，一件连衣裙MN挂在点E处（点 A.3 B.6 C.8 D.9 M与点E重合)，且直线MN⊥. 110 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 (1)如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触 11.(2025四川资阳)如图，已知水平地面AM 到地面水平线1时，点E到直线AB的距 上方有一个水平的平台BN,该平台上有 离EG等于12分米，求该连衣裙MN的 一个竖直的建筑物CD.在A处测得建筑 长度； 物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的 (2)如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在 仰角为60°，斜坡AB的坡度i=1:3, 另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F AB=10√10米，CD⊥BD.(点A,B,C,D 在点E的右侧)，若∠BAE=76.1°，求此时 在同一竖直平面内) 该连衣裙下端N点到地面水平线！的距离 (1)求平台BN的高度； 约为多少分米？ (2)求建筑物的高度（即CD的长）. (结果保留整数，参考数据：sin76.1°≈ 0.97,c0s76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04) B 60 E(M) 13 1300 N 图1 A EM F 图2 四 中考冲刺数学 一 素养提升练— 4.(跨学科融合·物理)(2025河北保定阜平 一模)如图，半圆O是一棱镜的横截面，AB 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=√5， 为其直径，且AB=4,一束光线在半圆O上 D是AC上一点，连接BD.若tamA=之， 1 的点M处发生折射，且折射光线在AB上 tan∠ABD-号，则CD的长为 …() 的点P处发生反射，反射光线又在半圆O 上的点N处发生折射射出棱镜.已知 D ∠AOM=60°，MO⊥ON,图中箭头方向表 示光的方向，虚线表示法线或入射平面（法 线都经过点O) A.2√5B.3 C.√5 D.2 2.(2025河北摸拟)近年来，随着智能技术的发 展，智能机器人已经服务于社会生活的各个 方面.图1所示是一款智能送货机器人，图2 是其侧面示意图，现测得其矩形底座ABCD 的高BC为20cm,上部显示屏EF的长度为 (1)△OBN的面积为 45cm,侧面支架EC的长度为150cm, (2)tan∠APM= ∠ECD=80°，∠FEC=130°，则该机器人的最 5.(2025山东威海)问题提出 高点F距地面AB的高度约为…() (参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17， 已知∠a,∠B都是锐角，tana= 2,tan B= tan80°≈5.67) 专，求∠a+∠3的度数 问题解决 (1)如图，小亮同学在边长为1的正方形网 格中画出∠BAD和∠CAD,请你按照这个 地面 思路求∠a十∠B的度数；（点A,B,C,D都 A B 图1 图2 在格点上) A.189.5cm B.147 cm C.167 cm D.158 cm 3.(2025江苏扬州)如图1，棱长为9cm的密封 透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水 面高度BM=7cm.将此正方体放在坡角为a 备用图 的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平， 其主视图如图2所示，则tana= D A(M) 备用图 B 策略迁移 a 图1 图2 (2)已知∠a,∠B都是锐角，tana= 2 3, 112 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 tanB=号，则∠a十∠g 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相 同的钢柱（圆柱）. (3)已知∠a,∠B,∠0都是锐角，tana= 3 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部 件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合.示 tam月=，∠a+∠g=∠0，求tan9的值. 意图如图4，⊙O分别与AC,AD相切于点 (提示：在正方形网格中画出求解过程的图 B,D.用游标卡尺测量出CC的长度y. 形，并直接写出答案) A C 图3 图4 【问题解决】 已知∠CAD=∠CA'D'=60°，l的长度要 求是1.9cm~2.1cm. (1)求∠BAO的度数； (2)已知钢柱的底面圆半径为1cm,现测得 y=7.52cm.根据以上信息，通过计算说明 该部件1的长度是否符合要求；（参考数据： 6.（2025山东临沂、枣庄、聊城、菏泽、济宁) √3≈1.73) 【问题情境】 【结果反思】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开 (3)本次实践过程借助圆柱将不可测量的长 启了小行星伴飞取样探测的新篇章.某校航 度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他 天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模 几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说 型，其中某个部件使用3D打印完成，如 明理由。 图1. 【问题提出】 部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易 直接测量，需要设计一个可以得到1的长度 的方案，以检测该部件中1的长度是否符合 要求。 正面 图1 图 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测 量法 113CQ-AQ-AC-5cm, ∴.BC+CQ=11cm, .t=11÷2=5.5(秒) ②当CQ=BC时，如图2所示， 则BC+CQ=12cm. t=12÷2=6(秒). ③当BC=BQ时，如图3所示， 过点B作BE⊥AC于点E, :∠BEC=∠ABC=90°，∠C=∠C, ÷△BBCn△ABC,CE-ge=3.6m, .'CQ=2CE=7.2 cm,.'.BC++CQ=13.2 cm, .t=13.2÷2=6.6(秒). 由上可知，当运动时间为5.5秒或6秒或6.6秒时， △BCQ为等腰三角形. 第18讲锐角三角函数及其应用 【河北十年真题练】 1.B2.D3.A4.A5.D6.D7.D8.B9.62 2 10.解：(1)由题意，可得PQ⊥AE,PQ=2.6m,AB=CD= EQ=1.6 m,AE=BQ=4 m,AC=BD=3 m, .CE=4-3=1(m),PE=2.6-1.6=1(m),∠CEP= 90°..CE=PE. ∴∠B=∠PCE=45,an&=a∠PAE--是 (2),CE=PE=1m,∠CEP=90°， ∴.CP=√+1平=√2(m. 如图，过点C作CH⊥AP于点H, 窗户 D 0 “m&=m乙PaE-器子设CH=xn,对AH=km ∴.x2+(4x)2=AC=9, x=317 17 ∴CH=37 17 m, 3y17 inAPC-器- =3v34 √2 34 11.解：(1)，嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C 的仰角为14°， ∴.∠CAB=14°，∠CBA=90°，∴.∠C=90°-∠CAB=76°. 5 "tan Ce,BC-1.7 m.ta 1.7 .AB=1.7Xtan76°≈6.8(m). 答：∠C=76°，AB的长约为6.8m. (2)画出线段DH,连接OM,如图， 149 R H .OA=OM,∠BAM=7°，∴.∠OMA=∠OAM=7°. AB∥MN,.∠AMD=∠BAM=7°，∴.∠OMD=14°， .∠MOD=76°. 在R△MOD中，a∠MoD-0m7S-品 OD' ∴.MD=4OD 设OD=xm,则MD=4xm,在Rt△MOD中，OM= 0A=合AB=3.4m,∴2+4P=3.. :x>0,x=厘≈0.82,0D=0.82m,DH= 5 OH-OD=OA-OD=3.4-0.82=2.58≈2.6(m) 答：最大水深约为2.6m. 12.解：(1)·∠A≈43°，∠B≈51°， ∴.∠C=180°-∠A-∠B≈180°-43°-51°=86°， 由题老将品 又，BC≈341m, AB=BC,sinC=BC:sin86°≈341X0,998=49(m. sin A sin43° 0.682 答：A,B两岛间的距离约为499m. (2)工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面 高度). 测量过程：步骤1：如图1，在空旷地找一点C,使得△ABC 是锐角三角形； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠C的度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC=am, AC=6 m. C 图1 计算过程：如图2，过点A作AD⊥BC,则∠ADC= ∠ADB=90°， A 图2 AC,cos C=CD “在Rt△ACD中，sinC=AD, C' .'AD=bsin C m,CD=bcos C m, ,'BD=BC-CD=(a-bcos C)m. ,在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2, ∴.AB=√(bsin C)2+(a-bcos C)m. 答：A,B两岛间的距离为√/(bsin C)2十(a-bcos C)2m. 【全国视野分层练】 基础过关练 1.B2.D3.D4.C5.D6.B 7.7.48.15√3m9.120√3 10.解：(1)由题可知，在Rt△AGM中，AM=13分米，MG= 12分米，AG⊥GM, ∴.AG=√132-12z=5(分米). AB=19分米，.BG=AB-AG=19-5=14(分米)， .MN=BG=14分米， .该连衣裙MN的长度为14分米. (2)如图，过点M作MK⊥AB于点K, E(M)F 在Rt△AKM中，AM=13分米，∠BAM=76.1°， AK⊥KM, .AK=AM·cos76.1°≈13×0.24=3.12（分米）. ,AB=19分米，∴.BK=AB-AK=19-3.12=15.88(分米)， .BK-MN=15.88-14=1.88≈2（分米）. .该连衣裙下端N点到地面水平线1的距离约为2分米. 11.解：(1)如图，过点B作BE⊥AM于点E, ,斜坡AB的坡度为1：3， 噩-了AE-BE 在Rt△ABE中，AB2=BE2十AE,即(10√10)2=BE十 (3BE)2,解得BE=10. 答：平台BN的高度为10米 i=13 A30° E (2)如图，延长CD交AM于点F, 则CF⊥AM,.四边形BEFD为矩形， .DF=BE=10米，BD=EF. 设CD=x米，则CF=(x十10)米， 在Rt△ACF中，∠CAF=30°， acF-器9-9 3 AF ∴.AF=√3(x+10)米. 在Rt△CBD中，∠CBD=60°， 5 则BD= 光D9c未， CD 由(1)可知AE=3BE=30米， z+10)-9=30, 解得x=15√3-15. 答：建筑物的高度为(15√3一15)米. 素养提升练 1.C2.A3.号4.(11(21 5.解：(1)如图1，连接BC, 'AB=BC=√5，AC=√I0,.AB2+BC2=AC2, .∠ABC=90°， .∠BAC=45°，.∠a+∠B=45°. G D 图1 图2 图3 (2)90[解析]如图2中，连接BC, 由题意，a=∠BAD,B=∠DAC, :△ABC是等腰直角三角形，.∠a十∠B=90°. (3)如图3，a=∠GDH,B=∠HDF, 在aDGF中，n9=ana+月--子， 6.解：(1)⊙O分别与AC,AD相切于点B,D, ∴AB=AD,∠BA0=∠OAD=Z∠CAD=30 (2),钢柱的底面圆半径为1cm,.BC=OB=1cm. ∠BA0=30°，∠OBA=90°，AB=,OB tan30=√3cm, .AC=BC+AB=(1+√3)cm, 同理，A'C'=(1+√3)cm, ∴.l=7.52-2(1+√3)≈2.06(cm). .1.9<2.06<2.1, ,.该部件l的长度符合要求。 (3)能，将圆柱换成正方体. 第五模块 四边形 第19讲多边形 【河北十年真题练】 1.A 2.解：(1)甲同学的说法对，乙同学的说法不对. 理由：，360÷180=2,630÷180=3…90，而多边形的内 角和为180°的整数倍， .甲同学的说法对，乙同学的说法不对， ,360÷180十2=2+2=4，∴.甲同学说的边数n是4.