第16讲 相似三角形-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精练册（河北专用）

第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 第16讲 相似三角形（近三年312分） 河北十年真题练 2016-2025) 考点 图形的相似(10年1考，2025最新 考点二 相似三角形的判定和性质(10年 考查) 11考，2025最新考查) 1.(2025河北4题)“这么近，那么美，周末到河 3.(2025河北9题)如图，在五边形ABCDE 北”.嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面 中，AE∥BC,延长BA,BC,分别交直线DE 上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石 于点M,N.若添加下列一个条件后，仍无法 旁放了一支笔拍下照片（如图）.回家后量出 判定△MAE∽△DCN,则这个条件是() 照片上笔和化石的长度分别为7cm和 M 4cm,笔的实际长度为14cm,则该化石的 实际长度为 A.∠B+∠4=180° B.CD∥AB A.2 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm C.∠1=∠4 2.在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： D.∠2=∠3 甲：将边长为3,4,5的三角形按图1的方式向 4.(2021河北8题)图1是装了液体的高脚杯 外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距 示意图（数据如图），用去一部分液体后如图 均为1，则新三角形与原三角形相似， 2所示，此时液面AB=…() 6 cm cm 图1 cm 水平线 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外 图1 图2 扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为 A.1 cm B.2 cm 1,则新矩形与原矩形不相似 C.3 cm D.4 cm 5.(2017河北7题)若△ABC的每条边长增加 各自的10%得△A'B'C',则∠B的度数与 其对应角∠B的度数相比…() 图2 A.增加了10% 对于两人的观点，下列说法正确的是( B.减少了10% A.两人都对 B.两人都不对 C.增加了(1+10%) C.甲对，乙不对 D.甲不对，乙对 D.没有改变 89 中考冲刺数学 6.(2016河北15题)如图，在 △PQM与该四边形按如图方式放在同一平 △ABC中，∠A=78°，AB= 面内，使点P与点A重合，点B在PM上， 4,AC=6.将△ABC沿图示 B C 其中∠Q=90°，∠QPM=30°，PM=4√5. 中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角 A(P)D D(P) 形不相似的是… B H M 图1 图2 图3 (1)求证：△PQM≌△CHD; (2)△PQM从图1的位置出发，先沿着BC 方向向右平移（图2），当点P到达点D后立 刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转 7.(2024河北19题)如图，△ABC的面积为2， AD为BC边上的中线，点A,C1,C2,C3是线 50时停止. 段CC4的五等分点，点A,D1,D2是线段 ①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束， DD3的四等分点，点A是线段BB1的中点. 求边PQ扫过的面积； ②如图2，点K在BH上，且BK=9一4√3. 若△PQM右移的速度为每秒1个单位长 度，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在 △PQM区域（含边界）内的时长； ③如图3，在△PQM旋转过程中，设PQ, PM分别交BC于点E,F,若BE=d,直接 (1)△AC1D1的面积为 写出CF的长（用含d的式子表示）. (2)△B1C4D3的面积为 8.(2022河北18题)如图是钉板示意图，每相 邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正 方形顶点，钉点A,B的连线与钉点C,D的 连线交于点E,则： (1)AB与CD是否垂直？ (填“是” 或“否”). (2)AE= 9.(2022河北26题)如图1，在四边形ABCD 中，AD∥BC,∠ABC=90°，∠C=30°， AD=3,AB=2√3，DH⊥BC于点H.将 90 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 【创新考法】 考点三图形的位似(10年2考) 10.(跨学科融合·物理)阿基米德曾说过：“给 11.(2020河北8题)在如图所示的网格中，以 我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话 点O为位似中心，四边形ABCD的位似图 生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置 形是 ) 和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这 一原理在生活中随处可见.如图1，这是用 杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时， 一端就会撬动石头.如图2所示，动力臂 OA=150cm,阻力臂OB=50cm,BD= 20cm,则AC的长度是 ……( A.四边形NPMQ B B.四边形NPMR 图1 图2 C.四边形NHMQ A.80 cm B.60 cm C.50 cm D.40 cm D.四边形NHMR 全国视野分层练 基础过关练— 3.6cm,则BC长为 1.（2025贵州)如图，已知△ABC∽△DEF, A 1弦 B AB:DE=2:1,若DF=2,则AC的长为 2弦 线 3弦 …() 谱 4弦 C 5弦 6弦 A.3.2 cm B.3 cm C.2.8 cm D.2.7 cm A.1 B.2 C.4 D.8 4.(2025甘肃兰州)如图，在平面直角坐标系 2.(2025黑龙江绥化)两个相似三角形的最 xOy中，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心 长边分别是10cm和6cm,并且它们的周 是原点O.已知BC:BC'=1:2,则B(2, 长之和为48cm,那么较小三角形的周 0)的对应点B的坐标是·( ) 长是…( ) A.14 cm B.18 cm C.30 cm D.34 cm 3.(跨学科融合·音乐)六线谱是世界上通用 的一种专为吉他设计的记谱方法，它是由六 0 根间隔相等的粗线组成的.如图是一个六线 A.(3,0) B.(4,0) 谱，A,B,C三点在同一直线上.若AC= C.(6,0) D.(8,0) 91 中考冲刺数学 5.(2025浙江)如图，五边形ABCDE,A'B'C'D'E 是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已 知点A,A'的坐标分别为(2,0)，(3,0).若 DE的长为3，则D'E的长为 ……() 9.(2025安徽)如图，在由边长为1个单位长度 的小正方形组成的网格中建立平面直角坐 标系xOy,△ABC的顶点和A1均为格点（网 格线的交点).已知点A和A1的坐标分别为 (-1,-3)和(2,6). A. B.4 c D.5 (1)在所给的网格图中描出边AB的中点 6.(2025河北保定涿州一模)如图，这是物理 D,并写出点D的坐标； 学中的小孔成像，AB是物体，遮挡板MN (2)以点O为位似中心，将△ABC放大得到 上的小孔抽象成点O,AB透过小孔在光屏 △A1B1C1,使得点A的对应点为A1,请在 PQ上成的像是倒立、放大的实像CD, 所给的网格图中画出△A,BC. △ABO和△DCO成位似图形，位似中心为 点O,遮挡板MN和光屏PQ的水平距离为 8,AB=6,此时，像CD的长为12，为了使像 CD的长度变成AB的3倍，在物体AB和 屏幕PQ位置不变的情况下，可以将遮挡板 D A.水平向右移动1cm B.水平向左移动1cm C.水平向右移动1.5cm D.水平向左移动1.5cm 7.(2025四川成)若号-3，则中的值为 8.(2025广东)如图，把△AOB放大后得到 △COD,则△AOB与△COD的相似比是 92 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 10.(2025河北摸拟)风力发电是我国电力资 素养提升练 源的重要组成部分.嘉嘉为了解某风力发 1.(2025河北唐山校级二模)如图，已知 电机的风叶长度，通过测量其影子长度的 △ABC与△DEF是位似图形，经过对应点 方法进行计算.如图（图中所有的点均在同 B与E,C与F的两直线交于点O,若点C 一平面，太阳光线视为平行光线)，线段 是OF的中点，则下列判断错误的是() OA,OB,OC表示三片风叶，OA=OB= A.直线AD一定经过点O OC,∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，某 B.BC∥EF 时刻OA,OB的影子恰好重合为线段EF, C.DF-2AC OD⊥EF于点D,测得DE=36m,EF= D.S△DEF=2S△ABC 20m.同一时刻测得高4m的标杆MN的 影长MG为3m. 30 (1)直接写出∠ABO的度数及OD的长； (2)求风叶转动时点B到地面DF的最小 D 距离 第1题图 第2题图 2.(河北特色考法)如图，已知CA是∠BCD 的平分线，AC和BD交于点E,AB=BC. 求证：△ABE∽△CDE. 证法I:.CA平分∠BCD,∴.∠1=∠2. E AB=BC,∴.∠1=∠3，.∠2=∠3. 又.∠AEB=∠CED, ∴.△ABEc∽△CDE. 证法Ⅱ：CA平分∠BCD, .∠1=∠2=45°， .AB∥BC,AB=BC,∴.∠2=∠3=45° 又∠AEB=∠CED, ∴.△ABEc∽△CDE. 对于证法I、证法Ⅱ，说法正确的是() A.I、Ⅱ都正确 B.I正确、Ⅱ不正确 C.I不正确、Ⅱ正确 D.I、Ⅱ都不正确 3.(2025甘肃)“儿童散学归来早，忙趁东风放 纸鸢”.风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时 期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化 遗产名录.为丰富校园生活，某校开展风筝 制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个 93 中考冲刺数学 形状相同的风筝.风筝的形状如图所示，其 根据以上信息，解决下列问题， 中对角线AC⊥BD.已知大、小风筝的对应 (1)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长 边之比为3：1，如果小风筝两条对角线的 相等，可得CD=CA,请说明理由； 长分别为30cm和35cm,那么大风筝两条 (2)求纪念碑AB的高度； 对角线长的和为 cm (3)小红通过间接测量得到CD的长，进而 求出纪念碑AB的高度约为18.5m.查阅资 料得知，纪念碑的实际高度为19.64m.请 判断小红的结果和(2)中的结果哪个误差较 M 大？并分析误差较大的可能原因（写出一条 即可). 第3题图 第4题图 4.（2025河北摸拟)如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，AB=6,BC=8,在Rt△MPN 中，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交 AB于点E,PN交BC于点F,当PE= 2PF时，AP= 5.(2025河南)焦裕禄纪念园是全国重点革命 烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑 位于纪念园南部的中心.某综合与实践小组 开展测量纪念碑高度的活动，记录如下， 活动 测量纪念碑的高度 主题 实物 4 图和 测量 示意 图 FMD 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台 BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在 点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE 测量 顶端E的影子落在点F处，位于点M 说明 处的观测者眼睛所在位置为点N,点 N,E,A在一条直线上，纪念碑底部点 B在观测者的水平视线上. 测量 DE=2.1 m,DF=2.1 m,DM=1 m 数据 MN=1.2m. 备注 点F,M,D,C在同一水平线上. 94 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 微专题 关于相似模型分类讨论(10年12考) 类型一A字型与反A字型 小亮：者答-C则可证 模型 △ACPU∽△ABC. A(A A(A) B A字型（平行） 反A字型（不平行》 (1)请判断三人的说法的对错：小星 1.如图，嘉嘉要测量池塘两岸A,B两点间的 小红 ,小亮 ;(填“对”或“错”) 距离，先在AB的延长线上选定点C,测得 (2)选择一种正确的方法，求证：△ACP∽ BC=5m,再选一点D,连接AD,CD,作 △ABC; BE∥AD,交CD于点E,测得CD=8m, (3)在(2)的条件下，△ACP∽△ABC,若 DE=4m,则AB=…(（) BP=1,AC=√6，求AP的长. D A.3 m B.4 m C.5m D.6 m 2.（2025河北石家庄校级期末)如图，在 △ABC中，P是△ABC的边AB上的 一点 3.如图，点D,F在△ABC的边AC上，点E在边 BC上，且DE∥AB,CD=CF·CA. (1)求证：EF∥BD: B (2)如果AC·CF=BC·CE,求证：BD= 小星：若∠ACP=∠B,则可证： DE·BA. △ACPD△ABC. 小红：者光铝，则可证 △ACPo△ABC. 95 中考冲刺数学 类型二X字型与反X字型 6.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC上 模型 的点，且BD=2AD,CE=2AE. (1)求证：△ADE∽△ABC; (A (2)若DF=2,求FC的长度. B B X字型（平行） 反X字型（不平行） 4.（2025河北邢台任泽一模)如图，将一个透 明的玻璃沙漏与两把尺子放在桌面上，沙漏 底部边缘C,D在水平放置的尺子上的读数 分别为3cm和7cm,并且C,D所在的直线 与竖直放置的尺子的0刻度线重合，沙漏的 中心点O刚好和刻度5cm水平对齐，上面 部分的沙面(A,B所在直线)与刻度8cm水 平对齐，则此时沙面的宽AB=…() 7.如图，已知AB∥CD,AC与BD相交于点 E,点F在线段BC上，公部28部- 队D (1)求证：AB∥EF; (2)求S△ABE:S△EBC:S△CD. A.3 cm B.2.5 cm C.2.4 cm D.2 cm 5.(2025河北摸拟)如图，在菱形ABCD中，对 角线AC,BD交于点O,EF⊥BD,垂足为 H,EF分别交AD,DC及BC的延长线于 点E,M,F,且ED:CF=1:2,则DH: DB的值为… ( E M C .5 C. D.6 96 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 8.如图1，某小组通过实验究凸透镜成像的 类型三 共边角模型 规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物 模型 箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度. A(C) 如图2，主光轴L垂直于凸透镜MN,且经过 凸透镜光心O,将长度为8cm的发光物箭 B(B) C D 头AB进行移动，使物距OC为32cm,光线 子母型 双垂直型 AO,BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏 9.如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接 上呈现一个清晰的像A'B',此时测得像距 AD,∠BAD=∠BCA,若AB=5,BC=8, OD为12.8cm. △ABD的周长为12.5，则△ABC的周长为 (1)求像A'B的长度； (2)已知光线AP平行于主光轴1，经过凸透 镜MN折射后通过焦点F,求凸透镜焦距 OF的长。 发光物凸透镜光屏 A.20 B.25.5C.30 D.35.5 10.(2024河北张家口一摸)如图，点D在△ABC 的边AC上，添加一个条件，使得△ADB∽ 光具座 图1 △ABC.以下是小明和小丽的做法.下列说法 不正确的是 ) B' D A N 图2 小丽的做法：添加条件 小明的做法：添加条件 AB BD ∠ABD=∠C. AC CB 证明：：∠ABD=证明：∠A=∠A, ∠C,∠A=∠A, ABBD ∴.△ADB∽△ABC. ACCB' (两角分别相等的两个 .△ADB∽△ABC 三角形相似) (两边成比例且一角相 等的两个三角形相似) A.小明的做法证明过程没有问题 B.小丽的做法证明过程没有问题 C.小明的做法添加的条件没有问题 D.小丽的做法添加的条件有问题 97 中考冲刺数学 11.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,点D 13.如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大 在边CB的延长线上，点E在线段AD上， 小为0，D为边BC上的动点（与B,C不重 DE=CE. 合)，将AD绕点A沿顺时针方向旋转0， (1)求证：△EAF∽△ECA; 点D落在D处，连接BD',DD'.给出下列 (2)如果CF=3EF,连接EB,求证： 结论： EB⊥CD. ①△ACD≌△ABD'; ②△ACBp△ADD'; ③当BD=CD时，△ADD'的面积取得最 小值. 其中正确的结论有 (填序号) 14.如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB, OC=OD,∠AOB=∠COD=42°，连接 AC,BD交于点M. 1求8肥的值： (2)求∠AMB的度数. 类型四手拉手模型 模型 12.如图，已知∠1=∠2，点D在BC上，添加 下列条件后，仍无法判定△ABCp△ADE 的是 。…4… A.∠B=∠ADEB.∠2=∠EDC c能怨 D器品 15.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D,E 分别为边AB,AC上的点，且DE∥BC.已 知c=1o器是 (1)DE的长为 ,△ADE与△ABC D' 第12题图 第13题图 的周长比为 98∠ADC=∠CEB, 在△ACD和△CBE中， ∠ACD=∠B, AC=CB. ∴.△ACD≌△CBE(AAS),∴.AD=CE,CD=BE. .'DE=CD十CE=BE+AD, .'DE=AD+BE. 9.解：(1)题图1：BE=DF十EF;题图2：BE=DF一EF;题图 3:BE=EF-DF. (2)选择题图1证明如下： :BE⊥AP,DF⊥AP, ,∠BEA=∠AFD=90°， .∠ABE+∠BAE=90°. ∠DAF+∠BAE=90°，·∠ABE=∠DAF, 又.在正方形ABCD中，AB=AD, ∴，△ABE≌△DAF(AAS),∴.DF=AE,BE=AF, ∴.BE=AF=AE十EF=DF+EF.(答案不唯一) 10.C 11.(1)证明：如图1，把△ABE绕点A逆时针旋转90° 至△ADG G 图1 则△ADG≌△ABE, ∴.AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE 又：∠EAF=45°，∴.∠DAF+∠BAE=∠DAF+ ∠DAG=∠GAF=45°， ∴∠GAF=∠FAE. (AG-AE. 在△GAF和△EAF中，∠GAF=∠EAF, AF=AF, .△GAF≌△EAF(SAS),.GF=EF. 又：DG=BE, ∴GF=BE+DF,∴BE+DF=EF. (2)解：当∠BAD=2∠EAF时，仍有EF=BE+FD. 理由如下：如图2，延长CB至，点M,使BM=DF,连接AM, MB 图2 ,'∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°， ∴.∠D=∠ABM. (AB=AD, 在△ABM和△ADF中， ∠ABM=∠D, BM=DF, .△ABM≌△ADF(SAS). ∴.AF=AM,∠DAF=∠BAM. ∠BAD=2∠EAF,.∠DAF+∠BAE=∠EAF, .∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF (AE-AE, 在△FAE和△MAE中，∠FAE=∠MAE, AF-AM, .△FAE≌△MAE(SAS), .'EF-EM-BE+BM=BE+DF,EF=BE+DF. 第16讲相似三角形 【河北十年真题练】 1.C2.A3.D4.C5.D6.C 7.(1)1(2)78.(1)是(2)4y5 9.(1)证明：'AD∥BC,∠ABC=90°，DH⊥BC, .DH=AB=2√3，∠DHB=∠DHC=90°， 在Rt△PQM中，∠Q=90°，∠QPM=30°，PM=4√3， ∴QM=2PM=2E,QM=DH ∠QPM=∠C, 在△PQM和△CHD中，∠PQM=∠CHD, QM-HD, ,.△PQM≌△CHD(AAS). (2)解：①如图1中，PQ扫过的面积=平行四边形AQQD 的面积十扇形DQQ”的面积. 设QQ交AM于点T. .AQ=3QM=6,QT⊥AM, ∴.AT=AQ·c0s30°=3√3， :PQ扫过的面积=3X3V5+50XπX6=95+5元 360 A(P)D D(P) H BL 图1 图2 ②如图2中，当DM运动到与DH重合时，连接DK, 在Rt△CDH中，DH=2√3，∠C=30°， .CH=√3DH=6, .BH=AD=3,BK=9-4√3， .KH=3-(9-4√3)=4√3-6， .CK=4√3-6+6=43 ,CD=2DH=4√3，∴.CD=CK ∴∠CKD=2(180°-30)=75， ∴.∠KDH=15° .∠QDK=30°-15°=15， ·点K在△PQM区域（含边界）内的时长为45-6+15 (43-3)s. ③6024.提示：如题因3中， 9-d .BH=3,BE=d, ∴.EH=|3-d|. DH=23,∠DHE=90, .DE=EH+DH=(3-d)2+(23)2. '∠DEF=∠CED,∠EDF=∠C=30°， '.△DEF∽△CED,.DE=EF·EC, .(3-d)2+12=EF·(9-d), ∴EF=d-6d+21 9-d .CF-BC-BE-EF-9-d-d-6d+21_60-12d 9-d 9-d 10.B11.A 【全国视野分层练】 基础过关练 1.C2.B3.D4.B5.C6.B 7.48.1:3 9.解：(1)如图，点D即为所求 由图可得，点D的坐标为（一2，一1）. (2)如图，△A1B1C1即为所求， 10.解：(1)∠AB0=30°，OD=48m. 提示：如图， 由题意，得OE∥NG,∠ODE=∠NMG=90°， ∴∠OED=∠G,∴△ODE∽△NMG. 根指相似三角形的性质可得识-器， ÷0吧-90D=48m OA=OB,∠AOB=120°， ÷∠AB0=∠A0B=180°，120°=30 2 (2)如图，过，点O作OH⊥AB于点H,过点E作EI⊥AF 于点I, 在Rt△NMG中，由勾股定理，得NG=5m 同理可证明：△EIF∽△NMG, ÷制-器-91=16m 由题意，得OE∥AF,而OH⊥AF,EI⊥AF, ∴.OH=EI=16m. 在Rt△OBH中，∠ABO=30°， ∴.BO=2OH=32m, .当OB⊥DF,且点B在点O下方时，48一32=16(m). 答：风叶转动时点B到地面DF的最小距离为16m 素养提升练 1.D2.B3.1954.6 5.解：(1)太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时 刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处， 器器 :标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，即DE=DF, ..CD=CA. (2)如图，令BN与DE的交点为H, FMD C 则四边形BCDH和MNHD是矩形， DE=2.1m,DF=2.1m,DM=1m,MN=1.2m, .CD=BH,BC=DH=MN=1.2 m,NH=DM=1 m, .'EH=DE-DH=0.9 m. 设AB=xm,则AC=AB+BC=(1.2+x)m, .BH=CD=(1.2+x)m, .'NB=BH++NH=(2.2+x)m. :EH/∥AB,△NEHO△NAB,:E=N, AB NB' 09=1 x2.2+x解得x=19.8, 答：纪念碑AB的高度为19.8m. (3)纪念碑的实际高度为19.64m,小红求出纪念碑AB的 高度约为18.5m,(2)中纪念碑AB的高度为19.8m,则 小红的结果误差较大， 理由：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无 法正确定位，使得CD的长存在误差，影响计算结果.（答 5 聚不唯一) 微专题关于相似模型分类讨论 1.C 2.(1)解：对对错 (2)证明：小星的证明 ∠ACP=∠B,∠A=∠A,∴.△ACP∽△ABC. 小红的证明， A光=S,∠A=∠A,△ACPn△ABC (3)解：：△ACP∽△ABC, 能-福源 √6AP+1, 解得AP=2(负值舍去). 3证明：(1DE/AB光-需 CD=CFCA0-器器-器EF∥BD (2).EF∥BD,.∠CEF=∠CBD. AC.CF=BC.CE,C- .又∠C=∠C, .△CEFc∽△CAB, ∠CEF=∠A,∠DBE=∠A. DE∥AB,∠EDB=∠DBA, △BAD△DBE,080BD=DE,BA 4.C5.D 6.(1)证明：BD=2AD,CE=2AE, 铝-怎= 又.∠DAE=∠BAC, '.△ADE∽△ABC (2②)解，△MDB△ABC,瓷铝寸∠ADE=∠AC '.DE∥BC,.△DEFC∽△CBF, 2=-5即品=日∴r0=6. 21 71证明：AB/CD品器-子 BF=1,·BE_BF ·CF=2EDFC .EF∥CD,.AB∥EF. (2)解：设△ABE的面积为m. 'AB∥CD,△ABEO△CDE,AAE= /AB\ S△CDE CD Γ49 ∴S△mE=4m. CE CD2' .S△Ec=2m, SAABE SAEBC SARCD =m 2m 4m=1 2 4. 8.解：(1)由题意，得AB∥MN∥A'B',OC=32cm,OD= 12.8 cm,AB=8 cm, AB∥A'B',△OAB∽△OA'B', 滑- :AB∥A'B',.△OAC∽△OA'D, 器器， “滑-器=器 32 A'B'=3.2. 答：像A'B'的长度为3.2cm. (2)过点A'作A'E∥OD交MN于点E,如图， M B .A'E∥OD,MN∥A'B′， .四边形A'EOD为平行四边形， .'A'E=OD=12.8 cm,OE=A'D. 同理：四边形ACOP为平行四边形， ∴.AP=OC=32cm. AP∥CD,A'E∥OD, .AP∥A'E,∴.△APO∽△A'EO, 品器器名， “8= .MN∥A'B', △POF△ADF,∴-8= ∴0F=50D-64 7 cm. 答：凸造镜猴距O的长为cm 9.A10.B 11.证明：(1)AB=AC,DE=CE, .∠ABC=∠ACB,∠D=∠ECD, ∠ABC-∠D=∠ACB-∠ECD. ,'∠EAF=∠ABC-∠D,∠ECA=∠ACB-∠ECD, ∴.∠EAF=∠ECA. ,'∠FEA=∠AEC, ∴.△EAFC∽△ECA (2)如图，作BH∥CE交DE于点H, .CF=3EF, ..CE=EF+3EF=4EF. .AF_AE_EF ·AC CE AE1 ∴AE=√CE·EF=√4EF=2EF, A迟=F=1 AC AE2 AF=AC=合AB ,EF∥HB, ·∠CEB=∠HBE,△AEF∽△AHB, 器器品 .HB=2EF,AH=2AE=AE+HE, .'.AE=HE=2EF,..HB=HE, ∴∠DEB=∠HBE, ∠CEB=∠DEB, ∴.EB⊥CD. 12.D13.①②③ 14.解：(1)∠AOB=∠C0D=42°， ∴.∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD,即∠COA=∠DOB. .OA-OB,OC-OD, '.△COA≌△DOB(SAS), ..AC=BD, 肥1 (2)由(1)得△COA≌△DOB,.∠CAO=∠DBO 在△OAB中，∠OAB+∠OBA=180°-∠AOB=180°- 42°=138°， 在△ABM中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+ ∠DBA)=180°-（∠DBO+∠OAB+∠DBA)=180° (∠OBA+∠0AB)=180°-138°=42°. 15.(1)解：6 3 [解析].DE∥BC,.△ADE∽△ABC, 暖铝 品是器导 :5-号，△ADE与△ABC的周长比为号， .DE=6. (2)①证明：，△ADEc∽△ABC, 铝-能，∠BAC=∠DAE, ÷80∠BAD=∠CAE, ∴.△ABD∽△ACE. ②解：AB=8,EC=兰 提示：如题图3，设AD=3k,AB=5k, AD⊥BC,∠ADB=90°， ∴.BD=/AB2-AD2=√(5k)2-(3k)2=4k. '∠ABD=∠CBA,∠ADB=∠CAB=90°， ÷△ABDn△CBA0-品， .AB2=BD·BC,∴.(5k)2=4k×10. :≠0，=号，∴AB=8,BD-号 .∠BAC=90°，BC=10, ∴.AC=√BC-AB=√102-8=6. :△ABD△ACE0-是-音， 32 ∴昆-号C-4 5 16.C17.D18.D 19.(1)证明：在△ABC中，AB=AC=5, ∴∠B=∠C ∠APC=∠B+∠BAP, .∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP 又'P,D分别是BC,AC边上的，点，且∠APD=∠B, .∠DPC=∠BAP, ∴.△ABPC∽△PCD (2)解：，△ABP∽△PCD, 说部 AB=5,BC=8,BP=3, 5 3 8-3-CD' .CD=3. (3)解：0≤≤名支号<8， 提示：点K在△APD内部时，CD的临界值是，设运动 时间为t, '△ABP∽△PCD, 授器 .'AB=AC=5,BC=8, 5 BP 心8-BP=1’ 4 解得BP=多或BP=号。 :点P以每秒1个单位长度从点B向终点C运动， :当0≤<号或号<<8时，点K在△APD内南. 第17讲等腰三角形与直角三角形 【河北十年真题练】 1.B2.B3.D4.D 5.解：(1)039[解析]①当点N与，点C重合时，推拉门与 门框完全闭合，此时∠CMN有最小值0°， 当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，∠CNM=6°， 则此时∠CMN有最大值， :∠CNM=6°，∠BCD=135°， .∠CMN=180°-6°-135°=39°，即∠CMW有最大值