第4讲 分式-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精练册（河北专用）

=x3一4x+3, B=(2x+1)(2x-1)-(x-1)2 =4x2-1-(.x2-2x+1) =4x2-1-x2+2x-1 =4x2-x2+2x-1-1 =3x2+2x-2. (2).x2-3x-1=0, .x2=3x+1, ∴.x3=x·x2 =x(3x十1) =3x2+x =3(3x+1)+x =9x十3十x =10x+3, 2A-B-x =2(.x3-4x+3)-(3x2+2x-2)-x =2x3-8.x+6-3x2-2x+2-x =2x3-3x2-8x-2x-x+6+2 =2x3-3x2-11x+8 =2(10x+3)-3(3x+1)-11x+8 =20x+6-9x-3-11x+8 =20x-9x-11x+8+6-3 =11. (3)当x=3k十1时(k为整数)，B能被3整除， x2-3x-1=0, .x2=3x+1, '.B=3x2+2x-2 =3(3x+1)+2x-2 =9x+3+2x-2 =11x+1, 当x=3k十1时， 11x+1=11(3k+1)+1 =33k+11+1 =33k+12 =3(11k+4), x=3k十1(k为整数)时，B能被3整除. 素养提升练 1.A2.D3.D 4.n2-2n+35.128 6.解：(1)36120n+1 2 [解析]由题知， 三角点阵中前1行的点数之和为1； 三角点阵中前2行的点数之和为1十2； 三角点阵中前3行的点数之和为1十2十3； 三角点阵中前4行的点数之和为1十2十3十4； 0中。0 所以三角点阵中前n行的点数之和为1十2十3十…十 n=n(n十1) 21 2 当n=8时，nm+1D=36, 2 即三角点阵中前8行的点数之和为36. 当n=15时，nn,+1D=120, 2 即三角点阵中前15行的，点数之和为120. (2)不能[解折]令nn,+1-50,解得n=一1±y400 2 2 因为n为正整数， 所以三角点阵中前n行的点数之和不能为500. (3)由题知，前n排盆景的总数可表示为n(n十1)， 令n(n+1)=420,解得m1=一21，n2=20. 因为n为正整数， 所以=20，即一共能摆放20排. 微专题整式运算的几何意义 1.D2.C3.A4.(1)a2+b(2)4 5.解：(1)a十b=3,ab=2, .(a+b)2=a2+2ab+b2=32=9, ∴.a2+b2=(a+b)2-2ab=9-2×2=5. (2)根据题意，大矩形的面积为(a+2b)(a十b), 大矩形的面积也可以表示为a2十2b2十3ab, 最终可以得到等式：(a十2b)(a十b)=a2十2b+3ab. (3)由图可知(a+b+c)2=a2++c2+2ab+2ac+2bc, 将a十b十c=5,a2+b2十c2=9代入等式， 可得ub+ac+bc=25,9=8. 2 第4讲分式 【河北十年真题练】 1.C2.A3.A4.B5.B6.A7.A8.B9.C 10.D11.B12.D13.B14.B 15.解：2+马 (2):父+2x-14=（x-1)2+4x-1)-业=x-1+ x一1 x一1 4=x+8马 由题意，x一1为11的约数，即x一1=士1或x一1= 士11， 解得x=0或2或-10或12， x是正整数， x的值为2或12 (3)设x=ab,y=cd,则y=x十5，x为两位数， 由题意，得 舌-茶-+5-+5+5=x+5-10+罕 y x+5 x+5 一5十距6为整数， .x十5的值为25，.x=20,y=25, ,.这个四位数为2025. 【全国视野分层练】 基础过关练 1.A2.A3.D4.D 5.1(答案不唯一) 6.x2 7解：原式-(2+。）÷a1少 a a 1 1 当a=√5一1时，原式= √5-1+1√55 8.解：这个解答从第①步开始出现错误； x2+23 x+11+x =x2+2-3 x+1 x2-1_(x十1)(x-1) x+1 x+1 =x-1. 当x=1时，原式=1一1=0. 素养提升练 1.B2.D3号 4x 2"x 43x+(2-1)z+1 5.解：(1)由题意，可得 b° Po-(a-b(a-c)+(b-0(b-a)+(c-a(c-b 1 =(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a+(c-a)(c-b (2)由题意，可得 a Pi-(a-b(a-d)+(b-e)(b-a(c-a)(c-b b 21 a-b)(a-c)(b-c)(a-b)(a-c)(b-c) =a(6-c)-b(a-c)+c(a-b) (a-b)(b-c)(a-c) -ab-ac-ab+bc+ac-bc (a-b)(b-c)(a-c) 0 =(a-b)(b-c)(a-c) =0. 微专题数式运算中的易错专练 1.D2.D3.C 4解：1@04号 (2)原式=-4-(W3-1)+1+2x5 =-4-√3+1+1+√3 =-2. 2 5.D 6.解：(2x-1)2+1-1, 分三种情况： ①当2x-1=1时，x=1, 此时(2zx-1)2x+1=13=1,符合题意. 1 ②当2x十1=0，x=-2, 此时(2x-1)2x+1=(-2)°=1，符合题意. ③当x=0时，原式=（一1）1=一1，不符合题意. 1 综上所述，x=1或x=一之 7.C 8.解：(1)原式=3xy(x2+2xy+y2)=3xy(x+y)2. (2)原式=(a2+9+6a)(a2+9-6a)=(a+3)2(a-3)2. 9.解：1)a+2)(a-2)aa-3)a23 (2)a-2≠0，(a-3)2≠0， a≠2且a≠3，.a只能取1， 则当a=1时，原式=亡写=-合 1 10.A11.4 第二模块方程（组）与不等式（组） 第5讲 一次方程（组）及其应用 【河北十年真题练】 1.B2.A3.(1)3x(2)1 4.B5.996.(1)4(2)(m+2a)1 7.解：(1)0.6×50×1.7×10-5=5.1×10-4(m). 答：该铜棒的伸长量为5.1×10-4m. (2)2.5Xa.(80-20)=1.8×10-3, 解得are=1.2X10-5/℃. 设该铁棒温度的增加量为x1℃，根据题意，得 1×1.2×10-5×x1=4.8×10-4, 解得x1=40. 答：铁的线膨胀系数a。=1.2X10-5/℃，该铁棒温度的增 加量为40℃. (3)设该铁棒温度的增加量为x2℃，根据题意，得 1.7×10-5(x2-20)=1.2×10-5x2, 解得x2=68. 答：该铁棒温度的增加量为68℃. 8.解：(1)由题意，可得4×3十2×1+4×（一2）=6（分）， 答：珍珍第一局的得分为6分 (2)由题意，可得3k+3×1+(10一k-3)×(一2)=6+13， 解得k=6. 9.解：设胸腹高为xcm,则单根膀条长为5xcm,门条AD的 长度为(5x-10)cm,BC=号(5x-10)cm,AB=CD= xcm,头部高为xcm,尾部高为2xcm,这只风筝的骨架的 总高为4xcm,第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 第4讲 分式（近三年2~3分） 河北十年真题练 2016~2025) 考点一 分式的有关概念（不单独考查） 6.(2024河北13题)已知A为整式，若计算 A 1若，千2有意义，则下列说法正确的是( xy十y2 一的结果为2二义，则A=… x2千xy xy ………(） A.x>-2 A.x B.y B.x>-2且x≠0 C.x+y D.x-y C.x≠-2 D.x≠0 7.(2023为光3题)化简x()'的结果是( 2若分式早的值等于0，则的值为 A.xyo B.xys C.ys D.z2y6 8.(2022河北9题)若x和y互为倒数，则 A.-1 B.0 (红+号)(2y-)的值是 …() C.1 D.±1 3若分式号的值是负数，则x的取值范 A.1 B.2 C.3 D.4 围是…( A.x>2 B.x>0 又.(2021g地15复)由（牛2）的值的正负 C.x<2且x≠0 D.x<2 可以比较A-与)的大小，下列说法正 2+c 【创新考法】 确的是……（ ) 4.(推理能力)若a为正整数，下列关于分式 A.当=-2时，A=司 公二的值的结论正确的是…( A.有最大值是2 B当c=0时，A≠号 B有最大值是号 C当<-2时，A号 C.有最小值是1 D当<0时，A<号 D.有最小值，没有最大值 10.(2020河北7题)若a≠b,则下列分式化简 考点二分式的化简与求值(10年12考， 正确的是…( ) 2025最新考查) 5.(2025阿北8题)若a=-3,则4+12a十36 A+-光 Bg号号 a2+6a c-号 D. a 1 b A.-3B.-1 C.3 D.6 17 中考冲刺数学 11.（2019河北13题)如图，若x为正整数， 对于只含有一个字母的分式，当分子次 则表示兰2》，中的位的点落在 1 数小于分母的次数时，我们称之为“真 分式”；当分子的次数大于或等于分母 ……………………( ① ②③④ 的次数时，我们称之为“假分式”. 、 -0.20.411.62.2 部分假分数可以写成带分数的形式，例 A.段① B.段② 如：号-1+（即1号》. C.段③ D.段④ 12.(2018河北14题)老师设计了一个接力游 部分假分式可以写成带分式的形式，例 戏，用合作的方式完成分式化简，规则是： 如：十1x-4十4+1=x-4+5 x-4 x-4 x-4x-4 每人只能看到前一人给的式子，并进行一 步计算，再将结果传递给下一人，最后完成 1 x-41 化简.过程如图所示： 将分式拆分成一个整式与一个真分式的和 老师 甲 x2-2x÷X x2-2x.1-x x2-2x.x-1 (差)的形式，有助于我们解决分式中的整 x-11-x x-1x2 x-1x2 丙 除问题 x-2 xK-2.x-1 通过阅读上述材料，解决下列问题： 2 x-1 接力中，自己负责的一步出现错误的是 【理解知识】 …………………………………( ) ()假分式2士3可以写成带分式的形式为 x-1 A只有乙 B甲和丁 C.乙和丙 D.乙和丁 【掌握知识】 13.(2017河北13题)若3-2= x-1 (2)已知x是正整数，当分式+2,14的 x一1 则 上的数是…( 值为整数时，求x的值； A.-1 B.-2 【应用知识】 C.-3 D.任意实数 (3)已知M=abcd是一个四位数，且为正 14.(2016河北4题)下列运算结果为x一1的 数，由M的前两位数字所组成的两位数记 是 为ab,由M的后两位数字组成的两位数记 A.1-1 B.22-1 ·x 为cd,若ab比cd小5，且ab的平方能被cd整 x x+1 C.+1÷1 D.+2x+1 除，求这个四位数. x x-1 x+1 【创新考法】 15.【阅读材料】 类比分数学习分式 小学阶段，分子比分母小的分数叫做 “真分数”；分子大于或等于分母的分数 叫做“假分数” 18 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 全国视野分层练 基础过关练 7.(2025福走)先化简，再求值：(2+。)宁 1.(2025青州)若分式号的值为0，则实数 a2+2a十1，其中a=√5-1. a 的值为…( A.2 B.0 C.-2 D.-3 2.(2025天*)计算。2十a1的结果等于 8.(注重学习过程)小张在学习分式时，不确定 …………………0……………( 自己做的练习是否正确，于是请教了强大的 A.a-B C.ja D.1 AI软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并 补充完整的AI分析. 3.下列式子从左到右的变形一定正确的是… ga“ Ag-号 B台- 先化简，再求值士2 x十1 1十x其中x=1. 3 c号-贯 D路-号 解：原式-是(x+)一（红+1D0 x+1 =x2-1,② 4.(2025河北唐山玉田校级三模)如图是 当x=1时，原式=22-1=0.③ “计算：（安2-一刃·十”的部分解 AI编辑 我的解答正确吗？ 题步骤，则“ ”上应填写的算式是 豆包给出分析： ( 这个解答从第 步开始出现错误； 虽然最终答案是0，但过程存在逻辑错误. x十y 2x -x一y)· x+y 正跪解答为者子其中x一1 解：原式= 0●●年 A.x+.1 1 2x x+y (x+y)2 B.+y. 1_x-y 2x x+y x+y 一素养提升练— c·y} 1.(2025河北邯郸一模)若a为负整数，且a≠ 山法十， 一1，则a。千气的值落在图中数轴上的 部分可能为…。 5.(2025广高)写出一个使分式十3有意义的 ① ,③④⑤ 2 x的值，可以是 0 3 xy- A.② B.③ 6.(2025湖南)约分： xy C.①加上② D.④加上⑤ 19 中考冲刺数学 2.(2025四川南充)已知%=6=￡=2，则 5.(数学文化)(2024山东滨州)欧拉是历史上 bc ac ab 享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在 a++c的值是 abc ( 高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等 A.2 B.3 C.4 D.6 数学中留下了不凡的足迹.设a,b,c为两两 3.(2025河北沧州盐山模拟)已知代数式A 不同的数，称P。=(a-b)(a-c) (1+)÷十4+4，其中x为7的小数部 b” x b-c(b-a+(c-a(c-bn=0,1,2, 分，则A的值为 3)为欧拉分式 4.（2025河北石家庄赵县模拟)有一个计算程 (1)写出P。对应的表达式； 序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以 (2)化简P1对应的表达式 它与1的和，多次重复进行这种运算的过程 如下： 输入x 2x 第1次 y1= x+1 第2次 2y1 2y2 y+1 第3次 y2十1. 则y2= ,第n次的运算结果ym= (用含字母x和n的代数式表示). 微专题 数式运算中的易错专练 易错点一无理数及分类的判断错误 易错点二运算时出现符号错误 1.下列各数，不是无理数的是…( 3.下列式子计算正确的是…（ A A.(-1)6X32=6 R号 B.8÷(-0)×5=8×(-)=-4 C.(a2+1)√2024 D.20242024202420242024 D.4-(-8)÷2=4-4=0 2.下列说法正确的是…( 4.(2025河北邯郸十一中摸拟)如图是珍珍的 A.无理数就是开方开不尽的数 一道作业题的部分计算过程 B.两个整数相除，如果永远除不尽，那么结 解：-22-|1-√3|+（√2+π）°十2cos30i 果一定是个无理数 G无理数可以用分数来表示，例如号 =-4-1+3+1+2×2 ① ②③ ④ D.任意一个无理数的绝对值都是正数 (1)在①~④的计算结果中，有错误的是 20 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 (填序号)；为了区分（一2）2和22， 易错点五忽略分母不等于0致错 请直接写出（一2)2= ,22= 9.(2025河北沧州盐山摸拟)在学完分式运算 以后，老师布置了一道这样的化简求值题： (2)对于这道作业题，请给出正确的计算过程， 化简：(a+2 3a-4 a2-6a+9 a-2/ a-2 请你从 1,2,3这三个数中选择合适的数代入求值. 以下是夏天同学的化简过程，请你完成下面 的填空， 易错点三混淆幂的运算法则 (a+2- 3a-4 a2-6a+9 a-2 a-2 5.(2025河北张家口桥东模拟)下列运算结果 _3a-4 (a-3)2 等于32m的是 ( a-2a-2 a-2 A.32X3” B.3"+3” C.(3+3+…+3)2 D.9X9X…X9 。2×品 n个3相加 n个9相乘 =③. 6.若(2x一1)2x+1=1,求x的值. (1)填空：① ;② 小松解答过程如下： ③ 解：，1的任何次幂为1，.2x一1=1，即x= (2)请将化简后的结果求值. 1,故(2x-1)2x+1=13=1,.x=1.老师说小 松考虑问题不全面，聪明的你能帮助小松解 决这个问题吗？请把他的解答补充完整。 易错点四因式分解不彻底 易错点六化简√a时忽略a的范围 7.(2024河北邯郸邱县一模)对于任何整数 10.(2025山东青岛模拟)实数a在数轴上的位 a(a≠0)，多项式(3a十5)2-4都能() 置如图所示，则化简√(a一4)？+ A.被9整除 B.被a整除 C.被a十1整除 D.被a一1整除 √(a-11)结果为 ………………(） 8.分解因式：(1)3x3y+6x2y2+3xy3; 05a10一 (2)(a2+9)2-36a2. A.7 B.-7 C.2a-15 D.无法确定 11.（2025四川德阳绵竹模拟)已知m是√5的 小数部分，则m+证一2的值为 21