17.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

17.4 一元二次方程的根与系数的关系 第十七章 一元二次方程 M A T H 22002 01 探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点） 02 不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问 题.（重点） 学习目标 M A T H 22002 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 3.一元二次方程的根的情况怎样确定？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？ 情境导入 M A T H 22002 通过前面的学习，我们知道，一元二次方程的根完全由它的系数确定,求根公式是根与系数关系的一种形式,除此之外,一元二次方程根与系数之间还有什么形式的关系呢? 思考：我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0,且b2-4ac≥0)的两根为: 观察x1、x2表达式的特点，你有什么发现? 新知讲解 M A T H 22002 我们知道，一元二次方 ax2+ bx + c = 0 （a ≠ 0）的两根为 所以 x1 + x2 = + = = x1x2 = · = = 新知讲解 M A T H 22002 由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果 ax2+ bx + c = 0（a ≠ 0）的两根为 x1，x2，那么 x1 + x2 =， x1x2 = . 这个关系通常称为韦达定理. 当一元二次方程的二次项系数为 1 时，它的标准形式为 x2 + px + q = 0. 设它的两个根为 x1，x2，这时韦达定理应是：x1 + x2 = –p，x1x2 = q. 新知讲解 M A T H 22002 1.特别提醒 一元二次方程的根与系数的关系存在的前提是a ≠ 0，b2－4ac ≥ 0. 2.与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形 (1)x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2； (2)(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2； (3)+ = . 归纳 M A T H 22002 例 1 已知关于 x 的方程 2x2 + kx – 4 = 0 的一个根是 –4，求它的另一个根及 k 的值. 解 设方程的另一个根是 x2，则 解方程组，得 答：方程的另一个根为，k 的值为 7. 本题还有别的解法吗？ 解题秘方：利用两根之和与积与系数的关系求解 . 典型例题 M A T H 22002 解法二： 将 x = –4 代入方程，得 2×（ –4 ）2 +（ –4 ）k – 4 = 0. 解得 k = 7. 将 k = 7代入方程，得 2x2 + 7x – 4 = 0， 解得 先将x=2代入方程中， 求出字母k， 例 1 已知关于 x 的方程 2x2 + kx – 4 = 0 的一个根是 –4，求它的另一个根及 k 的值. 典型例题 M A T H 22002 例 2 方程 2x2 – 3x - 1 = 0 的两个根记作x1，x2，不解方程，求 x1 – x2 的值. 解：由韦达定理，得 典型例题 M A T H 22002 补充例题 已知实数x1，x2 满足x1+x2=3， x12+x22=5 ，则以x1，x2 为根的一元二次方程是( ) A. x2－3x+2=0 B. x2+3x－2=0 C. x2+3x+2=0 D. x2－3x－2=0 解题秘方：利用完全平方公式计算出 x1· x2=2，然后根据根与系数的关系写出以 x1， x2 为根的一元二次方程 . 答案：A 解：∵ x12＋x22=5，∴(x1＋x2) 2－2x1x2=5. 又∵ x1＋x2=3，∴ 9－2x1x2=5. ∴ x1x2=2. ∴以 x1， x2 为根的一元二次方程为 x2－3x＋2=0. A 典型例题 M A T H 22002 1.下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？ 提示：先确定方程的二次项系数、一次项系数、常数项，再根据韦达定理写出两根之和、两根之积. 基础 随堂小练 M A T H 22002 2. 判定下列各方程后面括号内的两个数是不是它的两个根． 解： （1）不是 （2）是 （3）是 （5）是 （4）不是 基础 随堂小练 M A T H 22002 3.已知关于x的方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0. 解得 m = 16, 设另一个根为x1,则： 1 · x1 = ∴x1 = 基础 随堂小练 M A T H 22002 4．若长方形的长和宽是方程 4x2 – 12x + 3 = 0 的两个根，求该长方形的周长和面积． 解：由韦达定理得 x1 + x2 = 3，x1x2 = . 则该长方形的周长为 2(x1 + x2) = 6， 面积为x1x2 = . 基础 随堂小练 M A T H 22002 5. 设x1,x2是方程2x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根与系数之间的关系,求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1); 解 基础 随堂小练 M A T H 22002 根与系数的关系 （韦达定理） 内 容 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么 应 用 课堂小结 M A T H 22002 $