第7讲 一元二次方程及其应用-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精练册（河北专用）

学习委员说得对。 (2)存在，理由如下： 设每本软面笔记本为m元(1≤m≤12，m是整数)，则每本 硬面笔记本为(m十a)元. 由题意，得12=21 3 Fm=m干a,解得a=年m, a为正整数，.m=4或8或12， .a=3或6或9. 当/m8, 时，2-21=1.5，不符合题意； la=6 mm十a 当/m=4, a=3 ，是=。=3特合题毫： 当/m12, 时，12=21=1，符合题意 (a=9 mm+a .a的值为3或9. 第7讲一元二次方程及其应用 【河北十年真题练】 1.C2.-√32或-1 3.解：(1)四x=-b±6-4ac 2a (2)将方程x2一2x一24=0变形，得 x2-2x=24, x2-2x+1=24+1, (x-1)2=25, x-1=±5， 所以x1=一4，x2=6. 4.A5.C6.A7.B 8.解：(1)关于x的一元二次方程x2一(2k十4)x十k一6=0 有两个不相等的实数根， ∴.b2-4ac=[-(2k+4)]2-4k(k-6)>0,且k≠0， 解得公一号且0， (2)当=1时， 原方程为x2一(2×1+4)x+1一6=0， 即x2-6x-5=0,移项，得x2一6x=5, 配方，得x2-6x十9=5十9， 即(x-3)2=14, 直接开平方，得x一3=土√14， 解得x1=3+√14，x2=3-√/14. 9.10 10.解：（任务1）设AB=xm,则AD=(60+2-2x)m, 根据题意，得x(60十2一2x)=300, 整理，得x2一31x十150=0， 解得x1=25,x2=6, 当x=25时，60十2-2x=60十2-2×25=12<28，符合 题意： 当x=6时，60+2一2x=60+2一2×6=50>28，不符合 题意，舍去 答：当长方形菜园ABCD的长BC为12m时，菜园的面 积为300m. (任务2)不能围成500m的长方形菜园，理由如下： 假设能围成500m的长方形莱园，设AB=ym,则AD= (60+2-2y)m, 根据题意，得y(60+2-2y)=500, 整理，得y2-31y十250=0， .△=(-31)2-4×1×250=-39<0， ·原方程没有实数根， ∴.假设不成立，即不能围成面积为5002的长方形菜园， 【全国视野分层练】 基础过关练 1.D2.C3.A4.A5.D6.B7.B 8.239.29 10.解：(1)-1(23-子 (3)①k>-6 ②k取最小整数值，∴.k=0,.一4x2十x=0, x(-4x+1)=0,x1=0,x2=4 21 40片@-话 (5)当k=1,方程为一4x2十x十1=0， ∴.△=b2-4ac=12-4×(-4)×1=17, ∴x= -1±17_-1±17 2×(-4) -8 a=1+厘，a=1 8 8 11.(1)解：把x1=-1代入方程(x-1)(x-2)=m2,得 m2=6, m=土√6. .(x-1)(x-2)=6,即x2-3x-4=0. .(x一4)(x+1)=0. .x1=-1,x2=4..x2=4,m=士√6. (2)证明：方程(x一1)(x一2)=t可化为x2-3x十2一2=0. △=9-4(2-m2)=4m2+1>0, 方程有两个不相等的实数根， .方程(x一1)(x一2)=m2即x2一3x十2-m2=0的两根 为x1,x2, 1+x2=3,x1·x2=2-m2. .(x1-1)(x2-1) =x1·x2-(x1+x2)十1 =2-m2-3+1 =-m2. .m2≥0， .-m2≤0，即(x1-1)(x2-1)≤0 素养提升练 1.D2.A3.C4.B5.C 6.解：(1)这两个方程是“同根方程”， 理由：解(x-1)2=16,得x1=5,x2=一3， 解x2-4x一5=0，得x1=5,x2=一1， ,一元二次方程(x-1)2=16与x2-4x-5=0有且只有 一个相同的实数根x=5, ,,这两个一元二次方程为“同根方程” (2)x2-3x+2=0, (x-2)(x-1)=0, x一2=0或x一1=0， .x1=1,x2=2. ,一元二次方程x2-3x十2=0与x-m=0为“同根方程”， ',当相同的实数根为x=2时，将x=2代入x2一m=0得 4一m=0,解得m=4,此时一元二次方程x2一m=0的另 一个根为x=一2，符合题意； ∴.当相同的实数根为x=1时，将x=1代入x2一m=0得 1一m=0,解得m=1,此时一元二次方程x2一m=0的另 一个根为x=一1，符合题意. 综上，m的值为1或4. 7.:(1)设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件， 依题意，得z+y=30, 1x=20, 解得 (30x+25y=850, y=10. 答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件 (2)设购进m件A款钥匙扣，则购进(80一m)件B款钥 匙扣， 依题意，得30m+25(80一m)≤2200，解得m≤40. 设再次购进的A,B两款钥匙扣全部售出后获得的总利润 为0元，则w=(45-30)m十(37-25)(80-m)= 3m+960. 3>0,.心随m的增大而增大， ∴.当m=40时，w取得最大值，最大值为3×40十960= 1080,此时80-m=80-40=40(件). 答：当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能获 得最大销售利润，最大销售利润是1080元. (3)设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为 (a-25)元，平均每天可售出4十2(37-a)=(78-2a)件， 依题意，得(a-25)(78-2a)=90, 整理，得a2一64a十1020=0， 解得a1=30,a2=34. 答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙 扣平均每天销售利润为90元. 第8讲一元一次不等式（组）及其应用 【河北十年真题练】 1.B2.B3.C4.A5.C 6.解：(1)2x≤6， 不等式两边同时除以2，得x≤3， 在数轴上表示如下所示： -4-3-2-101234 (2)3-x<5, 移项，得一x<5一3， 合并同类项，得一x<2, 系数化为1，得x>-2, 在数轴上表示如下所示： -4-3-2-101234 2x≤6，① (3)-2<x≤3.提示： 3-x<5,② 解不等式①，得x≤3， 解不等式②，得x>一2， .原不等式组的解集为一2<x≤3. 7.解：(1)根据题意，得P=3(}-2）=3×(-号)=-5 (2)由数轴知P≤7， 即3（行-m）≤1，解得m≥-2， .m的负整数值为-1，-2. 8.解：1)-9)+5=，4--2. 2 2 (2)由题意，得二9+5+m<m,解得m>一2， 3 m为负整数，∴.m的值为一1. 9.B10.A 11.解：(1)嘉嘉所列方程为101-x=2x, 解得x=3号 =3号不是整载，不符合题意， 。淇淇的说法不正确. (2)设A品牌乒乓球有x个，则B品牌乒乓球有(101一 x)个， 依题意，得101-x-≥28，解得x≤36号， 又，x为整数，.x可取的最大值为36. 答：A品牌球最多有36个. 【全国视野分层练】 基础过关练 1.A2.C3.C4.C5.B6.x>2 7.m≤38.-2≤a<-1 2x-2<x,① 解不等式①，得x<2, 解不等式②，得x≥一1， .原不等式组的解集为一1≤x<2, .不等式组的所有整数解为一1,0,1. 10.解：(1)由题意，得（一9）十2十8十(-7)=一6. 答：路线A→B→C上所有数字的和为一6. (2)2×(-1)>3x+2(x-4), 解得<号 .x的正整数解为1.第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 第7讲一元二次方程及其应用（近三年23分） 河北十年真题练 2016-2025) 考点一一元二次方程的解法(10年2考) 【创新考法】 4.（数学文化)我国古代数 X+2 1.(2024河北9题)淇淇在计算正数a的平方 学家赵爽（公元3一4世 x+2 时，误算成a与2的积，求得的答案比正确 纪)在其所著的《勾股圆 X+2 答案小1，则a=…( ) 方图注》中记载过一元二 x+2 A.1 B.√2-1 次方程正根的几何解法，以方程x2十2x C.√2+1 D.1或√2+1 8=0即x(x十2)=8为例说明，记载的方法 2.(2017河北19题)对于实数p,q,我们用符 是：构造如图，大正方形的面积是(x十x十 号min{p,q}表示p,g两数中较小的数，如 2)2,同时它又等于四个矩形的面积加上中 min{1,2}=1.因此min{-√2，-√3}= 间小正方形的面积，即4×8十2，因此(x十 ;若min{(x-1)2,x2}=1,则x= x十2)2=4×8十2，所以x=2.则在下面四个 构图中，能正确说明一元二次方程x2一4x 5=0正根的几何解法的构图是…（ ) 3.嘉淇同学用配方法推导一元二次方程a.x2十 bx+c=0(a≠0)的求根公式时，对于b 4ac>0的情况，她是这样做的： 由于a≠0，方程ax2+bx十c=0变形为 A x+5x= 第一步 a 考点二 一元二次方程根的判别式(10年 +名+(=-+（），… 4考，2025最新考查》 第二步 a 5.(2025河北6题)若一元二次方程x(x+2) (x+)2=2-4ac 第三步 3=0的两根之和与两根之积分别为m,n,则 2a/ 4a2 点(m,n)在平面直角坐标系中位于…() b √-4ac(b-4ac>0)， …… 第四步 2a 2a A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 -b+√6-4ac 第五步 2a 6.(2019河北15题)小刚在解关于x的方程 (1)嘉淇的解法从第 步开始出现错 ax2十bx十c=0(a≠0)时，只抄对了a=1, 误；事实上，当b2-4ac>0时，方程a.x2+ b=4,解出其中一个根是x=一1.他核对时 bx+c=0(a≠0)的求根公式是 发现所抄的c比原方程的c值小2，则原方 程的根的情况是…( (2)用配方法解方程x2-2x一24=0. A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有一个根是x=-1 D.有两个相等的实数根 31 中考冲刺数学 7.(2016河北14题)已知a,b,c为常数，且 【创新考法】 (a-c)2>a2十c2,则关于x的方程a.x2十bx十 10.（综合与实践)实践活动：某中学“田园梦工 C=0的根的情况是… 厂”社团准备围建一个长方形菜园ABCD A.有两个相等的实数根 (如图). B.有两个不相等的实数根 素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为 C.无实数根 28m,菜园的一边靠墙，另外三边用总长为 D.有一根为0 60m的铝合金材料围建. 8.已知关于x的一元二次方程kx2一(2k十 素材2：与墙平行的一边上要预留2m宽 4)x十k一6=0有两个不相等的实数根. 的入口. (1)求k的取值范围； 任务1：当长方形菜园ABCD的长BC为 (2)当k=1时，用配方法解方程. 多少米时，菜园的面积为300m2? 任务2：能否围成面积为500m的长方形 菜园？若能，求出BC的长；若不能，请说 明理由. 28m 考点三一元二次方程的应用（不单独考查） 9.一种药品经过两次降价，药价从原来每盒 60元降至现在的48.6元，则平均每次降价 的百分率是 %. 全国视野分层练 基础过关练 情形，下列叙述正确的是…（ 1.将一元二次方程2x2一5x=3化成一般形式 A.甲有两个不相同的解，乙无解 ax2+bx+c=0(a>0)之后，二次项系数、一 B.甲有两个不相同的解，乙有两个不相同 次项系数和常数项分别是…() 的解 A.2,5,3 B.2,-5,3 C.甲有两个相同的解，乙无解 C.2,5,-3 D.2,-5,-3 D.甲有两个相同的解，乙有两个不相同的解 2.(2025户西)已知x1,x2是方程x2-20x- 4.(2025辽宁)中国古代数学家杨辉的《田亩 25=0的两个实数根，则x1十2=…( 比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四 A.-25B.-20C.20 步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.”其 D.25 3.已知甲方程式为(x一4)2=9，乙方程式为 大意是：一块矩形田地的面积为864平方 (x十9)2=一4.关于甲、乙两方程式的解的 步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比 32 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据 (3)若此一元二次方程有两个不相等的实 题意可列方程为……（ 数根. A.x(60-x)=864 ①k的取值范围是 B.x(x-60)=864 ②当取最小整数值时，求此一元二次方 C.x(60+x)=864 程的解； D.2[x+(x+60)]=864 (4)若此一元二次方程的两根分别为 5.(2025甘肃兰州)若关于x的一元二次方程 x1,C2. x2十2x十a=0有两个不相等的实数根，则a ①当x+x= 时= 的值可以是… ( A.3 B.2 C.1 D.0 ②当x1= 2x2时，k= 6.(2025河北邢台南宫模拟)某数学兴趣小组 (5)当k=1时，用公式法解此方程. 的四人以接龙的方式用配方法解一元二次 方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师 看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误 是从某位同学负责的步骤开始出现的.”则 这位同学是 ( 原方程 甲 乙 11.(2025四川南充)设x1,x2是关于x的方程 2x2+4x-1=0 2x2+4x=1 x2+2x=1 (x一1)(x-2)=m2的两根. 丁 丙 x1=J2-1 x2+2x+1=1 (1)当x1=-1时，求x2及m的值. x2=2-1 c+1)P=2 (2)求证：(x1一1)(x2-1)≤0. A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 7.(2025甘肃)关于x的一元二次方程3x2一 6x+m=0有两个实数根，则m的取值范 围是…（ A.m<3B.m≤3C.m>3D.m≥3 8.(2025河北石家庄校级一模)一元二次方程 x2-☐x十2=0的两根为m,n,且mm(m十n)= 素养提升练 46,其中“☐”表示一个数，则“☐”为 9.(2025四川广安)已知方程x2-5x-24=0 1.(224阿北石家庄一模)若x=2±4-4X3X(-D 2×3 的两根分别为a和b,则代数式a2一4a十b 是一元二次方程ax2十bx+c=0的根，则 的值为 a+b+c= 10.(一题通关)(m一3)xm-川+x十k=0是关 A.-2B.4 C.2 D.0 于x的一元二次方程 2.(2025河北邯郸武安二模)俗语有云：“一天 (1)m= 不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门 (2)若此方程有一根为1，则的值为 外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技 ,另一个根为 艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过 33 中考冲刺数学 的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分 我们就称这两个方程为“同根方程”.例如， 比是一样的，设为x,根据“两天不练丢一 x2=9和(x-2)(x+3)=0有且只有一个相 半”，有下列说法（√2取1.4）： 同的实数根x=一3，所以这两个方程为“同 甲：可列方程1-x)=2 根方程”。 (1)请判断一元二次方程(x一1)2=16与x2 乙：可列方程1-2x=50%; 4x一5=0是否属于“同根方程”，说明理由； 丙：每天“遗忘”的百分比约为30%； (2)关于x的一元二次方程x2一3x十2=0 丁：每天“遗忘”的百分比约为25% 与x2一m=0为“同根方程”，求m的值. 其中正确的是………( A.甲、丙B.甲、丁C.乙、丙D.乙、丁 3.（2025河北邯郸武安二模)已知x1=一1是 关于x的方程x2十bx+c=0的一个解，该 方程的另一个解为x2,则下列说法正确的是 …( ) 7.(一题练透)某大型活动期间，某网店直接从 A.b-c=-1 B.b≤4c 工厂购进A,B两款钥匙扣，进货价和销售 C.b=1-x2 D.c-x2 价如下表：（注：利润=销售价一进货价） 4.(2026预测题)探讨关于x的一元二次方 类别 A款钥匙扣 B款钥匙扣 程ax2+bx一1=0总有实数根的条件，下 进货价/八元/件) 30 25 面三名同学给出建议： 销售价/八元/件】 45 37 甲：a,b同号； (1)网店第一次用850元购进A,B两款钥匙扣 乙：a-b-1=0; 共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数； 丙：a+b-1=0. (2)第一次购进的钥匙扣售完后，该网店计 其中符合条件的是 划再次购进A,B两款钥匙扣共80件（进货 A.甲、乙、丙都正确B.只有甲不正确 价和销售价都不变)，且进货总价不高于 C.甲、乙、丙都不正确D.只有乙正确 2200元，应如何设计进货方案，才能获得最 5.(2025河北一模)小明在解关于x的一元二 大销售利润，最大销售利润是多少？ 次方程2mx2一nx+2=0(m≠0)时，把一次 (3)活动临近结束时，网店打算把B款钥匙扣 项的符号抄成“+”，得到其中一个根是x= 调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4 一2，则方程2mx2一nx+2=0(m≠0)根的 件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售 情况是…( 2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款 A.无实数根 钥匙扣平均每天销售利润为90元？ B.有两个不相等的实数根 C.有两个实数根 D.有一个根是x=一2 6.（2025河北石家庄校级摸拟)定义：若两个 一元二次方程有且只有一个相同的实数根， 34