第14讲 几何初步及平行线、相交线-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精练册（河北专用）

由题意，得40(400一m)+20m≤12000， 解得m≥200， .m的最小值为200. 答：至少需要购进B款纪念品200个. (3)由题意，得 W=(a-40)[200-5(a-60)] =(a-40)(200-5a+300) =(a-40)(500-5a) =500a-20000-5a2+200a =-5(a-70)2+4500, .-5<0,60≤a≤100， .当a-70=0,即a=70时，W最大，最大值为4500. 素养提升练 1.C2.D3.34% 4解：1)点A(0,2),B(6,0.5在抛物线y=-日十h6x十c 2=c, 上，代入得 解得 b=2 .5=-g×36+6+,解 (c=2, 抛物线的解折式为)=一名2+号叶2=-日（红一2》+号， 抛物线的顶点坐标为(2，昌）】 (2)点B(6,0.5),BC⊥OC,点C在x轴上， .C(6,0) A(0,2),C(6,0), ∴.设y=kx十2，即0=6k十2， 部得子 1 故直线AC的解析式为y=一3x+2. 由延意可夜M(m,言n+2)小m>0. .MA=NA,MN⊥x轴， .,点A在MN中垂线上，故yM十yN=2yA=4, 解得w=日m十2， 1 N(m,3m+2: ,点N在抛物线上， 子m+2=一日m+合n+2,鉴理，得m3m-0=0, 解得m-0(会去)减号，此时-弓n十2-兰， M专) 2=-日+ MN=DE=1.25,即d=1.25, -日r+号=1.25，整里，得3x-20x+30=0, 解得=10，=10+四 3 3 MN在DE左侧，故cM=10- ,o=10+ 3 3 10-√10_10+√10 ∴DM=EM-xDl」 3 3 = 20 cos∠ACO 6 9· √62+22 ②夜MN=DB=d,则d=-日2+名x=d在0<x<6 上有两解，且m为其中较小解， 即直线d=d与鹅物线d=-日r+名：在0<x<6上有 两交点， 当=6时，d=-合×6+5=宁 1 令2+名得号6（合 <m<6 又d=-+=-(-）'+， 1 对稀轴为直线x=号。 m为直线d=d与抛物线d=一弓r十名x两文点中家在 10 一点的横坐标，故m<3 综上，号<m< 10 第四模块图形的认识与三角形 第14讲几何初步及平行线、相交线 【河北十年真题练】 1.C2.A3.D4.C5.D6.C7.C8.C9.C 【全国视野分层练】 基础过关练 1.C2.C3.D4.A5.A6.A7.C8.B 9.145°10.(1)南偏西70°（或西偏南20）(2)12 11.(1)解：AD∥BC,.∠B+∠BAD=180°. .∠B=80°，.∠BAD=100°. (2)证明：.AE平分∠BAD,∴.∠DAE=50° :AD∥BC,.∠AEB=∠DAE=50°. ·∠BCD=50°，.∠AEB=∠BCD,∴.AE∥DC 素养提升练 1.B2.D3.1 4.解：(1)直线ON平分∠AOC.理由：如图1，延长NO到D, ∠MON=90°，∴.∠MOD=90°， ∴.∠MOB+∠NOB=90°，∠MOC+∠COD=90°. ,∠MOB=∠MOC,∴.∠NOB=∠COD. '∠NOB=∠AOD,∴∠COD=∠AOD, .直线NO平分∠AOC. (2)分两种情况： A R 图1 图2 ①如图1，.∠BOC=112°，.∠AOC=68° 当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，∠AOD=∠COD 34°，∴.∠BON=34°，∠BOM=56°， 即逆时针旋转的角度为56°， 由题意，得4t=56°，解得t=14; ②如图2，当NO平分∠AOC时，∠NOA=34°， .∠AOM=56°， 即逆时针旋转的角度为180°十56°=236°， 由题意，得4t=236°，解得t=59, 综上所述，第14s或59s时，直线ON恰好平分锐 角∠AOC. (3)∠AOM-∠NOC=22°，理由如下： :∠AOM=90°-∠AON,∠NOC=68°-∠AON, '.∠AOM-∠NOC=(90°-∠AON)-(68°-∠AON)=22°. 第15讲三角形的基本性质及全等三角形 【河北十年真题练】 1.A2.B3.B4.B5.B6.减少10 7.D8.B9.10010.C 11.证明：(1)AC,BD相交于点E,∠ACB=∠ADB,点F 在ED上， ∠ACB=∠ADF. ∠BAF=∠EAD, ∴.∠BAF-∠CAF=∠EAD-∠CAF, ∴.∠BAC=∠FAD 在△ABC和△AFD中， 「∠BAC=∠FAD, AC=AD, ∠ACB=∠ADF, ∴.△ABC≌△AFD(ASA). (2)由(1)得△ABC≌△AFD,.AB=AF BE=FE,.AC⊥BF,即AC⊥BD 12.(1)证明：，BF=EC, ∴.BF+FC=EC+FC 即BC=EF 又'AB=DE,AC=DF, ∴.△ABC≌△DEF(SSS) (2)解：AB∥DE,AC∥DF 理由如下： ,△ABC≌△DEF, ∴.∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE, .AB∥DE,AC∥DF. 【全国视野分层练】 基础过关练 1.B2.D3.C4.B5.C 6.65°7.108.100 9.证明：'∠ABE=∠BAF,.CB=CA. CE=CF, ..CB+CE=CA+CF,BE=AF. 在△ABE和△BAF中， (BE=AF, ∠ABE=∠BAF, AB-BA, ∴.△ABE≌△BAF(SAS), ..AE-BF. 10.(1)证明：AB∥DE,∴∠B=∠E. ∠B=∠E, 在△ABC和△DEF中，{∠A=∠D, AC-DF, .△ABC≌△DEF(AAS) (2)解：由(1)可知：△ABC≌△DEF, ∴.BC=EF, ∴.BF+CF=EC+CF, ∴.BF=EC. :BF=4,FC=3, .EC=4, .BE=BF+FC+EC=4+3+4=11. 素养提升练 1.B2.C3.C4.A 5.证明：(1)，∠BAD=∠EAC, ∠BAD-∠CAD=∠EAC-∠CAD, ∴.∠BAC=∠EAD AB-AE, 在△ABC与△AED中，∠BAC=∠EAD, LAC=AD, .△ABC≌△AED(SAS). (2).AC=AD,∴.∠ACD=∠ADC, 由(1)可知：△ABC≌△AED, .∠ACB=∠ADE, .∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC, ∠BCD=∠EDC. 6.解：(1)DE=BD+CE.理由如下， ∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°， .∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=9O°， ∠DBA=∠EAC. AB=AC,∴.△DBA≌△EAC(AAS), ..AD-CE,BD-AE,.'.DE-AE+AD-BD+CE, 故答案为DE=BD十CE. (2)DE=BD十CE仍然成立，理由如下： :∠BDA=∠BAC=∠AEC=a,第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 第一部分 河北中考·考点过关 第四模块 图形的认识与三角形 第14讲 几何初步及平行线、相交线（近三年2一3分） 河北十年真题练 2016-2025) 考点一几何初步的考查(10年4考) 【创新考法】 5.(传统文化)端午节吃粽子是我 1.(2022河北13题)平面内，将长分别为1,5， 国传统节日里的一大亮点.2025 1,1,d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形 年端午节前夜，小红包了一个粽 (如图)，则d可能是 子后发现它每个面均是等边三角形，如图所 示，这个粽子可以近似看作 …( ) A.长方体 B.四棱锥 5 C.三棱柱 A.1 B.2 C.7 D.8 D.三棱锥 2.(2021河北1题)如图，已知 考点二平行线的性质和判定(10年6考， 四条线段a,b,c,d中的一条 挡板 2025最新考查) 与挡板另一侧的线段m在 6.(2025河北2题)榫卯结构是两个构件采取 同一直线上，请借助直尺判 凹凸结合的连接方式.如图是某个构件的截 abc d 断该线段是…( 面图，其中AD∥BC,∠ABC=70°，则 ∠BAD= …() A.a B.6 C.c D.d 3.(2020河北1题)如图，在平面内作已知直线 m的垂线，可作垂线的条数有…() 色 A.70° B.100° C.110° A.0条 B.1条 D.130 7.(2022河北11题)要得知作业纸上两相交直 C.2条 D.无数条 线AB,CD所夹锐角的大小，发现其交点不 4.(2017河北3题)用量角器测量∠MON的 在作业纸内，无法直接测量.两同学提供了 度数，下列操作正确的是 …( ) 两种间接测量方案如下： 方案I M \E一B B -D H 图1 ①作一直线GH,交AB,CD于点E,F; ②利用尺规作∠HEN=∠CFG; ③测量∠AEM的大小即可， 73 中考冲刺数学 方案Ⅱ ©十∠C(三角形的外角等于与它不相 G、E一B A 邻两个内角之和). C E一D 又∠BEC=∠B十∠C,得∠B=▲， H 故AB∥CD(@相等，两直线平行)， 图2 则回答正确的是……( ①作一直线GH,交AB,CD于点E,F; A.O代表∠FEC ②测量∠AEH和∠CFG的大小； B.@代表同位角 ③计算180°-∠AEH-∠CFG即可. C.▲代表∠EFC 对于方案I,Ⅱ，说法正确的是…( D.※代表AB A.可行，不可行 B.I不可行，Ⅱ可行 【创新考法】 C.I,Ⅱ都可行 D.I,Ⅱ都不可行 9.(跨学科融合·物理)如图，平行于主光轴 8.(2019河北7题)下面是投影屏上出示的抢 PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后， 答题，需要回答横线上符号代表的内容. 折射光线BE,DF交于主光轴上一点G.若 已知：如图，∠BEC=∠B十∠C ∠ABE=130°，∠CDF=150°，则∠EGF的 A 度数是…（) A B 求证：AB∥CD. C D 证明：延长BE交※于点F,则∠BEC A.60° B.70° C.80° D.90° 全国视野分层练 基础过关练 中国梦 1.(2025吉林长春)下面几何体中为圆锥的是 我的梦 A.我 B.中 C.国 D.梦 3.(2025河北保定莲池一模)根据语句“直线11 与直线2相交，点M在直线l1上，直线L2不 经过点M.”画出的图形是…（ ) B D 2.(2025吉林)一个正方体的展开图如图所 示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的 相对面上的字为…( 74 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 4.(2025陕西)如图，点O在直线AB上，OD 9.(2025湖南)如图，一条排水管连续两次转 平分∠AOC.若∠1=52°，则∠2的度 弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转 数为… ( 弯时∠CAB=145°，则∠ABD= A.76 B.74° C.64 D.52 BD D 10.如图，从A观察公路AB的走向是北偏东 1入人2 26°，在A的北偏东58°方向上有一点C,在 起跳线BC 第4题图 第5题图 点B处测得点C在北偏东70°的方向上 5.(2025广西)在跳远比赛中，某同学从点C 处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示.测 北 量线段AB的长度作为他此次跳远成绩（最 B 东 近着地点到起跳线的最短距离)，依据的数 学原理是…() A →东 A.垂线段最短 (1)点B位于点C的 方向上； B.两点确定一条直线 (2)∠ACB= C.两点之间，线段最短 11.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=80°. D.两直线平行，内错角相等 (1)求∠BAD的度数； 6.(2025贵州)下列图中能说明∠1=∠2一定 成立的是…( (2)AE平分∠BAD交BC于点E,∠BCD= 50°.求证：AE∥DC 12 12 D 7.(2025黑龙江绥化)如图，AD是∠EAC的 平分线，AD∥BC,∠B=38°，则∠C的度 数是…( A.16 B.30° C.38 D.76° B E 第7题图 第8题图 8.(2025四川凉山州)如图，DF∥AB,∠BAC= 120°，∠ACE=100°，则∠CED=·( ) A.30°B.40° C.60° D.80° 75 中考冲刺数学 一 素养提升练— 请说明理由； 1.(2025河北石家庄正定三模)如图，三角板 (2)将图1中的三角板绕点O按每秒4°的速 MON直角顶点O在直线AB上，OC是 度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程 ∠MOB的平分线，则∠AOM与∠NOC的 中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角 数量关系为……() ∠AOC,则t的值为多少？ (3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至 图3，使ON在∠AOC的内部，请探究： ∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明 理由. A.∠AOM=∠NOC B.∠AOM=2∠NOC M C.∠AOM=3∠NOC A O B D.∠AOM=90°-∠NOC M 图1 图2 图3 2.(2025河北保定阜平一摸)如图，已知AB∥ CD,∠EAF=3∠EAB,∠ECF-3∠ECD, 若∠AEC=69°，则∠AFC的度数为() E D A.23° B.36°C.42° D.46 3.如图，点M在线段AN的延长线上，且线段 MN=16,第一次操作：分别取线段AM和 AN的中点M1,N1;第二次操作：分别取线 段AM1和AN1的中点M2,N2;第三次操作： 分别取线段AM2和AN2的中点M,N3,连 续这样操作4次，则M4N4= A NMs N2 M2 N M 4.(一题练透)如图1，O为直线AB上一点，过点 O作射线OC,使∠BOC=112°.将一直角三角 板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线 OB上，另一边ON在直线AB的下方. (1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至 图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好 平分∠BOC,问：直线ON是否平分∠AOC? 76