第9章图形的变换（专题5：求角度） 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

苏科版数学2025-2026学年七年级下册 第9章图形的变换 （专题5：求角度） 【典型例题】 【例1】如图，将线段CD平移至C'D'，若∠2＝130°，则∠1等于（　　） A．130° B．90° C．65° D．50° 【例2】如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例3】如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数为 ． 【例4】如图，已知与关于直线对称，与关于直线对称，点A，D，C在同一条直线上，则 ． 【例5】如图，已知中，，将沿射线方向平移后，得到，连接． (1)若，求的长度； (2)若恰好平分，求的度数． 【例6】如图，已知，是的平分线，平移，使点C移动到点D，点B的对应点是E，点A的对应点是 （1）在图中画出平移后的 （2）画出点A到线段的垂线段； （3）若，与相交于点H，则______，______ 【举一反三】 【变式1】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在的位置，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，将绕点顺时针旋转后得到，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，那么 ° 【变式4】如图，在△ABC中，点P为AB和BC垂直平分线的交点，点Q与点P关于AC对称，连接PC，PQ，CQ．若△PCQ中有一个角是50°，则∠B= 度． 【变式5】在正方形中，点E在上，点F在上，，按顺时针方向旋转一个角度后成，如图所示． （1）哪一个点是旋转中心，旋转角度等于多少？ （2）指出图中的对应线段和对应角； （3）求的度数． 【变式6】如图，点O在直线上，． (1)过点O在直线的下方作射线，使（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下的补角有 ； (3)先从以下两个条件①，②中任意选择一个作为条件，再求的度数．我选择的条件是 （填序号）． 【巩固练习】 1.如图，三角形绕点顺时针旋转得到三角形．，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 2.如图，在长方形中，，点在边上，连接，平移，得到．下列选项中不是的余角的是（    ） A． B． C． D． 3.如图所示的2×2方格中，连接AB，AC，AD，则∠A+∠B+∠C的和（     ）．    A．必是直角 B．必是锐角 C．必是钝角 D．是锐角或钝角 4.如图，在三角形纸片中，，，点是的中点，点是边上一动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为（   ） A． B． C． D．或 5.如图，在直角三角尺ABC和PMN中，∠ACB＝∠MPN＝90°，∠B＝30°，∠PMN＝45°，边AC与边MN都在直线a上，将△ABC向左平移到△A′B′C′的位置，当B′A′经过点P时，∠MPB′＝（　　） A．115° B．125° C．150° D．165° 6.如图，三角形绕点顺时针旋转得到三角形．，，则旋转角的度数是 ． 7.如图，中，，点在边上．分别作点关于，的对称点，连接，则的度数等于 ． 8.如图，将沿所在直线向右平移，得到，点为延长线上一点，交于点，平分，，则____． 9.点、分别是长方形纸条边、上一点，分别沿、折叠，如图，点落在处，点落在点处，使得，若________． 10.一副三角板如图摆放，边落在直线上，点、点在直线的上方，其中、、．现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时将三角板绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，则当时，的值为_______． 11.如图，是由在平面内绕点旋转而得，且．求证：平分．    12.如图1，点为直线上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点处，直角边，分别在射线，上，且，． （1）将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为______度； （2）继续将图2中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图3的位置，若，求的度数． 13.如图，在三角形中，，，，将此三角形向右平移得到三角形，此时边与边相交于点，连接． (1)分别求和的度数． (2)若点落在边的中点处，且，求四边形的面积． (3)已知是三角形内部一点，三角形平移到三角形的位置后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为12，直接写出的长度． 14.如图1，点O是直线上一点，射线从开始以每秒的速度绕点O顺时针转动，射线从开始以每秒的速度绕点O逆时针转动，当、相遇时，停止运动；将、分别沿、翻折，得到、，设运动的时间为t（单位：秒）． (1)如图2，当、重合时， ； (2)当时， ，当时， ； (3)如图3，射线在直线的上方，且，在运动过程中，当射线、、其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出t的值． 15.如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则；当入射光线与镜面垂直时，反射光线也与镜面垂直，即．这个过程称为一次反射． (1)如图2，有两块足够长的平面镜，一束光线射到平面镜上，经过两次反射后，射出的光线与光线平行，当时，___________，___________； (2)如图3，有两块足够长的平面镜，一束与镜面平行的光线射到平面镜上，经过两次反射后，射出光线与镜面平行，求度数； (3)在（2）的条件下，不改变入射光线与平面镜的夹角的大小，将绕点顺时针旋转一定度数后（与重合前停止），能否使光线经过三次或四次反射后，最终射出光线与镜面或平行，若能请求出度数；若不能请说明理由． 答案解析 【典型例题】 【例1】如图，将线段CD平移至C'D'，若∠2＝130°，则∠1等于（　　） A．130° B．90° C．65° D．50° 【答案】D 【例2】如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【例3】如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数为 ． 【答案】60 【例4】如图，已知与关于直线对称，与关于直线对称，点A，D，C在同一条直线上，则 ． 【答案】 【例5】如图，已知中，，将沿射线方向平移后，得到，连接． (1)若，求的长度； (2)若恰好平分，求的度数． 【答案】（1）解：由平移可知， ∴； （2）由平移可知，， ∴． ∵， ∴． 又∵恰好平分， ∴． ∵， ∴． 【例6】如图，已知，是的平分线，平移，使点C移动到点D，点B的对应点是E，点A的对应点是 （1）在图中画出平移后的 （2）画出点A到线段的垂线段； （3）若，与相交于点H，则______，______ 【答案】（1）如图，即为所求； （2）线段即为所求； （3）由平移变换的性质可知，， ，， 平分， ， ， 故答案为：， 【举一反三】 【变式1】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【变式2】如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在的位置，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【变式3】如图，将绕点顺时针旋转后得到，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，那么 ° 【答案】125 【变式4】如图，在△ABC中，点P为AB和BC垂直平分线的交点，点Q与点P关于AC对称，连接PC，PQ，CQ．若△PCQ中有一个角是50°，则∠B= 度． 【答案】50或65 【变式5】在正方形中，点E在上，点F在上，，按顺时针方向旋转一个角度后成，如图所示． （1）哪一个点是旋转中心，旋转角度等于多少？ （2）指出图中的对应线段和对应角； （3）求的度数． 【答案】（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵按顺时针方向旋转一个角度后成， ∴点D是旋转中心，旋转角； （2）解：由旋转性质得：对应线段为和，和，和； 对应角为和，和，和； （3）解：∵，， ∴． 【变式6】如图，点O在直线上，． (1)过点O在直线的下方作射线，使（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下的补角有 ； (3)先从以下两个条件①，②中任意选择一个作为条件，再求的度数．我选择的条件是 （填序号）． 【答案】（1）解：依题意，射线，，如图所示： （2）解：依题意，点O在直线上， 在（1）的条件下的补角有， （3）解：依题意，选择①， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 选择②， ∵点O在直线上，． ∴， 则， 则 解得， ∴． 【巩固练习】 1.如图，三角形绕点顺时针旋转得到三角形．，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2.如图，在长方形中，，点在边上，连接，平移，得到．下列选项中不是的余角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3.如图所示的2×2方格中，连接AB，AC，AD，则∠A+∠B+∠C的和（     ）．    A．必是直角 B．必是锐角 C．必是钝角 D．是锐角或钝角 【答案】C 4.如图，在三角形纸片中，，，点是的中点，点是边上一动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 5.如图，在直角三角尺ABC和PMN中，∠ACB＝∠MPN＝90°，∠B＝30°，∠PMN＝45°，边AC与边MN都在直线a上，将△ABC向左平移到△A′B′C′的位置，当B′A′经过点P时，∠MPB′＝（　　） A．115° B．125° C．150° D．165° 【答案】D 6.如图，三角形绕点顺时针旋转得到三角形．，，则旋转角的度数是 ． 【答案】70° 7.如图，中，，点在边上．分别作点关于，的对称点，连接，则的度数等于 ． 【答案】 8.如图，将沿所在直线向右平移，得到，点为延长线上一点，交于点，平分，，则____． 【答案】 9.点、分别是长方形纸条边、上一点，分别沿、折叠，如图，点落在处，点落在点处，使得，若________． 【答案】 10.一副三角板如图摆放，边落在直线上，点、点在直线的上方，其中、、．现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时将三角板绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，则当时，的值为_______． 【答案】2或 11.如图，是由在平面内绕点旋转而得，且．求证：平分．    【答案】由旋转得， ， ， ， ， ， ， 平分． 12.如图1，点为直线上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点处，直角边，分别在射线，上，且，． （1）将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为______度； （2）继续将图2中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图3的位置，若，求的度数． 【答案】（1）解：∵， ∴三角板旋转的角度为， 故答案为：45； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴, ∵∠COD=60° ∴ 13.如图，在三角形中，，，，将此三角形向右平移得到三角形，此时边与边相交于点，连接． (1)分别求和的度数． (2)若点落在边的中点处，且，求四边形的面积． (3)已知是三角形内部一点，三角形平移到三角形的位置后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为12，直接写出的长度． 【答案】（1）解： 三角形向右平移得到三角形， ， ， ， （2）解：为的中点， ． ， 四边形的面积三角形的面积三角形的面积 四边形的面积为18． （3）解：三角形向右平移得到三角形， ． 则四边形的周长， 三角形的周长为， 四边形的周长， ． 14.如图1，点O是直线上一点，射线从开始以每秒的速度绕点O顺时针转动，射线从开始以每秒的速度绕点O逆时针转动，当、相遇时，停止运动；将、分别沿、翻折，得到、，设运动的时间为t（单位：秒）． (1)如图2，当、重合时， ； (2)当时， ，当时， ； (3)如图3，射线在直线的上方，且，在运动过程中，当射线、、其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出t的值． 【答案】（1）解：∵将、分别沿、翻折，得到、， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：90； （2）解：当时， ，， ∴， 当时，如下图，，， ∴， 故答案为：20，12； （3）解：当是的角平分线时，则，如图， 由折叠可知，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得； 当是的角平分线时，则，如下图， 由折叠可知，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得； 当是的角平分线时，则，如下图， 由折叠可知，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得； 综上，的值为或或． 15.如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则；当入射光线与镜面垂直时，反射光线也与镜面垂直，即．这个过程称为一次反射． (1)如图2，有两块足够长的平面镜，一束光线射到平面镜上，经过两次反射后，射出的光线与光线平行，当时，___________，___________； (2)如图3，有两块足够长的平面镜，一束与镜面平行的光线射到平面镜上，经过两次反射后，射出光线与镜面平行，求度数； (3)在（2）的条件下，不改变入射光线与平面镜的夹角的大小，将绕点顺时针旋转一定度数后（与重合前停止），能否使光线经过三次或四次反射后，最终射出光线与镜面或平行，若能请求出度数；若不能请说明理由． 【答案】（1）解：∵反射定律， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，． 故答案为：；． （2）解：设，． ∵，， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． （3）解：能． 由（2）得, 当三次反射时，最终射出光线与镜面平行， 设， ， ， ， 反射， ，， ， ∴， 解得， ； 当四次反射时，最终射出光线与镜面平行， 设， ， ， ， 反射， ，，， ， ， ， 解得， ． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $