第13讲 二次函数的实际应用-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精练册（河北专用）

②当a≠一1时，令ax2一4ax十4=一x2十3x十4，整理，得 (a+1)x2-(4a+3)x=0, 解得x=0或x=4a十3， a+1, 只有一个交点为(0,4)， .x只能有一个值为0， ∴.4a十3=0， a=-是 综上，a=-1或a=-是 微专题函数中的交点问题 1.D2.A3.C4.A 5.解：(1)在平面直角坐标系中，x轴上有一点A(一3,0)，将 点A先向右平移3个单位长度再向上平移2个单位长度 得到点B,,B(0,2).如图1， 图1 设直线AB的解析式为y=k1x十b1,把，点A,点B的坐标 (b1=2, (b1=2, 直线AB的解折式为y=号十2. 2 (2)由(1)得，直线AB的解析式为y=3x+2, CD∥y轴，.点D的横坐标为一2. 直线AB与线段CD有交点， ∴a>号×(-2)+2，解得a≥号 (3)的取值范围是-1<k≤-合 提示：y=kx-k十2=k(x-1)十2， y=kx一k十2经过定点(1,2)，如图2， 图2 ,·直线AB围成的封闭图形（不包括边界）有4个整，点， .当x=2时，y=2k一k十2>1，当x=3时，y=3k-k十 2≤1. (2k-k+2>1, 联立，得 3k一k+2≤1， 解得-1<≤-名，k的取值花周是-1<k≤- 1 6.A7.A 8.2或4 9.C 第13讲二次函数的实际应用 【河北十年真题练】 1.A 2解：1w=号2. (2)①Q=12-4x; ②当x=2时，Q是W薄的3倍. 3.解：(1)：抛物线C:y=a(x-3)2+2, .C1的最高点坐标为(3,2) :点A(6,1)在抛物线C:y=a(x-3)2+2上， .1=a(6-3)2+2, a=-号， ∴挑为线Cy=-号（红-3)+2， 当x=0时，c=1. (2).·嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到，点A水平距离 不超过1m的范围内可以接到沙包， .此时点A的坐标范围是(5,1)(7,1)， 当经过(5,1)时，1=-日×25+令×5+1+1， 解得n=吕， 当经过(7,1)时，1= -日×49+及×7+1+1，解得= 8 8 n为整数，∴.符合条件的n的整数值为4和5. 4.解：(1)对于抛物线y=一x2十 y个 ·P 4x+12, 令y=0,即x2-4x-12=0, K 解得x=一2或x=6, .A(-2,0), 点A的横坐标为一2. N DEx 补全y轴如图所示， 由题意可知台阶T4左边的端，点坐标为(4.5,7)，右边的端 点坐标为(6,7)， 当x=4.5时，y=9.75>7, 当x=6时，y=0<7, 当y=7时，7=一x2十4x十12， 解得x=一1或x=5,∴.抛物线与台阶T4有交点， 点P会落在台阶T4上 (2)由题意，设C的解析式为y=一(x一h)2十11， 如图，由(1)可知抛物线L与台阶 T4交点为R(5,7). 把R(5,7)的坐标代入C的解析 K 式，得7=-(5-h)2+11,解得h= 7或h=3, .h>5,.h=7, AO N DEX .C的解析式为y=-(x-7)2+11, .C的对称轴为直线x=7. 台阶T5的左边的端点为(6,6)，右边的端点为(7.5,6)， 6<7<7.5, ∴抛物线C的对称轴与台阶T。有交点. (3)对于y=-(x-7)2+11,当点P落在B,D之间时，其 横坐标x>7. 当y=2时，2=-(x-7)2+11,解得=4（舍去），x2=10, ∴.点P落在，点B时，xB=10; 当y=0时，0=-(x-7)2十11， 解得x1=7-√（舍去），x2=7+√I, 点P落在点D时，xD=7十√T, '.点B横坐标的最大值比最小值大(7+√I1十1)一10 w/11-2. 5.解：(1)k=18,h=5t (2),点M的横坐标x=5t十1， ,点M的纵坐标y=18-5t2. y=-吉x-102+18, 18 当y=13时，解得x=6(负值舍去)，把x=6代入y= x 得y=3,.运动员与正下方滑道的竖直距离为13一3= 10(米). (3)t=1.8,vz的取值范围是vz>7.5. 6,解：(1=6+0，一件产品的利润不能是12万元。 (2)k=13,不存在某个月既无盈利也不亏损， (3)当m=1或m=11时，第m个月和第(m十1)个月的利 润相差最大. 7.解：(1)18xw=一x2+42x+100[解析]若开设3条安 检通道，安检时间为x分钟，则已入场人数为（用x表示） 18x,若排队人数为w,则w与x的函数表达式为w=y一 18x=-x2+42.x+100. (2)w=-x2+42x+100=-(x-21)2+541, .当x=21时，0爱大催=541. 答：排队人数在第21分钟达到最大值，人数最大为541. (3)设开了m条通道，则w=y-6mx=-x2+60x十100- 6mx=-x2+6(10-m)x+100, '.对称轴为直线x=3(10一m). .排队人数10分钟（包括10分钟）内减少， 0≤3(10-m)<10,即9≤m≤10. 又·最多开放9条通道， 9<m<9. m为正整数， .m最小值为7， 最少开放7条通道。 【全国视野分层练】 基础过关练 1.D2.B3.D4.B5.C6.457.4m 8.解：(1)(0,70)(40,30) 1 (2)把A(0,70),P(40,30)代入y=一16x+br+c,得 3 (70=c, 解得 30=一100+40b+c, (c=70, y=+号0 (3)设直线BC的表达式为y=kx十b1,把C(0,60),P(40, 30)代入，得 60=b, 解得 30=40k+b1, (b1=60, “直线BC的表达式为y=-子z十60， 设Mm,一后+号m+70)到BC竖直方向上的距高最 大，作MN∥y轴交抛物线和直线BC于点M,N, M A 助滑道℃ N ∴N(m,-是m+60）, MN=-6m+2m+70-(-子m+60） r4m+10 =-6(m-180+19 41 -<0, .当m=18时，MN的值最大， 即当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，此时 的水平距离为18m. 9.解：(1)设A款“哪吃”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒” 纪念品每个进价为y元， 200x+300y=14000, 由题意，得《 解得 /x=40, 100x+200y=8000, y=20. 答：A款“哪吃”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念 品每个进价为20元， (2)设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品 (400-m)个， 由题意，得40(400一m)+20m≤12000， 解得m≥200， .m的最小值为200. 答：至少需要购进B款纪念品200个. (3)由题意，得 W=(a-40)[200-5(a-60)] =(a-40)(200-5a+300) =(a-40)(500-5a) =500a-20000-5a2+200a =-5(a-70)2+4500, .-5<0,60≤a≤100， .当a-70=0,即a=70时，W最大，最大值为4500. 素养提升练 1.C2.D3.34% 4解：1)点A(0,2),B(6,0.5在抛物线y=-日十h6x十c 2=c, 上，代入得 解得 b=2 .5=-g×36+6+,解 (c=2, 抛物线的解折式为)=一名2+号叶2=-日（红一2》+号， 抛物线的顶点坐标为(2，昌）】 (2)点B(6,0.5),BC⊥OC,点C在x轴上， .C(6,0) A(0,2),C(6,0), ∴.设y=kx十2，即0=6k十2， 部得子 1 故直线AC的解析式为y=一3x+2. 由延意可夜M(m,言n+2)小m>0. .MA=NA,MN⊥x轴， .,点A在MN中垂线上，故yM十yN=2yA=4, 解得w=日m十2， 1 N(m,3m+2: ,点N在抛物线上， 子m+2=一日m+合n+2,鉴理，得m3m-0=0, 解得m-0(会去)减号，此时-弓n十2-兰， M专) 2=-日+ MN=DE=1.25,即d=1.25, -日r+号=1.25，整里，得3x-20x+30=0, 解得=10，=10+四 3 3 MN在DE左侧，故cM=10- ,o=10+ 3 3 10-√10_10+√10 ∴DM=EM-xDl」 3 3 = 20 cos∠ACO 6 9· √62+22 ②夜MN=DB=d,则d=-日2+名x=d在0<x<6 上有两解，且m为其中较小解， 即直线d=d与鹅物线d=-日r+名：在0<x<6上有 两交点， 当=6时，d=-合×6+5=宁 1 令2+名得号6（合 <m<6 又d=-+=-(-）'+， 1 对稀轴为直线x=号。 m为直线d=d与抛物线d=一弓r十名x两文点中家在 10 一点的横坐标，故m<3 综上，号<m< 10 第四模块图形的认识与三角形 第14讲几何初步及平行线、相交线 【河北十年真题练】 1.C2.A3.D4.C5.D6.C7.C8.C9.C 【全国视野分层练】 基础过关练 1.C2.C3.D4.A5.A6.A7.C8.B 9.145°10.(1)南偏西70°（或西偏南20）(2)12 11.(1)解：AD∥BC,.∠B+∠BAD=180°. .∠B=80°，.∠BAD=100°. (2)证明：.AE平分∠BAD,∴.∠DAE=50° :AD∥BC,.∠AEB=∠DAE=50°. ·∠BCD=50°，.∠AEB=∠BCD,∴.AE∥DC 素养提升练 1.B2.D3.1 4.解：(1)直线ON平分∠AOC.理由：如图1，延长NO到D, ∠MON=90°，∴.∠MOD=90°， ∴.∠MOB+∠NOB=90°，∠MOC+∠COD=90°. ,∠MOB=∠MOC,∴.∠NOB=∠COD. '∠NOB=∠AOD,∴∠COD=∠AOD,第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 第13讲二次函数的实际应用（近三年8~10分） 河北十年真题练 2016-2025) 考点二次函数的实际应用(10年5考) 命题角度二以实物模型为背景 命题角度一 以几何图形为背景 3.（2023河北23题)嘉嘉和淇淇在玩沙包游 戏.某同学借此情境编制了一道数学题，请 1.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的 面积成正比，设边长为x厘米，当x=3时， 解答这道题. y=18,那么当成本为72元时，边长为() 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度 A.6厘米 B.12厘米 代表1m长.嘉嘉在点A(6,1)处将沙包（看 C.24厘米 D.36厘米 成点)抛出，其运动路线为抛物线C:y= 2.(2020河北23题)用承重指数W衡量水平 a(x一3)2十2的一部分，淇淇恰在点B(0,c) 放置的长方体木板的最大承重量，实验室有 处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线 一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实 1 为抛物线CG:y=一82+名x十c十1的一 验发现：木板承重指数W与木板厚度x(厘 部分 米)的平方成正比，当x=3时，W=3. (1)写出C1的最高点坐标，并求a,c的值； (1)求W与x的函数关系式； (2)若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到 (2)如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它 点A水平距离不超过1m的范围内可以接 分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块 到沙包，求符合条件的n的整数值. 板（不计分割损耗）.设薄板的厚度为x(厘 ↑y/m 米)，Q=W厚一W薄 3 、C2 ①求Q与x的函数关系式； B y ②x为何值时，Q是W薄的3倍？ 0 6 x/m [注：(1)及(2)中的①不必写x的取值范围] 宽 长 薄板 厚板 67 中考冲刺数学 4.(2021河北25题)如图是某同学正在设计的 5.(2018河北26题)如图是轮滑场地的截面示 动画示意图，x轴上依次有A,O,N三个 意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴 点，且AO=2,在ON上方有五个台阶T1 交于点B,与滑道y=(x≥1)交于点A,且 x T(各拐角均为90°)，每个台阶的高、宽分别 是1和1.5，台阶T1到x轴距离OK=10. AB=1米，运动员（看成点）在BA方向获得 从点A处向右上方沿抛物线L:y=一x2+ 速度米/秒后，从A处向右下方向飞向滑 4x+12发出一个带光的点P. 道，点M是下落路线的某位置.忽略空气阻 (1)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴， 力，实验表明：M,A的竖直距离h(米)与飞 并直接指出点P会落在哪个台阶上； 出时间t(秒)的平方成正比，且t=1时h (2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成 5;M,A的水平距离是vt米 了另一条与L形状相同的抛物线C,且最大 (1)求k,并用t表示h; 高度为11，求C的解析式，并说明其对称轴 (2)设v=5.用t表示点M的横坐标x和纵 是否与台阶T,有交点； 坐标y,并求出y与x的关系式（不写x的 (3)在x轴上从左到右有两点D,E,且DE= 取值范围)，及y=13时运动员与正下方滑 1,从点E向上作EB⊥x轴，且BE=2.在 道的竖直距离； △BDE沿x轴左右平移时，必须保证(2)中 (3)若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分 沿抛物线C下落的点P能落在边BD(包括 别是5米/秒、2米/秒.当甲距x轴1.8米，且 乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写 端点)上，则点B横坐标的最大值比最小值 大多少？ 出t的值及vz的范围. [注：(2)中不必写x的取值范围] 18 13 M M B 1.8 DE x o1 68 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 命题角度三利润问题 通道，平均每条通道每分钟可安检6人， 6.(2017河北26题)某厂按用户的月需求量 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安 x(件)完成一种产品的生产，其中x>0.每 检，经研究发现，现场总人数y与安检时间 件的售价为18万元，每件的成本y(万元) x之间满足关系式：y=一x2+60x+100 是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不 (0≤x≤30). 变，浮动价与月需求量x(件)成反比.经市 结合上述信息，请完成下述问题： 场调研发现，月需求量x与月份n(n为整 (1)当开通3条安检通道，安检时间x分钟 数，1≤n≤12)符合关系式x=2n2-2kn+ 时，已人场人数为 ,排队人数心与 9(十3)(.为常数)，且得到了表中的数据. 安检时间x的函数关系式为 月份n/月 2 【模型应用】 成本y/(万元/件) 11 12 (2)在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达 需求量x/(件/月) 120 100 到最大值，最大人数为多少？ (1)求y与x满足的关系式，请说明一件产 (3)已知该演出主办方要求： 品的利润能否是12万元； ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10 (2)求k,并推断是否存在某个月既无盈利 分钟)减少； 也不亏损； ②尽量少安排安检通道，以节省开支， (3)在这一年12个月中，若第m个月和第 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检 (m+1)个月的利润相差最大，求m. 通道，请说明理由？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模 型的正确性，未来可结合更多变量（如突发 情况、安检流程优化等)进行更深入的分析， 以提高模型的准确性和实用性， 黑点表示观众 00 安检口00o00 鳞 00 安检口00000 【创新考法】 台 安检口00000 7.综合与实践 O 【问题背景】排队是生活中常见的场景.如 通道未开放 图，某数学小组针对某次演出，研究了排队 人数与安检时间，安排通道数之间的关系。 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时 刻都满足：排队人数=现场总人数一已入场 人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检 69 中考冲刺数学 全国视野分层练 基础过关练 系.其部分图象如图所示.根据图象，下列结 1.一种线型合成材料，其成本y(元)与材料长 论正确的是……( y 度x(米)的平方成正比.已知材料长度为2米 时，成本为4元；若材料长度为4×103米，则 0.6 0.3 该材料的成本用科学记数法表示为…( A.16×105元 B.1.6×106元 可20010003000x C.16×106元 D.1.6×107元 A.当x≥1000时，y随x的增大而减小 2.(2025甘肃)如图，一个圆m B.当x=2000时，y有最大值 形喷水池的中央竖直安 C.当y≥0.6时，x≥1000 装了一个柱形喷水装置 D.当y=0.4时，x=600 OM,喷头M向外喷水，水 x/m 5.九年级(2)班计划在劳动实践基地内种植蔬 流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径 菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一 落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出 边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积 的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系 尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三 式是y=一x+2z十(z>0),则水流喷出 角形（底边靠墙）和半圆形这三种方案，最佳 方案是…( 的最大高度是…… A.3 m B.2.75m C.2m D.1.75m 方案1 方案2 方案3 3.销售某商品，每件进价10元，原售价每件 A.方案1 B.方案2 30元，每月可售出80件，若每件售价每上升 C.方案3 D.方案1或方案2 1元，则每月少售出2件.有下列结论： 6.(2025河北云家庄桥西一模)从地面竖直向 ①售价提高10元时，每月总利润最高，为1800元； 上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小 ②售价上升5元时，每月总利润为1750元； 球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是 ③售价为38元和售价为42元时，每月所获 h=30t-5t(0≤t≤6)，则小球的最大高度 总利润相同， 为 m. 其中，正确结论的个数是 7.(2025河北摸拟)如图，某 A.0 B.1 C.2 D.3 公司的大门是一抛物线形 8m 4.（2025山东)在水分、养料等条件一定的情 建筑物，大门的地面宽度 况下，某植物的生长速度y(厘米/天)和光 和大门最高点离地面的高 8 m 照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低 度都是8m,公司想在大门两侧距地面6m 光照强度范围(200≤x<1000)内，y与x近 处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为 似成一次函数关系；在中高光照强度范围 (x≥1000)内，y与x近似成二次函数关 70 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 8.(2025河北邯郸校级三模)跳台滑雪是冬季 9.(2025四川内江)2025年春节期间，我国国 奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过 产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国 助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在 电影票房的新纪录，商家推出A,B两款“哪 着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路 吒”文旅纪念品.已知购进A款200个，B款 线可以看作抛物线的一部分，这里OA表示 300个，需花费14000元；购进A款100个， 起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆 B款200个，需花费8000元. 坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点 (1)A,B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为 O的水平距离，建立如图所示的平面直角坐 多少元？ 标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖 (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划 直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m) 用不超过12000元的资金购进A,B两款 近似满足函数关系：y=一 6x2+ba+c,已 “哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进 B款纪念品多少个？ 知OA=70m,OC=60m,落点P的水平距 (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品 离是40m,竖直高度是30m. 售价60元时，可售出200个，售价每增加 (1)点A的坐标是 ,点P的坐标是 1元，销售量将减少5个.设每个A款纪念 品售价a(60≤a≤100)元，W(单位：元)表示 (2)求y与x的函数关系式； 该商家销售A款纪念品的利润，求W关于 (3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆 a的函数表达式，并求出W的最大值， 坡BC竖直方向上的距离达到最大时，求此 时的水平距离。 助滑道 7列 中考冲刺数学 素养提升练 点B(6,0.5).已知喷水管BC及所有树木都 1.(2024天津)从地面竖直向上抛出一小球， 与QC垂直，抛物线的解析式为y=一言十 小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间 bxc. t(单位：s)之间的关系式是h=30t一5t (1)求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标； (0≤t≤6).有下列结论： (2)若抛物线恰好过小树MN的树顶N,点 ①小球从抛出到落地需要6$； M在斜坡AC上，且点A到M,N两点距离 ②小球运动中的高度可以是30m; 相等，求点M的坐标； ③小球运动2s时的高度小于运动5s时的 (3)若DE,MN为两棵等高小树(MN在左 高度、 侧，小树粗细忽略不计，点M,D均在斜坡上 其中，正确结论的个数是 …( 且与点C不重合)，抛物线恰好经过E,N A.0 B.1 C.2 D.3 两点， 2.坐标平面上有二次函数y=一(x十7)2+ ①当MN=1.25时，求DM长； 12的图形，今将此图形向右平移10个单 ②直接写出点M的横坐标m的取值范围. 位长度，平移过程中此图形与y轴的交点 也会跟着变化.假设此图形与y轴的交点 为P,判断在平移过程中，P点位置的变 化情形为 0 A.持续向下 B.持续向上 C.先向下再向上 D.先向上再向下 3.某公司去年的销售额为100万元，预计未来 三年的销售额增长率将按照二次函数的模 型增长.设增长率为y%,时间（年）为x,假 设增长率函数模型为y=2x2十bx十c.根据 市场分析，今年（第一年）的增长率为10%， 明年（第二年）的增长率为20%，那么第三年 的增长率为 4.（2025河北样卷)如图，斜坡AC上种有若干 树木，底部有一喷水管BC,某时刻从B处喷 出的水流恰好落在A处，水流呈抛物线状， 建立恰当平面直角坐标系，得到点A(0,2), 2