专题03图形的变换专项训练(19大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题03图形的变换专项训练 题型01.平移现象的识别与判定 题型02.线段垂直平分线的作图 题型03.对称轴的性质与作图 题型04.旋转图形的识别与判定 题型05.中心对称图形的识别与判定 题型06.平移性质的应用与求解 题型07.垂线的作法与综合求解 题型08.旋转的三要素应用 题型09.旋转性质的计算与求解 题型10.中心对称性质的几何计算 题型11.角平分线的作图与性质应用 题型12.台球桌面的轴对称问题 题型13.折叠问题 题型14.镜面对称与坐标变换 题型15.中心对称图形的作图与补画 题型16.光线反射的路径求解问题 题型17.轴对称折叠综合体 题型18.旋转变换综合体 题型19.轴对称图形的性质综合 解答题6题 知识点01.平移 1.核心概念 在平面内，将图形上所有点按同一方向移动相同距离的变换，叫平移。 三要素：原图形位置、平移方向、平移距离。 对应元素：对应点、对应线段、对应角（如△ABC 平移得△A'B'C'，A 与 A' 为对应点）。 2.核心性质 (1)平移不改变图形的形状、大小，只改变位置。 (2)对应线段平行（或共线）且相等；对应角相等。 (3)对应点连线平行（或共线）且相等。 (4)平移不改变直线方向，可由平移得到平行线。 3.作图要点 步骤 几何语言 图形 (1)确定关键点（如多边形顶点）。 (2)按方向和距离平移各关键点。 (3)连接对应点.得到平移后图形. (1)取关键点 A、B、C； (2)按方向距离平移得 A'、B'、C'； (3)连接 A'B'、B'C'、C'A'，得平移后图形 知识点02.轴对称 1.核心概念 轴对称：两个图形沿某条直线折叠后完全重合，这条直线叫对称轴。 轴对称图形：一个图形沿某条直线折叠，直线两旁部分完全重合，该图形为轴对称图形，这条直线是对称轴。 核心区别：轴对称是两个图形的位置关系；轴对称图形是单个图形的特殊形状。 左图轴对称图形 右图轴对称 核心性质 (1)对应线段相等，对应角相等。 (2)对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。 (3)对应线段或延长线相交，交点在对称轴上。 1.AB=A′B′,BC=B′C′，AC=A′C′；∠A=∠A′,∠B=∠B′，∠C=∠C′ 2.直线 MN 垂直平分 AA′、BB′、CC′ 3.若对应线段（或其延长线）相交，则交点在直线 MN 上 作图要点 (1)作对应点：过已知点作对称轴的垂线，并延长至等距，得到对应点。 (2)连接对应点，得到轴对称图形。 (3)作对称轴：作对应点所连线段的垂直平分线。 1.连接对应点 A、A′； 2.作线段 AA′ 的垂直平分线 MN，则直线 MN 即为所求的对称轴 知识点03.旋转 1.核心概念 在平面内，将图形绕旋转中心按旋转方向（顺时针 / 逆时针）转动旋转角的变换，叫旋转。 三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。 核心性质 (1)旋转不改变图形的形状、大小。 (2)对应点到旋转中心的距离相等。 (3)对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角。 (4)旋转前后图形全等。 作图步骤 1.确定三要素：确定旋转中心 O、旋转方向和旋转角。 2.旋转关键点： 连接 OA，以 O 为圆心，OA 长为半径画弧； 按指定方向作 ∠AOD=旋转角，在弧上截取 OD=OA，得到点 A 的对应点 D； 同理作出点 B 的对应点 E，点 C 的对应点 F。 3.连接对应点：连接 DE、EF、FD，则 △DEF 即为所求作的旋转后图形。 知识点04.中心对称 左图中心对称图形 右图是中心对称 1.核心概念 中心对称：两个图形绕某点旋转180°后完全重合，该点叫对称中心。 中心对称图形：一个图形绕某点旋转180°后与自身重合，该点叫对称中心。 2.核心性质 对应线段相等，对应角相等。 对应点连线经过对称中心，且被对称中心平分。 核心对比表 变换类型 核心要素 核心性质（不变量） 关键作图步骤 平移 方向、距离 形状、大小；对应线段 / 角相等；对应点连线平行且相等 定关键点→按方向距离平移→连对应点 轴对称 对称轴 形状、大小；对应线段 / 角相等；对称轴垂直平分对应点连线 作对应点垂线→截等距→连对应点 旋转 中心、方向、旋转角 形状、大小；对应点到中心距离相等；对应角等于旋转角 定中心→旋转关键点→连对应点 中心对称 对称中心（旋转 180°） 形状、大小；对应点连线过中心且被平分 延长对应点连线→截等距→连对应点 易错点与提醒 1.平移方向需区分水平 / 竖直 / 斜向，距离是对应点间的线段长度，非格数（斜向）。 2.轴对称作图时，对称轴是直线，需标注完整；注意区分 “轴对称” 与 “轴对称图形”。 3.旋转需明确旋转方向（顺时针 / 逆时针），旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，不是图形边的夹角。 4.中心对称是旋转的特例（旋转 180°），作图时直接按 180° 旋转关键点即可。 . 题型01.平移现象的识别与判定 1．在下列各组由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（    ） A． B． C． D． 2．电影《哪吒之魔童闹海》在中国电影史上锋芒毕露，迅速成为众人关注的焦点．它不仅是一部精彩的影片，更肩负着把中国文化传播到世界的重任．哪吒的剧照如图所示，下面四个图形中，由该图平移得到的图形是（　　） A． B． C． D． 3．如图是一组密码的一部分，为了保密，许多情况下会采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“密钥”．目前已破译出“守初心”的对应口令是“担使命”．根据你发现的“密钥”，破译出“找差距”的对应口令是_____． 4．如图所示，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，则空白部分的面积为（   ）平方米． A．42 B．45 C．48 D．50 题型02.线段垂直平分线的作图 5．观查下列作图痕迹，中，为边上的中线是（    ） A． B． C． D． 6．如图，中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，若，则的周长为 _______cm． 7．已知中，，在上取一点，使，下列尺规作图的方法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型03.对称轴的性质与作图 8．已知与分别在直线l的两侧且关于直线l对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线l的对称点，下列线段被直线l垂直平分的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂O，分别向两个小镇供水，考虑到供水所用水管铺设的长度应最短的选址要求，从数学的角度看，下列图形中自来水厂O的选址设计正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 11．作轴对称图形或者成轴对称的两个图形的对称轴的方法：首先连接两个①______，然后作所连线段的②______． 12．如图，四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，．则四边形的周长为___________． 13．如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有_____个． 14．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 15．木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型04.旋转图形的识别与判定 16．将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是______． 17．很多优美的图案可以通过旋转得到，下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转得到的是（   ） A． B． C． D． 18．下列选项中属于旋转运动的是（    ） A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千 19．在Word文档的图形编辑功能中，菜单“旋转”下有下图中显示的四个功能，分别简称为R、L、V、H．现有图甲，如果对其先操作R再操作V，所得到的图形是（   ） A． B． C． D． 20．临沭柳编是山东省临沂市临沭县的传统工艺，也是国家级非物质文化遗产之一．下列选项为一组传统柳编工艺品，其中能近似看作由如图旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 21．下列各图案中，不是通过旋转变换设计而成的是（   ） A． B． C． D． 题型05.中心对称图形的识别与判定 22．下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 23．如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（  ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 24．如图，两张完全重合在一起的正三角形硬纸片，点O是它们的中心，若按住下面的纸片不动，将上面的纸片绕O顺时针旋转，设旋转角为，当=________时，两张硬纸片所构成的图形为中心对称图形. 25．如图，已知与成中心对称，则对称中心可能是（    ） A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 题型06.平移性质的应用与求解 26．如图，将三角形平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 27．有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（    ） A． B． C． D． 28．如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点E，若，，则阴影部分的面积为_____． 29．如图是公园里一处长方形游览区，长为60米，宽为24米，为方便游客观赏，公园修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为______米． 题型07.垂线的作法与综合求解 30．已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（   ） A． B． C． D． 31．如图，以点B为圆心，适当长度为半径画弧，交于E，F两点，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交于点D．线段一定是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中位线 32．小明用尺规作图作钝角三角形边上的高．下面是打乱的作图步骤：如图，①分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E；②作射线，交于点H；③以点C为圆心，的长为半径作弧，交的延长线于点D；则就是所求作的高．下列作图步骤正确的顺序是（　　） A．①③② B．③①② C．③②① D．①②③ 题型08.旋转的三要素应用 33．请指出时钟的分针由8时分的位置转到8时分的位置所旋转的角度，并指出旋转中心．________ 34．如图所示，在正方形网格中，将三角形绕点A旋转后得到三角形，则下列旋转方式中，符合题意的是（   ） A．顺时针旋转 B．逆时针旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 35．如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点___________． 36．小明在如图所示的方格纸中，将三个顶点都在格点上的经过旋转后得到，则其旋转中心是（    ） A．格点M B．格点P C．格点Q D．格点N 题型09.旋转性质的计算与求解 37．如图，将绕点C旋转，得到，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 38．如图，旋转后到达的位置，，若，，，则的长度是________． 39．如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，若，则_______． 40．如图1是中国数学会的会徽，，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形． 将会徽抽象为图2，记，，． 对图2进行图形运动得到图3，下面的说法不正确的是（    ）    A．可以看作是绕点B顺时针旋转得到 B．可以看作是沿着方向平移距离a，再沿方向平移距离b得到 C．可以看作是绕点D逆时针旋转得到 D．图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，可得 41．如图，，O是上一点，直线与所夹角，要使，直线绕点O按逆时针方向至少旋转______度．    题型10.中心对称性质的几何计算 42．小明、王强两家所在的位置关于学校成中心对称，如果小明家距离学校，那么他们两家相距_________． 43．如图，与关于点成中心对称，连接，，．若，，则的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 44．如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为________． 题型11.角平分线的作图与性质应用 45．如图①，已知∠AOB，用直尺和圆规作∠AOB的平分线． 如图②，步骤如下： 第一步，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于点N． 第二步，分别以点M，N为圆心，以a为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． 第三步，画射线OC．射线OC即为所求． 下列说法正确的是（　　） A．a＞0 B． C． D． 46．如图，中，以为圆心，任意长为半径作弧，分别交延长线，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 47．已知、线段、线段，小明利用尺规画出它们的对称轴，如图所示（②中为外任一点），则不一定正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．①和② 题型12.台球桌面的轴对称问题 48．如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 49．下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（    ）次． A．6 B．7 C．8 D．9 50．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 题型13.折叠问题 51．如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 52．在综合实践课上，老师要求验证纸条两边与是否平行，甲、乙、丙三位同学按照如图所示的方式折叠，并测量出部分数据，关于三人的方案及数据，下列判断正确的是（    ） ， A．甲、乙、丙都可行 B．只有甲、乙可行 C．只有乙、丙可行 D．只有乙可行 53．如图，把长方形沿对角线折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 54．如图，将长方形纸片沿，折叠成图1，使，在同一直线上，若，再沿折叠成图2，使点，点分别落在点，点处，与交于点，则______． 题型14.镜面对称与坐标变换 55．一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（    ） A．JM—G9329 B．JM—G6356 C．JM—C6326 D．JM—G6326 56．在平面镜里看到背后墙上正放的电子钟示数如图所示，这时的时间应是（　　）    A． B． C． D． 57．小红照镜子时，发现身后的钟表如图所示，此时的实际时间是（   ） A． B． C． D． 58．在镜子里看见的时间是，实际时间是___________． 59．在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示,这时的时间应是______．    60．李叔叔开车回家，在路中等红灯时，从车子的后视镜里看到了后面的公交车，如图所示，根据图中信息，可以判断出该公交车是多少路？（    ） A． B． C． 题型15.中心对称图形的作图与补画 61．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子．若白方落子后的对奔图是中心对称图形，则白方落子的位置只可能是下列位置中的（    ） A．① B．② C．③ D．④ 62．三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 63．如图，在正方形网格中，是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是（   ） A．点G B．点H C．点M D．点N 64．如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 65．如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（  ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 题型16.光线反射的路径求解问题 66．如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的_______．    67．如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 68．如图，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型17.轴对称折叠综合体 69．如图，把一张长方形纸片沿折叠，点D与点C分别落在点和点的位置上，与的交点为G，若，则为 _______ 度． 70．如图①是长方形纸条，点，在和上，，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③，则图③中的的度数是______． 71．已知四边形为长方形．如图，点在线段上，将其沿折叠得到图，分别交于，再将沿折叠得到图，点恰好落在线段上．若，则（    ） A． B． C． D． 72．在图1，图2中，已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． 【基础巩固】 (1)在图1中，求证：． 【类比探究】 (2)在图2中，当点G在线段延长线上时，请写出，，三者之间的数量关系并说明理由． 【应用拓展】 (3)如图3，图4，将长方形纸条沿折叠，折叠后线段与交于点F，连接，若恰好平分，，求的度数． 题型18.旋转变换综合体 73．如图，，射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每秒；同时射线从开始，绕点顺时针旋转，旋转的速度为每秒，设旋转的时间为秒． （1）当时，__________； （2）在射线与旋转的过程中，图中存在两个角互补时称为“完美时刻”．当__________时，图中为“完美时刻”． 74．如图所示，点O，在直线MN上，第一步，将绕点O顺时针旋转a度（）至；第二步，将绕点O顺时针旋转度至点；第三步，将绕点O顺时针旋转度至，…，以此类推，在旋转过程中若碰到直线，则立即绕点O反方向旋转，如果，那么a等于______度． 75．如图，将一副直角三角板放置于水平桌面上，其中，角的顶点重合，与边重合，射线和分别平分和．将三角板绕点逆时针旋转，当与第一次重合时旋转停止，在旋转的过程中，的大小将会（    ） A．始终不变 B．先减小再增大 C．不断增大 D．先增大再减小 76．取一副三角板按图①拼接，固定三角板，将三角板绕点依顺时针方向旋转一定的角度得到．请问： (1)如图②，当与垂直时，求的度数； (2)如图①，三角板绕点以顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转时间为，三角板旋转一周时停止运动，当三角板的一边与平行时，求出时间的值（直接回答，不用证明）． 题型19.轴对称图形的性质综合 77．如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是中线上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是________． 78．如图，是内的一定点．若，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，则的度数为____________． 79．如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 80．如图，和关于直线MN对称，和关于直线EF对称． (1)请用无刻度的直尺画出直线EF（保留画图痕迹，不写画法）． (2)直线MN与EF相交于点O，试探究与直线MN，EF所夹锐角α的数量关系． 解答题 81．某商场在开业前装修，准备在大厅的楼梯上铺设红地毯，已知楼梯的竖直高度为，水平跨度为，且． (1)至少需要多长的地毯？ (2)若所铺设的地毯每平方米售价为50元，楼梯的宽度为，则至少需要多少元钱去购买地毯？ 82．如图，粗线①和细线②是公交车从少年宫到体育馆的两条行驶路线． (1)判断两条线的长短：粗线①______细线②．（填“”“”或“”） (2)小丽坐出租车由体育馆到少年宫，假设出租车的收费标准为起步价8元，3千米以后按每千米2.6元计费，用式子表示出租车的收费元与行驶路程千米之间的关系． (3)如果（2）中的这段路程长5千米，小丽身上的13元钱够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？请说明理由． 83．美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 84．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)画出，使与关于直线成轴对称； (2)画出，使是绕点逆时针旋转得到； (3)画出，使与关于点成中心对称． 85．已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 86．【发现】小明拿激光笔照射到水平桌面上的平面镜时，发现光线经过反射后投射到天花板上，当他改变激光笔的角度时，天花板上的光点也随之移动．经过查阅资料，小明了解到光线在镜面上反射时，如图1，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即． 【探究】如图2，小明将平面镜放置在水平桌面上，激光笔发出的光线射到平面镜上，反射光线射到天花板（直线）上，． (1)若平面镜水平放置于桌面上，当激光笔与桌面的夹角时，请在图2中，画出反射光线，并在图中标出反射光线与天花板所夹锐角的大小． (2)如图3，转动平面镜，若平面镜与桌面形成的夹角，，且． ①当，时，求的大小； ②直接用含，的代数式表示出的大小． (3)如图4，小明把平面镜水平放置，当时，再添一面平面镜，将两平面镜相对放置，光线经过两次反射，得到反射光线，当平面镜如何放置时，光线？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03图形的变换专项训练 题型01.平移现象的识别与判定 题型02.线段垂直平分线的作图 题型03.对称轴的性质与作图 题型04.旋转图形的识别与判定 题型05.中心对称图形的识别与判定 题型06.平移性质的应用与求解 题型07.垂线的作法与综合求解 题型08.旋转的三要素应用 题型09.旋转性质的计算与求解 题型10.中心对称性质的几何计算 题型11.角平分线的作图与性质应用 题型12.台球桌面的轴对称问题 题型13.折叠问题 题型14.镜面对称与坐标变换 题型15.中心对称图形的作图与补画 题型16.光线反射的路径求解问题 题型17.轴对称折叠综合体 题型18.旋转变换综合体 题型19.轴对称图形的性质综合 解答题6题 知识点01.平移 1.核心概念 在平面内，将图形上所有点按同一方向移动相同距离的变换，叫平移。 三要素：原图形位置、平移方向、平移距离。 对应元素：对应点、对应线段、对应角（如△ABC 平移得△A'B'C'，A 与 A' 为对应点）。 2.核心性质 (1)平移不改变图形的形状、大小，只改变位置。 (2)对应线段平行（或共线）且相等；对应角相等。 (3)对应点连线平行（或共线）且相等。 (4)平移不改变直线方向，可由平移得到平行线。 3.作图要点 步骤 几何语言 图形 (1)确定关键点（如多边形顶点）。 (2)按方向和距离平移各关键点。 (3)连接对应点.得到平移后图形. (1)取关键点 A、B、C； (2)按方向距离平移得 A'、B'、C'； (3)连接 A'B'、B'C'、C'A'，得平移后图形 知识点02.轴对称 1.核心概念 轴对称：两个图形沿某条直线折叠后完全重合，这条直线叫对称轴。 轴对称图形：一个图形沿某条直线折叠，直线两旁部分完全重合，该图形为轴对称图形，这条直线是对称轴。 核心区别：轴对称是两个图形的位置关系；轴对称图形是单个图形的特殊形状。 左图轴对称图形 右图轴对称 核心性质 (1)对应线段相等，对应角相等。 (2)对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。 (3)对应线段或延长线相交，交点在对称轴上。 1.AB=A′B′,BC=B′C′，AC=A′C′；∠A=∠A′,∠B=∠B′，∠C=∠C′ 2.直线 MN 垂直平分 AA′、BB′、CC′ 3.若对应线段（或其延长线）相交，则交点在直线 MN 上 作图要点 (1)作对应点：过已知点作对称轴的垂线，并延长至等距，得到对应点。 (2)连接对应点，得到轴对称图形。 (3)作对称轴：作对应点所连线段的垂直平分线。 1.连接对应点 A、A′； 2.作线段 AA′ 的垂直平分线 MN，则直线 MN 即为所求的对称轴 知识点03.旋转 1.核心概念 在平面内，将图形绕旋转中心按旋转方向（顺时针 / 逆时针）转动旋转角的变换，叫旋转。 三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。 核心性质 (1)旋转不改变图形的形状、大小。 (2)对应点到旋转中心的距离相等。 (3)对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角。 (4)旋转前后图形全等。 作图步骤 1.确定三要素：确定旋转中心 O、旋转方向和旋转角。 2.旋转关键点： 连接 OA，以 O 为圆心，OA 长为半径画弧； 按指定方向作 ∠AOD=旋转角，在弧上截取 OD=OA，得到点 A 的对应点 D； 同理作出点 B 的对应点 E，点 C 的对应点 F。 3.连接对应点：连接 DE、EF、FD，则 △DEF 即为所求作的旋转后图形。 知识点04.中心对称 左图中心对称图形 右图是中心对称 1.核心概念 中心对称：两个图形绕某点旋转180°后完全重合，该点叫对称中心。 中心对称图形：一个图形绕某点旋转180°后与自身重合，该点叫对称中心。 2.核心性质 对应线段相等，对应角相等。 对应点连线经过对称中心，且被对称中心平分。 核心对比表 变换类型 核心要素 核心性质（不变量） 关键作图步骤 平移 方向、距离 形状、大小；对应线段 / 角相等；对应点连线平行且相等 定关键点→按方向距离平移→连对应点 轴对称 对称轴 形状、大小；对应线段 / 角相等；对称轴垂直平分对应点连线 作对应点垂线→截等距→连对应点 旋转 中心、方向、旋转角 形状、大小；对应点到中心距离相等；对应角等于旋转角 定中心→旋转关键点→连对应点 中心对称 对称中心（旋转 180°） 形状、大小；对应点连线过中心且被平分 延长对应点连线→截等距→连对应点 易错点与提醒 1.平移方向需区分水平 / 竖直 / 斜向，距离是对应点间的线段长度，非格数（斜向）。 2.轴对称作图时，对称轴是直线，需标注完整；注意区分 “轴对称” 与 “轴对称图形”。 3.旋转需明确旋转方向（顺时针 / 逆时针），旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，不是图形边的夹角。 4.中心对称是旋转的特例（旋转 180°），作图时直接按 180° 旋转关键点即可。 . 题型01.平移现象的识别与判定 1．在下列各组由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移，据此进行判断即可． 【详解】解：能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是C，A、B、D无法通过平移得到． 2．电影《哪吒之魔童闹海》在中国电影史上锋芒毕露，迅速成为众人关注的焦点．它不仅是一部精彩的影片，更肩负着把中国文化传播到世界的重任．哪吒的剧照如图所示，下面四个图形中，由该图平移得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移前后，图形的大小，形状，方向都不变，只是位置发生改变，判断即可． 【详解】解：上面四个图形中，由该图平移得到的图形是D． 3．如图是一组密码的一部分，为了保密，许多情况下会采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“密钥”．目前已破译出“守初心”的对应口令是“担使命”．根据你发现的“密钥”，破译出“找差距”的对应口令是_____． 【答案】抓落实 【分析】根据题意可以发现对应字之间的规律，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可知，“守初心”的对应口令为“担使命”，其中“担”是“守”字先向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到的，其他各个字对应也是这样得到的， ∴“找差距”对应口令是“抓落实”． 4．如图所示，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，则空白部分的面积为（   ）平方米． A．42 B．45 C．48 D．50 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的平移现象，利用平移得出空白的矩形是解题的关键．根据平移现象，可得阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形，根据矩形的面积公式，可得答案． 【详解】解：阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形， 则其面积为：． 故选：C ． 题型02.线段垂直平分线的作图 5．观查下列作图痕迹，中，为边上的中线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】中线的定义为：对应顶点到对边中点的连线，所以需要首先找到AB的中点，利用的是线段垂直平分线的做法． 【详解】解：A选项：CD为AB边上的垂线，故错误； B选项：D点为线段AB与其垂直平分线的交点，所以D点为AB边的中点，所以CD为AB边上的中线，故正确； C选项：CD为∠ACB的角平分线，故错误； D选项：画图错误，不属于三角形中的三线，故错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是三角形中线段的画法，掌握尺规作图的方法是解题的关键． 6．如图，中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，若，则的周长为 _______cm． 【答案】12 【分析】根据垂直平分线的性质得边相等，由结合三角形的周长公式即可得求得．解题的关键是利用垂直平分线的性质． 【详解】解：∵边的垂直平分线交边于点D，边的垂直平分线交边于点E， ∴，， ∵， ∴的周长 ＝12， 故答案为：12． 7．已知中，，在上取一点，使，下列尺规作图的方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查五类基本尺规作图-作垂直平分线，熟练掌握线段垂直平分线的作法是解决问题的关键． 根据题中要求，在上取一点，使得，根据，从而得到，即可得到本题的尺规作图是作线段的垂直平分线，结合选项即可得到答案． 【详解】解：在中，，在上取一点，使得， ， ，即作线段的垂直平分线， 故选：D． 题型03.对称轴的性质与作图 8．已知与分别在直线l的两侧且关于直线l对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线l的对称点，下列线段被直线l垂直平分的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的基本性质，根据对称点的连线被对称轴垂直平分即可判断求解． 【详解】解：∵ 点与点是关于直线的对称点， ∴ 线段被直线垂直平分． 9．如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂O，分别向两个小镇供水，考虑到供水所用水管铺设的长度应最短的选址要求，从数学的角度看，下列图形中自来水厂O的选址设计正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，掌握轴对称的性质是解题的关键；根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点O，可得，则，由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：A． 10．如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，能使图形完全重合的直线叫做该图形的对称轴，据此即可解题． 【详解】解：由图知，该图形的对称轴是直线． 故选：A． 11．作轴对称图形或者成轴对称的两个图形的对称轴的方法：首先连接两个①______，然后作所连线段的②______． 【答案】 对应点 垂直平分线 【分析】本题考查了作轴对称图形或者成轴对称的两个图形的对称轴的方法，根据相关性质内容进行补充，即可作答． 【详解】解：作轴对称图形或者成轴对称的两个图形的对称轴的方法：首先连接两个对应点，然后作所连线段的垂直平分线， 故答案为：对应点，垂直平分线． 12．如图，四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，．则四边形的周长为___________． 【答案】18 【分析】根据轴对称图形的性质可得到的长度，即可计算四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，， ∴， ∴四边形的周长为． 13．如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有_____个． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据正方形的四条对称轴分别找到与阴影三角形成轴对称的三角形，即可求解． 【详解】解：如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有个， 故答案为：． 14．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质；根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解；轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解：与关于直线对称， ，，，故A、C、D选项正确， 不一定成立，故B选项错误， 所以，不一定正确的是B． 故选：B． 15．木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、角的和与差，根据轴对称可知，，因为，，，即可求出的度数． 【详解】解：由轴对称可知，， ，，， ， ． 故选：D． 题型04.旋转图形的识别与判定 16．将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是______． 【答案】689 【分析】直接利用中心对称图形的性质结合“689”的特点得出答案． 【详解】解：将数字“689” 整体旋转180°，得到的数字是：689． 故答案为：689． 【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，能够想象出旋转后的图形是解题关键． 17．很多优美的图案可以通过旋转得到，下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等，由旋转性质逐个分析即可得到答案．要注意旋转的三要素：①定点−旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 【详解】解：A、该图形无法通过旋转得到，不符合题意； B、该图形可以由一个蜡烛连续旋转得到，符合题意； C、该图形可以由一个菱形连续旋转得到，不符合题意； D、该图形可以由一朵花儿连续旋转得到，不符合题意； 故选：B． 18．下列选项中属于旋转运动的是（    ） A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转运动；旋转运动是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动．选项A、B、C均为平移运动，只有选项D的荡秋千是围绕固定点旋转． 【详解】解：∵ 旋转运动需围绕固定点转动， A项为平移运动，无旋转中心； B项传送带为平移运动； C项电梯为上下平移运动； D项荡秋千是围绕悬挂点做圆弧运动，属于旋转运动． 故选：D． 19．在Word文档的图形编辑功能中，菜单“旋转”下有下图中显示的四个功能，分别简称为R、L、V、H．现有图甲，如果对其先操作R再操作V，所得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的旋转和翻转，理解R、L、V、H的意思是解决本题的关键． 根据题意得，先向右旋转，再垂直翻转即可得到图形． 【详解】解：由题意可得，先操作R，即向右旋转， 可得如下图： 再操作V，即垂直翻转， 可得如下图： 故选A． 20．临沭柳编是山东省临沂市临沭县的传统工艺，也是国家级非物质文化遗产之一．下列选项为一组传统柳编工艺品，其中能近似看作由如图旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了面动成体的几何原理，解题的关键是判断平面图形绕轴旋转一周后形成的立体图形的形状．先分析题干中平面图形的轮廓特征，再与选项中立体工艺品的形状进行匹配，即可得出答案． 【详解】解：题干中的平面图形左右两侧向内凹陷，呈“腰鼓”状的对称曲线． A、该立体为圆柱，由矩形旋转得到，此选项不符合题意； B、该立体上下宽、中间窄，呈“腰鼓”状，与题干平面图形旋转后的形状一致，此选项符合题意； C、该立体中间鼓、上下窄，由不同曲线旋转得到，此选项不符合题意； D、该立体为圆柱，由矩形旋转得到，此选项不符合题意． 故选：B． 21．下列各图案中，不是通过旋转变换设计而成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了通过旋转变换设计而成的图形的特点，熟练掌握图形旋转后的大小和形状不变是解答本题的关键． 利用旋转设计而成的图形应有一个旋转点，图形旋转后的形状和大小不变，即可得解． 【详解】解：A、可以通过旋转变换设计而成，故A选项不符合题意； B、不可以通过旋转变换设计而成，故B选项符合题意； C、可以通过旋转变换设计而成，故C选项不符合题意； D、可以通过旋转变换设计而成，故D选项不符合题意； 故选：B． 题型05.中心对称图形的识别与判定 22．下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、它不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、它不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、它是中心对称图形，故本选项符合题意； D、它不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 23．如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（  ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了两个图形关于中心对称的知识点，需要根据中心对称的性质进行求解.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】∵矩形与矩形关于某点对称， ∴点A的对称点为点F，点B的对称点为点E，点C的对称点为点D, 点D的对称点为点C, ∴对称中心为线段的中点． 故选D． 24．如图，两张完全重合在一起的正三角形硬纸片，点O是它们的中心，若按住下面的纸片不动，将上面的纸片绕O顺时针旋转，设旋转角为，当=________时，两张硬纸片所构成的图形为中心对称图形. 【答案】或或 【分析】本题考查了利用旋转设计图案的知识，首先根据图示，可得原来的图案是一个正三角形；然后要使两张图案构成的图形是中心对称图形，则两张图案构成的图形是正六边形；最后根据正六边形的中心角是，可得它至少旋转，据此解答即可． 【详解】解：要使两张图案构成的图形是中心对称图形， 则两张图案构成的图形至少是正六边形， ∵正六边形的中心角是， ∴要使得两张图案构成的图形是中心对称图形，它旋转角度需是的整数倍，且旋转后三角形不能与原三角形重合， 所以旋转角可以是或或． 故答案为：或或． 25．如图，已知与成中心对称，则对称中心可能是（    ） A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称，熟知关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分是解题的关键．根据中心对称的定义解得即可． 【详解】解：与成中心对称，、是对称点， 对称中心可能是线段的中点， 故选：D． 题型06.平移性质的应用与求解 26．如图，将三角形平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵将三角形平移一定的距离得到三角形， ∴，，，， 故A，B，D选项正确，不符合题意；C选项错误，符合题意． 27．有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据小路的左边线向右平移就是它的右边线，可得路的宽度是米，根据平移，可把路移到左边，再根据长方形的面积公式，可得答案． 【详解】解：由平移可知， 中小路面积， 中小路面积， 中小路面积， 中小路面积， ∴四条小路面积大小一样． 28．如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点E，若，，则阴影部分的面积为_____． 【答案】13 【分析】根据平移的性质得到，，，，则可证明，再利用梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由平移的性质得，，，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 29．如图是公园里一处长方形游览区，长为60米，宽为24米，为方便游客观赏，公园修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为______米． 【答案】104 【分析】根据图形可得图中虚线长可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于，据此求解即可． 【详解】解：由图可得，图中虚线长的横向距离等于，纵向距离等于， ∴从出口A到出口��所走的路线长为（米）． 题型07.垂线的作法与综合求解 30．已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法．观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、图中是垂直平分线的作图，不能确定； B、图中是垂直平分线的作图，可得，能确定； C、图中是垂线或高线的作图，不能确定； D、图中是角平分线的作图，不能确定． 故选：B． 31．如图，以点B为圆心，适当长度为半径画弧，交于E，F两点，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交于点D．线段一定是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中位线 【答案】B 【分析】本题考查了垂线的作法即三角形高线的定义．由题意得是线段的垂直平分线，即，由此即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：是线段的垂直平分线，即， ∴线段一定是的高线， 故选：B． 32．小明用尺规作图作钝角三角形边上的高．下面是打乱的作图步骤：如图，①分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E；②作射线，交于点H；③以点C为圆心，的长为半径作弧，交的延长线于点D；则就是所求作的高．下列作图步骤正确的顺序是（　　） A．①③② B．③①② C．③②① D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查作图—基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据三角形的高定义及作图方法可得答案． 【详解】解：以点C为圆心，的长为半径作弧，交的延长线于点D； 分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E； 作射线，交于点H； 则就是所求作的高． 即作图步骤正确的顺序是③①②． 故选：B． 题型08.旋转的三要素应用 33．请指出时钟的分针由8时分的位置转到8时分的位置所旋转的角度，并指出旋转中心．________ 【答案】旋转的角度为，旋转中心为时钟的中心． 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握时钟上分针1分钟转是解题的关键．根据旋转的定义，以及时钟上分针1分钟转，进行计算即可解答． 【详解】解：时钟上分针1分钟转， 时10分到8时40分，时钟上分针旋转的角度， 旋转的角度为，旋转中心为时钟的中心． 34．如图所示，在正方形网格中，将三角形绕点A旋转后得到三角形，则下列旋转方式中，符合题意的是（   ） A．顺时针旋转 B．逆时针旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，在解题时，一定要明确三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度．先确定出旋转中心，再确定出旋转的方向和度数即可求出答案． 【详解】解：根据图形可知：将绕点A逆时针旋转可得到． 故选：B． 35．如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点___________． 【答案】M 【分析】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 判断哪个点到两个三角形的对应点的距离相等，且夹角也相等，即可求解． 【详解】解：如图，连接M和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点M的距离相等，且夹角都是， 因此格点M就是所求的旋转中心． 故答案为：M． 36．小明在如图所示的方格纸中，将三个顶点都在格点上的经过旋转后得到，则其旋转中心是（    ） A．格点M B．格点P C．格点Q D．格点N 【答案】C 【分析】本题考查找旋转中心，根据旋转的性质，旋转中心为对应点连线的中垂线上，连接，两条线段的中垂线的交点即为旋转中心．掌握旋转的性质，是解题的关键． 【详解】解：旋转的性质，旋转中心为对应点连线的中垂线上，连接，两条线段的中垂线的交点即为旋转中心． ， 故选C． 题型09.旋转性质的计算与求解 37．如图，将绕点C旋转，得到，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形旋转的性质，熟练掌握图形旋转的性质是关键． 先由已知求出，再根据图形旋转的性质得到，可求得，从而可求得答案． 【详解】解：，， 绕点C旋转，得到， ， ， ， ． 故选：D． 38．如图，旋转后到达的位置，，若，，，则的长度是________． 【答案】2 【分析】根据旋转的性质得出，再由求出即可． 【详解】解：∵旋转后到达的位置，， ∴， ∴． 39．如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，若，则_______． 【答案】30 【分析】先根据旋转的性质得到，，然后根据平行线的性质得到从而得到的值． 【详解】解：∵绕点B逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， 即． 40．如图1是中国数学会的会徽，，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形． 将会徽抽象为图2，记，，． 对图2进行图形运动得到图3，下面的说法不正确的是（    ）    A．可以看作是绕点B顺时针旋转得到 B．可以看作是沿着方向平移距离a，再沿方向平移距离b得到 C．可以看作是绕点D逆时针旋转得到 D．图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，可得 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质与旋转的性质：根据平移的性质与旋转的性质，等积変化逐一判断即可；掌握平移的性质与旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：A．由旋转的定义可以判定结论正确，故不符合题意； B．可以看作是沿着方向平移距离b，再沿方向平移距离a得到，结论错误，故符合题意； C．由旋转的定义可以判定结论正确，故不符合题意； D．图形运动后并没有改变图形的面积，通过图和图的面积表示得，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 41．如图，，O是上一点，直线与所夹角，要使，直线绕点O按逆时针方向至少旋转______度．    【答案】 【分析】根据旋转到时，与两直线平行同位角相等，得到，根据，得到，即可． 【详解】解：若旋转到时， 则， ∵ ∴， ∴要使，直线绕点O按逆时针方向至少旋转16度． 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查平行线．熟练掌握平行线的性质与判定，是解决本题的关键． 题型10.中心对称性质的几何计算 42．小明、王强两家所在的位置关于学校成中心对称，如果小明家距离学校，那么他们两家相距_________． 【答案】/米 【分析】本题考查了中线对称的性质，掌握中线对称的性质是解题的关键． 根据中心对称得到小强家距离学校也是，由两点之间的距离的计算即可求解． 【详解】解：∵小明、王强两家所在的位置关于学校成中心对称，小明家距离学校， ∴小强家距离学校也是， ∴他们两家相距， 故答案为： ． 43．如图，与关于点成中心对称，连接，，．若，，则的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得在的垂直平分线上，求出． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又∵ ∴在的垂直平分线上， ∴ 故选B． 44．如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念，以及矩形的面积公式即可解答． 【详解】解：直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点， 如下图，过点作于点，则阴影部分面积等于矩形的面积， ，， ， 阴影部分的面积之和为． 故答案为：． 题型11.角平分线的作图与性质应用 45．如图①，已知∠AOB，用直尺和圆规作∠AOB的平分线． 如图②，步骤如下： 第一步，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于点N． 第二步，分别以点M，N为圆心，以a为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． 第三步，画射线OC．射线OC即为所求． 下列说法正确的是（　　） A．a＞0 B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图可得：为保证得到两弧的交点，所以半径a大于线段MN的一半，从而可得答案. 【详解】解：由角平分线的作图可得：， 故选D 【点睛】本题考查的是角平分线的作图，熟悉角平分线的作图的基本原理是解本题的关键. 46．如图，中，以为圆心，任意长为半径作弧，分别交延长线，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查尺规作一个角的平分线以及平行线的性质，根据题意可知平分，结合，即可求得答案． 【详解】根据题意可知平分． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 故选：D 47．已知、线段、线段，小明利用尺规画出它们的对称轴，如图所示（②中为外任一点），则不一定正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．①和② 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图，轴对称图形的对称轴的判断，解题的关键的掌握五个基本作图（作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，过一点作已知直线的垂线，作角的角平分线，作线段的垂直平分线），据此分析即可作出判断． 【详解】解：①如图是作的角平分线，则该射线所在的直线为的对称轴，故该作图不符合题意； ②如图是过一点作线段所在直线的垂线，则该垂线不一定平分线段，即该垂线不一定是线段的垂直平分线，则该垂线不一定是线段的对称轴，故该作图符合题意； ③如图是作线段的垂直平分线，则该垂线所在的直线为的对称轴，故该作图不符合题意； 故选：B． 题型12.台球桌面的轴对称问题 48．如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，理解题意，掌握碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角是解题的关键． 根据黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角，轴对称图形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角， ∴最后进入的球洞的序号是①， 故选：A ． 49．下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（    ）次． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】本题考查轴对称的知识，根据题意画出图形，然后即可作出判断．难度不大，注意画出图形会使问题比较简单直观． 【分析】解：根据图形可得总共反射了7次． 故选：B． 50．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 题型13.折叠问题 51．如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用折叠的性质与长方形对边平行的性质，通过角度间的数量关系推导的度数． 【详解】解：如图， 根据折叠性质可知：， 根据长方形对边互相平行，得，， 即， ． 52．在综合实践课上，老师要求验证纸条两边与是否平行，甲、乙、丙三位同学按照如图所示的方式折叠，并测量出部分数据，关于三人的方案及数据，下列判断正确的是（    ） ， A．甲、乙、丙都可行 B．只有甲、乙可行 C．只有乙、丙可行 D．只有乙可行 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理分别对三位同学的方式折叠判断即可． 【详解】解：甲：∵， ∴， 同理可得，， ∴ ∴，故甲可行； 乙：如图， 由折叠得， ∵ ∴ ∴，故乙可行； 丙：由无法判断与是否平行，故丙不可行； 综上所述，只有甲、乙可行． 53．如图，把长方形沿对角线折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定与长方形的直角的关系，再利用折叠性质求，最后利用平行线性质求． 【详解】∵ 四边形是长方形，∴． 由折叠性质可知． 已知， ∴． 由折叠得， ∴． ∵长方形中，， ∴， ∴． 54．如图，将长方形纸片沿，折叠成图1，使，在同一直线上，若，再沿折叠成图2，使点，点分别落在点，点处，与交于点，则______． 【答案】/88度 【分析】本题主要考查平行线的性质和图形折叠的性质，容易求得，结合，，可求得的大小． 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴． 根据图形折叠的性质可知， ∴． ∴． 根据图形折叠的性质可知， ∴． ∵， ∴． ∴． 题型14.镜面对称与坐标变换 55．一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（    ） A．JM—G9329 B．JM—G6356 C．JM—C6326 D．JM—G6326 【答案】D 【分析】本题考查了镜面反射的性质，解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字和字母．根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称性质得出实际车牌号为JM—G6326， 故选：D． 56．在平面镜里看到背后墙上正放的电子钟示数如图所示，这时的时间应是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握两个成轴对称图形的性质． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与成轴对称， 所以此时实际时刻为， 故选：C． 57．小红照镜子时，发现身后的钟表如图所示，此时的实际时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了镜面反射的原理与性质，根据在平面镜中的像与现实中得事物刚好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，分析即可求解． 【详解】解：根据镜面对称得性质，分析可得此时的时间应是． 故选：A． 58．在镜子里看见的时间是，实际时间是___________． 【答案】 【分析】根据镜面对称的特征进行作答即可． 【详解】 解：在镜子里看见的时间是，实际时间是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称内容，涉及电子钟示数的镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好是左右颠倒，且关于镜面对称，难度中等， 59．在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示,这时的时间应是______．    【答案】 【分析】在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，由此可解． 【详解】解：题中所给的“”与“”成轴对称，这时的时间应是． 故答案为：． 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 60．李叔叔开车回家，在路中等红灯时，从车子的后视镜里看到了后面的公交车，如图所示，根据图中信息，可以判断出该公交车是多少路？（    ） A． B． C． 【答案】C 【分析】根据镜子中看到的像正好与现实相反可得答案． 【详解】解：从车子的后视镜里看到了后面的公交车为路公交， 该公交车是路， 故选：C． 【点睛】本题考查了镜面对称的知识，熟知在镜中看到的像与现实的像正好相反是解本题的关键． 题型15.中心对称图形的作图与补画 61．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子．若白方落子后的对奔图是中心对称图形，则白方落子的位置只可能是下列位置中的（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义．根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案． 【详解】解：由图可知，当放入白子的位置在点①处时，是中心对称图形． 故选：A． 62．三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：依题意，添加的等边三角形④，可得中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 63．如图，在正方形网格中，是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是（   ） A．点G B．点H C．点M D．点N 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称，确定两个图形的对称中心，结合与关于某点对称，故连接对应点，它们的连线会交于一点，这点即为对称中心，即可作答． 【详解】解：∵与关于某点对称， ∴连接对应点，它们的连线会交于一点，这点即为对称中心， 如图所示： 故点M是对称中心， 故选：C． 64．如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点． 【详解】解：如图：    作法：1．过点作交于点，过点作交于点， 2．连接交于点， 故点即为所求 证明：，， 是对称点，是对称点， 故的交点为对称中心． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键． 65．如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（  ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用旋转设计图案，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 故选：C． 题型16.光线反射的路径求解问题 66．如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的_______．    【答案】号袋 【分析】根据每次的入射角总是等于反射角画出球运动的路线，即可得出答案． 【详解】解：如图，球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中号袋．    故答案为：号袋． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是根据题意画出球运动的路线． 67．如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识，如图所示，由反射性质得到，再由平行线性质、对顶角相等确定，最后数形结合表示出即可得到答案．数形结合，掌握反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由反射性质可知，， ， ，则， ， ， ， ， ， 故选：B． 68．如图，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：A、 ∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴，正确，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； C、 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不能得出，原结论错误，故此选项符合题意； D、∵， ∴， ∵，，， ∴，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 题型17.轴对称折叠综合体 69．如图，把一张长方形纸片沿折叠，点D与点C分别落在点和点的位置上，与的交点为G，若，则为 _______ 度． 【答案】68 【分析】根据折痕是角平分线，得到，由平行线的性质得到，再根据平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴， ∵长方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 70．如图①是长方形纸条，点，在和上，，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③，则图③中的的度数是______． 【答案】/30度 【分析】由平行线的性质得到，再分别根据折叠的性质以及角的和差求解即可． 【详解】解：在长方形中，， ∵， ∴， 如图②，由第一次折叠可得：， 如图③，由第二次折叠可得：． 71．已知四边形为长方形．如图，点在线段上，将其沿折叠得到图，分别交于，再将沿折叠得到图，点恰好落在线段上．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是长方形与折叠的问题，平行线的性质，由折叠性质得到角相等是关键．先利用长方形的直角与对边平行性质，结合第一次折叠得到等角关系推出，再由平行线性质得到；接着结合第二次折叠的等角关系，算出，最后通过平角定义推出，从而得出答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， 由折叠得：，， ∴ ， ∵， ∴， 由折叠得，且在上， ∴， ∴ ∴， 故选：B． 72．在图1，图2中，已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． 【基础巩固】 (1)在图1中，求证：． 【类比探究】 (2)在图2中，当点G在线段延长线上时，请写出，，三者之间的数量关系并说明理由． 【应用拓展】 (3)如图3，图4，将长方形纸条沿折叠，折叠后线段与交于点F，连接，若恰好平分，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点G作，则，根据两直线平行内错角相等即可证明结论； （2）过点G作，，根据两直线平行内错角相等和角度的和差，即可证得结论； （3）图3中，根据平行线的性质可得，，从而得到图4中的度数，然后根据角平分线的定义和两直线平行内错角相等即可求得答案． 【详解】（1）证明：如图1，过点G作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 如图2，过点G作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）解：∵图3中，，， ∴，， ∵将长方形纸条沿折叠，得到图4， ∴图4中，，， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴． 题型18.旋转变换综合体 73．如图，，射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每秒；同时射线从开始，绕点顺时针旋转，旋转的速度为每秒，设旋转的时间为秒． （1）当时，__________； （2）在射线与旋转的过程中，图中存在两个角互补时称为“完美时刻”．当__________时，图中为“完美时刻”． 【答案】 9或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和分类讨论思想． （1）当时，，再结合即可求解； （2）根据“完美时刻”的定义，分、、、、、六种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）当时，， 于是； （2），， 当，解得，不符合题意； 当，解得，不符合题意； 当，解得，不符合题意； 当，解得； 当，解得； 当时，解得； 综上，“完美时刻”时，或或． 故答案为：（1）；（2）9或或． 74．如图所示，点O，在直线MN上，第一步，将绕点O顺时针旋转a度（）至；第二步，将绕点O顺时针旋转度至点；第三步，将绕点O顺时针旋转度至，…，以此类推，在旋转过程中若碰到直线，则立即绕点O反方向旋转，如果，那么a等于______度． 【答案】7或 【分析】本题考查旋转规律问题，解题关键是掌握分类讨论思想．根据题意分两种情况进行讨论分析即可． 【详解】解：由，（或反向旋转），，解得； 或反向旋转后，（均满足） 故答案为：7或 75．如图，将一副直角三角板放置于水平桌面上，其中，角的顶点重合，与边重合，射线和分别平分和．将三角板绕点逆时针旋转，当与第一次重合时旋转停止，在旋转的过程中，的大小将会（    ） A．始终不变 B．先减小再增大 C．不断增大 D．先增大再减小 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，角的和差关系，根据题意表示出是解题关键．设旋转角为，即，根据，结合角平分线的性质，以及角的和差关系等量代换即可得解． 【详解】解：如图所示，设旋转角为，即， 则， 射线和分别平分和， ，， ，为恒定值， 在旋转的过程中，的大小将会始终不变． 故选：A． 76．取一副三角板按图①拼接，固定三角板，将三角板绕点依顺时针方向旋转一定的角度得到．请问： (1)如图②，当与垂直时，求的度数； (2)如图①，三角板绕点以顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转时间为，三角板旋转一周时停止运动，当三角板的一边与平行时，求出时间的值（直接回答，不用证明）． 【答案】(1)或 (2)的值为5秒或35秒或50秒或65秒或95秒或110秒． 【分析】（1）分两种情况讨论，利用垂直和旋转的性质求解即可； （2）由旋转性质依次分析不同情况，作出图形，由平行线的性质求出旋转角度即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图，令与的交点为， ， ， ， ； ②如图，延长交于点， ， ， ； 综上可知，的度数为或； （2）解：三角板绕点依顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转一周停止． 当三角板的一边与平行时，分下列情况讨论： ①，如图， ， ，即旋转角为， 秒； ②，如图，令与的交点为， ， ， ，即旋转角为， 秒； ③，如图， ，即旋转角为， 秒； ④（第二次平行），如图， ， 旋转角为， 秒； ⑤（第二次平行），如图， 同（1）②理可得：， 旋转角为， 秒； ⑥（第二次平行），如图所示： ， 旋转角为， 秒． 综上， 的值为5秒或35秒或50秒或65秒或95秒或110秒． 题型19.轴对称图形的性质综合 77．如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是中线上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，根据轴对称的性质得出 和 关于直线 对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为 的面积是解决本题的关键． 【详解】解： 和 关于 所在的直线成轴对称， 是 的对称轴， ， 点 在对称轴 上， 和 关于直线 对称， ， 由图可知，阴影部分的面积 ， ， ， ． 故答案为：． 78．如图，是内的一定点．若，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、角的和差计算等知识点，掌握轴对称的性质，以及将所求角转化为已知角的倍数关系的方法是解题的关键． 根据轴对称性质可知，平分，平分，因此，代入即可求出结果． 【详解】如图，连接． ∵点，关于对称，点，关于对称， ，， ． 故答案为：． 79．如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴对称把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键．作点关于的对称点，连接，，则，，当点C、P、M共线，且时，的值最小，根据三角形的面积公式求出的长度，即为的最小值． 【详解】解：如下图所示，作点关于的对称点，连接，，则，，当点C、P、M共线，且时，的值最小， 在中，，，，， ， ， 解得：， 的最小值是． 故选：A． 80．如图，和关于直线MN对称，和关于直线EF对称． (1)请用无刻度的直尺画出直线EF（保留画图痕迹，不写画法）． (2)直线MN与EF相交于点O，试探究与直线MN，EF所夹锐角α的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）连接、交于一点，延长、交于一点，连接这两点即可作出直线； （2）连接，，，由轴对称的性质可得，，再根据角度的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）解：直线如图所示． （2）解：如图，连接，，． 和关于直线对称， ． 和关于直线对称， ， ． 解答题 81．某商场在开业前装修，准备在大厅的楼梯上铺设红地毯，已知楼梯的竖直高度为，水平跨度为，且． (1)至少需要多长的地毯？ (2)若所铺设的地毯每平方米售价为50元，楼梯的宽度为，则至少需要多少元钱去购买地毯？ 【答案】(1) (2)1890元 【分析】（1）根据平移性质得到地毯的长度至少为的长，求得的长度即可解答； （2）求得地毯的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵为，， ∴，则， 由平移性质，地毯的长度至少为； （2）解：（元）， 答：至少需要1890元钱去购买地毯． 82．如图，粗线①和细线②是公交车从少年宫到体育馆的两条行驶路线． (1)判断两条线的长短：粗线①______细线②．（填“”“”或“”） (2)小丽坐出租车由体育馆到少年宫，假设出租车的收费标准为起步价8元，3千米以后按每千米2.6元计费，用式子表示出租车的收费元与行驶路程千米之间的关系． (3)如果（2）中的这段路程长5千米，小丽身上的13元钱够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不够，理由见解析 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）利用出租车分段计费进行计算即可求解； （3）把代入（2）的关系式计算，再用计算结果与10作比较即可． 【详解】（1）解：如图， ∵，， ∴， ∴两条线的长短为粗线①细线②． （2）解：根据题意得：（元）． （3）解：不够． 理由如下： 当时，， ∴不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫． 83．美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 【答案】(1)50 (2) (3)或 【分析】（1）根据所给折叠方式，先求出，进一步求出的度数即可； （2）根据题意，画出示意图，再结合所给折叠方式进行计算即可； （3）对点在左上方和右下方的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，． 因为四边形是长方形， 所以， 所以． 故答案为：50； （2）解：如图所示， 因为， 所以， 由折叠可得， 所以； （3）解：当点在的左上方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 当点在的右下方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 综上所述，∠CBD的度数为或． 84．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)画出，使与关于直线成轴对称； (2)画出，使是绕点逆时针旋转得到； (3)画出，使与关于点成中心对称． 【答案】(1)图形见解析 (2)图形见解析 (3)图形见解析 【分析】（1）由轴对称的性质作图，即可求解； （2）按要求旋转作图，即可求解； （3）按中心对称的性质作图，即可求解． 【详解】（1）解：即为所求． （2）解：即为所求． （3）解：即为所求． 85．已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 【答案】(1)①②③；①②③④ (2) (3)或 【分析】（1）根据“中心对称图形”的定义，对选项依次判断；再利用“中心对称图形面积相等”以及“大图形面积相等，减去同样面积的部分，剩下的面积也相等”的逻辑，判断各组图形的面积是否相等； （2）由平移距离，用表示出长方形和的边长，结合（1）的“面积相等”关系列方程，求解得； （3）分“在上”“在上”两种情况进行讨论，根据面积相等列方程，用表示，再计算． 【详解】（1）解：长方形是中心对称图形，且对称中心在长方形的对角线上， ①三角形与三角形；②三角形与三角形；③三角形与三角形，都可以组成长方形， ∴①②③两个图形能关于某点成中心对称， ∴①②③中的两个三角形的面积相等； ①三角形与三角形；②三角形与三角形的面积相等， ∴四边形和四边形的面积相等， 又③三角形与三角形的面积相等， 则四边形和四边形的面积分别减去三角形与三角形的面积之后的图形面积相等， 即④长方形与长方形的面积相等， 答：①②③；①②③④． （2）解：依题意，，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：． 答：． （3）解：如图，当在上时， 依题意，，，，， ，，， 同理可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ； 当在上时，如图， ，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ． 综上所述，的值为或． 答：或． 【点睛】本题考查中心对称图形的判定，图形面积的等量关系，平移的性质，一元一次方程的应用，根据面积相等关系列方程求解未知量是解题关键． 86．【发现】小明拿激光笔照射到水平桌面上的平面镜时，发现光线经过反射后投射到天花板上，当他改变激光笔的角度时，天花板上的光点也随之移动．经过查阅资料，小明了解到光线在镜面上反射时，如图1，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即． 【探究】如图2，小明将平面镜放置在水平桌面上，激光笔发出的光线射到平面镜上，反射光线射到天花板（直线）上，． (1)若平面镜水平放置于桌面上，当激光笔与桌面的夹角时，请在图2中，画出反射光线，并在图中标出反射光线与天花板所夹锐角的大小． (2)如图3，转动平面镜，若平面镜与桌面形成的夹角，，且． ①当，时，求的大小； ②直接用含，的代数式表示出的大小． (3)如图4，小明把平面镜水平放置，当时，再添一面平面镜，将两平面镜相对放置，光线经过两次反射，得到反射光线，当平面镜如何放置时，光线？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)当平面镜水平放置时，光线 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，轴对称的性质； （1）根据入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即可求解； （2）①过点作，分别表示出，得出，进而根据平行线的性质，即可求解； ②根据①的结论，即可求解． （3）根据题意可得，根据得出，由，，得出，即可判断，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：①如图所示，过点作， ∴， ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ②由①可得 （3）解：如图所示， 依题意， ∵， 又∵ ∴ ∴ ∴，即当平面镜水平放置时，光线 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $