专题06分式(21大题型+题型突破+压轴专练+复习讲义)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题06分式 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解分式概念，会判断分式有意义、无意义、值为 0的条件 2.掌握分式基本性质，能正确约分、通分 3.熟练分式的乘除、加减运算及混合运算 4.会解可化为一元一次方程的分式方程，并会检验增根 1.能准确化简分式，规范运算步骤，不跳步、不漏符号 2.具备分式方程建模与求解能力，会列分式方程解简单应用题 3.能自查运算错误，识别并检验增根，养成验算习惯 1.避开 “分母为 0”“漏乘公分母”“忘记检验” 等高频失分点 2.快速搞定选择填空：分式有意义、值为 0、化简求值 3.熟练解答分式运算、解方程、应用题三类大题，保证步骤完整、结果正确 题型01.分式基础概念综合 题型02.分式正负性取值范围 题型03.分式性质辨析与应用 题型04.分式系数与符号变形 题型05.约分.最简分式与求值 题型06.分式整数解求解 题型07.分式乘除运算 题型08.分式乘方与混合运算 题型09.通分与最简公分母 题型10.分式加减法 题型11.分式加减混合运算 题型12.分式综合运算与化简求值 题型13.分式加减实际应用 题型14.分式恒等式求解 题型15.分式方程的概念与解法 题型16.分式方程解的求值问题 题型17.分式方程的列法 题型18.分式方程的工程问题 题型19.分式方程的行程问题 题型20.分式方程的经济问题 题型21.分式方程的和差倍分问题 解答题8题 知识点01.分式的基本概念 1.分式定义：形如（、是整式，B中含字母，且B0）的式子叫分式；A是分子，B是分母。 2.分式与整式区别：分母是否含字母。 3.分式的三类关键条件 情形 条件 分式有意义 分母B0 分式无意义 分母B=0 分式值为 0 分子A 且分母B 知识点02:分式的基本性质 1.文字表述：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。 2.公式表达：，（C是整式，C0） 3.分式符号法则 = 即：分子、分母、分式本身，同时改变其中两个符号，分式值不变。 知识点03:分式的约分与通分 1. 约分 定义：把分式分子与分母的公因式约去，化为最简分式或整式。 最简分式：分子与分母没有公因式的分式。 步骤：① 分解分子、分母的因式；② 找出公因式；③ 约去公因式。 2. 通分 定义：把几个异分母分式化为同分母分式，且不改变分式的值。 关键：确定最简公分母① 取各分母系数的最小公倍数；② 凡出现的字母（或因式）都取最高次幂；③ 所得乘积即为最简公分母。 知识点04:分式的乘除运算 1. 乘法法则 文字：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 字母：（b0,d0） 2. 除法法则 文字：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 字母：== (b.c d0) 3. 运算步骤 ① 先分解因式；② 约分；③ 再计算，结果化为最简分式 / 整式。 知识点05:分式的加减运算 1. 同分母分式加减 法则：分母不变，分子相加减。 字母：±（c0） 注意：分子相加减时要添括号，最后约分。 2. 异分母分式加减 法则：先通分，化为同分母分式，再按同分母法则计算。 字母：±=（b0,d0） 知识06:分式的混合运算 运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内。 运算技巧：① 灵活运用因式分解、约分简化计算；② 整式可看作分母为 1的分式；③ 结果必须化为最简分式或整式。 知识点07:分式方程的定义 定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 关键区分：整式方程分母不含未知数，分式方程分母含未知数。 知识点08:分式方程的解法（核心步骤） 标准解题步骤 (1)找最简公分母：对各分母因式分解，确定所有分母的最简公分母。 (2)去分母：方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程。 (3)解整式方程：求解转化后的一元一次 / 一元二次整式方程。 (4)检验（必做步骤）： 把整式方程的解代入最简公分母： 若最简公分母≠0，该解是原分式方程的解； 若最简公分母 = 0，该解为增根，原分式方程无解。 (5)写出结论：明确方程的解或无解。 知识点09:分式方程解的三种情况 1.有唯一解：检验后最简公分母不为 0； 2.无解：①整式方程无解 ②整式方程的解都是增根； 3.有增根：仅说明该根使分母为 0，不代表方程无解。 知识点10:分式方程的实际应用（高频考点） 1. 常见应用题型 工程问题、行程问题、销售利润问题、浓度问题、工作量问题等。 2. 解题步骤 审：分析题意，找等量关系； 设：设未知数（直接 / 间接设元）； 列：根据等量关系列分式方程； 解：按分式方程解法求解并双重检验（①是否为增根 ②是否符合实际意义）； 答：规范作答。 3. 常见等量关系模板 工程问题：工作效率 × 工作时间 = 工作总量；合作效率 行程问题：时间；顺水 / 逆水速度差异列方程 销售问题：数量 . 题型01.分式基础概念综合 【典例】下列式子中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，解题的关键是掌握分式的定义． 分式是指形如（A、B是整式，且B中含有字母）的式子，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项中，分母是常数，不含字母， ∴是整式，不是分式； B选项中，分母3是常数，不含字母， ∴是整式，不是分式； C选项中，分子3是整式，分母是含字母x的整式， ∴是分式； D选项中，分子不是整式， ∴不是分式； 故选：C． 【跟踪专练1】如果一个分式，当时分式无意义，当时分式的值为0，则这个分式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式无意义，分式的值为零的条件，解题的关键掌握分式代值的计算方法．先根据当时，分式无意义，排除选项B、D，然后把代入A、C选项计算即可判断． 【详解】解：当时，，则分式，无意义；，，则分式，有意义，故排除选项B、D， 当时，，，故选项C符合题意，选项A不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（    ） … … … 无意义 * * * … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式值为0的条件． 根据分式有意义的条件排除C、D，根据分式值为0的条件排除A即可． 【详解】解：∵当时，y无意义， ∴分母在时为0， C、D：分母，当时，，不符合； 当时，， A：分子，当时，，不符合； B：分子，当时，，且分母，符合； 故选：B． 【跟踪专练3】已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则______． 【答案】 【分析】根据当时，分式无意义，得；当时，此分式的值为0，得到，代入解答即可． 【详解】解：根据当时，分式无意义，得，解得； 当时，此分式的值为0，得到，解得， 故． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为零，分式无意义的条件，求代数式的值，有理数的乘方，熟练掌握条件是解题的关键． 【跟踪专练4】已知有意义的分式：，请你写出一个含的二次分式，当它有意义时，使它可能大于0，可能小于0，不可能等于0：__________ 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件及分式不为零的条件，由有意义时，即可得到答案，熟记分式有意义的条件及分式不为零的条件是解决问题的关键． 【详解】解：有意义， ，即， 解得，且， ，则是一个含的二次分式，当它有意义时，可能大于0，可能小于0，不可能等于0， 故答案为：． 题型02.分式正负性取值范围 【典例】如果分式 的值为负数,则x的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于分式 的值为负数，而分子为正数，则分母小于0，然后解不等式即可； 【详解】解：当1-2x＜0时,分式的值为负数,即 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的值，解题的关键是分析得到关于x的不等式 【跟踪专练1】分式的值为负数，求的取值范围______． 【答案】且 【分析】本题考查分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母必是正数，分子的值是负数则可，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：∵分式若有意义，分母不能为0， ∴， ∴ ∴ ∵分式的值为负数， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 【跟踪专练2】分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解； 【详解】解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B； 题型03.分式性质辨析与应用 【典例】若，下列等式变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的基本性质．根据等式的基本性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、的两边同时加2，得成立，故本选项正确，不符合题意； B、由变形为，需要在的条件下才能成立，题中未说明m的取值，故该变形错误，符合题意； C、的两边乘m，得，成立，故本选项正确，不符合题意； D、的两边减b，得，成立，故本选项正确，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】已知分式的值为，如果把分式中的a、b同时扩大为原来的2倍，那么得到的分式的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值，掌握分式的性质是解题关键．将分式中的和同时扩大2倍后，新分式是原分式的2倍，据此即可求解． 【详解】解：由题意可知，， 则新分式为， 故答案为：． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（    ） A．分式是最简分式 B．由分式的基本性质得 C．若分式有意义，则 D．由分式的基本性质得 【答案】A 【分析】本题考查最简分式的判断，分式有意义的条件及分式的基本性质，解题的关键是根据最简分式的定义、分式有意义的条件及分式的基本性质，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．∵该分式的分子为，分母为，分子分母无公因式， ∴是最简分式，原说法正确，故此选项符合题意； B．当时，得：，与分式的基本性质不符，变形不成立， ∴原说法不正确，故此选项不符合题意； C．若分式有意义，则，得， ∴原说法不正确，故此选项不符合题意； D．， ∴原说法不正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 【跟踪专练3】阅读下面的材料，并解答问题： 分式的最大值是多少？ 解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2， 所以的最大值是4，即的最大值是4． 根据上述方法，试求分式的最小值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质及有理数的乘方，先利用分式的性质化简，再根据有理数的乘方的符号规律可得的最大值为，进而可求解，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 的最小值为， 的最大值为， 的最小值为， 即的最小值是， 故答案为：． 题型04.分式系数与符号变形 【典例】不改变分式的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查分式的基本性质的运用，注意当分子、分母为多项式时，要乘每一项．利用分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．把原分式的分子分母同乘10，再进一步计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【跟踪专练1】不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 【跟踪专练2】不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得_______． 【答案】 【分析】根据题意可知，为了把各项系数化成整数，分子分母分别乘以10，可得到答案． 【详解】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分子分母同乘以10， 即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的概念与性质，分子分母共同乘以相同的数，分式值不变． 题型05.约分.最简分式与求值 【典例】下列各分式中，最简分式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查最简分式定义，化简分式，掌握方法将分式的化简是解题的关键．分式的分子和分母没有公因式的分式即为最简分式，根据定义解答． 【详解】解：A．，故A不符合题意； B． 为最简分式，故B符合题意； C．，故C不符合题意； D．，故D不符合题意． 故选：B． 【跟踪专练1】已知非零实数x、y满足，则的值等于______． 【答案】 【分析】将通过变形得到，将变式代入，即可解答． 【详解】解：根据，可得，即， ， 将代入，得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式得值，根据已知条件得到是解题的关键． 【跟踪专练2】琪琪在化简分式时得到的结果为，则？部分的代数式应该是___________． 【答案】 【分析】根据分式的性质解答即可，本题考查了分式的性质，熟练掌握分式化简的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知．则分式的值为（　　） A．8 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】由可得，然后再对分式进行变形，最后代入计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝3． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了代数式求值、通分、约分等知识点，根据题意得出是解本题的关键． 题型06.分式整数解求解 【典例】若分式的值是正整数，则可取的整数有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的值，利用已知条件得到关于m的不等式，再利用有理数的整除的性质解答即可． 【详解】解：若分式的值是正整数，且为整数， 则是6的约数，． ∴或或或， 即的值为8或5或4或3，共4个． 【跟踪专练1】若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有_______个． 【答案】4 【分析】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分变形得到，从而使问题简单．先将假分式变形得，根据题意只需是6的整数约数即可． 【详解】解： 由题意可知，是6的整数约数， ∴，2，3，6，，，，， 解得：，，1，，，，，， 其中x的值为整数有：，1，，共4个． 故答案为：4． 【跟踪专练2】对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简变形，解题时要能熟练掌握并理解．依据题意，由，再结合为正整数，为非负整数，进而可以得解． 【详解】解：由题意，，且为正整数，为非负整数， 必为正整数． 为的正因数，可能为，，，， 为非负整数， 可能为，，． 又为正整数， 或或均符合题意，共种可能． 故选：A． 题型07.分式乘除运算 【典例】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘除运算，通过直接计算每个选项的左边表达式，与右边结果比较，只有D选项正确利用了相反数的性质进行简化，即可求解． 【详解】解：A：∵ ，∴ A错误； B：∵ ，∴ B错误； C：∵ ，∴ C错误； D：∵ ，∴ ，与右边相等，∴ D正确． 故选：D． 【跟踪专练1】计算的结果为___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，掌握因式分解和分式的约分是解题的关键． 先将分式的除法转化为乘法，然后对分子和分母进行因式分解，最后通过约分简化表达式． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【跟踪专练2】定义两种运算：，，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算．熟练掌握新定义运算，分式的乘除运算法则，是解题的关键． 先根据题意得出与的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】某公司用汽车将货物发往甲地，用火车将货物发往乙地．第一次发货时，发往甲、乙两地货物的吨数之比为1:2，且每吨运费之比为4:3．第二次发货时，由于受汽油价格上涨的影响，汽车每吨运费上调了20%（火车每吨运费不变），因此发往甲地货物吨数只有第一次发往甲地货物的，且第二次发货的汽车总运费与第二次发货的火车总运费之比为2:3．则这两次总共发往甲、乙两地的货物吨数之比是______． 【答案】 【分析】设出第一次和第二次发往甲乙两地的吨数与每吨的运费，建立等式后进行化简并求解即可． 【详解】解：设第一次发往甲、乙两地货物的吨数分别为x，2x，且每吨运费分别为4y元，3y元，第二次发往乙地m吨． 由题可得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的应用，解题关键是设出未知数，找到相等关系列出相应代数式并进行转化． 题型08.分式乘方与混合运算 【典例】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了分式的乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 先计算乘方，再计算除法，即可． 【详解】解： 故选：B 【跟踪专练1】计算：_________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，先分别计算每个部分的指数幂，注意负号的处理（偶次方为正，奇次方为负），然后合并乘除运算，利用指数法则简化表达式． 【详解】解： ． 故答案为 ． 【跟踪专练2】（1）________；              （2）________； （3）________；   （4）________； （5）________． 【答案】 【分析】（1）根据分式的乘法法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘法即可； （3）先算乘方，再算除法即可； （4）先算乘方，再算乘除法即可； （5）先算乘方，再算除法即可； 【详解】解：（1） （2）； （3）原式=； （4）原式=； （5）； 故答案为：，，，， 【点睛】本题考查了分式的乘、除、乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 题型09.通分与最简公分母 【典例】把，，通分过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的通分，需先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，给每个分式的分子分母同乘相应因式，逐一验证选项即可找出错误项．据此判断即可得答案． 【详解】解：∵三个分式的分母分别为，，， ∴最简公分母为，故A选项正确； ∴，故B选项正确； ∴，故C选项正确； ∴，故D选项错误． ∴故选：D． 【跟踪专练1】的最简公分母是________，通分的结果为________． 【答案】 【分析】此题考查分式的通分和最简公分母，根据最简公分母的定义和通分的法则进行解答即可． 【详解】解：的最简公分母是，通分的结果是， 故答案为：， 【跟踪专练2】把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的知识点是分式的通分，根据分式找取最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，再按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案即可，解题的关键是明确通分的概念：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，难点是掌握找取分式最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母． 【详解】解：A、最简公分母为，故A正确，不符合题意； B、根据分数的基本性质，，故B正确，不符合题意； C、根据分数的基本性质，，故C正确，不符合题意； D、根据分数的基本性质，，故D错误，符合题意， 故选：D． 题型10.分式加减法 【典例】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加法运算．通过观察分母和互为相反数，将第二个分式变形进行减法运算，再化简即可． 【详解】解：， 故选：A． 【跟踪专练1】已知，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加法运算，整体代入求值，解题的关键是掌握分式运算法则． 由已知条件通分得，即，代入所求表达式化简． 【详解】解：由，通分得， 所以． 则． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知，则的值为________． 【答案】3 【分析】本题主要考查求分式的值，其解题的关键是合理的变形及整体代入；由变形得，再对所求代数式进行变形，并整体代入求值即可； 【详解】解：， ， ． 故答案为：3. 【跟踪专练3】已知，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减法法则是解题的关键． 先根据分式的加减法则计算每一个等式的左边，然后将三个等式相加，再取其倒数即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【跟踪专练4】数学课上，老师让计算．佳佳的解答如下： 解：原式① ② ③ ＝3④ 对佳佳的每一步运算，依据错误的是（    ） A．①：同分母分式的加减法法则 B．②：合并同类项法则 C．③：逆用乘法分配律 D．④：等式的基本性质 【答案】D 【分析】根据分式的加减法法则计算即可． 【详解】解：①：同分母分式的加减法法则，正确； ②：合并同类项法则，正确； ③：提公因式法，正确； ④：分式的基本性质，故错误； 故选：D． 【点睛】此题考查了分式的加减，熟练掌握法则及运算律是解本题的关键． 题型11.分式加减混合运算 【典例】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可求解． 【详解】解： ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的加减混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 【跟踪专练1】如果，那么________，________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，利用分式的加法法则变形即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：，． 【跟踪专练2】若代数式，都有意义，比较二者的数量关系，下列说法正确的为（   ） A．不相等 B．相等 C．前者较大 D．后者较大 【答案】A 【分析】通过作差法比较即可． 【详解】解： ， 故二者不相等； 当时，，前者较大； 当时，，后者较大． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式运算，掌握作差法，分式的加减运算是解题的关键． 题型12.分式综合运算与化简求值 【典例】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 根据分式的加减乘除运算法则逐项排除即可． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 【跟踪专练1】若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了整体代入法求代数式的值；由条件得，再整体代入代数式中即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：A． 【跟踪专练2】若，则______． 【答案】4 【分析】先利用异分母的分式加减法可得，再对原式变形后将整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴原式． 【跟踪专练3】化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的混合运算，先通分并化简括号内的分式，再将除法运算转化为乘法运算即可求解 【详解】解：原式 ， 故选：A 题型13.分式加减实际应用 【典例】小芳周日从家到图书馆看书，去时速度为，回来时速度为，则她往返家里和图书馆的平均速度是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的应用；本题需先根据题意设出未知数，再列出式子化简整理即可求出平均速度． 【详解】解：设从家到图书馆的路程为千米， 则从家到图书馆的时间为小时，返回的时间为小时， 则她往返家里和图书馆的平均速度为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了m千克．则高的单位面积产量比低的单位面积产量多几分之几？多的这个值是______． 【答案】 【分析】先用含a的式子表示出两块试验田的面积，再由高产量的减去低产量，从而可求解． 【详解】解：由题意得： “丰收1号”的单位面积产量为：， “丰收2号”的单位面积产量为：， ∴ ， 即高的单位面积产量比低的单位面积产量多． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是理解清楚题意列出正确的式子求解． 【跟踪专练2】汽油的单价会随着各种因素不断变动，一段时间内，某人计划去加油站加两次油，两次加油时汽油单价不同，现有两种加油方案：甲方案：每次加油的总金额固定；乙方案：每次所加的油量固定．若规定平均单价越低，则该加油方案越实惠，不考虑其他因素影响，则（   ） A．甲方案实惠 B．乙方案实惠 C．哪种方案实惠需由两次油价决定 D．两种方案一样实惠 【答案】A 【分析】本题主要考查了比较法在不等式大小比较中的应用，设两次加油的油价分别为a，且将两次加油的平均油价分别用a，b表示出来，作差即可比较大小． 【详解】解：设两次加油的油价分别为a，且， 甲方案：设每次加油总金额为W，则平均油价； 乙方案：设每次加油量为N，则平均油价， 则， 因为，a，且， 所以，，， 所以，， 所以，，甲方案实惠． 故选：A． 题型14.分式恒等式求解 【典例】已知，则分式的值为（  ） A．1 B．-1 C． D．- 【答案】B 【分析】根据，可得，再代入，然后化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴ 故选：B 【点睛】本题主要考查了分式的加减，分式的化简，根据题意得到是解题的关键． 【跟踪专练1】已知，则__________． 【答案】4 【分析】本题考查了分式的通分与部分分式分解，掌握通分后通过比较分子的系数建立方程，直接获取系数关系是解题的关键． 通过部分分式分解，将等式右边通分后分子与左边分子比较系数，得到关于和的方程，直接得出的值 【详解】解：右边通分：， 与左边分母相同，故分子相等： 展开右边： 比较等式两边的系数，左边的系数为 4，右边为，因此：． 故答案为：4． 【跟踪专练2】对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 题型15.分式方程的概念与解法 【典例】下列方程中，是分式方程的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①③ C．②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义，根据分式方程的定义是分母中含有未知数的方程，据此逐一判断各方程是否符合条件． 【详解】解： ∵方程① 的分母含有未知数， ∴ ①是分式方程； ∵ 方程② 的分母是常数， ∴ ②不是分式方程； ∵ 方程③ 的分母 都是常数， ∴ ③不是分式方程； ∵ 方程④ 的分母含有未知数， ∴ ④是分式方程． ∴ 是分式方程的是①④， 故选：A． 【跟踪专练1】方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解法是正确解答此题的关键，注意要检验． 将分母因式分解后通分，转化为整式方程求解，并检验分母不为零． 【详解】解： 原方程化为， 两边同乘，得． ∴， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为， 故选：B． 【跟踪专练2】关于的分式方程． （1）若这个方程的解为，则的值为______； （2）若这个方程无解，则的值为______． 【答案】 5 3或7 【分析】（1）先把原分式方程化简为整式方程，整理得，把代入原方程，即可作答． （2）无解分分式方程有增根和去分母后的整式方程无解两种情况，进行列式代入数值，进行计算即可． 本题考查了解分式方程以及分式方程无解问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， 解得． 故答案为：5； （2），且该方程无解， 或者原分式方程的分母为0，即， ， 把代入，得， ， 综上：或，方程无解． 故答案为：3或7． 题型16.分式方程解的求值问题 【典例】若是方程的根，则m的值为（    ）． A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义是解题关键．将代入分式方程，解方程即可得． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 解得， 故选：B． 【跟踪专练1】若关于的分式方程无解，则的值为（    ）． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程得到，再根据原方程无解，可得是原方程的增根，据此建立关于m的方程求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∵关于的分式方程无解， ∴是原方程的增根，即， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】若关于x的方程无解，则________． 【答案】，1 【分析】分式方程无解包含两种情况：一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，将分式方程化为整式方程后，分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：原方程为 方程两边同乘最简公分母去分母得：， 展开并移项合并同类项得：， 分两种情况讨论： 当整式方程无解时，满足未知数系数为且常数项不为，即 ，解得，此时，符合要求； 当整式方程的解为原分式方程的增根时， 原分式方程分母为和，因此增根为， 将代入得： ， 解得，符合要求； 综上，的值为或． 【跟踪专练3】若关于x的分式方程有解，则k需满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，解题关键是掌握分式方程无解的两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．根据分式方程无解的情况可知，分式方程有解需满足分母不为零且化简后的方程有解，通过乘以公分母化简方程，讨论整式方程的系数并排除使解为增根的情况，即可求解． 【详解】解：∵方程的分母， ∴两边同乘，得， 化简得， 移项得， 当，即时，方程无解， ∴， 当时，， 又∵分母不为零，需且， 检验：恒成立， 检验：，解得，即， ∴且， 故选：A． 题型17.分式方程的列法 【典例】已知甲做个零件与乙做个零件所用的时间相同，两人每天共做个零件；设甲每天做个零件，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间工作总量工作效率． 设甲每天做x个零件，根据甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，列出方程即可． 【详解】解：设甲每天做x个零件，根据题意得： ； 故选A． 【跟踪专练1】用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意可列方程为________． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题，列出分式方程，根据甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完，列出方程即可． 【详解】解：设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入个数据，由题意： ； 故答案为： 【跟踪专练2】《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 题型18.分式方程的工程问题 【典例】某项工程，甲队单独做需要a天完成，甲、乙两队合作需要b天完成（其中），那么乙队单独完成需要做几天（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查分式方程，设乙队单独完成需要做x天，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：设乙队单独完成需要做x天， ∴ ， ∴ 故选：A． 【跟踪专练1】某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成任务．设原计划每天铺设管道x米，根据题意列出方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确找到等量关系是解题的关键．设原计划每天铺设管道x米，根据工作效率比原计划提高，结果提前了8天完成任务，列方程即可． 【详解】解：设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道为米，原计划完成任务所需时间为天，实际所需时间为天，根据题意，得 ， 故答案为：． 【跟踪专练2】某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A，B两种苗木共600株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多60株． (1)请问A，B两种苗木各多少株？ (2)如果学校安排21人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木4株或B种苗木3株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时完成任务？ 【答案】(1)A种苗木有240株，B种苗木有360株 (2)应安排7人种植A种苗木，14人种植B种苗木，才能确保同时完成任务 【分析】本题考查分式方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程和方程组，是解题的关键： （1）设A 种苗木有x 株， B 种苗木有y株，根据A，B两种苗木共600株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多60株，列出方程组进行求解即可； （2）设安排m 人种植A 种苗木，根据工作时间等于工作总量除以工效，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）设A 种苗木有x 株， B 种苗木有y株， 根据题意，得 解得； 答： A种苗木有240株，B种苗木有360株； （2）设安排m 人种植A 种苗木， 根据题意，得 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意， (人)， 答：应安排7人种植A种苗木，14人种植B种苗木，才能确保同时完成任务 题型19.分式方程的行程问题 【典例】一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为千米/时，则可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列分式方程解决行程问题，解题的关键是找出等量关系． 根据时间相等，顺流航行速度为静水速度加水流速度，逆流航行速度为静水速度减水流速度，分别表示顺流和逆流的时间，并令其相等即可得到方程． 【详解】解：设江水的流速为千米/时，则顺流速度，逆流速度，根据题意得， ， 故选：A． 【跟踪专练1】一辆小车开往距离出发地200千米的目的地，按原计划的速度匀速行驶80千米后，因有紧急事件，后续的行程提速行驶，最终比原计划提前40分钟到达目的地，求原计划的行驶速度． 【答案】60千米/小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，先设原计划的行驶速度为千米/小时，根据开往距离出发地200千米的目的地，按原计划的速度匀速行驶80千米，后续的行程提速行驶，最终比原计划提前40分钟到达目的地，进行列方程，解得，最后验根，即可作答． 【详解】解：设原计划的行驶速度为千米/小时， 依题意，得 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴原计划的行驶速度为60千米/小时． 【跟踪专练2】一艘轮船在相距100千米的甲、乙两港航行． (1)若轮船从甲港顺流航行到乙港所用的时间是从乙港到甲港逆流航行的时间的，水流的速度为10千米/小时，求船在静水中的速度．（注：逆水船速静水船速水速，顺水船速静水船速水速） (2)若船在静水中的速度为v千米/小时，水流的速度为a千米/小时（）．该船从甲港顺流航行到乙港，再从乙港逆流返回到甲港所需的时间为；若该船从甲港航行到乙港再返回甲港都处于静水航行，且所用时间为，试比较与的大小，说明理由． 【答案】(1)千米/小时 (2)，理由见解析 【分析】（1）设船在静水的速度为x千米/时，则顺水中的速度为千米/时，逆水中的速度为千米/时，利用时间关系列方程，解方程，再进行检验得到x的值即可； （2）由时间等于路程除以速度可得：，，然后利用求差法比较大小即可． 【详解】（1）解：设船在静水中的速度为x千米/时，则 根据题意得， 解得，经检验是原方程的解， 答：船在静水的速度为50千米/时． （2）解：，， ， 因为，，， 所以， 即． 题型20.分式方程的经济问题 【典例】为了加强生物实验教学，提高学生动手操作能力，培养学生的学科素养，新学期开始，某学校购进了单目显微镜和双目显微镜共30台，已知购买单目显微镜用了7560元，购买双目显微镜用了4860元，且这批双目显微镜的单价是单目显微镜单价的1.5倍，求这批单目、双目显微镜各购进多少台？若设购进单目显微镜台，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设购进单目显微镜 台，则双目显微镜购进 台，根据总费用和台数可得单价，再根据双目显微镜单价是单目显微镜单价的 倍列方程． 【详解】解：设购进单目显微镜 台，则双目显微镜购进 台． 单目显微镜的单价为 元，双目显微镜的单价为 元． 根据题意，双目显微镜的单价是单目显微镜单价的 倍， 即． 故答案为：． 【跟踪专练1】某水果店用2000元购进了一批樱桃，过了一段时间又用5000元购进了第二批樱桃，所购数量是第一批数量的2倍，但每千克樱桃的进价比第一批的进价贵了10元． (1)该店第一批购进的樱桃有多少千克？ (2)若该店两次购进的樱桃按相同的价格销售，全部售完后总利润不低于2000元，则每千克樱桃的售价至少是多少元？ 【答案】(1)该店第一批购进的樱桃有 (2)每千克樱桃的售价至少是60元 【分析】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，根据题意正确列出关系式是解题的关键． （1）设该店第一批购进的樱桃有，则该店第二批购进的樱桃有，根据题意，列出分式方程，求解即可； （2）计算出第一批购进的单价和第二批购进的单价，设 每千克樱桃的售价是元，根据题意，列出一元一次不等式，求解即可； 【详解】（1）解：设该店第一批购进的樱桃有，则该店第二批购进的樱桃有，由题意，得， 解得． 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：该店第一批购进的樱桃有． （2）设每千克樱桃的售价是元．由题意，得 ， 解得 ． 所以的最小值为60． 答：每千克樱桃的售价至少是60元． 【跟踪专练2】为进一步发展新质生产力，某企业计划对现有甲、乙两类生产线的设备进行更新换代，经测算，升级1条甲类生产线比升级1条乙类生产线需多投入5万元，用120万元升级甲类生产线的条数和用100万元升级乙类生产线的条数相同，求升级1条甲类、乙类生产线各需投入的资金． 【答案】升级1条甲类生产线需投入30万元，升级1条乙类生产线需投入25万元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 设升级1条乙类生产线需投入万元，则升级1条甲类生产线需投入万元，根据用120万元升级甲类生产线的条数和用100万元升级乙类生产线的条数相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设升级1条乙类生产线需投入万元，则升级1条甲类生产线需投入万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （万元）． 答：升级1条甲类生产线需投入30万元，升级1条乙类生产线需投入25万元． 题型21.分式方程的和差倍分问题 【典例】甲、乙、丙三个数依次相差，若乙数的倒数与丙数的倒数的倍之和与甲数的倒数的倍相等，则甲、乙、丙三个数分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设乙数为，则甲数为，丙数为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设乙数为，则甲数为，丙数为， 根据题意可得， 解得：， 经检验，是原方程的解， ，， 即甲数为，乙数为，丙数为， 故选：C． 【跟踪专练1】伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车主要有纯电动汽车和油电混合动力汽车两种．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多分钟，且花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？ 【答案】该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是分钟和分钟． 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设该车每次换电池服务的时间是分钟，根据“花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等”列分式方程求解即可． 【详解】解：设该车每次换电池服务的时间是分钟，则完成加油服务的时间是分钟， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， （分钟）， 答：该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是分钟和分钟． 【跟踪专练2】随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如图的宣传，根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 【答案】新型机器人每天搬运的货物量为90吨． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设每台新型机器人每天搬运的货物量为吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨，根据每台新型机器人搬运900吨货物的时间和每台旧型机器人搬运600吨货物的时间相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设每台新型机器人每天搬运的货物量为吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：新型机器人每天搬运的货物量为90吨． 【解答题】 1．（1）若分式的值为0，分式无意义，求的值； （2）对于分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件和分式值为0的条件，熟练掌握掌握分式无意义的条件：分母为0；分式值为0的条件：分母不为0，分子等于0是解题的关键． （1）根据分式无意义的条件和分式值为0的条件得到得且，，解之得到、，再代入求解即可； （2）根据分式无意义的条件和分式值为0的条件得到得，，解之得到、，再代入求解即可． 【详解】解：（1）由题意，得且，， ∴且，， 解得，， 则． （2）当时，分式无意义， ，解得． 当时，分式的值为0， ，解得， ． 2．已知x，y满足．求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值，根据非负性求出的值，将分式化简后，代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原式． 3．约分： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的约分，掌握找分子分母的公因式，以及处理互为相反的因式的变形技巧是解题的关键． （1）找出分子分母的公因式，直接约去公因式完成约分； （2）先将分子中的变形为，使分子分母出现相同因式，再约去公因式完成约分． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则，是解题的关键： （1）除法变乘法，约分化简即可； （2）除法变乘法，约分化简即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 5．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查分式的乘除运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）直接进行约分即可求得结果； （2）先把各分式的分子、分母进行因式分解后，再把除法转化成乘法，最后进行约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：. ． 6．通分： (1)，； (2)，； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键． （1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （3）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可． 【详解】（1）解：（1）最简公分母是， ， ； （2）解：最简公分母是， ， ； （3）解：最简公分母是， ， ， ． 7．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再把除法变成乘法，最后计算分式乘法即可得到答案； （2）先通分，再把分子合并同类项即可得到答案； （3）先把对应分式的分子和分母分解因式，再约分，最后计算分式减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 8．已知关于的方程． (1)当此方程的解为时，求的值； (2)当此方程会产生增根时，求的值． 【答案】(1) (2)0或4 【分析】本题考查分式方程的解与增根的概念．特别注意增根是使原方程分母为零的根，但在解方程过程中可能引入的无效解，需代入化简后的方程求出对应的值． （1）把代入方程计算即可求出k的值； （2）由分式方程有增根求出的值，分式方程去分母后代入计算即可求出的值． 【详解】（1）解：（1）∵方程的解为， ∴， 解得； （2）由分式方程有增根，得到或，解得， 分式方程去分母得：， 把代入方程得：，解得：， 把代入方程得：， 故的值为0或4． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题06分式 ☆ 复习目标 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解分式概念，会判断分式 1.能准确化简分式，规范运 1.避开“分母为0“漏乘 有意义、无意义、值为0的 算步骤，不跳步、 不漏符 公分母“忘记检验”等高 条件 号 频失分点 2.掌握分式基本性质，能正确 2.具备分式方程建模与求 2.快速搞定选择填空：分 约分、通分 解能力，会列分式方程解 式有意义、值为0、化简 3.熟练分式的乘除、加减运算 简单应用题 求值 及混合运算 3.能自查运算错误，识别并3.熟练解答分式运算、解 4.会解可化为一元一次方程 检验增根，养成验算习惯 方程、应用题三类大题， 的分式方程，并会检验增根 保证步骤完整、结果正确 ☆ 题型梳理 题型01.分式基础概念综合 题型02.分式正负性取值范围 题型03.分式性质析与应用 题型04.分式系数与符号变形 X 题型05.约分.最简分式与求值 题型06.分式整数解求解 题型07.分式汞除运算 题型08.分式汞方与混合运算 题型09.通分与最简公分母 题型10.分式加减法 题型11.分式加减混合运算 题型12.分式综合运算与化简求值 题型13.分式加减实际应用 题型14.分式恒等式求解 题型15.分式方程的概念与解法 题型16.分式方程解的求值问题 题型17.分式方程的例法 题型18.分式方程的工程问题 题型19.分式方程的行程问题 题型20.分式方程的经济问题 题型21.分式方程的和差倍分问题 解答题8题 ☆ 知识梳理 知识点01.分式的基本概念 1.分式定义：形如月(、是整式，B中含字母，且B≠0)的式子叫分式；A是 分子，B是分母。 试卷第1页，共3页 2.分式与整式区别：分母是否含字母。 3.分式的三类关键条件 情形 条件 分式有意义 分母B≠0 分式无意义 分母B=0 分式值为0 分子A=0且分母B≠0 知识点02：分式的基本性质 1.文字表述：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的 值不变。 2.公式表达：鲁=能，鲁=能(C是整式，C≠0) 3.分式符号法则 =-治=-岛 即：分子、分母、分式本身，同时改变其中两个符号，分式值不变 知识点03：分式的约分与通分 1.约分 定义：把分式分子与分母的公因式约去，化为最简分式或整式。 最简分式：分子与分母没有公因式的分式。 步骤：①分解分子、分母的因式；②找出公因式；③约去公因式。 2.通分 定义：把几个异分母分式化为同分母分式，且不改变分式的值。 关键：确定最简公分母①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或因 式)都取最高次幂；③所得乘积即为最简公分母。 知识点04：分式的乘除运算 1.乘法法则 文字：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 字母：号·号=器(b≠0，d≠0) 2.除法法则 试卷第1页，共3页 文字：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 字母：晋÷导-号·号是b≠0.c≠0d≠0) 3.运算步骤 ①先分解因式；②约分；③再计算，结果化为最简分式/整式。 知识点05：分式的加减运算 1.同分母分式加减 法则：分母不变，分子相加减。 字母：是士名=些(0≠0) 注意：分子相加减时要添括号，最后约分。 2.异分母分式加减 法则：先通分，化为同分母分式，再按同分母法则计算。 字母：号±号-密(b≠0，d≠0) 知识06：分式的混合运算 运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内。 运算技巧：①灵活运用因式分解、约分简化计算；②整式可看作分母为1的 分式；③结果必须化为最简分式或整式。 知识点07：分式方程的定义 定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 关键区分：整式方程分母不含未知数，分式方程分母含未知数。 知识点08：分式方程的解法（核心步骤） 标准解题步骤 (1)找最简公分母：对各分母因式分解，确定所有分母的最简公分母。 (2)去分母：方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程。 (3)解整式方程：求解转化后的一元一次/一元二次整式方程。 ()检验（必做步骤）： 把整式方程的解代入最简公分母： 试卷第1页，共3页 若最简公分母≠0，该解是原分式方程的解： 若最简公分母=0，该解为增根，原分式方程无解。 (⑤写出结论：明确方程的解或无解。 知识点09：分式方程解的三种情况 1.有唯一解：检验后最简公分母不为0： 2.无解：①整式方程无解②整式方程的解都是增根； 3.有增根：仅说明该根使分母为0，不代表方程无解。 知识点10：分式方程的实际应用（高频考点） 1.常见应用题型 工程问题、行程问题、销售利润问题、浓度问题、工作量问题等。 2.解题步骤 审：分析题意，找等量关系； 设：设未知数（直接/间接设元）； 列：根据等量关系列分式方程； 解：按分式方程解法求解并双重检验（①是否为增根②是否符合实际意义）； 答：规范作答。 3.常见等量关系模板 工程间题：工作效率×工作时间=工作总量；甲夏率十乙效率=合作效率 路程 行程问题： 速度 =时间；顺水/逆水速度差异列方程 总价 销售问题： 单所=数量 ☆ 题型精析 题型01分式基础概念综合 【典例】下列式子中，是分式的是() A货 B.-1 C. 3 3 x2+1 D. 2 【跟踪专练1】如果一个分式，当y=-2时分式无意义，当y=1时分式的值为0，则这个分 式可能是() 试卷第1页，共3页 A. y+1 B.y-1 C. y-1 D. y-2 y+2 y+1 y+2 y-1 【跟踪专练2】根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是() -2 0 0 无意义 A. x-2 B.x+2 C.+2 D.-2 x+1 x+1 x-1 x-1 【跟踪专练3】已知当x=1时，分式-b 无意义；当x=2时，此分式的值为0，则 X一7 (a-b2025= 【跟踪专练4】已知有意义的分式：一3x-4 x-4 ≠0，请你写出一个含x的二次分式，当它有 意义时，使它可能大于0，可能小于0，不可能等于0： 题型02.分式正负性取值范围 【典例】如果分式，1，的值为负数，则x的取值范围是() 1-2x A B.x<2 1 C.x22 1 、1 D.x>- x-2 【跟踪专练1】分式x+的值为负数，求的取值范围 6-3x 【跟踪专练2】分式©的值为正数的条件是（） A.x<2 B.x<2且x≠0 C.0<x<2 D.x>2 题型03.分式性质辨析与应用 【典例】若a=b,下列等式变形错误的是() A.a+2=b+2B.0=b C.am =bm D.a-b=0 mm 【跟踪专练1】已知分式2b: 的值为：如果把分式2 中的a、b同时扩大为原来的2倍， a+b a+b 那么得到的分式的值为 【跟踪专练2】下列说法正确的是() A.分式m!是最简分式 7m2+1 B.由分式的基本性质得m+1_(m+ m-1m2-1 C.若分式x有意义，则x>0 x-3 D.由分式的基本性质得1+”=-1+n m m 试卷第1页，共3页 【跟踪专练3】阅读下面的材料，并解答问题： 分式，：20的最大值是多少7 解： 2x+8_2x+4+4_2(x+2)+4 x+2 -2+4 x+2 x+2 r+2) 因为x之0，所以x+2的最小值是2，所以在2的最大值是2 所以2+4的最大值是4，即2+8 x≥0)的最大值是4. x+2 x+2 根据上述方法，试求分式3m+5的最小值是 m2+2 题型04.分式系数与符号变形 【典例】不改变分式 0.5x-1 的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为() 0.3x+2 0.5x-1 A. 3x+2 B. 5x-10 5x-1 c. D. 5x-10 0.3x+2 3x+2 3x+20 【跟除专练】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确 的是() 3x2+x+2 3x2-x+2 3x2+x-2 3x2-x-2 A. B. 5x3+2x-3 5x+2x-3 C. D. 5x3-2x+3 5x3-2x+3 【腿除专练2】不夜变分式的值，起分武02的分子、分母各项系数都化为整数 得 题型05.约分最简分式与求值 【典例】下列各分式中，最简分式是( 17(x-y) B.+x2 -x2+2xy-y2 x2-y2 A. C. D. 68(x+y) x+y xy-xy (x+y)2 【跟踪专练1】已知非零实数x、y满足y=,x 2,,则3二3y+少的值等于 【限除专练2】现琪在化简分式，二，时科到的结果为子。则？部分的代数式应该是 【跟踪专练3】己知 1=2.则分式5x+”-5的值为() x V x-xy-y A.8 B.3 C. D.4 题型06.分式整数解求解 试卷第1页，共3页 【典例】若分式6。的值是正整数，则m可取的整数有() m-2 A.4个 B.5个 C.6个 D.8个 【跟踪专练1】若x取整数，则使分式x-一3的值为整数的x的值有个、 2x+1 【跟踪专练2】对于非负整数x,使得+2是一个正整数，则x可取的个数有() x+2 A.3 B.4 C.5 D.6 题型07.分式乘除运算 【典例】下列运算正确的是() A.21.5=5 2x 2y xy B.52w2-2 C. 2b2 a b 5a"*2b=5a D.(-”=-y x-y 【跟踪专练1】计算 81-a2÷a-9.a+3 a2+6a+92a+6a+9 的结果为 【跟踪专练2】定义两种运算：ab=1 2-b,则man÷(m◆n= b +b’a*b= 【跟踪专练3】某公司用汽车将货物发往甲地，用火车将货物发往乙地.第一次发货时，发 往甲、乙两地货物的吨数之比为1：2，且每吨运费之比为4：3.第二次发货时，由于受汽油价 格上涨的影响，汽车每吨运费上调了20%（火车每吨运费不变），因此发往甲地货物吨数 只有第一次发往甲地货物的)，且第二次发货的汽车总运费与第二次发货的火车总运费之比 为23.则这两次总共发往甲、乙两地的货物吨数之比是· 题型08.分式乘方与混合运算 【典例】计算口： a 的结果是() 6 B. b C. D. a A. b 【跟踪专练1】计算： 【跟踪专练2】(1)- n24m2 2m5n3 2 试卷第1页，共3页 (3 (-ave w(((恶 〔品 题型09.通分与最简公分母 1 【典例】把 -2’(x-2x+3)'(x+3引通分过程中，不正确的是() 1 A.最简公分母是(x-2)(x+3) (x+3)2 B. x-2(x-2)(x+3)2 x+3 1 2x-2 C.(x-2)(x+3(x-2(x+3)月 D. (x+3}2(x-2(x+37 【跟踪专练1】+2,5，的最简公分母是 ,通分的结果为 m-1m+2 【跟踪专练2】把分式 -2'(x-2x+3)'(x+3引通分，下列结论不正确的是() 1 2 A.最简公分母是(x-2)(x+3)2 B. (x+3)2 x-2(x-2(x+3 x+3 2 2x-2 C. (x-2)(x+3)(x-2)(x+3)2 D. (x+3)2(x-2)x+3)7 题型10.分式加减法 【典例】化简m 1的结果是(） m-11- A.m+1 B.1 C.m-1 D. m m+1 m-1 【跟踪专练1】已知+=2，则+b-ab 11 a b a+b ++a的值为 【跟踪专练2】已知a2-3a+1=0,则4a2-9a-2+,9 【跟踪专练3】己知二+三 1+12,+1-,上+1-3 y3y26xz2则的值为C ”y+z+z A.-1 B.-3 6 D.9 试卷第1页，共3页 【跟踪专练4】数学课上，老师让计算2+a-3边.佳佳的解答如下： a-ba-b· 解：原式=2a+a-3b① a-b -3a-3b② a-b 3(a-b③ a-b =3④ 对佳佳的每一步运算，依据错误的是() A.①：同分母分式的加减法法则 B,②：合并同类项法则 C.③：逆用乘法分配律 D.④：等式的基本性质 题型11.分式加减混合运算 【典例】化简如4十，2的结果是（) a2-42-a 1 A. B.、2 C.2 D.2a-4 a+2 a+2 a-2 【跟踪专练1】如果 3y+7 A B 0-0-2)-1-2’那么A= ,B= 【腿紧专缘2】若代致式行2都有意义，比酸二音的数量关系。下列战法正确的为 () A.不相等 B.相等 C.前者较大 D.后者较大 题型12.分式综合运算与化简求值 【典例】下列计算正确的是() A.a2+1=0 1-1=-1 B. 2a 3a a 11 C. -a+b a-b n.aba 限踪专练】若产+x-2=0,则x2+x十了 一的值为() A B. C.2 D. 3 2 【跟踪专练2】若！1=3，则2-14y-2y x y x-2xy-y 【跟踪专练3】化简 2x-6,(5 x-2x-2-2的结果为() 2 A.- B.2 C. 2x-11 2x-6 x+3 x+3 5 D.5-(x-27 试卷第1页，共3页 题型13.分式加减实际应用 【典例】小芳周日从家到图书馆看书，去时速度为akm/h,回来时速度为bkm/h,则她往 返家里和图书馆的平均速度是 km/h. 【跟踪专练1】如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(-)米的正方形，两块 试验田的小麦都收获了m千克.则高的单位面积产量比低的单位面积产量多几分之几？多 的这个值是 “丰收1号” “丰收2号” a米 a米 1米 1米 【跟踪专练2】汽油的单价会随着各种因素不断变动，一段时间内，某人计划去加油站加两 次油，两次加油时汽油单价不同，现有两种加油方案：甲方案：每次加油的总金额固定；乙 方案：每次所加的油量固定，若规定平均单价越低，则该加油方案越实惠，不考虑其他因素 影响，则() A.甲方案实惠 B.乙方案实惠 C.哪种方案实惠需由两次油价决定 D.两种方案一样实惠 题型14.分式恒等式求解 【典例】已知 上=3，则分式+2-的值为() x y -x-2xy+y 1 1 A.1 B.-1 c.3 D.3 4x+1m n 【跟踪专练1】已知x-2x-)x-5+x-2,则m+m 2x+7 M N 【跟踪专练2】对于任意的值都有x+2-可+2x一，则M,N值为（） A.M=1,N=3B.M=-1,N=3C.M=2,N=4D.M=1,N=4 题型15.分式方程的概念与解法 【典例】下列方程中，是分式方程的是() 试卷第1页，共3页