第5讲 一次方程(组)及其应用-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精练册（河北专用）

中考冲刺数学 第一部分 河北中考·考点过关 第二模块 方程（组)与不等式（组) 第5讲 一次方程（组）及其应用（近三年2~9分） 河北十年真题练 2016-2025) 考点一 等式的基本性质(10年1考) 考点三 一次方程（组）的应用(10年5考， 1.设x,y,c是实数，下列说法正确的是（) 2025最新考查) A.若x=y,则x十c=y一c 4.(2022河北15题)“曹冲称象”是流传很广的 B.若x=y,则xc=yc 故事，如图，按照他的方法：先将象牵到大船 C.若x=y,则二=义 上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后 往船上抬入20块等重的条形石，并在船上 D.若2-六则2x-3y 留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位 置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只 2.(2018河北7题)如图，有三种不同质量的物 留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置. 体“⑦”“”“o”,其中，同一种物体的质量都 已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石 相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同 的质量是x斤，则正确的是（斤：市制中的质 个数的物体，只有一组左右质量不相等，则 量单位)…( ) 该组是… 孙权曾致巨象，太祖欲知 其斤重，访之群下，咸莫能 出其理冲曰：“置象大船 之上，而刻其水痕所至，称 B 物以载之，则校可知矣” 一《三国志》 A.依题意3×120=x-120 D B.依题意20x+3×120=(20+1)x+120 考点二一次方程（组）的解法(10年1考) C.该象的质量是5040斤 3.(2019河北18题)如图，约定：上方相邻两数之 D.每块条形石的质量是260斤 和等于这两数下方箭头共同指向的数. 5.(2025河北15题)甲、乙两张等宽的长方形 示例： 纸条，长分别为a,6.如图，将甲纸条的}与 m 乙纸条的号叠合在一起，形成长为81的纸 7 y 条，则a十b= 即4+3=7 则：(1)用含x的式子表示m= (2)当y=一2时，n的值为 22 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 6.(2022河北19题)如图，棋盘旁有甲、乙两个 度的增加量； 围棋盒 (3)将原长相等的铜棒和铁棒从0℃开始分 别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的 温度比铜棒的高20℃，求该铁棒温度的增 加量. (1)甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是 白子，共8个.嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放 入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数 的2倍，则a= (2)设甲盒中都是黑子，共m(m>2)个，乙 盒中都是白子，共2m个.嘉嘉从甲盒拿出 8.(2023河北20题)某惯性飞镖游戏的靶盘如 a(1<a<m)个黑子放人乙盒中，此时乙盒 图，珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投 棋子总数比甲盒所剩棋子数多 个； 到边界则不计入次数，需重新投，计分规则 接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲 如下： 盒，其中含有x(0<x<a)个白子，此时乙盒 投中位置 A区 B区 脱靶 中有y个黑子，则兰的值为 一次计分/分 3 1 -2 在第一局中，珍珍投中A区 7.(2025河北22题)一般固体都具有热胀冷缩 4次，B区2次，脱靶4次. 的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨 (1)求珍珍第一局的得分； A区 胀.在0~100℃（本题涉及的温度均在此范 B区 (2)第二局，珍珍投中A区 围内)，原长为1m的铜棒、铁棒受热后，伸 次，B区3次，其余全部脱靶.若本局得分比 长量y(m)与温度的增加量x(℃)之间的关 第一局提高了13分，求的值。 系均为y=αlx,其中a为常数，称为该金属 的线膨胀系数.已知铜的线膨胀系数acu= 1.7×10-5(单位：/℃)；原长为2.5m的铁 棒从20℃加热到80℃伸长了1.8× 10-3m. (1)原长为0.6m的铜棒受热后升高 50℃，求该铜棒的伸长量（用科学记数法 表示)； (2)求铁的线膨胀系数are;若原长为1m的 铁棒受热后伸长4.8×10-4m,求该铁棒温 23 中考冲刺数学 【创新考法】 酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率 9.(传统文化)北京风筝制作技艺是国家级非 (出酒率= 出酒量×100%)如表： 物质文化遗产.为制作一只京燕风筝，小明 糟醅量 准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根 类 别 原材料 出酒率 等长的膀条和两根等长的尾条.他将门条和 粮食糟醅（含大米、糯米、 粮食酒 30% 膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨 谷壳、大曲和蒸馏水) 架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比 芋头糟醅（含芋头、小曲 是1：1：2.已知单根膀条长是胸腹高的5 芋头酒 20% 和蒸馏水) 倍，门条比单根膀条短10cm,图1中BC的 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头 长是门条长的哥，AB,CD的长均等于胸骏 酒共16千克；第二次实验分别蒸馏出粮食 高.求这只风筝的骨架的总高， 酒和芋头酒共36千克，且所用的粮食糟醅 A B CD门条 量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次 膀条 的3倍 膀条 尾条 尾条 (1)第一次实验分别用了多少千克粮食糟 醅和芋头糟醅？ 图1 (2)受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏 B 头部高 器的出酒量约为现代复原品的80%.若粮 AMD 胸腹高 总高 食糟醅中大米占比约为子，请问，在古代要 尾部高 想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量， 图2 需要准备多少千克大米？ 10.(跨学科融合·化学)某文物考古研究院 用1：1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏 酒实验.用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食 全国视野分层练 基础过关练 2.(2025河北沧州任丘市模拟)若x一y十 1.(2025贵州)已知x=2是关于x的方程x+ 2=0,则用含有y的代数式表示3x一1应 m=7的解，则m的值为…( 为…( A.3 B.4 A.3y-1 B.3y+1 C.5 D.6 C.3y-7 D.3y+7 24 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 3.（数学文化)(2025江苏连云港)《九章算术》 7.(2025四川有贡)某小区人行道地砖铺设图 中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北 案如图所示.用10块相同的小平行四边形 海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问 地砖拼成一个大平行四边形，若大平行四边 何日相逢？”（凫：野鸭.所提问题即“野鸭与 形短边长40cm,则小地砖短边长…( 大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能 够相遇？”)如果设经过x天能够相遇，根据 题意，得……( A.7 cm B.8 cm C.9 cm D.10 cm B7x-日x=1 8.(2025四川凉山州)若(3x十2y-19)2+ 2x+y-11=0,则x十y的平方根是() C.7x+9x=1 A.8 B.±8 D.9x-7x=1 C.±2√2 D.2√2 4.（2025河北保定二模)已知二元一次方程组 9.(2025四川内江)学校准备添置一批课桌 x+y=1, 的解是 x=-1, 则表示的方 椅，原订购60套，每套100元.店方表示：如 y-a, 果多购，可以优惠.结果校方购了72套，每 程可能是………( 套减价3元，但商店获得同样多的利润.求 A.x-y=-3 B.x+y=4 每套课桌椅的成本.设每套课桌椅的成本为 C.2x-y=-3 D.2x+3y=-4 x元，则可列方程为…（ ) 5.（2025河北石家庄裕华模拟)如图，小明 A.72(100-x)=60(100+3-x) 将等式5a一2b=3a-2b进行变形，最后 B.60(100-x)=72(100-3-x) 得到一个错误的结论，则下列说法正确的 C.60(100+x)=72(100-3+x) 是… ) 由5a-2b=3a-2b. D.100-x-100-3-z )第一步 60 72 得5a-2b+2b=3a-2b+2b, 第二步 10.(2025吉林)《孙子算经》中记载了这样一 即5a=3a, 所以5=3. 第三步 道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九 A.第一步错误 人步.问车几何？其译文为：有若干人乘 B.第二步错误 车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空 C.第三步错误 车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无 D.三步都正确，原等式错误 车可乘而步行.问有多少辆车？为解决此 6.(2025四川泸州)《九章算术》是中国古代一 问题，设共有x辆车，可列方程为 部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求 不定方程（组）解的问题.例如方程x十2y= 11.(2025广西)自2025年5月9日起至2025 3恰有一个正整数解x=1,y=1.类似地，方 年12月31日，周末自驾游广西的外省籍 程2x+3y=21的正整数解的个数是( ) 小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下 A.1 B.2 简称高速费)优惠.小悦一家5月中旬从湖 C.3 D.4 南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生 25 中考冲刺数学 的高速费享受的优惠如下： 2.(2025黑龙江齐齐哈尔)神舟二十号发射窗 湖南境内广西境内 广西境内 口时间恰逢第十个“中国航天日”.为激发青 路段 特定路段 其他路段 少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名 师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用 周一至周四 九五折 45座和60座两种客车（两种客车都要租）， 周五至周日 九五折 全免 五折 若每名学生都有座位且每辆客车都没有空 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A 座位，则租车方案有…( )》 市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段 A.3种B.4种C.5种D.6种 和广西境内其他路段的高速费原价分别为 3.(2024河北石家庄摸拟)若a十b=2c,则称 a元、b元和c元.此行程的高速费实付多 a与b是关于c的平衡数.下列说法正确 少元？比原价优惠了多少元？（用代数式 的是…( 表示) A.a与b的平均数不能为0 (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境 B.若a扩大为原来2倍，则c也扩大为原来2倍 内)，高速费实付27.55元；周一从K市原路 C.a+c与b+c是关于c的平衡数 返回到A市，高速费实付95.95元.求此行 D.a+1与b-1是关于c的平衡数 程中A市与K市间广西境内特定路段和其 4.(河北特色考法)小奇早上骑自行车上学，中 他路段的单程高速费原价分别是多少元. 途因道路施工步行一段路，到学校共用时 15分钟，他骑自行车的速度是250米/分，步行 的速度是80米/分.他家离学校的距离是 2900米.为了求出小奇骑车和步行的时间， 甲、乙两位同学给出了以下解题思路： 甲：设小奇骑车的时间为x分钟，则可得 250x+80(15-x)=2900,求解即可； 素养提升练 乙：设小奇骑车和步行的时间分别为x分钟 1.(2025四川南充)我国宋代数学家秦九韶发 [x+y=15, 和y分钟，则可得 明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法， 250x+80y=2900. 大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问 则下列说法正确的是…( 题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五 A.甲对，乙错 B.甲错，乙对 数之剩三，…，问物几何？”意思是：有一些物 C.甲、乙都对 D.甲、乙都错 体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个 5.(2025河北石家庄二模)《九章算术》中记 一数，剩余3个，….问这些物体共有多少 载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十 个？设3个一数共数了x次，5个一数共数 步；今不善行者先行一百步，善行者追之，问 了y次，其中x,y为正整数，依题意可列方 几何步及之？”译文：“现有走路快的人走100 程…( 步，走路慢的人只能走60步；现在让走路慢 A.3x+2=5y+3B.5x+2=3y+3 的人先走100步，走路快的人开始追赶，问 C.3x-2=5y-3D.5x-2=3y-3 走路快的人走多少步才能追上走路慢的 26 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 人？”设走路快的人走x步，则下列说法错误 (1)请你用上述方法解方程组 的是…… ( 2024x+2022y=2020,① A.走路快的人和走路慢的人的速度比为 2018x+2016y=2014.② 5:3 (2)猜想：关于x,y的方程组 B.可得方程：60x=100x-100 ax+(a+d)y=a+2d,① (a,d是 C.x的值为250 (a+3d)x+(a+4d)y=a+5d2 D.可得方程：号-00 常数，d≠0)的解，并说明理由. 3 6.幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代 的“洛书”中，有一种特殊的三角形幻方，是 由4个较小的三角形和3个较大的三角形 构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之 和相等，图1、图2均是这种特殊的三角形幻 8.(2025湖北)某商店销售A,B两种水果.A 方.如图1阴影部分的三角形三个顶点处的 种水果标价14元/千克，B种水果标价 数之和为7+3+5=15，该图中每个三角形 18元/千克. 三个顶点处的数字之和都为15， (1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A,B (1)若图2满足三角形三个顶点处的数之和 两种水果共3千克，合计付款46元.这两种 为15，n=7,则m= ;A处的数值为 水果各买了多少千克？ (2)妈妈让小明再到这家商店买A,B两种 (2)在(1)的条件下，x的值为 水果，要求B种水果比A种水果多买1千 克，合计付款不超过50元.设小明买A种水 果m千克. ①若这两种水果按标价出售，求m的取值 B 范围； 图1 图2 ②小明到这家商店后，发现A,B两种水果 7.(2025河北沧州盐山摸拟)阅读下列解方程 正在进行优惠活动：A种水果打七五折；一 组的方法，然后回答并解决有关问题： 次购买B种水果不超过1千克不优惠，超过 21x+22y=23,① 1千克后，超过1千克的部分打七五折.（注： 解方程组 时，如果我们直 24x+25y=26② “打七五折”指按标价的75%出售.)若小明 接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解 合计付款48元，求m的值. 法求解会更方便。 解：②-①，得3x+3y=3,所以x十y=1③， 将③×21，得21x+21y=21④，①-④，得 y=2,从而可得x=一1，所以原方程组的解 x=-1, 为 y=2. 27【全国视野分层练】 基础过关练 1.A2.A3.D4.D 5.1(答案不唯一) 6.x2 7解：原式-(2+。）÷a1少 a a 1 1 当a=√5一1时，原式= √5-1+1√55 8.解：这个解答从第①步开始出现错误； x2+23 x+11+x =x2+2-3 x+1 x2-1_(x十1)(x-1) x+1 x+1 =x-1. 当x=1时，原式=1一1=0. 素养提升练 1.B2.D3号 4x 2"x 43x+(2-1)z+1 5.解：(1)由题意，可得 b° Po-(a-b(a-c)+(b-0(b-a)+(c-a(c-b 1 =(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a+(c-a)(c-b (2)由题意，可得 a Pi-(a-b(a-d)+(b-e)(b-a(c-a)(c-b b 21 a-b)(a-c)(b-c)(a-b)(a-c)(b-c) =a(6-c)-b(a-c)+c(a-b) (a-b)(b-c)(a-c) -ab-ac-ab+bc+ac-bc (a-b)(b-c)(a-c) 0 =(a-b)(b-c)(a-c) =0. 微专题数式运算中的易错专练 1.D2.D3.C 4解：1@04号 (2)原式=-4-(W3-1)+1+2x5 =-4-√3+1+1+√3 =-2. 2 5.D 6.解：(2x-1)2+1-1, 分三种情况： ①当2x-1=1时，x=1, 此时(2zx-1)2x+1=13=1,符合题意. 1 ②当2x十1=0，x=-2, 此时(2x-1)2x+1=(-2)°=1，符合题意. ③当x=0时，原式=（一1）1=一1，不符合题意. 1 综上所述，x=1或x=一之 7.C 8.解：(1)原式=3xy(x2+2xy+y2)=3xy(x+y)2. (2)原式=(a2+9+6a)(a2+9-6a)=(a+3)2(a-3)2. 9.解：1)a+2)(a-2)aa-3)a23 (2)a-2≠0，(a-3)2≠0， a≠2且a≠3，.a只能取1， 则当a=1时，原式=亡写=-合 1 10.A11.4 第二模块方程（组）与不等式（组） 第5讲 一次方程（组）及其应用 【河北十年真题练】 1.B2.A3.(1)3x(2)1 4.B5.996.(1)4(2)(m+2a)1 7.解：(1)0.6×50×1.7×10-5=5.1×10-4(m). 答：该铜棒的伸长量为5.1×10-4m. (2)2.5Xa.(80-20)=1.8×10-3, 解得are=1.2X10-5/℃. 设该铁棒温度的增加量为x1℃，根据题意，得 1×1.2×10-5×x1=4.8×10-4, 解得x1=40. 答：铁的线膨胀系数a。=1.2X10-5/℃，该铁棒温度的增 加量为40℃. (3)设该铁棒温度的增加量为x2℃，根据题意，得 1.7×10-5(x2-20)=1.2×10-5x2, 解得x2=68. 答：该铁棒温度的增加量为68℃. 8.解：(1)由题意，可得4×3十2×1+4×（一2）=6（分）， 答：珍珍第一局的得分为6分 (2)由题意，可得3k+3×1+(10一k-3)×(一2)=6+13， 解得k=6. 9.解：设胸腹高为xcm,则单根膀条长为5xcm,门条AD的 长度为(5x-10)cm,BC=号(5x-10)cm,AB=CD= xcm,头部高为xcm,尾部高为2xcm,这只风筝的骨架的 总高为4xcm, 由AD=AB+BC+CD, 可得5x-10=x+号(5x-10)+, 解得x=20, .4x=80. 答：这只风筝的骨架的总高为80cm. 10.解：(1)设第一次实验用了x千克粮食糟酷，y千克芋头 糟酷， (30%x+20%y=16, 根据题意，得 (30%×2x十20%×3y=36, 解得x40, （y=20. 答：第一次实验用了40千克粮食糟醅，20千克芋头糟醅. (2)设需要准备m千克大米， 根指题意，得(m÷子）×30%×80%=(40+40× 2)×30%, 解得m=37.5. 答：需要准备37.5千克大米. 【全国视野分层练】 基础过关练 1.C2.C3.A4.A5.C6.C7.B8.C9.B 10.3(x-2)=2x+9 11.解：(1)此次行程高速费原价总共为(a十b十c)元， 实际支付高速费用：0.95a十0+0.5c=(0.95a+0.5c)元， 优惠了a十b+c-(0.95a十0.5c)=(0.05a十b+0.5c)元. (2)设广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价 分别x元和y元，则 0.5y=27.55, 解得/=45.9， 0.95x+0.95y=95.95 y=55.1, 故此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路 段的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元. 素养提升练 1.A2.B3.D4.C5.B 6.(1)121(2)-10 12024x+2022y=2020,① 7.解：(1) 2018x+2016y=2014,② ①一②，得6x十6y=6, .x+y=1③， ③×2018，得2018x+2018y=2018④， ④-②，得2y=4,解得y=2, 把y=2代入③，得x十2=1，解得x=-1, x=一1， 原方程组的解是 (y=2. |ax+(a+d0y=a+2d,① (2)猜想关于x,y的方程组 (a+3d)x+(a+4d)y=a+5d2 （x=-1, 的解为 y=2, 理由如下： 2 ax+(a+d)y=a+2d,① l(a+3d)x+(a+4d)y=a+5d,2 ②-①，得3dx+3dy=3d, .x+y=1③， ③Xa,得ax十ay=a④， ①-④，得dy=2d,解得y=2, 把y=2代入③，得x十2=1，解得x=-1, (x=-1, ,原方程组的解是{ (y=2. 8.解：(1)设A种水果买了x千克，B种水果买了y千克， x+y=3, |x=2, 由题意，得 。解得 14x+18y=46, y=1. 答：A种水果买了2千克，B种水果买了1千克. (2)①小明买A种水果m千克，则小明买B种水果(m十1) 千克， 由题意，得14m十18(m十1)≤50，解得m≤1， 又.m>0,.m的取值范围为0<m≤1. ②小明买A种水果m千克，则小明买B种水果(m十1)千克， 由题意，得14×0.75m十18×1+18×0.75×(m+1-1)= 48,解得m=1.25. 答：m的值为1.25. 第6讲 分式方程及其应用 【河北十年真题练】 1.A2.A3.9或104.B5.A6.D 【全国视野分层练】 基础过关练 1.A2.A3.D4.C 5.x=1.25 6.6000-=1000 x+50 x 7.解：(1)甲去括号法则[解析]在“接力游戏”中，从甲同 学开始出现错误，判断依据：去括号法则，当括号前是负因 数时，去括号后括号内的每一项都要变号. (2)原方程去分母，得2x十4一x十2=一2x, 移项，得2x一x十2x=一2-4， 合并同类项，得3x=一6， 系数化为1，得x=一2， 经检验x=一2是原方程的增根.所以原方程无解. 素养提升练 1.D2.D3.A 1 4.-1x=2 5.解：(1)设每本硬面笔记本为x元，则每本软面笔记本为 (x-1.2)元 由观者得，只2一解年=28， 经检验，x=2.8是原方程的解， 但此时282弘器=15，不是叁数，不符合题意。 12