第17讲 等腰三角形与直角三角形-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精练册（河北专用）

中考冲刺数学 第17讲 等腰三角形与直角三角形（近三年2~3分） 河北十年真题练 2016-2025) 考点一 等腰三角形的性质和判定(10年9考) 北 东 1.(2022河北16题)题目：“如图，∠B=45°， BC=2,在射线BM上取一点A,设AC=d, B 第3题图 第4题图 若对于d的一个数值，只能作出唯一一个 4.(2016河北16题)如图，∠AOB=120°，OP △ABC,求d的取值范围.”对于其答案，甲 平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在 答：d≥2，乙答：d=1.6,丙答：d=√2，则正 OA,OB上，且△PMN为等边三角形，则满 确的是…( 足上述条件的△PMN有…( ) A.只有甲答得对 A.1个 B.2个 B.甲、丙答案合在一起才完整 C.3个 D.3个以上 C.甲、乙答案合在一起才完整 【创新考法】 D.三人答案合在一起才完整 5.（推理能力)一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示 M 意图如图所示，AE与DE两处是墙，AB与 CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框， 测得AB=BC=CD=60cm,∠ABC= B ∠BCD=135°，MN处是一扇推拉门，推动 第1题图 第2题图 推拉门时，两端点M,N分别在BC,CD对 2.(2018河北8题)已知：如图，点P在线段 应的轨道上滑动.当点N与点C重合时，推 AB外，且PA=PB.求证：点P在线段AB 拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位 的垂直平分线上.在证明该结论时，需添加 点P处时，推拉门推至最大，此时测得 辅助线，则作法不正确的是…( ∠CNM=6°. A.作∠APB的平分线PC交AB于点C (1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中， B.过点P作PC⊥AB于点C,且AC=BC ①∠CMN的最小值为 度，最大值 C.取AB中点C,连接PC 为 度； D.过点P作PC⊥AB,垂足为C ②△CMN面积的变化情况是 3.（2017河北10题)如图，码头A在码头B的 A.越来越大 B.越来越小 正西方向，甲、乙两船分别从A,B同时出 C.先增大后减小 发，并以等速驶向某海域.甲的航向是北偏 (2)当∠CMN=30°时，求△CMN的面积. 东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航 向不能是… ( A.北偏东55 B.北偏西55° C.北偏东35 D.北偏西35° 100 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 考点三直角三角形的性质和判定(10年 (1)A,B间的距离为 km; 3考) (2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路 1,并在L上建一个维修站D,使D到A,C的 6.（2020河北16题)如图是用三块正方形纸片 以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图 距离相等，则C,D间的距离为 km 【创新考法】 案.现有五种正方形纸片，面积分别是1,2， 3,4,5,选取其中三块（可重复选取）按如图 9.(规律探究)观察下列等式： 的方式组成图案，使所围成的三角形是面积 第1个等式 (22-1)2+42=(22+1)2 最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面 第2个等式 (32-1)2+62=(32+1)2 积分别是…( 第3个等式 (42-1)2+82=( )2 第4个等式 (52-1)2+102=(52+1)2 … … (1)补充上述表格； 发现： (2)请用含n(n为正整数，且n>1)的等式表 A.1,4,5 B.2,3,5 示上述规律： =(n2+1)2; C.3,4,5 D.2,2,4 应用： 7.(2017河北11题)如图是边长 10 (3)若三个整数能构成直角三角形的三条边 为10cm的正方形铁片，过两 10 长，则称这三个数为勾股数（例如：3,4,5）. 个顶点剪掉一个三角形，下列 现有一个直角边为14的直角三角形，它的 四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位： 三边长为勾股数，请求这个直角三角形的 cm)不正确的是 404g。 面积. 10 10 B 12 D 8.(2019河北19题)勘测队按实际需要构建了 平面直角坐标系，并标示了A,B,C三地的 坐标，数据如图（单位：km).笔直铁路经过 A,B两地 A(12,1) B(-8,1) C0,-17) 101 那中考冲刺数学 全国视野分层练 基础过关练 则AC的长为… 1.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是 A.2 cm B.2√3cm C.4cm D.8 cm A.过顶点的直线 6.(2025河北云家庄裕华三模)如图，点A,B, B.腰上的中线所在的直线 C,D均在正方形网格的格点上，比线段BD C.腰上的高所在的直线 短的是… D.顶角的平分线所在的直线 2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=40°， CD∥AB,则∠BCD=…() A.40° B.50° A.线段AB B.线段AC C.60° B C.线段BC D.线段CD D.70° 7.将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相 3.(2025江苏扬州)在如图的房屋人字梁架 连焊接成一个等腰三角形.如图，如果第一 中，AB=AC,点D在BC上，下列条件不能 次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可 说明AD⊥BC的是…（ 以在 处截断. ) ① ②③ ④ B D A.∠ADB=∠ADCB.∠B=∠C A.①或② B.①或③ C.BD=CD D.AD平分∠BAC C.②或③ D.③或④ 4.（2025四川德阳)如图，在Rt△ABC中， 8.(2025辽宁)如图，在矩形ABCD中，点E在 ∠ACB=90°，将△ABC沿CB方向向右平 边AD上，BE=BC,连接CE,若AB=3, 移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点 AE=4,则CE的长为 D,连接CD,若CD=1,则GE=·() A.1 B.5 C.2√2 D.√10 A.3 B.2 C.1 D.2 B 1.8 第4题图 第5题图 第8题图 第9题图 5.小亮为宣传2025年哈尔滨亚冬会，设计了 9.(2025江苏连云港)如图，长为3m的梯子 形状如图所示的彩旗，图中∠ACB=90°， 靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为 ∠D=15°，点A在CD上，AD=AB=4cm, 1.8m,则梯子顶端的高度h为 m. 102 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 10.(2025户西)如图，点A,D在BC同侧， 一 素养提升练 AB=BC=CA=2,BD=CD=√2，则AD= 1.(2025河北唐山一模)如图，将三个大小不 同的等边三角形的一个顶点重合放置，则α， B,y三个角的数量关系为…( ) A.a十B+Y=60° B.a-B+Y=60° C.a+B-y=60° D.a+28-Y=60° 11.(2025江苏扬州)清代扬州数学家罗士琳 A 痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股 数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化 了勾股数的生成过程，也体现了中国传统 B 数学在数论领域的贡献.由此法则写出了 第1题图 第2题图 下列几组勾股数：①3,4,5；②5,12,13； 2.(2025河北唐山路南三模)如图，在四边形 ③7,24,25；④9,40,41；…；根据上述规律， ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB= 写出第⑤组勾股数为 AD=2√2，CD=√2，点P在四边形ABCD 12.（2025福建)如图，△ABC是等边三角形， 的边上运动，若点P到BD的距离为1，则 D是AB的中点，CE⊥BC,垂足为C,EF 点P的个数为 是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF A.1 B.2 C.3 D.4 过点A,BE交CD于点G 3.（易错题)“如图，△ABC是 (1)求∠DCE的大小； 等腰三角形，AB=AC, (2)求证：△CEG是等边三角形 ∠A=40°，BP平分∠ABC, D是射线BP上的一点.若 B △BCD是等腰三角形，求∠BDC的度数.” 对于其答案，甲答：∠BDC=35°；乙答： ∠BDC=110°；丙答：∠BDC=72.5°.则下 列说法正确的是…( A.只有甲正确 B.只有乙正确 C.甲、乙两人答案合在一起才正确 D.甲、乙、丙三人答案合在一起才完整 4.(2025黑龙江绥化)在边长为7的等边三角 形ABC中，点D在AB上，BD=2.M是直 线BC上的一个动点，连接MD,以MD为 边在MD的左侧作等边三角形MND,连接 BN.当△BND为直角三角形时，则CM的 长是 103 中考冲刺数学 5.（2025河北邯郸一模)如图，等边三角形 6.(一题练透)综合与实践 ABC中，P,Q分别是BC,AB边上的点（不 莹莹准备了一个等腰三角形纸片ABC,如 含端点)，且BP=AQ.作QD∥CA,QD= 图，AB=AC=5,BC=6.为了找到重心，以 BQ,连接AD. 便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点 (1)求证：AD=PQ; B与点C重叠对折，得到折痕AE,展开后， (2)若△ABC的边长为6. 她把点B与点A重叠对折，得到折痕DF, ①当PQ⊥BC时，求AD的长； 展开后连接CD,交折痕AE于点O,则点O ②当点P从PQ⊥BC的位置，运动到BC 就是△ABC的重心 的中点时，直接写出点D运动路径的长， D (1)初步观察： 连接AF,则AF与BF的数量关系是 (2)初步探究： 莹莹通过测量惊奇地发现OA=2OE,CO 2OD.她的发现正确吗？请说明理由. (3)拓展探究： ①请帮助莹莹求出△AOC的面积； ②连接OB,求线段OB的长度， 104 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 微专题 等腰三角形中的分类讨论(10年8考) 类型一 等腰三角形的角的分类讨论 使△ABC是一个等腰三角形，则△ABC的 1.学完等腰三角形的性质后，小丽同学将课后 周长为…( 练习“一个等腰三角形的顶角是36°，求底角 的度数”改为“等腰三角形的一个角是36°， 求底角的度数”.下面的四个答案，你认为正 确的是…………（) 图 图2 A.36° B.144° A.32 cm B.34 cm C.36°或72° D.72°或1449 C.32cm或34cmD.36cm 2.已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的 7.(2024广东揭阳模拟)已知a,b是等腰三角 夹角为40°，那么这个等腰三角形的顶角 形的两边长，且a,b满足|a一2+(2a十3b 等于…（ ) 13)2=0,则此等腰三角形的周长为…() A.50°或130° B.130° A.8 B.6或8 C.80 D.50°或80° C.7 D.7或8 3.(2025山东菏泽期末)定义：在一个等腰三 8.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的 角形中，如果一个内角等于另一个内角的两 周长分成12cm和21cm两部分，求这个等 倍，则称该三角形为“倍角等腰三角形”.“倍 腰三角形的底边长 角等腰三角形”的顶角度数是…() A.90 B.45°或36° C.108°或90° D.90°或36° 4.已知△ABC,按以下步骤作图：①分别以B,C 为圆心，以大于2BC的长为半径作弧，两弧 类型三几何图形之间的位置关系不明确的 相交于两点M,N;②作直线MN交直线AB 分类讨论 于点D,连接CD.若∠ABC=40°，∠ACD= 9.有一道题目：“在△ABC中，AB=AC, 20°，则∠BAC的度数为 ∠A=40°，分别以B,C为圆心，以BC长为 类型二等腰三角形的边的分类讨论 半径的两条弧相交于点D,求∠ABD的度 5.等腰三角形的周长是23cm,一边长为 数”.嘉嘉的求解结果是∠ABD=10°.淇淇 11cm,则它的腰长为…( 说：“嘉嘉考虑得不周全，∠ABD还应有另 A.6 cm B.11 cm 一个不同的值.”下列判断正确的是（) C.11cm或6cmD.无法确定 A.淇淇说得对，且∠ABD的另一个值 6.(2025湖南长沙二模)将一台带有保护套的 是130° 平板电脑按图1的方式放置在水平桌面上， B.淇淇说得不对，∠ABD就得10 其侧面示意图如图2所示.经测量AB= C.嘉嘉求的结果不对，∠ABD应得20° 10cm,BC=12cm,若移动支点C的位置， D.两人都不对，∠ABD应有3个不同值 105 中考冲刺数学 10.(2025上海扬浦区月考)如图1，直线a,b 当t=2时，△BPQ的形状是 交于点O,A为直线a上一定点，B为直线 (2)若它们的速度都是1cm/s,当点P到 b上一动点，∠1=a.若以点O,A,B为顶 达点B时，P,Q两点停止运动，设点P的 点的三角形为等腰三角形，回答下列问题： 运动时间为t(s),则当t= 时， △PBQ是直角三角形. 13.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm, BC=6cm,P,Q是△ABC边上的两个动 图1 图2 图3 点，其中点P从点A开始沿A→B方向运 (1)如图2，当a=50°时，满足条件的等腰三 动，且速度为每秒1cm,点Q从点B开始 角形有 个； 沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm,它 (2)如图3，当α=60°时，满足条件的等腰三 们同时出发，设出发的时间为t秒， 角形有 个 (1)当t=2时，求PQ的长； 11.已知C,D两点在线段AB的中垂线上，且 (2)出发时间为几秒时，△PQB是等腰三 ∠ACB=50°，∠ADB=80°，求∠CAD的 角形？ 度数 (3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q 在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等 腰三角形的运动时间. 类型四 运动过程中等腰三角形中的分类 讨论 12.如图，△ABC是边长为 6cm的等边三角形，动点 P,Q同时从A,B两点出 B 发，分别沿AB,BC方向匀 速移动. (1)若点P的运动速度是1cm/s,点Q的 运动速度是2cm/s,当Q到达点C时，P, Q两点都停止运动，设运动时间为t(s), 106.AF_AE_EF ·AC CE AE1 ∴AE=√CE·EF=√4EF=2EF, A迟=F=1 AC AE2 AF=AC=合AB ,EF∥HB, ·∠CEB=∠HBE,△AEF∽△AHB, 器器品 .HB=2EF,AH=2AE=AE+HE, .'.AE=HE=2EF,..HB=HE, ∴∠DEB=∠HBE, ∠CEB=∠DEB, ∴.EB⊥CD. 12.D13.①②③ 14.解：(1)∠AOB=∠C0D=42°， ∴.∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD,即∠COA=∠DOB. .OA-OB,OC-OD, '.△COA≌△DOB(SAS), ..AC=BD, 肥1 (2)由(1)得△COA≌△DOB,.∠CAO=∠DBO 在△OAB中，∠OAB+∠OBA=180°-∠AOB=180°- 42°=138°， 在△ABM中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+ ∠DBA)=180°-（∠DBO+∠OAB+∠DBA)=180° (∠OBA+∠0AB)=180°-138°=42°. 15.(1)解：6 3 [解析].DE∥BC,.△ADE∽△ABC, 暖铝 品是器导 :5-号，△ADE与△ABC的周长比为号， .DE=6. (2)①证明：，△ADEc∽△ABC, 铝-能，∠BAC=∠DAE, ÷80∠BAD=∠CAE, ∴.△ABD∽△ACE. ②解：AB=8,EC=兰 提示：如题图3，设AD=3k,AB=5k, AD⊥BC,∠ADB=90°， ∴.BD=/AB2-AD2=√(5k)2-(3k)2=4k. '∠ABD=∠CBA,∠ADB=∠CAB=90°， ÷△ABDn△CBA0-品， .AB2=BD·BC,∴.(5k)2=4k×10. :≠0，=号，∴AB=8,BD-号 .∠BAC=90°，BC=10, ∴.AC=√BC-AB=√102-8=6. :△ABD△ACE0-是-音， 32 ∴昆-号C-4 5 16.C17.D18.D 19.(1)证明：在△ABC中，AB=AC=5, ∴∠B=∠C ∠APC=∠B+∠BAP, .∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP 又'P,D分别是BC,AC边上的，点，且∠APD=∠B, .∠DPC=∠BAP, ∴.△ABPC∽△PCD (2)解：，△ABP∽△PCD, 说部 AB=5,BC=8,BP=3, 5 3 8-3-CD' .CD=3. (3)解：0≤≤名支号<8， 提示：点K在△APD内部时，CD的临界值是，设运动 时间为t, '△ABP∽△PCD, 授器 .'AB=AC=5,BC=8, 5 BP 心8-BP=1’ 4 解得BP=多或BP=号。 :点P以每秒1个单位长度从点B向终点C运动， :当0≤<号或号<<8时，点K在△APD内南. 第17讲等腰三角形与直角三角形 【河北十年真题练】 1.B2.B3.D4.D 5.解：(1)039[解析]①当点N与，点C重合时，推拉门与 门框完全闭合，此时∠CMN有最小值0°， 当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，∠CNM=6°， 则此时∠CMN有最大值， :∠CNM=6°，∠BCD=135°， .∠CMN=180°-6°-135°=39°，即∠CMW有最大值 为39°. ②C[解析]由特殊情况分析：点N与点C重合时，S=0, 若没有点P的限制，点N与，点D重合时，S=0, .△CMN面积的变化情况是先增大后减小. (2)过点N作NG⊥BC于点G,如图， E D BMCG 当∠CMN=30时，NG=MN=30cm, ∴.MG=√/MN2-NG=30√3cm. :∠BCD=135°，.∠NCG=45°， .∴.CG=NG=30cm, .∴.MC=MG-CG=(30√3-30)cm, 5sam=2CM.G=合×(303-30)×30=(450,5 450)(cm2). 6.B7.A 8.(1)20(2)13 9.解：(1)42+1 (2)(n2-1)2+(2n)2 (3)由规律(n2-1)2十(2n)2=(n2+1)2,则存在以n2一1， 2n为直角边，n2十1为斜边的直角三角形， '.当直角三角形的一个直角边为14，且它的三边长为勾股 数时，可得2n=14,解得n=7, .直角三角形的另一个直角边是48， 则这个直角三角形的面积为宁×14X48=36, 【全国视野分层练】 基础过关练 1.D2.D3.B4.B5.B6.A7.C8.D 9.2.410.√3-111.11,60,61 12.(1)解：：△ABC是等边三角形， ..∠ACB=60° D是AB的中点 ∴∠DCB=∠DCA=2∠ACB=合×60=30 .CE⊥BC, .∠BCE=90° ∠DCE=∠BCE-∠DCB=6O. (2)证明：由平移可知CD∥EF, ∴∠EAC=∠DCA=30°. 又：∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°， ∴∠EAC=∠ECA, ∴.AE=CE,∠AEC=120° 又，AB=CB, ∴.BE垂直平分AC, ∠GBC=号∠ABC=合×120=60 由(1)知∠GCE=60°， ∴∠EGC=60°， .∠GEC=∠GCE=∠EGC, .△CEG是等边三角形. 素养提升练 1.B2.C3.D4.6或8或9 5.(1)证明：，△ABC为等边三角形， ,∴，AB=BC=AC,∠BAC=∠B=60°. :QD∥CA,∴∠DQA=∠BAC=60°， .∠DQA=∠B=60. (AQ=BP, 在△AQD和△PBQ中，∠DQA=∠B, DQ=QB, .△AQD≌△PBQ(SAS),∴.AD=PQ. (2)解：①.△ABC为等边三角形， ∴.AB=BC=AC,∠BAC=∠B=60°. PQLBC,/BQP-30,:.BP-BQ. :BP=AQAQ-=合BQ 设AQ=x,则BQ=2x, .x十2x=AB=6, x=2,.BP=2,BQ=4, .PQ=√BQ2-Bpz=2V3. 由(1)知AD=PQ=2√3. ②，点D运动路径的长为√3. 提示：连接BD,如图， D 0】 B 由(1)知∠DQA=60°， .∠QDB+∠QBD=∠DQA=60. QD=BQ, .∠QDB=∠QBD=30. :∠ABC=60°， .∠DBC=∠DBA+∠ABC=90°， .BD⊥BC, 点D在DB上运动. PQLBC, ..BP=QA=2. 设BC的中点为P,由题意，知BP'=AQ=号BC=3,则 BQ=AB-AQ'=3, .BP'=BQ=3. ∠ABC=60°， .△BPQ'为等边三角形， .P'Q'-BP'=3,∠BQP'=60. 同(1)的方法可得△AQD'≌△BQP', .AD=BP'=3,∠AD'Q'=60. .QD'=BQ, .∠QD'B=∠QBD'=30, .∠AD'B=∠AD'Q'+∠QD'B=90°， .DD=√AD2-AD=√(2√3)2-32=√3. 点D运动路径的长为√3. 6.解：(I)AF=BF[解析]：点B与点A重叠对折，得到折 痕DF, ∴△ADF≌△BDF(折叠的性质)，∴.AF=BF. (2)正确.理由如下： 如图1，连接DE, D 图1 点D,E分别为AB,BC的中点， ∴DE为△ABC的中位线，DE∥AC,DE=合AC, .∠ODE=∠OCA,∠OED=∠OAC, △0DEn△0CA,85-82-R=合， .∴.OA=2OE,OC=2OD. (3)①由折叠可知，BE=CE=号BC=3,∠AEC=90° 在Rt△ACE中，AE=√WAC-CE=√25-9=4. 由(2)知OA=2OE, OA+0E=AE=4OA=号AE=号， S%m=20ACE=号×号X3=4 3 ②如图2，连接OB, D B E F 图2 0A=0E=4号=， 在R△OBE中，OB=VOE+B距-√9+9= 3 微专题等腰三角形中的分类讨论 1.C2.A3.D4.80°或1209 5.C6.C7.D 8.解：如图，设AD=DC=xcm,BC=ycm, 1x+2x=21, 由题意，得{ x+2x=12, 或 y+x=21 (y+x=12, x=4,、（x=7, 解得 或 y=17(y=5. 当4，时，等腰三角形的三边长为8cm,8cm,17cm y=17 显然不符合三角形的三边关系； 当=7，时，等腰三角形的三边长为14cm,146m,5cm, (y=5 所以，这个等腰三角形的底边长是5cm, 综上所述，这个等腰三角形的底边长是5cm. 9.A 10.(1)4(2)2 11.解：①如图1，当C,D两点在线段AB的同侧时， ,C,D两点在线段AB的垂直平分线上， .CA=CB,∴.△CAB是等腰三角形. 又CE⊥AB, ,CE是∠ACB的平分线.∠ACE=∠BCE. ∠ACB=50°，∴.∠ACE=25, 同理可得∠ADE=40°， ∠CAD=∠ADE-∠ACE=40°-25°=15. 图1 图2 ②如图2，当C,D两点在线段AB的两侧时，同①的方法 可得∠ACE=25°，∠ADE=40°， ∴.∠CAD=180°-（∠ADE+∠ACE)=180°-(40°+ 25)=180°-65°=115°. 故∠CAD的度数为15°或115°. 12.(1)等边三角形(2)2s或4s 13.解：(1)BQ=2×2=4(cm), BP=AB-AP=8-2X1=6(cm). .∠B=90°， ∴.PQ=√BQ2+BP=√42+6z=2√13(cm). (2)根据题意，得BQ=BP, 即21=8-6，解得6=号 “出发时间为号秒时，△PQB是等腰三角形。 (3)分三种情况： ①当CQ=BQ时，如图1所示， 则∠C=∠CBQ, ∠ABC=90°，∴.AC=√BC+AB=10cm, ∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90. ∠A=∠ABQ,.BQ=AQ, CQ-AQ-AC-5cm, ∴.BC+CQ=11cm, .t=11÷2=5.5(秒) ②当CQ=BC时，如图2所示， 则BC+CQ=12cm. t=12÷2=6(秒). ③当BC=BQ时，如图3所示， 过点B作BE⊥AC于点E, :∠BEC=∠ABC=90°，∠C=∠C, ÷△BBCn△ABC,CE-ge=3.6m, .'CQ=2CE=7.2 cm,.'.BC++CQ=13.2 cm, .t=13.2÷2=6.6(秒). 由上可知，当运动时间为5.5秒或6秒或6.6秒时， △BCQ为等腰三角形. 第18讲锐角三角函数及其应用 【河北十年真题练】 1.B2.D3.A4.A5.D6.D7.D8.B9.62 2 10.解：(1)由题意，可得PQ⊥AE,PQ=2.6m,AB=CD= EQ=1.6 m,AE=BQ=4 m,AC=BD=3 m, .CE=4-3=1(m),PE=2.6-1.6=1(m),∠CEP= 90°..CE=PE. ∴∠B=∠PCE=45,an&=a∠PAE--是 (2),CE=PE=1m,∠CEP=90°， ∴.CP=√+1平=√2(m. 如图，过点C作CH⊥AP于点H, 窗户 D 0 “m&=m乙PaE-器子设CH=xn,对AH=km ∴.x2+(4x)2=AC=9, x=317 17 ∴CH=37 17 m, 3y17 inAPC-器- =3v34 √2 34 11.解：(1)，嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C 的仰角为14°， ∴.∠CAB=14°，∠CBA=90°，∴.∠C=90°-∠CAB=76°. 5 "tan Ce,BC-1.7 m.ta 1.7 .AB=1.7Xtan76°≈6.8(m). 答：∠C=76°，AB的长约为6.8m. (2)画出线段DH,连接OM,如图， 149 R H .OA=OM,∠BAM=7°，∴.∠OMA=∠OAM=7°. AB∥MN,.∠AMD=∠BAM=7°，∴.∠OMD=14°， .∠MOD=76°. 在R△MOD中，a∠MoD-0m7S-品 OD' ∴.MD=4OD 设OD=xm,则MD=4xm,在Rt△MOD中，OM= 0A=合AB=3.4m,∴2+4P=3.. :x>0,x=厘≈0.82,0D=0.82m,DH= 5 OH-OD=OA-OD=3.4-0.82=2.58≈2.6(m) 答：最大水深约为2.6m. 12.解：(1)·∠A≈43°，∠B≈51°， ∴.∠C=180°-∠A-∠B≈180°-43°-51°=86°， 由题老将品 又，BC≈341m, AB=BC,sinC=BC:sin86°≈341X0,998=49(m. sin A sin43° 0.682 答：A,B两岛间的距离约为499m. (2)工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面 高度). 测量过程：步骤1：如图1，在空旷地找一点C,使得△ABC 是锐角三角形； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠C的度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC=am, AC=6 m. C 图1 计算过程：如图2，过点A作AD⊥BC,则∠ADC= ∠ADB=90°， A 图2 AC,cos C=CD “在Rt△ACD中，sinC=AD, C' .'AD=bsin C m,CD=bcos C m,