第11讲 反比例函数及其应用-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精练册（河北专用）

中考冲刺数学 第11讲 反比例函数及其应用（近三年2~4分） 河北十年真题练 2016-2025) 考点 反比例函数的图象和性质(10年4考， 【创新考法】 2025最新考查) 4.（生活情境)“无糖饮料”通常使用糖醇和低 聚糖等不升高血糖浓度的甜味剂作为糖的 1.(2025河北10题)在反比例函数y=4中， 替代品，但并非真正意义的无糖.现有甲、 若2<y<4,则 乙、丙、丁四种无糖饮料，它们的含糖浓度 A.sl B.1<x<2 (含糖浓度=甜味剂质量X100%)与饮料 饮料质量 C.2<x<4 D.4<x<8 质量x(g)之间的关系，可近似地用如图的 (1(>0), 反比例函数图象表示，其中甲、乙饮料y与 x 2.(2019河北12题)如图，函数y x的关系满足y=(z>0),丙、丁饮料y与 1(x<0) x的关系满足y=(x>0).根据图象，下列 的图象所在坐标系的原点是 ………( 结论正确的是……（ ) y/%y= M 甲 A.点MB.点NC.点PD.点Q K2 3.(2020河北19题)如图是8个台阶的示意 x/g 图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台 A.甲饮料含甜味剂质量比乙饮料的多 阶凸出的角的顶点记作Tm(m为1~8的整 B.丙饮料含甜味剂质量比丁饮料的多 数)，函数y=飞(x<0)的图象为曲线L. C.甲、乙饮料含甜味剂质量相同但比丙、丁的多 D.丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多 考点二反比例函数、一次函数与几何图 T 形结合的综合题(10年2考) T, 5.(2023河北17题)如图，已知点A(3,3), -20x B(3,1),反比例函数y=(k≠0)图象的一 (1)若L过点T1,则= 支与线段AB有交点，写出一个符合条件的 (2)若L过点T4,则它必定还过另一点Tm, 的整数值： 则m= y (3)若曲线L使得T1~T8这些点分布在它 2 的两侧，每侧各4个点，则的整数值有 123x 个 54 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 6.(2021河北19题)用绘图软件绘制双曲线 8.(2022河北12题)某项工作，已知每人每 m:y= 0与动直线l:y=a,且交于一点，图 天完成的工作量相同，且一个人完成需12 ①为a=8时的视窗情形 天.若m个人共同完成需n天，选取6组数 10 对(m,n),在坐标系中进行描点，则正确 5 的是… -15-10-5 51015 m -5 4-10 图① 2 20F m m 10 -30-20-10 A B m O 102030 -10 .-20 n个 图② (1)当a=15时，l与m的交点坐标为 (2)视窗的大小不变，但其可视范围可以变 m 2 m 化，且变化前后原点O始终在视窗中心 C 0 例如，为在视窗中看到(1)中的交点，可将图 9.(2019河北24题)长为300m的春游队伍， ①中坐标系的单位长度变为原来的号，其可 以(m/s)的速度向东行进，如图①和图②， 视范围就由一15≤x≤15及-10≤y≤10变 当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲 成了-30≤x≤30及-20≤y≤20（如 有一物品要送到排头，送到后立即返回排 图②. 尾，甲的往返速度均为2v(m/s),当甲返回 当a=-1.2和a=-1.5时，l与m的交点 排尾后，他及队伍均停止行进，设排尾从位 分别是点A和B,为能看到m在A和B之 置O开始行进的时间为t(s),排头与O的 间的一整段图象，需要将图①中坐标系的单 距离为s头(m), 位长度至少变为原来的石，则整数一 (1)当v=2时，解答： 考点三反比例函数的实际应用(10年3考) ①求s头与t的函数关系式（不写t的取值 范围)； 7.(2024河北7题)节能环保已成为人们的共 ②当甲赶到排头位置时，求5头的值；在甲从 识.淇淇家计划购买500千瓦时电，若平均 每天用电x千瓦时，则能使用y天.下列说 排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距 法错误的是… ( 离为s甲(m),求s甲与t的函数关系式（不写 A.若x=5,则y=100 t的取值范围). B.若y=125,则x=4 (2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s), C.若x减小，则y也减小 求T与v的函数关系式（不写v的取值 D.若x减小一半，则y增大一倍 范围)，并写出队伍在此过程中行进的 55 中考冲刺数学 ...... 路程. 【创新考法】 0(尾)头 →东 0 尾头东 10.机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行 甲+ 甲 为的机器装置，其最快移动速度o(m/s)是 图① 图② 载重后总质量m(kg)的反比例函数.已知 一款机器狗载重后总质量m=50kg时，它 的最快移动速度o=8m/s;当其载重后总 质量m=40kg时，它的最快移动速度0= m/s. 全国视野分层练 基础过关练 A.在(2,2)在该函数的图象上 1.(2025重庆)反比例函数y=-2的图象 B.该函数的图象分别位于第二、第四象限 x C.当x<0时，y随x的增大而增大 定经过的点是…（ A.(2,6) B.(-4,-3) D.当x>0时，y随x的增大而减小 C.(-3,-4) D.(6,-2) 4.(2025湖北)已知蓄电池的电压为定值，使 2.(2025河北秦皇岛一模)若矩形的面积为 用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单 6cm,则它的长ycm与宽xcm之间的函 位：2)是反比例函数关系，它的图象如图 数关系用图象表示大致是…（) 所示.当电阻R大于9Ω时，电流I可能 是…() 9R/ A.3A B.4A C.5A D.6A 3.(2025湖南)对于反比例函数y=2 ，下列结 5.(2025江苏连云港)如图，正比例函数y1= 论正确的是……………… x(k,<0)的图象与反比例函数y2= 56 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 (k2<0)的图象交于A,B两点，点A的横坐标 10.(2025四川泸州)如图，一次函数y=2x十b 为一1.当y<2时，x的取值范围是…() 的图象与反比例函数y=驶的图象的一个 A.x<-1或x>1 交点为A(2,6). B.x<-1或0<x<1 (1)求一次函数与反比例函数的解析式； C.-1<x<0或x>1 (2)将一次函数y=2x十b的图象沿y轴向 D.-1<x<0或0<x<1 下平移12个单位长度，与反比例函数y= 的图象相交于点B,C,求Sa的值。 V 第5题图 第6题图 6.(2025山东临沂、枣庄、聊城、菏译、济宁)如 图，在平面直角坐标系中，A,C两点在坐标 轴上，四边形OABC是面积为4的正方形， 若函数y一名(x>0)的图象经过点B,则满 11.(2025贵州)小星在阅读《天工开物》时，看 足y≥2的x的取值范围为…( 到一种名为桔槔(gāo)的古代汲水工具 A.0<x≤2 B.x≥2 (如图1)，有一横杆固定于桔槔上O点，并 C.0<x≤4 D.x≥4 可绕O点转动.在横杆A处连接一竹竿， 7.（2025广东深圳)如图，同 在横杆B处固定300N的物体，且OB= 一平面直角坐标系下的 1m.若图中人物竖直向下施加的拉力为 正比例函数y=ax与反 F,当改变点A与点O的距离1时，横杆始 比例函数y=2二相交于 终处于水平状态，小星发现F与1有一定 x 的关系，记录了拉力的大小F与1的变化， 点A和点B.若点A的横坐标为1，则点B 如表： 的坐标为 8.(2025江苏连云港)某气球内充满了一定质 点A与点 O的距离 1.5 2.5 3 量的气体，在温度不变的条件下，气球内气 1/m 体的压强p(Pa)是气球体积V(m3)的反比 例函数.当V=1.2m3时，p=20000Pa.则 拉力的大 300 200 150 120 当V=1.5m3时，p= 小F/N Pa 9.（2025陕西)如图，过原点 (1)表格中a的值是 的直线与反比例函数y= (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可 (k>0)的图象交于 以刻画F与1之间的关系.在如图2所示 2 的平面直角坐标系中，描出表中对应的点， A(m,n),B(m-6,n-6) 并画出这个函数的图象； 两点，则k的值为 (3)根据以上数据和图象判断，当OA的长 57 中考冲刺数学 增大时，拉力F是增大还是减小？请说明 交于点A,与x轴交于点B,点C的坐标为 理由. (0,3),连接AC,BC.若AC=BC,则实数k ↑FN 的值为 300 坠石 200 y= 100 0 3 5 I/m 图 图2 第3题图 第4题图 4.(2025山东威海)如图，点A在反比例函数 y兰的图象上，点B在反比例函数y -二的图象上，连接OA,OB,AB.若A01 素养提升练 BO,则tan∠BAO= 1.（2025广西)如图，在平面直角坐标系中， 5.(2025四川成都)如图，在平面直角坐标系 “双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与 xOy中，直线y=一x十b与反比例函数y= x轴平行或垂直，且满足BC=DE=FG= 1,点A,C,E,G均在双曲线y=的一支 色的图象的-个交点为A(a,2,与x轴的 交点为B(3,0) 上.若点A的坐标为(4，多)，则第三级阶梯 (1)求k的值： 的高EF=…( (2)直线AO与反比例函数的图象在第三象 5 限交于点C,点D在反比例函数的图象上， A.4 B.3 C 0. 若∠ACD=90°，求直线AD的函数表达式； (3)P为x轴上一点，直线AP交反比例函 数的图象于点E(异于点A),连接BE,若 △BEP的面积为2，求点E的坐标 y D 第1题图 第2题图 2.(2025黑龙江线化)如图，反比例函数y= 备用图 经过A,C两点，过点A作AB⊥y轴于点 B,过点C作CD⊥x轴于点D,连接OA, OC,AC.若S△Aco=4,CD:OB=1:3,则b 的值是…() A.-12B.-9C.-6D.-3 3.(2025黑龙江齐齐哈尔)如图，在平面直角 坐标系中，一次函数y=一x一1的图象与反 比例丽数y一卓〔≠0)的图象在第二象限内 58、3 <0, “当m=号时，四边形COFD的面积有最大值，最大值为号 10.解：(1)设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个， x=40, 根据题意，得 x+2y=200,解得 4x+3y=400, y=80. 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个】 (2)设制作乙种纸盒m个，需要张正方形硬纸片，则制 作甲种纸盒(100一m)个， 根据题意，得=2m+(100-m)=m+100, ,1>0,.0随m的增大而增大. 又≥10-0，解得m≥g9 m为正整数，当m=34时，0取得最小值，最小值为 34+100=134(张). 答：至少需要134张正方形硬纸片， 素养提升练 1.B2.B3.D4-号 5.解：(1)设购买1颗A型芯片、1颗B型芯片分别需要a元、 b元， 1a+2b=750, 由题意，得 /a=350, 解得 2a+3b=1300, b=200. 答：购买1颗A型芯片、1颗B型芯片分别需要350元、 200元. (2)设购买B型芯片m颗，则购买A型芯片(8000一m) 颗，所需资金为心元， 由题意，得w=350(8000一m)+200m=一150m+ 2800000, .k=一150<0，.0随m的增大而减小. ,购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍， .8000-m≥3m,解得m≤2000. ,m取正整数， .当m=2000时，w取最小值，w少=-150X2000十 2800000=2500000(元). 此时8000-m=6000. 答：当该公司购买A型芯片6000颗时，所需资金最少，最 少资金是2500000元. (3)①设y2的解析式为yz=k2x十b, 将点(0,60)，(7,480)代入yz=k2x+b, 得/6=60， （7k2+b=480, k2=60, 解得{ b=60. ∴.yz的解析式为yz=60x十60， 当x=3时，yz=60x+60=60×3+60=240, ,.甲车的速度为240÷3=80(km/h). ②y甲的解析式为y甲=1x, 将点(3,240)代入yp=k1x, 得240=3k1,解得k1=80. ∴.y甲的解析式为y甲=80x. 当函数yL的图象在函数y甲上方时， 可列方程60x十60一80x=30, 解得x=1.5. 当函数y元的图象在函数y甲下方时， 可列方程80x一60x一60=30，解得x=4.5. 当甲车到达N地，乙离目的地30km时， 可列方程60x十60=480一30， 解得x=6.5. 综上所述，x的值为1.5或4.5或6.5. 6.解：(1)s与t成正比例，.设s=1t(k1≠0). 把t=1,s=4代入，得1=4，.s=4t. d由两部分组成，一部分与t成正比例，一部分保持不 变，∴.设d=k2t十b(k2≠0)， 把t=1,d=6与t=2,d=9代入， 得包十66，解得{ 2k2+b=9, =3.d=31+3, b=3, ,d12,∴.3t+3≤12，∴.0≤t≤3. 点P在水平方向的运动速度：(8一4)÷(2一1)=4(cm/s), 点P在竖直方向的运动速度：(9-6)÷(2-1)=3(cm/s), '.s=4t(0≤t≤3)，d=3t+3(0≤t≤3)， ,点P在水平方向的运动速度为4cm/s,点P在竖直方向 的运动速度为3cm/s. (2)根据题意，得h=12-d=12(3t十3)=一3t+9, ”5=4,1=音，则h=-3+9=-3X音+9. 0≤30≤<12，h-+90≤<12， 当h≥3时，-3t十9≥3，.t2. .h不少于3cm的时间要求是不超过2s. 第11讲反比例函数及其应用 【河北十年真题练】 1.B2.A 3.(1)-16(2)5(3)74.D 5.4(答案不唯一，取3≤k≤9的整数即可) 6.(1)(4,15)(2)47.C8.C 9.解：(1)①s4=2t+300; ②s头=600m;5甲=-41十1200. (2)T=400,队伍在此过程中行进的路程为400m. ) 10.10 【全国视野分层练】 基础过关练 1.D2.C3.D4.A5.C6.A 7.(-1,-1)8.160009.9 10.解：(1).一次函数y=2x十b的图象经过A(2,6),.6= 2X2+b,∴.b=2, 2 .一次函数的解析式为y=2x十2： :反比例函数y=”的图象经过A(2,6), 6=%心…m=12,反比例函数的解析式为y=1 (2)将一次函数y=2x十2的图象沿y轴向下平移12个 单位长度，与反比例函数y=2的图象相交于点B,C, ∴.直线BC的解析式为y=2x十2-12=2x一10， y=2x-10, 联立 12 解得=-1支=6 y- 1y=-12y=2, .B(-1,-12),C(6,2). 如图所示，过点A作AT∥y轴交直线BC于点T, A(2,6),点T的横坐标为2， 在y=2x-10中，当x=2时，y=2×2-10=-6, ∴.T(2,-6),∴AT=6-（-6)=12, Ssc=Saer十5aa=号×12X[2-(-1D]+7× 12×(6-2)=18+24=42. 11.解：(1)100 (2)画出F与l的函数图象如图所示： 个F/N 300 200 100---- 012345m (3)当OA的长增大时，拉力F减小，理由如下： ,F,l都是正数， 这条曲线是反比例函数的一支， ,FL=300, ·其函数表达式为F=300 >0,在第一象限内，F随l的增大而减小， 即当OA的长增大时，拉力F减小. 素养提升练 1B2.D364号 5.解：(1)直线y=-x十b与x轴的交，点为B(3,0), .0=一3十b,解得b=3, .一次函数的解析式为y=一x十3. 把A(a,2)代入y=-x+3,得2=一a十3， 解得a=1,.A(1,2), 无点A1,2)代入y会得=1X2=2。 (2)如图，连接AD, 由(1)，得反比例函数的解析式为y= x :直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C,点 A(1,2), 点C的坐标为(-1，-2)， .AC=(1+1)2+(2+2)2=20. 设点D的坐标为(m,品)， AD=1-m+(2-品)，cD=(-1-mP+(-2 :∠ACD=90°，.AD2=CD2+AC, 1-m+(2-)°=(-1-m+(-2-)°+20 解得m=-4或-1（舍去）， 点D的坐标为(-4，-）： 设直线AD的函数表达式为y=k1x十b(k1≠0)， 把点(-4，-2)，1,2)代入，得 -4k1+6=- k1+b1=2, = 1 解得 3 直线AD的画数表达式为y=之x十是 (③)设点E的坐标为，品） 设直线AE的解析式为y=k2x十b2, 花点(，）1,2)代入， k:十b:=立'解得 2 --2 t 得 lk2+b2=2, ,=2+2 t 六直线AE的解折式为y=-吕+2名 当y=0时，0=一名+2生兰，解得=十1， t 点P的坐标为(t十1,0)， .BP=|t+1-3|=|t-2|, ∴Sam=合×(-g)XBP=号×(-2）X1-21, :△BBP的面积为2合×(-二）×1-2引=2，解得 4=号或1=-2 点E的坐标为(-2，-1》或（号，3） 第12讲 二次函数的图象和性质 【河北十年真题练】 1.A2.C3.D4.D5.2 6.1(-3,-号)(2号 7.D 8.解：(1)抛物线y=一x2十bx十c经过点A(0,3),B(6, 3),顶点为P, c=3, 1b=6, 解得 1-36+6b+c=3, c=3, .y=-x2+6x+3=-(x-3)2+12, .P(3,12) (2):点D在4（第一象限）止，到工轴的距离为空，则力空。 当y时， =-x2+6x十3， 解得工=号或工号 11 D(合，)或（告空）， :抛物线y=a(x-3)2+d(a<0)经过点c(号，2），对称 轴为直线x=3, ☑经过点c(合2)（侵2， L2不能经过点D. (3)①.P(3,12), .当点E,P重合时，E(3,12) :A(0,3),M是AE的中点，M(号，受) :点M(2,)拾好落在L上，山经过点C(号2)， [2=(2-3)'a+d, 解得a=-贵 2-(号-3)°a+d ②：直线AE:y=kx十n(k>0)交L1于，点E,A(0,3), .n=3, 直线AE的解析式为y=x十3， :y=a(x-3)+da<0)经过点c(分，2， “2=约a+dd=2-空 ∴y=a(x-3)2+2-空a=ar-6ax+￥a+2,联 Jy-az-6az+Ha+2. 立 (y=kx+3, 消去y,得ax2-kx-6az+19-1=0. 4 十x2=6a十k a 则E(。兰，如+ a 点M的横坐标是点E横坐标的一半， M(2,a去型+）. 2a 将点E代入y=-x2+6x十3， 得5ak+k+3=-6a+k)2+6x6a+k+3.0 a :点M为直线AE与L2的唯一公共点， ∴4=+6e)r-4Xa×(-1=0.② 联立①②，得{ a=-1，或 a=-1, k=6-√/15k=6+√15 当k=6十√15时，交点不在第一象限，不符合题意， .k=6-√/15. 9.解：(1)抛物线C1:y=ax2-2x过点(4,0)，顶点为Q, .16a-8=0,解得a=2, 1 六鹅物线C的解折式为y=号2-2x=合红一2)-2， .Q(2,-2). (2)选择嘉嘉的说法说理如下： 把Q(2,一2)向左平移2个单位长度得到对应，点的坐标为 (0,-2), 当x=0时，G:y=-合(x-0+合-2=-合+ 20-2=-2 .(0,一2)在C2上，嘉嘉的说法正确； 选择淇淇的说法说理如下： Gw=-7(x-0+2-2=-号+1-2， 当x=0时，y=-2, Gy=-合（x-0+宁4-2过定点0，-2)满速 的说法正确 30当=4时，Gy=-安x一0+安-2=-号 4)2+6, .顶点P(4,6),而Q(2,一2). 设直线PQ的解析式为y=ex十f, :e+=6解得{ e=4, l2e+f=-2,1 f=-10, .直线PQ的解析式为y=4x一10. @知国，当C:=-合(x-40:+6=-6(学于6两直线 重合不符合题意)， .x=4士26，