第2章图形与坐标解答题专项突破2025-2026学年湘教版八年级数学下册（六板块）

第2章图形与坐标解答题专项突破2025-2026学年 湘教版八年级下册（六板块） 板块一：平面直角坐标系中的点 1．如图，写出坐标系中各点的坐标． 2．在平面直角坐标系中描出下列各点：A（﹣3，2），B（﹣2，3），C（0，2），D（﹣4，0）． 3.在给出的平面直角坐标系中描出点A（﹣3，4），B（﹣3，﹣3），C （3，﹣3），D（3，4），并连接AB，BC，CD，AD． 4.如图，在平面直角坐标系中， （1）写出点A，B，C，D，E的坐标； （2）描出点P（﹣2，﹣1），Q（3，﹣2），S（2，5），T（﹣4，3），分别指出各点所在的象限． 5.在下面的平面直角坐标系中，完成下列各题： （1）写出图中A，B，C，D各点的坐标． （2）描出点E（1，0），F（﹣1，3），G（﹣3，0），H（﹣1，﹣3）． （3）顺次连接A，B，C，D各点，围成的封闭图形是什么图形？ 板块二：建立平面直角坐标系表示物体的位置 1.有一张图纸被污染，上面只有如图所示的两个标志点A（﹣2，1），B（﹣3，﹣4）可识别． 请根据以上信息解答下列问题： （1）在图中画出平面直角坐标系，并标出主要建筑C（3，2）的位置； （2）标志点A与主要建筑C的图上距离为 　 ． 2.先建立一个平面直角坐标系，再用坐标表示图中各点的位置关系． 3．如图，这是冉冉所在学校的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若艺术楼的坐标为（2，1），实验楼的坐标为（﹣2，﹣1）． （1）请在图中画出平面直角坐标系，并写出教学楼和体育馆的坐标． （2）若食堂的坐标为（1，2），请在（1）中所画的平面直角坐标系中标出食堂的位置． 4.八年级（2）班的同学组织到人民公园游玩，张明、王励、李华三位同学和其他同学走散了，同学们已到中心广场，他们三个对着景区示意图在电话中向在中心广场的同学们说他们的位置，张明说他的坐标是（200，﹣200），王励说他的坐标是（﹣200，﹣100），李华说他的坐标是（﹣300，200）． （1）请你据此写出坐标原点的位置； （2）请你写出这三位同学所在的景点． 5.春天到了，七（1）班组织同学公园春游，张明、李华对着景区示意图描述牡丹亭位置（图中小正方形边长0.5cm代表100m）． 张明：“牡丹亭坐标（300，300）”． 李华：“望春亭约在南偏西63°方向220m处”． 实际上，他们所说的位置都是正确的．根据所学的知识解答下列问题： （1）请指出张明同学是如何在景区示意图上建立平面直角坐标系的，并在图中画出所建立的平面直角坐标系； （2）李华同学是用什么来描述望春亭的位置？ （3）请分别用张明、李华的方法，描述出音乐台、牡丹亭、游乐园的位置． 板块三：用坐标点的特征解决问题 1.已知点A（a﹣3，2b+2），以点A为坐标原点建立直角坐标系． （1）求a，b的值； （2）判断点B（2a﹣4，3b﹣1）、点C（﹣a+3，b）所在的位置． 2.已知点P（8﹣2m，m﹣1）． （1）若点P在x轴上，求m的值． （2）若点P在第一象限，且到两坐标轴的距离相等，求P点的坐标． 3.平面直角坐标系中，有一点M（a﹣1，2a+7），试求满足下列条件的a的值． （1）点M在x轴上； （2）点M在第二象限； （3）点M到y轴距离是1． 4.在平面直角坐标系中，已知：点P（2m+4，m﹣1）． （1）分别根据下列条件，求出点P的坐标： ①点P在y轴上； ②点P的纵坐标比横坐标大3； （2）点P　 　是坐标原点（填“可能”或“不可能”）． 5.已知点A（1，2a﹣1），点B（﹣a，a﹣3）． （1）若点A在第一、三象限角平分线上，求a值． （2）若点B到x轴的距离是到y轴距离的2倍，求点B坐标． 板块四：坐标与新定义问题 1.已知a，b都是实数，设点P（a，b），若满足3a＝2b+5，则称点P为“新奇点”． （1）判断点A（3，2）是否为“新奇点”，并说明理由； （2）若点M（m﹣1，3m+2）是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由． 2.在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”． （1）求点A（﹣5，2）的“长距”； （2）若C（﹣1，k+3），D（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值． 3.在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay）（其中a为常数），则称点Q是点P的“a级关联点”、例如，点P（1，4）的“3级关联点”为点Q（3×1+4，1+3×4），即点Q（7，13）． 在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，6）的“2级关联点”是点B，求点B的坐标； 在平面直角坐标系中，已知点M（m，2m﹣1）的“3级关联点”是点N，且点N位于x轴上，求点N的坐标． 4.已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，就称点P（m﹣1，）为“爱心点”． （1）判断点A（5，3），B（4，8）哪个点为“爱心点”，并说明理由； （2）若点M（a，2a﹣1）是“爱心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由． 5.在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），则称点B是点A的“a级开心点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级开心点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）． （1）若点P的坐标为（﹣1，5），则点P的“3级开心点”的坐标为 　 　； （2）若点P的“2级开心点”是点Q（4，8），求点P的坐标； （3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”P'位于坐标轴上，求点P'的坐标． 板块五：平移问题 1.如图，在直角坐标系中 (1)点坐标为（___________，___________），点坐标为（___________，___________）． (2)若把向上平移个单位，再向左平移个单位得到，画出平移后的图形． 2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、． (1)请画出平移后的，并写出点的坐标 ； (2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点C的坐标为 (1)把向上平移3个单位，再向右平移2个单位得，画出． (2)写出点、点、点的坐标． (3)若内有一点，按照（2）的平移规律直接写出平移后点M的对应点的坐标． 4.如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题： （1）分别写出点B和点B′的坐标，并说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的； （2）连接BC′，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系　 　； （3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值． 5.在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A'B'C'，位置如图所示． （1）分别写出点A，A'的坐标：A　 　，A'　 　． （2）请说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的． （3）若点M（m，4﹣n）是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M'的坐标为（2m﹣8，n﹣4），求m和n的值． 板块六：平面直角坐标系中的面积问题 1.如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3） （1）求点C到x轴的距离； （2）求△ABC的面积； （3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标． 2.如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程3（b+1）＝6． （1）求点A，B的坐标； （2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标； 3.如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（a，0）和B（b，0），且a，b满足|a+4|0，点C的坐标为（0，3）． （1）求a，b的值及S△ABC； （2）若点M在x轴上，且S△ACMS△ABC，试求点M的坐标． 4.在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（6，0），C（5，6） （1）求△ABC的面积． （2）在y轴上是否存在点D，使得△ABD的面积和△ABC的面积相等，若存在，求出点D的坐标． （3）除（2）中的点D，在平面直角坐标系中，还能不能找到别的点D，会满足△ABD的面积和△ABC的面积相等，这样的点有多少个？它们的坐标有什么特点？直接写出答案． 5.在直角坐标系中，已知线段AB，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，0），如图1所示． （1）平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为（﹣2，4），求点D的坐标； （2）平移线段AB到线段CD，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD，如图2所示．若S△BCD＝7（S△BCD表示三角形BCD的面积），求点C、D的坐标． （3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使（S△PCD表示三角形PCD的面积）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】 第2章图形与坐标解答题专项突破2025-2026学年 湘教版八年级下册（六板块） 板块一：平面直角坐标系中的点 1．如图，写出坐标系中各点的坐标． 【答案】解：A（﹣3，1），B（0，1），C（1，﹣1），D（﹣2，0），E（2，0），F（﹣1，﹣2）． 2．在平面直角坐标系中描出下列各点：A（﹣3，2），B（﹣2，3），C（0，2），D（﹣4，0）． 【答案】解：如图所示． 3.在给出的平面直角坐标系中描出点A（﹣3，4），B（﹣3，﹣3），C （3，﹣3），D（3，4），并连接AB，BC，CD，AD． 【答案】解：如图，描出点A（﹣3，4）、B（﹣3，3）、C（3，﹣3）、D（3，4）， 4.如图，在平面直角坐标系中， （1）写出点A，B，C，D，E的坐标； （2）描出点P（﹣2，﹣1），Q（3，﹣2），S（2，5），T（﹣4，3），分别指出各点所在的象限． 【答案】解：（1）A（3，3），B（﹣5，2），C（﹣4，﹣3），D（4，﹣3），E（5，0）； （2）如图所示： 5.在下面的平面直角坐标系中，完成下列各题： （1）写出图中A，B，C，D各点的坐标． （2）描出点E（1，0），F（﹣1，3），G（﹣3，0），H（﹣1，﹣3）． （3）顺次连接A，B，C，D各点，围成的封闭图形是什么图形？ 【答案】解：（1）由题意得A（2，3），B（2，﹣3），C（﹣4，﹣3），D（﹣4，3）； （2）如图所示； （3）四边形ABCD是正方形． 板块二：建立平面直角坐标系表示物体的位置 1.有一张图纸被污染，上面只有如图所示的两个标志点A（﹣2，1），B（﹣3，﹣4）可识别． 请根据以上信息解答下列问题： （1）在图中画出平面直角坐标系，并标出主要建筑C（3，2）的位置； （2）标志点A与主要建筑C的图上距离为 　 ． 【答案】解：（1）画出平面直角坐标系，并标出主要建筑C（3，2）的位置如图所示： （2）由网格构造直角三角形，由勾股定理得， AC＝＝， 故答案为：． 2.先建立一个平面直角坐标系，再用坐标表示图中各点的位置关系． 【答案】解：如图， 广场（0，0），1中学（﹣1，﹣2），酒店（﹣2，0），商场（﹣1，2），2中学（2，1）． 3．如图，这是冉冉所在学校的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若艺术楼的坐标为（2，1），实验楼的坐标为（﹣2，﹣1）． （1）请在图中画出平面直角坐标系，并写出教学楼和体育馆的坐标． （2）若食堂的坐标为（1，2），请在（1）中所画的平面直角坐标系中标出食堂的位置． 【答案】解：（1）教学楼的坐标：（0，﹣2），体育馆的坐标：（﹣1，2）； （2）食堂的位置如图所示． 4.八年级（2）班的同学组织到人民公园游玩，张明、王励、李华三位同学和其他同学走散了，同学们已到中心广场，他们三个对着景区示意图在电话中向在中心广场的同学们说他们的位置，张明说他的坐标是（200，﹣200），王励说他的坐标是（﹣200，﹣100），李华说他的坐标是（﹣300，200）． （1）请你据此写出坐标原点的位置； （2）请你写出这三位同学所在的景点． 【答案】解：（1）如图所示： 坐标原点为中心广场； （2）张明位置是游乐园，王励位置为望春亭，李华位置是湖心亭． 5.春天到了，七（1）班组织同学公园春游，张明、李华对着景区示意图描述牡丹亭位置（图中小正方形边长0.5cm代表100m）． 张明：“牡丹亭坐标（300，300）”． 李华：“望春亭约在南偏西63°方向220m处”． 实际上，他们所说的位置都是正确的．根据所学的知识解答下列问题： （1）请指出张明同学是如何在景区示意图上建立平面直角坐标系的，并在图中画出所建立的平面直角坐标系； （2）李华同学是用什么来描述望春亭的位置？ （3）请分别用张明、李华的方法，描述出音乐台、牡丹亭、游乐园的位置． 【答案】解：（1）张明是以中心广场为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，如图： （2）李华是用方向和距离描述望春亭的位置； （3）张明的方法：音乐台坐标（0，400），牡丹亭坐标（300，300），游乐园坐标（200，﹣400）， 李华的方法：音乐台在正北方向400m处，牡丹亭在西北方向424m处，游乐园约在南偏东27°方向447m处． 板块三：用坐标点的特征解决问题 1.已知点A（a﹣3，2b+2），以点A为坐标原点建立直角坐标系． （1）求a，b的值； （2）判断点B（2a﹣4，3b﹣1）、点C（﹣a+3，b）所在的位置． 【答案】解：（1）∵点A为原点， ∴a﹣3＝0，2b+2＝0， 解得：a＝3，b＝﹣1； （2）把a＝3，b＝﹣1代入点B得：2a﹣4＝2×3﹣4＝2，3b﹣1＝3×（﹣1）﹣1＝﹣4， ∴B（2，﹣4），在第四象限； 把a＝3，b＝﹣1代入点C得：﹣a+3＝﹣3+3＝0，b＝﹣1， ∴C（0，﹣1），在y轴的负半轴上且到x轴的距离为1． 2.已知点P（8﹣2m，m﹣1）． （1）若点P在x轴上，求m的值． （2）若点P在第一象限，且到两坐标轴的距离相等，求P点的坐标． 【答案】解：（1）∵点P（8﹣2m，m﹣1）在x轴上， ∴m﹣1＝0， 解得：m＝1； （2）∵点P在第一象限，且到两坐标轴的距离相等， ∴8﹣2m＝m﹣1， 解得：m＝3， ∴P（2，2）． 3.平面直角坐标系中，有一点M（a﹣1，2a+7），试求满足下列条件的a的值． （1）点M在x轴上； （2）点M在第二象限； （3）点M到y轴距离是1． 【答案】解：（1）要使点M在x轴上，a应满足2a+7＝0，解得a， 所以，当a时，点M在x轴上； （2）要使点M在第二象限，a应满足，解得， 所以，当时，点M在第二象限； （3）要使点M到y轴距离是1，a应满足|a﹣1|＝1，解得a＝2或a＝0， 所以，当a＝2或a＝0时，点M到y轴距离是1． 4.在平面直角坐标系中，已知：点P（2m+4，m﹣1）． （1）分别根据下列条件，求出点P的坐标： ①点P在y轴上； ②点P的纵坐标比横坐标大3； （2）点P　 　是坐标原点（填“可能”或“不可能”）． 【答案】解：（1）①根据题意，得： 2m+4＝0． 解得 m＝﹣2； ∴P（0，﹣3）； ②根据题意，得： 2m+4+3＝m﹣1． 解得 m＝﹣8， ∴P（﹣12，﹣9）； （2）不可能，理由如下： 令2m+4＝0，解得m＝﹣2；当m﹣1＝0，解答m＝1， 所以点P（2m+4，m﹣1）的横坐标与纵坐标不可能相等，所以点P不可能坐标原点． 故答案为：不可能． 5.已知点A（1，2a﹣1），点B（﹣a，a﹣3）． （1）若点A在第一、三象限角平分线上，求a值． （2）若点B到x轴的距离是到y轴距离的2倍，求点B坐标． 【答案】解：（1）∵点A在第一、三象限角平分线上， ∴2a﹣1＝1， 解得a＝1； （2）∵点B到x轴的距离是到y轴距离的2倍， ∴|a﹣3|＝2|﹣a|， 解得a＝1或﹣3， 当a＝1时，点B（﹣1，﹣2）； 当a＝﹣3时，点B（3，﹣6）． 综上所述，点B坐标为（﹣1，﹣2）或（3，﹣6）． 板块四：坐标与新定义问题 1.已知a，b都是实数，设点P（a，b），若满足3a＝2b+5，则称点P为“新奇点”． （1）判断点A（3，2）是否为“新奇点”，并说明理由； （2）若点M（m﹣1，3m+2）是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由． 【答案】解：（1）当A（3，2）时，3×3＝9，2×2+5＝4+5＝9， 所以3×3＝2×2+5， 所以A（3，2）是“新奇点”； （2）点M在第三象限， 理由如下： ∵点M（m﹣1，3m+2）是“新奇点”， ∴3（m﹣1）＝2（3m+2）+5， 解得m＝﹣4， ∴m﹣1＝﹣5，3m+2＝﹣10， ∴点M在第三象限． 2.在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”． （1）求点A（﹣5，2）的“长距”； （2）若C（﹣1，k+3），D（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值． 【答案】解：（1）点A（﹣5，2）的“长距”为|﹣5|＝5； （2）由题意可知，|k+3|＝4或4k﹣3＝±（k+3）， 解得k＝1或k＝﹣7（不合题意，舍去）或k＝2或k＝0（不合题意，舍去）， ∴k＝1或k＝2． 3.在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay）（其中a为常数），则称点Q是点P的“a级关联点”、例如，点P（1，4）的“3级关联点”为点Q（3×1+4，1+3×4），即点Q（7，13）． 在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，6）的“2级关联点”是点B，求点B的坐标； 在平面直角坐标系中，已知点M（m，2m﹣1）的“3级关联点”是点N，且点N位于x轴上，求点N的坐标． 【答案】解：（1）∵点A（﹣2，6）的“2级关联点”是点B，故点B的坐标为（2×（﹣2）+6，﹣2+2×6） ∴B的坐标（2，10）； （2）∵点M（m，2m﹣1）的“3级关联点”为N（3m+2m﹣1，m+3（2m﹣1））， 当N位于x轴上时，m+3（2m﹣1）＝0， 解得m， ∴3m+2m﹣1， ∴点N的坐标为（，0）． 4.已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，就称点P（m﹣1，）为“爱心点”． （1）判断点A（5，3），B（4，8）哪个点为“爱心点”，并说明理由； （2）若点M（a，2a﹣1）是“爱心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由． 【答案】解：（1）当A（5，3）时，m﹣1＝5，3， 解得m＝6，n＝4， 则2m＝12，8+n＝12， 所以2m＝8+n， 所以A（5，3）是“爱心点”； 当B（4，8）时，m﹣1＝4，8， 解得m＝5，n＝14，显然2m≠8+n， 所以B点不是“爱心点”； （2）点M在第三象限， 理由如下： ∵点M（a，2a﹣1）是“爱心点”， ∴m﹣1＝a，2a﹣1， ∴m＝a+1，n＝4a﹣4， 代入2m＝8+n有2a+2＝8+4a﹣4， ∴a＝﹣1 2a﹣1＝﹣3， ∴M（﹣1，﹣3）故点M在第三象限． 5.在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），则称点B是点A的“a级开心点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级开心点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）． （1）若点P的坐标为（﹣1，5），则点P的“3级开心点”的坐标为 　 　； （2）若点P的“2级开心点”是点Q（4，8），求点P的坐标； （3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”P'位于坐标轴上，求点P'的坐标． 【答案】解：（1）3×（﹣1）+5＝2；﹣1+3×5＝14， ∴若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级开心点”的坐标为（2，14）． 故答案为：（2，14）； （2）设点P的坐标为（x，y）的“2级开心点”是点Q（4，8）， ∴ 解得， ∴点P的坐标为（0，4）； （3）∵点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”为P′（﹣3（m﹣1）+2m，m﹣1+（﹣3）×2m）， ①P′位于x轴上， ∴m﹣1+（﹣3）×2m＝0， 解得：m， ∴﹣3（m﹣1）+2m， ∴P′（，0）． ②P′位于y轴上， ∴﹣3（m﹣1）+2m＝0， 解得：m＝3 ∴m﹣1+（﹣3）×2m＝﹣16， ∴P′（0，﹣16）． 综上所述，点P′的坐标为（，0）或（0，﹣16）． 板块五：平移问题 1.如图，在直角坐标系中 (1)点坐标为（___________，___________），点坐标为（___________，___________）． (2)若把向上平移个单位，再向左平移个单位得到，画出平移后的图形． 【答案】(1)，(2)作图见解析 【详解】（1）解：如图，点坐标为，点坐标为． 故答案为：，；，． （2）如图，即为所作． 2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、． (1)请画出平移后的，并写出点的坐标 ； (2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为 ． 【答案】(1)图见解析，点B′的坐标是 (2) 【详解】（1）∵点A′的坐标是，点A的坐标是， ∴平移方向是先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵点B的坐标是，点C的坐标是， ∴点B′的坐标是，点C′的坐标是， ∴平移后的如图所示： 故答案为： （2）由（1）得：平移方向是先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵点P的对应点的坐标为， ∴点P的坐标为； 故答案为： 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点C的坐标为 (1)把向上平移3个单位，再向右平移2个单位得，画出． (2)写出点、点、点的坐标． (3)若内有一点，按照（2）的平移规律直接写出平移后点M的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）由图可知：； （3）∵向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到， ∴ 4.如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题： （1）分别写出点B和点B′的坐标，并说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的； （2）连接BC′，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系　 　； （3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值． 【答案】解：（1）由图知，B（2，1），B′（﹣1，﹣2）， 三角形A′B′C′是由三角形ABC向左平移3个单位，向下平移3个单位得到的； （2）∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系∠CBC′﹣∠B′C′O＝90°． 故答案为：∠CBC′﹣∠B′C′O＝90°； （3）由（1）中的平移变换得a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b， 解得a＝3，b＝4． 故a的值是3，b的值是4． 5.在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A'B'C'，位置如图所示． （1）分别写出点A，A'的坐标：A　 　，A'　 　． （2）请说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的． （3）若点M（m，4﹣n）是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M'的坐标为（2m﹣8，n﹣4），求m和n的值． 【答案】解：（1）由图知A（1，0），A'（﹣4，4）， 故答案为：（1，0），（﹣4，4）； （2）A（1，0）对应点的对应点A′（﹣4，4）得A向左平移5个单位，向上平移4个单位得到A′， 三角形A'B'C'是由三角形ABC向左平移5个单位，向上平移4个单位得到． （3）△ABC内M（m，4﹣n）平移后对应点M'的坐标为（m﹣5，4﹣n+4）， ∵M'的坐标为（2m﹣8，n﹣4）， ∴m﹣5＝2m﹣8，4﹣n+4＝n﹣4， ∴m＝3，n＝6． 板块六：平面直角坐标系中的面积问题 1.如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3） （1）求点C到x轴的距离； （2）求△ABC的面积； （3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标． 【答案】解：（1）∵C（﹣1，﹣3）， ∴|﹣3|＝3， ∴点C到x轴的距离为3； （2）∵A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3） ∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，点C到边AB的距离为：3﹣（﹣3）＝6， ∴△ABC的面积为：6×6÷2＝18． （3）设点P的坐标为（0，y）， ∵△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3）， ∴6×|y﹣3|＝6， ∴|y﹣3|＝2， ∴y＝1或y＝5， ∴P点的坐标为（0，1）或（0，5）． 2.如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程3（b+1）＝6． （1）求点A，B的坐标； （2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标； 【答案】解：（1）解方程3（b+1）＝6，得到b＝1， ∴A（﹣3，0），B（0，4）． （2）∵A（﹣3，0），B（0，4）， ∴OA＝3，OB＝4， ∵S△ABC•BC•OA＝12， ∴BC＝8， ∵点C在y轴的负半轴上， ∴OC＝4，C（0，﹣4）． 3.如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（a，0）和B（b，0），且a，b满足|a+4|0，点C的坐标为（0，3）． （1）求a，b的值及S△ABC； （2）若点M在x轴上，且S△ACMS△ABC，试求点M的坐标． 【答案】解：（1）由|a+4|0，可知，a+4＝0，8﹣b＝0， ∴a＝﹣4，b＝8， ∴点A（﹣4，0），点B（8，0）， 又∵点C（0，3）， ∴AB＝|﹣4﹣8|＝12，CO＝3， ∴S△ABCAB•CO12×3＝18． （2）设点M的坐标为（x，0），则AM＝|x﹣（﹣4）|＝|x+4|， 又∵S△ACMS△ABC， ∴AM•OC18， ∴|x+4|×3＝6， ∴|x+4|＝4， 即x+4＝±4， 解得：x＝0或﹣8， 故点M的坐标为（0，0）或（﹣8，0）． 4.在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（6，0），C（5，6） （1）求△ABC的面积． （2）在y轴上是否存在点D，使得△ABD的面积和△ABC的面积相等，若存在，求出点D的坐标． （3）除（2）中的点D，在平面直角坐标系中，还能不能找到别的点D，会满足△ABD的面积和△ABC的面积相等，这样的点有多少个？它们的坐标有什么特点？直接写出答案． 【答案】解：（1）∵A（0，0），B（6，0），C（5，6）， ∴OB＝6，△ABC的面积6×6＝18； （2）存在，理由如下： ∵△ABD的面积＝△ABC的面积6×6＝18， ∴点D的坐标为（0，6）或（0，﹣6）； （3）能找到别的点D，满足△ABD的面积和△ABC的面积相等，这样的点有无数个，它们的纵坐标为±6． 5.在直角坐标系中，已知线段AB，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，0），如图1所示． （1）平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为（﹣2，4），求点D的坐标； （2）平移线段AB到线段CD，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD，如图2所示．若S△BCD＝7（S△BCD表示三角形BCD的面积），求点C、D的坐标． （3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使（S△PCD表示三角形PCD的面积）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）∵B（3，0）平移后的对应点C（﹣2，4）， ∴设3+a＝﹣2，0+b＝4， ∴a＝﹣5，b＝4， 即：点B向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点C（﹣2，4）， ∴A点平移后的对应点D（﹣4，2）， （2）∵点C在y轴上，点D在第二象限， ∴线段AB向左平移3个单位，再向上平移（2+y）个单位，符合题意， ∴C（0，2+y），D（﹣2，y）， 连接OD， S△BCD＝S△BOC+S△COD﹣S△BOD OB×OCOC×2OB×y＝7， ∴y＝2， ∴C（0，4）．D（﹣2，2）； （3）设点P（0，m）， ∴PC＝|4﹣m|， ∵， ∴|4﹣m|×27， ∴|4﹣m|， ∴m或m， ∴存在点P，其坐标为（0，）或（0，）． 学科网（北京）股份有限公司 $