专题04 三角形（6大考点）（山西专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 山西各地市2025-2026二模数学试题汇编，聚焦三角形6大核心考点，以文化传承（如油纸伞、平遥古城）和生活应用（如跳远、风力发电）为情境，注重基础与综合能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择/填空|约30题|角平分线、等腰三角形性质、相似判定等|结合三角板摆放、钟表指针等基础情境，考查几何直观| |解答题|约15题|直角三角形折叠、锐角三角函数应用、综合探究|设计双等腰四边形探究、鹳雀楼高度测量等题，融合逻辑推理与实际应用，匹配中考命题趋势|

专题04 三角形 6大考点概览 考点01角、角平分线 考点02相交线与平行线 考点03等腰三角形的性质与判定 考点04直角三角形的性质与判定 考点05相似与全等 考点06锐角三角函数及其应用 角、角平分线 考点01 1．（2026·山西临汾·二模）将含角的直角三角板按如图所示的位置摆放，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据邻补角的定义求出的度数，再根据平行线的性质求出的度数，再由三角形外角性质得到答案． 【详解】解： ， ， ， ． 2．（2026·山西吕梁·二模）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，利用平行线的性质求角的度数，先求出的度数，再利用平行线的性质求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 由题意可得， ∵，， ∴， 故选：B． 3．（2026·山西吕梁·二模）如图，在中，是边上的高，是的平分线，，交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的有关计算，三角形的外角性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由直角三角形锐角互余以及角平分线得到，再由三角形的外角性质得到，即可求解． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2026·山西晋城·二模）如图，用一根细绳把物体悬挂起来，其中细绳的一端固定在垂直于地面的墙面上，当物体静止后对其进行受力分析，细绳对物体的拉力分别为和，物体所受重力方向竖直向下，若，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先据题意得，求出的值，再根据周角性质即可求解． 【详解】如图， ∵据题意得，，， ∴，即， ∵，， ∴． 5．（2026·山西晋城·二模）如图，已知一钟表的分针长为，若该钟表的分针从到，则分针顶端经过的路径长为________． 【答案】 【分析】根据分针每分钟旋转，结合题意求出分针共旋转的度数，再运用弧长公式即可求解． 【详解】∵分针每分钟旋转，分针从到共走分钟， ∴分针共旋转， ∵分针长为， ∴分针顶端经过的路径长为：． 6．（2026·山西阳泉·二模）如图，直线，点E在上，点F，G在上，射线平分．若，则的度数为_____． 【答案】70 【分析】由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，再由平行线的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴． 相交线与平行线 考点02 1．（2026·山西临汾·二模）在跳远比赛中，某同学从直线l处起跳后，在沙坑留下的脚印如图所示．测量最近着地点A与起跳线l间AB的长度作为此次跳远成绩，依据的数学原理是（   ） A．过一点可以作无数条直线 B．垂线段最短 C．过两点有且只有一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】B 【详解】解：依据的数学原理是“垂线段最短”， 故选：B． 2．（2026·山西吕梁·二模）光线从一种介质进入另一种介质会发生折射．如图所示，一束光线经玻璃砖两次折射后，沿方向射出，其中，，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长至，先求得，再根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至， ∵，， ∴， ∵， ∴． 3．（2026·山西太原·二模）如图，将含角的直角三角板和长方形直尺按如图的方式摆放在同一平面内，其中，，三角板的边，与直尺一条边的两个交点分别为点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形内角和定理求出然后利用平行线的性质求出，则利用三角形内角和定理即可求得. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．（2026·山西阳泉·二模）如图，在中，点是边上的动点，连接，，，分别是，的中点，在点从点运动到点的过程中，下列结论一定成立的是（   ） A．的长度逐渐减小 B．的面积逐渐增大 C．始终与平行 D．的周长始终保持不变 【答案】C 【分析】利用三角形中位线定理判断的长度与位置关系，结合平行四边形中 为定长、点到的距离为定值，分析的面积和周长变化，进而选出正确结论． 【详解】解：A、∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵在中的长度固定， ∴的长度始终不变，不会逐渐减小，故A错误，不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ 点到的距离等于平行四边形边上的高，是定值， ∴，底和高均为定值，面积始终保持不变，故B错误，不符合题意； C、∵是的中位线， ∴，故C正确，符合题意； D、的周长，其中长度固定，但和的长度会随着点在上的移动而变化， ∴的周长会发生改变，故D错误，不符合题意． 5．（2026·山西大同·二模）将一把直尺按如图所示叠放在一块三角形木板上，直尺的一边经过三角形的顶点，并与交于点，直尺的另一边分别交，于点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质，得的度数，由，利用三角形外角的性质，即可计算出的度数． 【详解】由题可得， ， ， ， ． 6．（2026·山西长治·二模）如图，已知，点C、E、B、F在同一直线上，，，且．猜想：和位置关系，并证明你的猜想． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，得到，即可证明． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·山西吕梁·二模）如图，，平分，交于点C，平分，交于点D，连接.请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是菱形，证明见解析 【分析】由平行线的性质和角平分线定义得出，证出，同理，则，再证四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】四边形是菱形， 证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 等腰三角形的性质与判定 考点03 1．（2026·山西阳泉·二模）如图，在中，，是的中位线，平分，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理可得，再由三角形中位线定理可得，，然后结合角平分线的定义可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵是的中位线， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·山西太原·二模）如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形周长的计算，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点．掌握这些是解题的关键． 根据可得：，从而得到，则三角形的周长可转化为，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：C． 3．（2026·山西吕梁·二模）勒洛三角形是一种特殊的定宽曲线，由三段圆弧围成，具有在任何方向上宽度恒定的性质．图1就是用勒洛三角形设计的一种井盖．勒洛三角形的构造方法如图2所示：以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径，在另外两个顶点间画弧，三段圆弧围成的闭合曲线即为勒洛三角形．若等边三角形的边长为，则图2中勒洛三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】勒洛三角形由段完全相同的圆弧组成，每段圆弧的半径等于等边三角形的边长，圆心角等于等边三角形的内角，根据弧长公式计算即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， 的长， 勒洛三角形的周长为． 4．（2026·山西吕梁·二模）如图，四边形是正方形，，分别以点A，B为圆心，半径为1作和，两弧交于点O，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，由题意可得为等边三角形，先求出扇形的面积，再求出等边三角形的面积，即可求解． 【详解】解：连接，，如图， 由题意可得，为等边三角形，则，， 则底边上的高为， 则扇形的面积为， ， 则阴影部分的面积为两个扇形的面积减去等边三角形的面积， 即. 5．（2026·山西晋中·二模）如图①是一扇圆弧形拱门屏风，为中国古代家庭常见的装饰隔断，图②是其几何示意图，四边形是正方形，圆弧与边，相切，通过测量可得，，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】根据阴影部分面积等于正方形的面积减去扇形面积，再减去三角形面积，进行计算即可 【详解】解：∵为圆的半径 ∴为等边三角形 ∴圆的半径 ∵圆弧与边相切 ∴正方形的边长等于圆的直径 ∴正方形边长 ∵阴影部分由正方形减去一个大扇形和一个三角形构成 ∴大扇形的圆心角为 ∵是边长为的等边三角形 故阴影部分的面积为． 6．（2026·山西晋中·二模）如图，在中，，，是内部的一点，连接，，，若，，则线段的长为_________． 【答案】 【分析】过点作于点，过点作于点，过作于点，利用勾股定理结合等积法求得，利用直角三角形的性质、勾股定理结合等积法求得，推出点和点重合，据此求解即可． 【详解】如图，过点作于点，过点作于点，过作于点， ∵，， ∴， 在中，． 由得，， ∴在中，， ∴在中，， ∴设，则， 由勾股定理得， 解得，， ∴在中，， 在中，， ∴点和点重合， ∴． 7．（2026·山西运城·二模）如图，在中，，点D是边上一点，连接并延长到点，使，点F在的延长线上，且，连接，．若，，则的长为__________． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，过点作于点，根据锐角三角函数以及相似三角形的判定和性质求出相关线段的长度，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，过点作于点， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得． 8．（2026·山西晋城·二模）如图，在中，，点D是外一点，连接，，，交于点E，且，若，，则的长为________． 【答案】/ 【分析】解法一：延长，交于点F，根据勾股定理求出．根据，结合，得到，得到，根据三角形的内角和定理得到，因此根据“三线合一”得到，进而，，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 解法二：过点作，分别交，于点，，则，根据“三线合一”得到，由得到，根据相似三角形的性质求出，．证明，利用直角三角形斜边上的中线的性质得到，由得到，根据相似三角形的性质求出，再在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：解法一： 延长，交于点F， ∵在中，，， ． ∵， ∴， ∴，， ∵， ， ， ∵，， ∴， ∴，则垂直平方， ， ， ∴在中，， ∴． ∵，， ∴， ，即， ∴． 解法二： ∵在中，，， ． 过点作，分别交，于点，， ∴， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，． ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ． ∵ ∴， ，即， 解得， ∴在中，． 9．（2026·山西阳泉·二模）如图，在中，，，．点D，E分别在，边上，连接，的平分线交线段于点F．若，则线段的长为_____． 【答案】/ 【分析】本题主要是通过作垂线构造出多个直角三角形结合角平分线性质，再反复利用相似三角形对应边成比例求出相应的线段，最后巧妙利用等面积法建立方程来求出未知线段的长度． 【详解】解：在中 过点F作与于点P，于点Q 平分 设 在和中 过点E作垂直于于点K 过点D作垂直于于点H 在和中 在和中 解得： 10．（2026·山西太原·二模）如图，已知中，，，，点是上一点，，点在的延长线上，连接并延长交边于点．若，则的长为_______． 【答案】 【分析】过点作，可得是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，根据可以求出，利用勾股定理可以求出，根据可得：，过点作，可得，根据相似三角形的性质可以求出，，过点作，根据等腰三角形的三线合一定理可知，是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可以求出，从而可知，，由可知，求出，利用即可求出结果． 【详解】解：如下图所示，过点作， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 过点作， 则， ， ， ，， 过点作， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 11．（2026·山西太原·二模）如图，已知中，点是的中点，连接，点是上一点，且．试判断线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】方法1：根据等腰三角形三线合一的性质，得出垂直平分，再根据垂直平分线的性质即可得解；方法2：根据等腰三角形三线合一的性质，证明，即可得解． 【详解】解：，理由如下： 方法1：点D是的中点， ，即是的中线， ， ． 垂直平分． 点E在线段上， 点A是垂直平分线上的点． ． 方法2：点D是的中点， ，即是的中线． ， ． ， ． ， ． ． 12．（2026·山西晋城·二模）综合与探究 问题情境：有一条对角线与一组对边相等的平行四边形，称为双等腰四边形．以下对该图形的性质、判定和应用逐一进行探究． 探究性质： (1)如图①，若四边形为双等腰四边形，其中，，判断与的数量关系，并说明理由； 探究判定： (2)如图②，用两个全等的含角的直角三角形和直角三角形拼出一个矩形，固定，将沿的方向平移，使与交于点，与交于点．当时，求证：四边形是双等腰四边形； 探究应用： (3)如图③，在矩形中，分别为边上的点，连接，若四边形为双等腰四边形，且，直接写出的值． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（）先根据双等腰四边形和的条件，推出中，判定为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的边长关系，得到； （）由平移性质证四边形是平行四边形，借助直角三角形边长关系证得它是菱形，再推出等边三角形，最终证出四边形为双等腰四边形； （）结合矩形和平行四边形性质推出，根据双等腰四边形分两种情况，利用等腰三角形三线合一与矩形边长关系，算出的值为或． 【详解】（1）解：； 理由如下： ∵四边形为双等腰四边形，， ， 为等腰直角三角形， ； （2）证明：由平移的性质可知，，， ∴四边形是平行四边形，，， ， ， 在中， ，， ， ， ∴平行四边形是菱形， ， 如图①，连接， ∵， ∴是等边三角形， ， ∴四边形是双等腰四边形； （3）解：的值为或． 解：∵四边形为矩形， ，，， 四边形为平行四边形， ， ，， ， ∵四边形为双等腰四边形， ∴有以下两种情况：①当时，如图②，过点作于点， ，， 为的中点， ， ∵在矩形中，， ， ∴四边形为矩形， ， 又， ， ， ， ； ②当时，如图③，过点作于点， ， 为的中点，，， 设，则， ， ， 在矩形中，， ， ， ， ，由可得， ， ． 综上所述，的值为或． 13．（2026·山西吕梁·二模）综合与探究 问题情境：如图①，四边形是平行四边形，，，，是边上一点，，是边上的动点，连接，以为腰向上作等腰，，过点作于点． (1)猜想证明：如图①，当点恰好落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由； (2)拓展延伸：过点作于点． ①如图②，当射线恰好过点时，猜想与的数量关系，并说明理由； ②连接，当恰好将线段分为的两部分时，请直接写出的长． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2)①，理由见解析；②的长为或 【分析】（1）先由三角函数得出，得出的最短距离为4，再由是边上的动点，，得出只有当点与点重合，才能以为腰向上作出等腰，证出四边形是平行四边形，进而即可得证； （2）①证，得出，，可得，，再证，最后利用三角函数即可得解；②分和两种情况讨论即可得解． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得，， ，，， 四边形是平行四边形， ，即， 点在边上时，是边上一点，， 的最短距离为4， 是边上的动点，， 只有当点与点重合，才能以为腰向上作出等腰， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解：①， 理由：如图②，过点作交的延长线于点，则， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； ②设与交于点O，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，如图③， 当时，过点作交于点，交于点， ， 由平行线分线段成比例定理，得， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， ，， 设， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，即的长为； 如图④， 当时，过点作交于点，交于点， 同理可得，， ，， 设， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，解得，即的长为， 综上所述，的长为或． 直角三角形的性质与判定 考点04 1．（2026·山西临汾·二模）如图，在图中大正方形的四个角上分别剪去直角边长为的直角三角形，若用两种不同的方法表示剩余部分的面积，则可以得到的代数恒等式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先证明四边形是正方形，再分别利用割补法和勾股定理计算剩余部分的面积，即可得到答案． 【详解】解：如图，由题意可知，， ∴，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵正方形的面积为：， 四个直角三角形的面积为：， ∴剩余部分面积为：， ∵直角三角形两直角边为， ∴斜边为， ∴剩余部分面积为正方形的面积：， ∴可得恒等式：． 2．（2026·山西阳泉·二模）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（2026·山西吕梁·二模）如图，在中，，点是斜边的中点，点在的延长线上，，延长与交于点．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】作于点，先根据勾股定理求得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，解直角三角形，得出，根据以及三角形的外角的性质可得，可得，即可求解． 【详解】解：如图，作于点 ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴； ∵点是斜边的中点， ∴， 在中，； ∵， ∴， 又∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得． 4．（2026·山西吕梁·二模）如图，在四边形中，，，连接，平分，，连接BD，则BD的长为________． 【答案】 【分析】方法一：首先通过延长线构造辅助线，利用角平分线的对称性，证明，从而得到 且 ，接着利用，求出和，最后在直角三角形中运用勾股定理求出；方法二：过点作延长线的垂线，构造出与相似的三角形，通过已知的边长比例关系求出和的长度，进而算出的长度，最后在直角三角形中运用勾股定理直接求出． 【详解】解：方法一：如解图①，延长交的延长线于点，过点作于点， ，，， 在中，由勾股定理，得， 平分，，， ， ， 即， 解得，， ，平分， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，解得，， ，在Rt中，由勾股定理，得. 方法二；如解图②，过点作交的延长线于点， ，，， 在Rt中，由勾股定理，得， 平分， ， ， ， ，即， 解得，， ， ， ， ， ， ， ， ，解得，， ， 在Rt中，由勾股定理，得. 5．（2026·山西临汾·二模）如图，在中，，是的中点，连接，将沿折叠，使点落在点，连接，则_______． 【答案】 【分析】根据勾股定理求得斜边，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，以及折叠的性质得出，，进而证明是等腰三角形，证明，根据相似三角形的性质，列出比例式，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点， ∵在中，，是的中点， ∴，， ∵将沿折叠， ∴， 设，则， ∵ ∴ ∵折叠， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴即 解得： ∴ 故答案为：． 6．（2026·山西朔州·二模）如图，在中，，点是边上的中点，于点，是的中点，连接并延长交于点，已知，，则的长为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，勾股定理，解直角三角形及平行线分线段成比例定理，作交于点H，先得出，得出，证明，求出，根据平行线分线段成比例定理求出结论即可得到结论． 【详解】解：作交于点H， ， ， 是的中点， ， ∵D是边上的中点，， ∴， ， ∵，， ∴， ， ∵， ∴（负值舍去）， ， ∵是的中点， ， ， ∵， ∴，即， ， 故答案为：． 7．（2026·山西吕梁·二模）如图，在中，，是的中位线，为上一点，连接，将沿折叠得到，点的对应点落在线段上，若，则的长为_____． 【答案】/ 【分析】先根据三角形中位线性质求得．如图，过点作，交的延长线于点．证明求得．根据折叠性质和勾股定理求得．然后证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：是的中位线， ，，，， ∴， ， ． 如图，过点作，交的延长线于点． 则，又， ∴， ， ． 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理得． ， ． ， ， ， ， ，即， 解得． 故答案为：． 8．（2026·山西临汾·二模）如图，在中，，D为的中点，将直角三角形纸片的直角顶点放置在点D处，点E在的延长线上，点F在上，且．若，，则的长为_______． 【答案】 【分析】如图，过点D分别作的垂线，垂足分别为，易证四边形是矩形，再证明，推出，再证明，由，，求出，设，则，，得到，再求出，由建立方程求解出的值，进而得到，，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点D分别作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 故答案为：． 9．（2026·山西晋中·二模）如图，在中，，为的中点． (1)实践操作：利用尺规作于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想证明：若是的中点，证明：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）利用尺规作图作； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，根据线段垂直平分线定理可知点在的垂直平分线上，所以可得，从而可证． 【详解】（1）解：如下图所示， 以点为圆心画弧，交于点、， 分别以点、为圆心画弧，两弧交于点， 连接交于点， 即为所求作； （2）证明：，为的中点， ， 是的中点，， 点在的垂直平分线上， ， ． 10．（2026·山西晋中·二模）阅读与思考 下面是小实的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 数形结合思想 数形结合是中国古代数学的璀璨智慧，赵爽在《勾股圆方图注》中以弦图直观证勾股定理，将几何图形与数量关系精妙融合，以形释数、以数解形． 《勾股圆方图注》中记载了利用图形解一元二次方程的方法．例如，在解方程时，将方程转化为，利用四个全等的矩形拼成如图①的形状，从而得到了上面方程的正数解． 如图②，四个全等的矩形中，一组邻边的长为和，连接四个矩形中的一条对角线，构造正方形，其边长为．利用两种方式表示正方形的面积，从而验证了勾股定理． 因此在解决问题“设计一个面积为平方米的矩形花园，要求用最少的篱笆围成”时，我也用了数形结合，下面是我的思考． 假设矩形花园的一边长为米，另一边长为米，篱笆长为米， 则①，②，现在问题要求的最小值． 由①得，是的反比例函数，图象如图③所示； 由②得，是的一次函数，该函数图象可以由直线平移得到，在图③中画出的图象，平移探索． 当反比例函数与一次函数图象有交点时能围成矩形． 任务： (1)图①中围成的大正方形的面积为________； (2)请利用图②验证勾股定理； (3)①在图③中，由平移过程可判断，当直线与反比例函数的图象有_______（填“”或“”）个交点时，的值最小； ②设计一个面积为25平方米的矩形花园，最少需要用_______米的篱笆． 【答案】(1)144； (2)见解析； (3)①1；②20． 【分析】（1）利用图形面积关系，把大正方形面积转化为含的代数式，再整体代入，直接算出大正方形面积． （2）用两种不同方式表示同一个大正方形面积，一种用斜边c平方表示，一种用四个直角三角形加小正方形面积和表示，化简后等量代换，证出勾股定理． （3）①直线由向上平移，截距越大m越大；要m最小就要截距最小，直线和反比例函数相切只有1个交点时截距最小，由此确定交点个数．②把矩形长宽、篱笆总长转化为一次函数和反比例函数，联立解析式得一元二次方程；利用相切时判别式，列方程求出m的最小值，即为最少篱笆长度． 【详解】（1）解：∵方程为， ∴． 由图①可知，大正方形的面积可以表示为： 将代入，得： ∴大正方形的面积为144． （2）证明：∵正方形的边长为， ∴正方形的面积为． 又∵正方形可看作由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成， 每个直角三角形的直角边长为、，小正方形的边长为， ∴正方形的面积也可表示为： ∵两种方式表示的是同一个正方形的面积， ∴，勾股定理得证． （3）解：①∵直线是由向上平移得到的， 且， ∴随着直线向上平移，截距逐渐增大，也随之增大． 要使最小，即要使直线的截距最小， 同时直线需与反比例函数有交点，才能围成矩形． ∵当直线与反比例函数图象相切（只有1个交点）时，截距最小，此时取得最小值； 若有2个交点，说明直线还可以继续向上平移，此时的值增大； 若没有交点，则无法围成矩形． ∴当直线与反比例函数的图象有1个交点时，的值最小． ②解：∵直线与反比例函数只有1个交点， ∴联立方程，得： 整理，得： ∵方程有唯一解， ∴判别式，即： 化简，得： 解得：，． ∵篱笆长度， ∴． ∴最少需要用米的篱笆． 相似与全等 考点05 1．（2026·山西运城·二模）油纸伞是中国传统手工艺品，也是国家级非物质文化遗产，其制作工艺精巧，伞骨结构蕴含着丰富的几何智慧．如图是某款油纸伞撑开后倒置在地面上的示意图，已知，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴． 2．（2026·山西临汾·二模）如图，在边长为的正六边形中，以点为圆心，分别以，长为半径画弧，形成图中的阴影部分，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，过点作于点，利用正六边形性质得，，可证，利用三角函数求出、，进而得的长度及的度数，再分别计算两个三角形和两个扇形的面积，最后通过即可求得结果． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点， ∵正六边形的边长为， ∴，， ∴，， ∴，， 在中， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴． 3．（2026·山西吕梁·二模）如图，在正方形中，点在边上，连接，过点作于点，过点作于点，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．7 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，由正方形的性质得再证明，根据证明，得，，从而可求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 4．（2026·山西临汾·二模）如图，已知，点在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，由全等三角形的性质推出，由等腰三角形的性质得到，求出，，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ∴， ∴， ， ∴． 故选： D ． 5．（2026·山西吕梁·二模）如图是视力表中的一部分，图中左上角的“E”与右下角的“E”是位似图形，位似中心为点O，已知，，则的长为________． 【答案】9 【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质，解题关键是掌握位似变换的性质．先求出相似比，再进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由图可知，，，三点在同一条直线上， ∴． 6．（2026·山西阳泉·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，若，，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，找到位似比，根据比例推算坐标即可． 【详解】解：∵， ∴，即与的位似比为， ∵， ∴ ． 7．（2026·山西吕梁·二模）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题：如图2，是蜡烛火焰，是其通过小孔所成的像，与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质解应用题，根据题意，作出图形，由相似三角形的判定得到，进而确定；再判定，由相似比代值求解即可得到答案．熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，，， ， ， ， ，则； ， ， ， ，则， ， ，解得， 即蜡烛火焰倒立的像的高度是， 故选：D． 8．（2026·山西阳泉·二模）俯卧撑是一项常见的健身项目．如图所示是小杨同学在水平地面上做俯卧撑保持静止时的状态及几何示意图，他的身体可视为一条直线，与地面成一定夹角，点为他的肩部，点为手掌与地面的接触点，点为小杨的头顶，且．若测得，，小杨的身高，则小杨头顶到地面的竖直高度为（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴小杨头顶到地面的竖直高度为． 9．（2026·山西大同·二模）如图，在中，，过点作，连接，，交于点，且恰好是的平分线．若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定；分别过点，作，，垂足分别是，，由角平分线的性质可得，，进而可证明，设，则，在中，利用，建立方程可求出，最后利用，得出，即可求出． 【详解】解：∵在Rt中，，， ， 如图所示，分别过点，作，，垂足分别是，， 平分，， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，，即，解得：， ， ∵在中，，， ， ， ∴在中，， ，， ， ， ． 10．（2026·山西临汾·二模）如图，在菱形中，，，E是的中点，F是边上一点，连接，，若，则的长为______． 【答案】 【分析】延长与的延长线交于点G，过点B作交的延长线于点H，由题意可证明，通过解直角三角形分别求出，，通过证明得到，，表示，在中，由勾股定理构造方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 如解图，延长与的延长线交于点G，过点B作交的延长线于点H， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴，又， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理，得 ， 即， 解得， 即的长为． 11．（2026·山西太原·二模）唢呐是山西八大套的乐器之一．如图，唢呐主要由唢呐杆和唢呐碗两部分组成．制作唢呐时，通常将连接点设计在唢呐的黄金分割点（即），这样唢呐既美观又有最好的音效．现有一个长度为的唢呐杆，准备用其制作一个这样的黄金分割唢呐，则需要制作的唢呐碗的长度是________．（结果保留根号） 【答案】 【分析】根据黄金分割的定义得到，再由即可求解． 【详解】解：∵连接点设计在唢呐的黄金分割点，而由题意得， ∴， ∴ ∴唢呐碗的长度是． 12．（2026·山西吕梁·二模）如图，点，，，在一条直线上，，且．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，  ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质和判定，根据平行线的性质得到内错角相等，证明得到即可求证． 【详解】略 13．（2026·山西阳泉·二模）综合与探究 问题情境： 在边长为4的正方形中，是射线上一点（不与点，重合），过点作射线交射线于点，过点作，交射线于点． 初步探究： (1)如图1，是边的中点，于点，当射线经过点时，求的值． 深入探究： (2)如图2，若是对角线上任意一点，求证：． 拓展探究： (3)若，当为对角线的三等分点时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）过点作于点，，可转化为，再结合正方形、等腰直角三角形的性质和已知条件是边的中点，即可得出比值； （2）在边上取一点，连接，使得，由证得，从而得到； （3）为对角线的三等分点，分两种情况：和，从入手，即可得出结果． 【详解】（1）解：如解图1，过点作于点，则． ∵是边的中点，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴（SAS）， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，∴， 又，， ∴， ∴． （2）证明：如解图2，在边上取一点，连接，使得， 则， ∴． ∵四边形为正方形，， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 由（1），知，． ∴． ∴， ∴． （3）分以下两种情况讨论： 当时， 如解图3，过点作于点． 由（1），得． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴，即． 由（2）可知， ． ∴． ． 当时， 如解图4，过点作于点． 则是等腰直角三角形，， ∵，∴， 由（2）可知， ， ∴ 得． 综上所述，线段的长为或． 锐角三角函数及其应用 考点06 1．（2026·山西阳泉·二模）如图，在菱形中，是对角线，于点，为的中点，连接并延长，交于点．若，则线段的长为__________． 【答案】 【分析】过点作,根据正切值可知的长度，进而根据勾股定理可知， 设，可知，进而根据构造方程求解，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作, 在菱形中，， ∴,，， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴, ∴, ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 解得：， 则, ∴． 2．（2026·山西阳泉·二模）如图，某湿地公园内有一段东西方向的河道，河道北部为生态保护区，不允许游客踏足．公园管理处在河岸线上设置了一个鸟类补饲点A，同时在河岸线上设置了两个观景点B，C．数学兴趣小组的同学用测角仪在点B处测得补饲点A在B的北偏东方向；在点C处测得补饲点A在C的北偏西方向．已知观景点B，C之间的距离为60米，且，求这段河道的宽（结果精确到1米；图中各点均在同一水平面上；参考数据：，，，，，）． 【答案】这段河道的宽约为29米 【分析】延长交于点P，延长交于点Q，由题意得，四边形是矩形，则米，，推导出，得到，继而推导出，得到，解得，则（米），即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点P，延长交于点Q． 由题意得，四边形是矩形． 米，． 在中，，， ， ． ． 在中，，， ． ． ， ． 解得． （米）． 答：这段河道的宽约为29米． 3．（2026·山西阳泉·二模）某公园内安装一款不锈钢文化宣传橱窗栏，如图是该橱窗及其侧面结构示意图，橱窗整体竖直固定．为方便工作人员更换内部宣传内容，橱窗上方点处设计有铰链，橱窗玻璃盖可绕点向上翻开．该橱窗玻璃盖有两个固定打开角度档位：第一档在位置，此时；第二档在位置，此时（其中点分别是点翻至第一档位与第二档位的对应点）．经测量，橱窗玻璃盖的长度为．请结合上述信息计算：当玻璃盖从第一档位翻至第二档位时，最外边缘升高的竖直高度．（结果精确到；参考数据：，，tan 【答案】 【分析】过点，分别作的垂线，，通过三角形分别求出,的长度，进而即可求解． 【详解】解：如解图，过点，分别作的垂线，，，为垂足． 根据题意，得． 在Rt中，， ． 在Rt中，， ． ． 答：当玻璃盖从第一档位翻至第二档位时，最外边缘升高的竖直高度约为． ． 4．（2026·山西临汾·二模）项目学习 项目主题：如图①，某学校新建了一个自行车车棚，数学小组利用视图、三角函数等有关知识，以测量顶棚处离地面的高度为主题开展项目化实践活动． 数据采集：如图②，为该车棚截面的示意图，钢架与台阶的连接处记为点A，钢架最外端记为点B，在钢架上取点C，使，测出，，再用皮尺测出台阶的高度米，以及A，C两点间的距离米． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，四边形为矩形．请根据上述数据，计算顶棚B处到地面的高度（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，）． 【答案】顶棚B处到地面DE的高度约为2.3米 【分析】关键是根据图中位置关系确定点在矩形的上边上，从而得到点距地面的高度等于台阶高度；再通过求出钢架外端的长度，最后过点作水平线的垂线，利用求出点相对水平线的竖直高度，相加即得顶棚处到地面的高度． 【详解】解：∵ 四边形为矩形， ∴ ，，米． ∵ 点在矩形的上边上， ∴ 点距地面的高度为0.2米． 在中，，，米， ∴ ， ∴ （米）． 过点作于点． ∵ ， ∴ 在中，， ∴ （米）． ∴ 顶棚处到地面的高度为（米）． 答：顶棚处到地面的高度约为2.3米． 5．（2026·山西晋中·二模）研学实践：平遥古城位于山西中部，始建于西周宣王时期，是保存完整的明清古城，1997年被列入世界遗产名录．平遥古城有六个城门，它的南门迎薰门是六座城门中最大且最壮丽的一座（如图①）．下面是同学们运用所学知识测量迎薰门的高度的方案及数据． 数据采集：如图②，点是城门顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．小果站在城门前水平地面的点处，利用高为的测角仪测得点的仰角；紧接着，她站在原来的位置，将搭载扫描仪的航模竖直上升，当航模飞行至距离地面处的点处时，测得点的仰角．图中各点均在同一竖直平面内． 数据应用：请根据上面的数据计算城门顶部点到地面的距离的长（结果精确到，参考数据：，，，，，）． 【答案】城门顶部点到地面的距离的长约为． 【分析】作，，垂足分别为，，设，在和中，解直角三角形分别用表示求得和的长，根据米，列式计算即可求解． 【详解】解：作，，垂足分别为，， ∵，， ∴四边形和四边形， ∴米，（米），， 设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵（米）， ∴， 解得， ∴（米） ，（米）， 答：城门顶部点到地面的距离的长约为． 6．（2026·山西阳泉·二模）项目学习 项目背景：鹳雀楼，又名鹳鹊楼，如图①．因时有鹳鹊栖其上而得名，被誉为中国四大名楼之一．某校综合与实践小组以“登楼品韵，以数测高”为主题开展项目式学习． 数据采集：如图②，为鹳雀楼主楼，已知台基的高为16.5米，主楼位于阶梯顶部平地上，底部到的距离为4米．小组在阶梯底端处，通过测角仪测得楼梯顶端的仰角为，并在观测点处，通过测角仪测得楼顶的仰角为，测角仪的高度为1.5米．底部距处距离为69.2米．图中所有点均在同一平面内，，，，点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上． 项目任务：请根据测量数据，求出鹳雀楼主楼的高度（结果精确到1米．参考数据：，，，． 【答案】57米 【分析】延长交于点，连接并延长交于点，先解，求出，则，再解求出，最后由求解即可． 【详解】解：延长交于点，连接并延长交于点， 由题意得，，， ∴ ∴在中，， 由题意得，，， ∴， 由题意得，， ∴在中，， ∴ 答：鹳雀楼主楼的高度为． 7．（2026·山西晋城·二模）大同古城东南邑“丝路塔”（如图①）的屏幕单元可随精密指令优雅展开、重组，打破了建筑的静态轮廓．如图②是某校“综合与实践”活动小组为测量顶层两块屏幕单元展开时点之间的距离，绘制的塔体部分截面图（该截面图为轴对称图形），其中塔身横杆，四边形为矩形，屏幕单元．，展开状态下斜撑杆，，且，图中各点都在同一竖直平面内．请求出点之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】点之间的距离为． 【分析】本题可通过解直角三角形求出 、 的长度，再利用矩形性质与轴对称图形特征，结合线段和差关系计算的长度．解题关键是构造直角三角形，利用三角函数求出对应线段长． 【详解】解：过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点， ，， 在中，，则， 在中，，， ， ， 同理，由轴对称性质可得：cm， 四边形是矩形，cm，且， 四边形是矩形， ． 8．（2026·山西运城·二模）在国家“双碳”目标与可再生能源发展规划的指引下，山西省大力推进风电等清洁能源项目建设，助力能源结构转型．图1是小陈在家乡看到的风力发电设备，他想利用所学知识估算风电架的高度，以加深对清洁能源基础设施的了解． 测量方案及数据：如图2，线段表示风电架，小陈在点（在同一直线上）处测得风电架顶部点的仰角为．他从点沿着小山坡走到点，此时测得风电架顶部点的仰角为，山坡的坡度，点到的距离为． 任务：若在观测过程中所有点都在同一竖直平面内，请根据小陈的测量数据计算风电架的高度（结果精确到，参考数据：）． 【答案】风电架的高度约为 【分析】延长与交于点，则，过点作交的延长线于点，根据坡度得出，设，则，利用正切分别得出，，然后根据线段的数量关系列出方程求解． 【详解】解：如答图，延长与交于点，则，过点作交的延长线于点． ∴四边形为矩形，， ， ， ， ， 设，则． 在中，， ， ． 在中，， ， ， ． ． ． 解得， 答：风电架的高度约为． 9．（2026·山西阳泉·二模）北魏平城明堂是中国历史上的四大明堂之一，是北魏帝王举行朝会、祭祀、庆赏等大典的地方，是礼治文化的载体，是唯一在原址修复完成的明堂．南北朝时期的著名叙事诗《木兰辞》：“归来见天子，天子坐明堂．”讲述了女英雄花木兰替父从军胜利归来在明堂觐见皇帝孝文帝的场面． 初三数学综合实践小组的同学们，决定用所学数学知识测量明堂主体建筑的高度．小组发现明堂底部台基很大，利用影长测量误差较大．决定自制测角仪，对明堂的高度进行测定．最后选择在明堂公园平坦广场的空地上，小组同学在C点测得最高处A仰角，向后30米在D处测得最高处A仰角，已知点A、B、C、D、E、F均在同一竖直平面内，，，测角仪的高米，你能计算明堂主体建筑的高度吗？（结果精确到1米，，，，，，） 【答案】能，明堂主体建筑的高约为27米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确根据题意构造直角三角形．延长交于点M，先解中，得到，再解，得到，然后由得到，即可求解． 【详解】解：延长交于点M，则， 、、， ∴四边形，四边形为矩形， 米，米， 由题意得，， 中，， 中，， 解得： 米 答：明堂主体建筑的高约为27米． 10．（2026·山西晋中·二模）百团大战纪念馆位于山西阳泉狮脑山，是山西人民进行爱国主义传统教育和缅怀先烈的重要场所．某班组织学生参观并利用所学知识测量百团大战纪念碑主碑的高度． 数据收集：如图1，宣宣站在点C处，用测角仪测得纪念碑顶点A的仰角，向纪念碑的方向前进到达点F处，测得纪念碑顶点A的仰角，已知测角仪． 数据应用： (1)已知图2中各点均在同一竖直平面内，，均垂直于地面，请根据上述数据，计算纪念碑的高度（结果精确到．参考数据：，，，）； (2)宣宣回家后想按（1）中纪念碑的高度利用3D打印制作一个百团大战纪念碑主碑的模型，若他将纪念碑按等比例缩小，则他打印出的模型高度为 ． 【答案】(1)纪念碑的高度约为40米 (2)10 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，三角函数，线段的比例．利用数形结合思想，根据三角函数定义设未知数列方程是解题关键． （1）延长交于点M，由四边形和四边形是矩形得到，，设，则，，利用列方程求解，得到，最后将和加起来即可． （2）由纪念碑按等比例缩小，利用求解即可． 【详解】（1）解：如解图，延长交于点M，易得四边形和四边形均为矩形， ，，                 设， 则，，                     在中，， ，解得，                 ．                     答：纪念碑的高度约为40米； （2）解：由（1）得纪念碑的高度约为40米， ∵纪念碑按等比例缩小， ∴他打印出的模型高度为． 11．（2026·山西吕梁·二模）项目学习 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量学校宣传屏的宽度 测量工具 皮尺、测角仪、计算器、计时器、标杆 活动过程 测量方法 矩形宣传屏上的字从右侧边缘往左侧边缘滚动出现（不考虑宣传屏边缘宽度），且每个字从完全出现直至消失耗时，字的移动速度为． ①甲组在左侧处测得宣传屏左下角的仰角，乙组在右侧处测得宣传屏右上角的仰角；②两组相距，且他们到宣传屏边缘的水平距离相等；③测角仪高度，，均与地面垂直，与地面平行，图中各点均在同一竖直平面内． 示意图    问题解决 根据以上信息，解决下列问题： 求学校宣传屏的宽度． （参考数据：，，，） 【答案】学校宣传屏的宽度约为 【分析】过作水平线的垂线，先求出，再解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，过作水平线的垂线， 由题可知，又他们到宣传屏边缘的水平距离相等； ， 又， ，则， 又， ， ， 答：学校宣传屏的宽度约为． 12．（2026·山西大同·二模）项目学习 晋祠是中国现存最早的皇家祭祀园林，集宋、元、明、清四代建筑、雕塑、园林、壁画于一体，是研究中国古代建筑艺术与宗法礼制的活化石．综合实践小组以“测量晋祠唐园门楼上两个垂兽间的距离”为主题开展项目学习活动，形成了如下活动报告： 项目主题 测量晋祠唐园门楼上两个垂兽间的距离 测量工具 无人机 示意图 方案说明 如图，已知与地面平行，无人机飞至点处，测得垂兽的俯角，垂兽的俯角，沿水平方向飞行至点处，测得垂兽的俯角，图中点，，，均在同一竖直平面内． 计算 … 交流展示 … 请根据上述数据，计算晋祠唐园门楼上两个垂兽，间的距离（结果精确到．参考数据：，，，，，）． 【答案】距离约为 【分析】如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，证明四边形为矩形，得到，，解直角三角形求出，，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ，， ， 为等腰三角形， ，， ， ，， ， ，， ， ， ． 答：两个垂兽，间的距离约为． 13．（2026·山西吕梁·二模）研学实践：忻州古城是一座具有1800多年历史的古城，它既是历史的见证者，更是文化的传承者，被誉为晋北地区的“文化博物馆”．忻州古城有四个城门，其中北门拱辰门仍保留着清朝时期的建筑面貌，也是忻州古城内保存比较完整的城门．下面是思辨小组的同学们运用所学知识测量拱辰门的高度的方案及数据． 方案1 方案2 测量工具 自制测倾器，皮尺 搭载扫描仪的航模 测量示意图 测量方案及数据 如图1，点是城门顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．小丽站在城门前水平地面的点处，利用高为的测倾器测得点的仰角． 如图2，小军仍然站在水平地面的点处，将航模竖直上升，当航模飞行至距离地面处的点处时，测得点的仰角为． 思辨小组的成员发现仅仅利用方案1或方案2中的数据无法计算城门的高度，但两组数据结合可以解决问题，请根据上面的数据计算城门顶部点到地面的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，，， ， ） 【答案】米 【分析】延长交于点，延长交于点，可得到，设，在中，解直角三角形可表示出的长，在中，解直角三角形可表示出的长，根据列方程求解即可． 【详解】解：如图1，延长交于点；如图2，延长交于点，则四边形，四边形都是矩形， ，，． 设，则，． 在中，，，， ． 在中，，，， ． 由，得． 解得． 答：城门顶部点到地面的距离的长约为米． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角形 6大考点概览 考点01角、角平分线 考点02相交线与平行线 考点03等腰三角形的性质与判定 考点04直角三角形的性质与判定 考点05相似与全等 考点06锐角三角函数及其应用 角、角平分线 考点01 1．（2026·山西临汾·二模）将含角的直角三角板按如图所示的位置摆放，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西吕梁·二模）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（  ） A． B． C． D． 3．（2026·山西吕梁·二模）如图，在中，是边上的高，是的平分线，，交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山西晋城·二模）如图，用一根细绳把物体悬挂起来，其中细绳的一端固定在垂直于地面的墙面上，当物体静止后对其进行受力分析，细绳对物体的拉力分别为和，物体所受重力方向竖直向下，若，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 5．（2026·山西晋城·二模）如图，已知一钟表的分针长为，若该钟表的分针从到，则分针顶端经过的路径长为________． 6．（2026·山西阳泉·二模）如图，直线，点E在上，点F，G在上，射线平分．若，则的度数为_____． 相交线与平行线 考点02 1．（2026·山西临汾·二模）在跳远比赛中，某同学从直线l处起跳后，在沙坑留下的脚印如图所示．测量最近着地点A与起跳线l间AB的长度作为此次跳远成绩，依据的数学原理是（   ） A．过一点可以作无数条直线 B．垂线段最短 C．过两点有且只有一条直线 D．两点之间，线段最短 2．（2026·山西吕梁·二模）光线从一种介质进入另一种介质会发生折射．如图所示，一束光线经玻璃砖两次折射后，沿方向射出，其中，，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山西太原·二模）如图，将含角的直角三角板和长方形直尺按如图的方式摆放在同一平面内，其中，，三角板的边，与直尺一条边的两个交点分别为点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·山西阳泉·二模）如图，在中，点是边上的动点，连接，，，分别是，的中点，在点从点运动到点的过程中，下列结论一定成立的是（   ） A．的长度逐渐减小 B．的面积逐渐增大 C．始终与平行 D．的周长始终保持不变 5．（2026·山西大同·二模）将一把直尺按如图所示叠放在一块三角形木板上，直尺的一边经过三角形的顶点，并与交于点，直尺的另一边分别交，于点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山西长治·二模）如图，已知，点C、E、B、F在同一直线上，，，且．猜想：和位置关系，并证明你的猜想． 7．（2025·山西吕梁·二模）如图，，平分，交于点C，平分，交于点D，连接.请判断四边形的形状，并说明理由． 等腰三角形的性质与判定 考点03 1．（2026·山西阳泉·二模）如图，在中，，是的中位线，平分，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西太原·二模）如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 3．（2026·山西吕梁·二模）勒洛三角形是一种特殊的定宽曲线，由三段圆弧围成，具有在任何方向上宽度恒定的性质．图1就是用勒洛三角形设计的一种井盖．勒洛三角形的构造方法如图2所示：以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径，在另外两个顶点间画弧，三段圆弧围成的闭合曲线即为勒洛三角形．若等边三角形的边长为，则图2中勒洛三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·山西吕梁·二模）如图，四边形是正方形，，分别以点A，B为圆心，半径为1作和，两弧交于点O，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山西晋中·二模）如图①是一扇圆弧形拱门屏风，为中国古代家庭常见的装饰隔断，图②是其几何示意图，四边形是正方形，圆弧与边，相切，通过测量可得，，则阴影部分的面积为________． 6．（2026·山西晋中·二模）如图，在中，，，是内部的一点，连接，，，若，，则线段的长为_________． 7．（2026·山西运城·二模）如图，在中，，点D是边上一点，连接并延长到点，使，点F在的延长线上，且，连接，．若，，则的长为__________． 8．（2026·山西晋城·二模）如图，在中，，点D是外一点，连接，，，交于点E，且，若，，则的长为________． 9．（2026·山西阳泉·二模）如图，在中，，，．点D，E分别在，边上，连接，的平分线交线段于点F．若，则线段的长为_____． 10．（2026·山西太原·二模）如图，已知中，，，，点是上一点，，点在的延长线上，连接并延长交边于点．若，则的长为_______． 11．（2026·山西太原·二模）如图，已知中，点是的中点，连接，点是上一点，且．试判断线段和的数量关系，并说明理由． 12．（2026·山西晋城·二模）综合与探究 问题情境：有一条对角线与一组对边相等的平行四边形，称为双等腰四边形．以下对该图形的性质、判定和应用逐一进行探究． 探究性质： (1)如图①，若四边形为双等腰四边形，其中，，判断与的数量关系，并说明理由； 探究判定： (2)如图②，用两个全等的含角的直角三角形和直角三角形拼出一个矩形，固定，将沿的方向平移，使与交于点，与交于点．当时，求证：四边形是双等腰四边形； 探究应用： (3)如图③，在矩形中，分别为边上的点，连接，若四边形为双等腰四边形，且，直接写出的值． 13．（2026·山西吕梁·二模）综合与探究 问题情境：如图①，四边形是平行四边形，，，，是边上一点，，是边上的动点，连接，以为腰向上作等腰，，过点作于点． (1)猜想证明：如图①，当点恰好落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由； (2)拓展延伸：过点作于点． ①如图②，当射线恰好过点时，猜想与的数量关系，并说明理由； ②连接，当恰好将线段分为的两部分时，请直接写出的长． 直角三角形的性质与判定 考点04 1．（2026·山西临汾·二模）如图，在图中大正方形的四个角上分别剪去直角边长为的直角三角形，若用两种不同的方法表示剩余部分的面积，则可以得到的代数恒等式为（   ）． A． B． C． D． 2．（2026·山西阳泉·二模）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山西吕梁·二模）如图，在中，，点是斜边的中点，点在的延长线上，，延长与交于点．若，，则的长为________． 4．（2026·山西吕梁·二模）如图，在四边形中，，，连接，平分，，连接BD，则BD的长为________． 5．（2026·山西临汾·二模）如图，在中，，是的中点，连接，将沿折叠，使点落在点，连接，则_______． 6．（2026·山西朔州·二模）如图，在中，，点是边上的中点，于点，是的中点，连接并延长交于点，已知，，则的长为______． 7．（2026·山西吕梁·二模）如图，在中，，是的中位线，为上一点，连接，将沿折叠得到，点的对应点落在线段上，若，则的长为_____． 8．（2026·山西临汾·二模）如图，在中，，D为的中点，将直角三角形纸片的直角顶点放置在点D处，点E在的延长线上，点F在上，且．若，，则的长为_______． 9．（2026·山西晋中·二模）如图，在中，，为的中点． (1)实践操作：利用尺规作于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想证明：若是的中点，证明：． 10．（2026·山西晋中·二模）阅读与思考 下面是小实的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 数形结合思想 数形结合是中国古代数学的璀璨智慧，赵爽在《勾股圆方图注》中以弦图直观证勾股定理，将几何图形与数量关系精妙融合，以形释数、以数解形． 《勾股圆方图注》中记载了利用图形解一元二次方程的方法．例如，在解方程时，将方程转化为，利用四个全等的矩形拼成如图①的形状，从而得到了上面方程的正数解． 如图②，四个全等的矩形中，一组邻边的长为和，连接四个矩形中的一条对角线，构造正方形，其边长为．利用两种方式表示正方形的面积，从而验证了勾股定理． 因此在解决问题“设计一个面积为平方米的矩形花园，要求用最少的篱笆围成”时，我也用了数形结合，下面是我的思考． 假设矩形花园的一边长为米，另一边长为米，篱笆长为米， 则①，②，现在问题要求的最小值． 由①得，是的反比例函数，图象如图③所示； 由②得，是的一次函数，该函数图象可以由直线平移得到，在图③中画出的图象，平移探索． 当反比例函数与一次函数图象有交点时能围成矩形． 任务： (1)图①中围成的大正方形的面积为________； (2)请利用图②验证勾股定理； (3)①在图③中，由平移过程可判断，当直线与反比例函数的图象有_______（填“”或“”）个交点时，的值最小； ②设计一个面积为25平方米的矩形花园，最少需要用_______米的篱笆． 相似与全等 考点05 1．（2026·山西运城·二模）油纸伞是中国传统手工艺品，也是国家级非物质文化遗产，其制作工艺精巧，伞骨结构蕴含着丰富的几何智慧．如图是某款油纸伞撑开后倒置在地面上的示意图，已知，则的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山西临汾·二模）如图，在边长为的正六边形中，以点为圆心，分别以，长为半径画弧，形成图中的阴影部分，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山西吕梁·二模）如图，在正方形中，点在边上，连接，过点作于点，过点作于点，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．7 D．11 4．（2026·山西临汾·二模）如图，已知，点在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山西吕梁·二模）如图是视力表中的一部分，图中左上角的“E”与右下角的“E”是位似图形，位似中心为点O，已知，，则的长为________． 6．（2026·山西阳泉·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，若，，则点的坐标为______． 7．（2026·山西吕梁·二模）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题：如图2，是蜡烛火焰，是其通过小孔所成的像，与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·山西阳泉·二模）俯卧撑是一项常见的健身项目．如图所示是小杨同学在水平地面上做俯卧撑保持静止时的状态及几何示意图，他的身体可视为一条直线，与地面成一定夹角，点为他的肩部，点为手掌与地面的接触点，点为小杨的头顶，且．若测得，，小杨的身高，则小杨头顶到地面的竖直高度为（） A． B． C． D． 9．（2026·山西大同·二模）如图，在中，，过点作，连接，，交于点，且恰好是的平分线．若，，则的长为_____． 10．（2026·山西临汾·二模）如图，在菱形中，，，E是的中点，F是边上一点，连接，，若，则的长为______． 11．（2026·山西太原·二模）唢呐是山西八大套的乐器之一．如图，唢呐主要由唢呐杆和唢呐碗两部分组成．制作唢呐时，通常将连接点设计在唢呐的黄金分割点（即），这样唢呐既美观又有最好的音效．现有一个长度为的唢呐杆，准备用其制作一个这样的黄金分割唢呐，则需要制作的唢呐碗的长度是________．（结果保留根号） 12．（2026·山西吕梁·二模）如图，点，，，在一条直线上，，且．求证：． 13．（2026·山西阳泉·二模）综合与探究 问题情境： 在边长为4的正方形中，是射线上一点（不与点，重合），过点作射线交射线于点，过点作，交射线于点． 初步探究： (1)如图1，是边的中点，于点，当射线经过点时，求的值． 深入探究： (2)如图2，若是对角线上任意一点，求证：． 拓展探究： (3)若，当为对角线的三等分点时，请直接写出线段的长． 锐角三角函数及其应用 考点06 1．（2026·山西阳泉·二模）如图，在菱形中，是对角线，于点，为的中点，连接并延长，交于点．若，则线段的长为__________． 2．（2026·山西阳泉·二模）如图，某湿地公园内有一段东西方向的河道，河道北部为生态保护区，不允许游客踏足．公园管理处在河岸线上设置了一个鸟类补饲点A，同时在河岸线上设置了两个观景点B，C．数学兴趣小组的同学用测角仪在点B处测得补饲点A在B的北偏东方向；在点C处测得补饲点A在C的北偏西方向．已知观景点B，C之间的距离为60米，且，求这段河道的宽（结果精确到1米；图中各点均在同一水平面上；参考数据：，，，，，）． 3．（2026·山西阳泉·二模）某公园内安装一款不锈钢文化宣传橱窗栏，如图是该橱窗及其侧面结构示意图，橱窗整体竖直固定．为方便工作人员更换内部宣传内容，橱窗上方点处设计有铰链，橱窗玻璃盖可绕点向上翻开．该橱窗玻璃盖有两个固定打开角度档位：第一档在位置，此时；第二档在位置，此时（其中点分别是点翻至第一档位与第二档位的对应点）．经测量，橱窗玻璃盖的长度为．请结合上述信息计算：当玻璃盖从第一档位翻至第二档位时，最外边缘升高的竖直高度．（结果精确到；参考数据：，，tan 4．（2026·山西临汾·二模）项目学习 项目主题：如图①，某学校新建了一个自行车车棚，数学小组利用视图、三角函数等有关知识，以测量顶棚处离地面的高度为主题开展项目化实践活动． 数据采集：如图②，为该车棚截面的示意图，钢架与台阶的连接处记为点A，钢架最外端记为点B，在钢架上取点C，使，测出，，再用皮尺测出台阶的高度米，以及A，C两点间的距离米． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，四边形为矩形．请根据上述数据，计算顶棚B处到地面的高度（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，）． 5．（2026·山西晋中·二模）研学实践：平遥古城位于山西中部，始建于西周宣王时期，是保存完整的明清古城，1997年被列入世界遗产名录．平遥古城有六个城门，它的南门迎薰门是六座城门中最大且最壮丽的一座（如图①）．下面是同学们运用所学知识测量迎薰门的高度的方案及数据． 数据采集：如图②，点是城门顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．小果站在城门前水平地面的点处，利用高为的测角仪测得点的仰角；紧接着，她站在原来的位置，将搭载扫描仪的航模竖直上升，当航模飞行至距离地面处的点处时，测得点的仰角．图中各点均在同一竖直平面内． 数据应用：请根据上面的数据计算城门顶部点到地面的距离的长（结果精确到，参考数据：，，，，，）． 6．（2026·山西阳泉·二模）项目学习 项目背景：鹳雀楼，又名鹳鹊楼，如图①．因时有鹳鹊栖其上而得名，被誉为中国四大名楼之一．某校综合与实践小组以“登楼品韵，以数测高”为主题开展项目式学习． 数据采集：如图②，为鹳雀楼主楼，已知台基的高为16.5米，主楼位于阶梯顶部平地上，底部到的距离为4米．小组在阶梯底端处，通过测角仪测得楼梯顶端的仰角为，并在观测点处，通过测角仪测得楼顶的仰角为，测角仪的高度为1.5米．底部距处距离为69.2米．图中所有点均在同一平面内，，，，点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上． 项目任务：请根据测量数据，求出鹳雀楼主楼的高度（结果精确到1米．参考数据：，，，． 7．（2026·山西晋城·二模）大同古城东南邑“丝路塔”（如图①）的屏幕单元可随精密指令优雅展开、重组，打破了建筑的静态轮廓．如图②是某校“综合与实践”活动小组为测量顶层两块屏幕单元展开时点之间的距离，绘制的塔体部分截面图（该截面图为轴对称图形），其中塔身横杆，四边形为矩形，屏幕单元．，展开状态下斜撑杆，，且，图中各点都在同一竖直平面内．请求出点之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 8．（2026·山西运城·二模）在国家“双碳”目标与可再生能源发展规划的指引下，山西省大力推进风电等清洁能源项目建设，助力能源结构转型．图1是小陈在家乡看到的风力发电设备，他想利用所学知识估算风电架的高度，以加深对清洁能源基础设施的了解． 测量方案及数据：如图2，线段表示风电架，小陈在点（在同一直线上）处测得风电架顶部点的仰角为．他从点沿着小山坡走到点，此时测得风电架顶部点的仰角为，山坡的坡度，点到的距离为． 任务：若在观测过程中所有点都在同一竖直平面内，请根据小陈的测量数据计算风电架的高度（结果精确到，参考数据：）． 9．（2026·山西阳泉·二模）北魏平城明堂是中国历史上的四大明堂之一，是北魏帝王举行朝会、祭祀、庆赏等大典的地方，是礼治文化的载体，是唯一在原址修复完成的明堂．南北朝时期的著名叙事诗《木兰辞》：“归来见天子，天子坐明堂．”讲述了女英雄花木兰替父从军胜利归来在明堂觐见皇帝孝文帝的场面． 初三数学综合实践小组的同学们，决定用所学数学知识测量明堂主体建筑的高度．小组发现明堂底部台基很大，利用影长测量误差较大．决定自制测角仪，对明堂的高度进行测定．最后选择在明堂公园平坦广场的空地上，小组同学在C点测得最高处A仰角，向后30米在D处测得最高处A仰角，已知点A、B、C、D、E、F均在同一竖直平面内，，，测角仪的高米，你能计算明堂主体建筑的高度吗？（结果精确到1米，，，，，，） 10．（2026·山西晋中·二模）百团大战纪念馆位于山西阳泉狮脑山，是山西人民进行爱国主义传统教育和缅怀先烈的重要场所．某班组织学生参观并利用所学知识测量百团大战纪念碑主碑的高度． 数据收集：如图1，宣宣站在点C处，用测角仪测得纪念碑顶点A的仰角，向纪念碑的方向前进到达点F处，测得纪念碑顶点A的仰角，已知测角仪． 数据应用： (1)已知图2中各点均在同一竖直平面内，，均垂直于地面，请根据上述数据，计算纪念碑的高度（结果精确到．参考数据：，，，）； (2)宣宣回家后想按（1）中纪念碑的高度利用3D打印制作一个百团大战纪念碑主碑的模型，若他将纪念碑按等比例缩小，则他打印出的模型高度为 ． 11．（2026·山西吕梁·二模）项目学习 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量学校宣传屏的宽度 测量工具 皮尺、测角仪、计算器、计时器、标杆 活动过程 测量方法 矩形宣传屏上的字从右侧边缘往左侧边缘滚动出现（不考虑宣传屏边缘宽度），且每个字从完全出现直至消失耗时，字的移动速度为． ①甲组在左侧处测得宣传屏左下角的仰角，乙组在右侧处测得宣传屏右上角的仰角；②两组相距，且他们到宣传屏边缘的水平距离相等；③测角仪高度，，均与地面垂直，与地面平行，图中各点均在同一竖直平面内． 示意图    问题解决 根据以上信息，解决下列问题： 求学校宣传屏的宽度． （参考数据：，，，） 12．（2026·山西大同·二模）项目学习 晋祠是中国现存最早的皇家祭祀园林，集宋、元、明、清四代建筑、雕塑、园林、壁画于一体，是研究中国古代建筑艺术与宗法礼制的活化石．综合实践小组以“测量晋祠唐园门楼上两个垂兽间的距离”为主题开展项目学习活动，形成了如下活动报告： 项目主题 测量晋祠唐园门楼上两个垂兽间的距离 测量工具 无人机 示意图 方案说明 如图，已知与地面平行，无人机飞至点处，测得垂兽的俯角，垂兽的俯角，沿水平方向飞行至点处，测得垂兽的俯角，图中点，，，均在同一竖直平面内． 计算 … 交流展示 … 请根据上述数据，计算晋祠唐园门楼上两个垂兽，间的距离（结果精确到．参考数据：，，，，，）． 13．（2026·山西吕梁·二模）研学实践：忻州古城是一座具有1800多年历史的古城，它既是历史的见证者，更是文化的传承者，被誉为晋北地区的“文化博物馆”．忻州古城有四个城门，其中北门拱辰门仍保留着清朝时期的建筑面貌，也是忻州古城内保存比较完整的城门．下面是思辨小组的同学们运用所学知识测量拱辰门的高度的方案及数据． 方案1 方案2 测量工具 自制测倾器，皮尺 搭载扫描仪的航模 测量示意图 测量方案及数据 如图1，点是城门顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．小丽站在城门前水平地面的点处，利用高为的测倾器测得点的仰角． 如图2，小军仍然站在水平地面的点处，将航模竖直上升，当航模飞行至距离地面处的点处时，测得点的仰角为． 思辨小组的成员发现仅仅利用方案1或方案2中的数据无法计算城门的高度，但两组数据结合可以解决问题，请根据上面的数据计算城门顶部点到地面的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，，， ， ） 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与 专题04三角形 考点01 角、角平分线 1.B 2.B 3.C 4.A 5.10π 6.70 考点02 相交线与平行线 1.B 2.C 3.D 4.C 5.C 6.AB∥DE 7.四边形ABCD是菱形 考点03 等腰三角形的性质与判定 1.D 2.C 3.B 4.D 5.16-10m-5 3 6. 2V10 5 7.61 8. 55 22 3/3 学更高效 命学科网 www.zxxk 9. 121 1111 10.5 11.AB=AC 12.(1)AB= BC 2 (2)四边形EMBN是双等腰四边形 2 后或号 13.(1)四边形DHEG是矩形 (2)①EM= u, ②AF的长为 28 直角三角形的性质与判定 考点04 1.D 2.D 4.√17 5. 6.厉厉 66 7. 5而，5而 1111 8. 24V5 9. (1) o (2)AB=2AC. 10.(1)144: (3)①1；②20. 2/3 .com 致与学更高效 可学科网 www.zxxk 相似与全等 考点05 1.D 2.A 3.B 4.D 5.9 6.（6,3 7.D 8.A 9.4 3 1o 11.33-11√5 12.BF=EC. a写 8兴 6)16v5或85 9 9 锐角三角函数及其应用 考点06 1. 2√6 5 2.这段河道的宽约为29米 3.0.2m 4.顶棚B处到地面DE的高度约为2.3米 5.城门顶部点A到地面的距离AB的长约为18.5m. 6.57米 7.点E,F之间的距离为776cm. 8.风电架AB的高度约为52m 3/3 com 改与学更高效 命学科网 9.能，明堂主体建筑AB的高约为27米 10.(1)纪念碑的高度AB约为40米 (2)10 11.学校宣传屏的宽度CD约为2m 12.距离约为3.4m 13.25.8米 www.zxxk.com 让 2/3 致与学更高效