第9章图形的变换（专题5：求角度）2025-2026学年苏科版数学七年级下册

2025-2026学年苏科版数学七年级下册 第9章图形的变换 （专题5：求角度） 【典型例题】 【例1】如图，△ABC与△A'B'C′关于直线l对称，∠B＝35°，∠C'＝50°，则∠A＝（　　） A．90° B．85° C．95° D．105° 【例2】如图，，直线平移后得到直线，则的度数为　　 A． B． C． D． 【例3】如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上．若 ，则旋转角的度数为 ． 【例4】如图，四边形与四边形关于边所在的直线对称．若，，则 ． 【例5】如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． （1）图中点的对应点是点______，的对应边是______； （2）若，，求的度数． 【例6】如图，直线上有两个大小相同的直角三角形，它们中较大锐角的度数为将沿直线向左平移到的位置，使点落在上的点处，为与的交点． (1)求的度数； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【举一反三】 【变式1】如图，在中，，将绕点旋转，得到．若点的对应点恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能是（    ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【变式2】如图，△ABC经过平移得到△DEF，DE分别交BC，AC于点G，H，若∠B＝97°，∠C＝40°，则∠GHC的度数为（　　） A．147° B．40° C．97° D．43° 【变式3】如图，将绕点顺时针旋转后得到，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，那么 ° 【变式4】已知是直角内部的一条射线，将折叠，使射线和射线重合，为折痕，已知，则 ． 【变式5】如图，是等腰直角三角形，，经过逆时针旋转后到达的位置，且点E在边上．     （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）经过上述旋转后，点C转到了什么位置？ 【变式6】如图，长方形中，，E为边上一点，将长方形沿折叠，使点B与点F重合，平分交于点G，过点G作交于点H． (1)判断与是否平行，并说明理由． (2)若，求的度数． 【巩固练习】 1.将△ABC沿AB方向平移到△EFD的位置，若∠1＝31°，∠2＝57°，则∠D的度数为（　　） A．91° B．90° C．92° D．105° 2.如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转到△A′BC′的位置，使得A、B、C′三点在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 3.如图，中，点D在边上，做点D关于直线的对称点E，连接，做点D关于直线的对称点F，连接．，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4.如图，将长方形翻折，使点，分别与点，重合，折痕为；再沿翻折，使点，分别与点，重合．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5.如图，在锐角三角形中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是，，，连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在3倍关系，则的度数不可能为（   ） A． B． C． D． 6.如图，将沿方向平移得到（点A、B、C的对应点分别是点、、），如果，那么的度数为 ． 7.如图，将绕点逆时针旋转两次得到，每次旋转的角度都是．若，则 ． 8.如图，点分别在三角形的边上，把三角形沿直线翻折后得．如果，那么的度数为_______ ． 9.如图，将含角（）的直角三角板沿着射线的方向平移，得到，连接．在平移过程中，若与之间存在两倍关系，则的度数为_______． 10.将如图（1）所示的长方形纸片按如下步骤操作：（1）如图（2），以过点A的直线为对称轴折叠纸片，使点B恰好落在边上的点处，折痕与交于点E；（2）如图（3），以过点E的直线为对称轴折叠纸片，使点A恰好落在边上的点处，折痕交边于点F；（3）将纸片展平．那么的度数为 ．    11.如图，在中，，按逆时针方向旋转一定角度后与重合，且点C恰好为的中点． （1）指出旋转中心，并求出旋转的度数； （2）求出的度数和的长． 12.如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）若的周长为_______． 13.如图①，将三角形平移，使点沿的延长线移至点得到三角形，连接，交于点，平分． （1）猜想与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，将三角形平移，使点沿移至点得到三角形．如果平分，那么平分吗？为什么？ 14.如图，直线，直线与、分别交于点、，．小安将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，． （1）填空：　　（填“”“ ”或“” ）； （2）若的平分线交直线于点，如图②． ①当，时，求的度数； ②小安将三角板保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含的式子表示）． 15.如图1，点O为直线上一点，两个完全相同的直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边在直线上，． (1)将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，则______； (2)将图1中的三角板绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转一周，此时，三角板不动，请问几秒后所在的直线平分？ (3)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转两周，同时三角板绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转（随三角板COD停止而停止），请直接写出几秒后所在的直线平分？ 答案解析 【典型例题】 【例1】如图，△ABC与△A'B'C′关于直线l对称，∠B＝35°，∠C'＝50°，则∠A＝（　　） A．90° B．85° C．95° D．105° 【答案】C 【例2】如图，，直线平移后得到直线，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【例3】如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上．若 ，则旋转角的度数为 ． 【答案】 【例4】如图，四边形与四边形关于边所在的直线对称．若，，则 ． 【答案】 【例5】如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． （1）图中点的对应点是点______，的对应边是______； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）解：由题意可得：图中点的对应点是点，的对应边是， 故答案为：，． （2）解：， ， ， ． 【例6】如图，直线上有两个大小相同的直角三角形，它们中较大锐角的度数为将沿直线向左平移到的位置，使点落在上的点处，为与的交点． (1)求的度数； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）解：由平移的性质知，， ∴； （2），理由如下： 由平移的性质知，，， ∴， ∴， ∴． 【举一反三】 【变式1】如图，在中，，将绕点旋转，得到．若点的对应点恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能是（    ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【答案】A 【变式2】如图，△ABC经过平移得到△DEF，DE分别交BC，AC于点G，H，若∠B＝97°，∠C＝40°，则∠GHC的度数为（　　） A．147° B．40° C．97° D．43° 【答案】D 【变式3】如图，将绕点顺时针旋转后得到，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，那么 ° 【答案】125 【变式4】已知是直角内部的一条射线，将折叠，使射线和射线重合，为折痕，已知，则 ． 【答案】 【变式5】如图，是等腰直角三角形，，经过逆时针旋转后到达的位置，且点E在边上．     （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）经过上述旋转后，点C转到了什么位置？ 【答案】（1）由旋转的性质可知，旋转中心是点A； （2）∵是等腰直角三角形，， ∴， 由旋转的性质可知，旋转了； （3）由旋转的性质可知，点C转到了点E的位置． 【变式6】如图，长方形中，，E为边上一点，将长方形沿折叠，使点B与点F重合，平分交于点G，过点G作交于点H． (1)判断与是否平行，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】（1）解：，理由如下： ∵长方形沿折叠， ∴， ∵平分交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵长方形中，， ∴， ∵， ∴． 【巩固练习】 1.将△ABC沿AB方向平移到△EFD的位置，若∠1＝31°，∠2＝57°，则∠D的度数为（　　） A．91° B．90° C．92° D．105° 【答案】C 2.如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转到△A′BC′的位置，使得A、B、C′三点在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】D 3.如图，中，点D在边上，做点D关于直线的对称点E，连接，做点D关于直线的对称点F，连接．，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 4.如图，将长方形翻折，使点，分别与点，重合，折痕为；再沿翻折，使点，分别与点，重合．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 5.如图，在锐角三角形中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是，，，连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在3倍关系，则的度数不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 6.如图，将沿方向平移得到（点A、B、C的对应点分别是点、、），如果，那么的度数为 ． 【答案】80 7.如图，将绕点逆时针旋转两次得到，每次旋转的角度都是．若，则 ． 【答案】 8.如图，点分别在三角形的边上，把三角形沿直线翻折后得．如果，那么的度数为_______ ． 【答案】 9.如图，将含角（）的直角三角板沿着射线的方向平移，得到，连接．在平移过程中，若与之间存在两倍关系，则的度数为_______． 【答案】或或 10.将如图（1）所示的长方形纸片按如下步骤操作：（1）如图（2），以过点A的直线为对称轴折叠纸片，使点B恰好落在边上的点处，折痕与交于点E；（2）如图（3），以过点E的直线为对称轴折叠纸片，使点A恰好落在边上的点处，折痕交边于点F；（3）将纸片展平．那么的度数为 ．    【答案】 11.如图，在中，，按逆时针方向旋转一定角度后与重合，且点C恰好为的中点． （1）指出旋转中心，并求出旋转的度数； （2）求出的度数和的长． 【答案】（1）旋转中心是点． ∵， ∴， ∴旋转的度数是． 故答案为：点 （2）∵旋转得到， ∴， ∴ ∵C为的中点， ∴ ∴． 12.如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）若的周长为_______． 【答案】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ∵， ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为4． 故答案为：4 13.如图①，将三角形平移，使点沿的延长线移至点得到三角形，连接，交于点，平分． （1）猜想与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，将三角形平移，使点沿移至点得到三角形．如果平分，那么平分吗？为什么？ 【答案】（1）解：．理由如下： 平分 ∴∠BAC=2∠BAD 由平移的性质，得， （2）解：平分．理由如下： 由平移的性质，得， 平分 ，即平分 14.如图，直线，直线与、分别交于点、，．小安将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，． （1）填空：　　（填“”“ ”或“” ）； （2）若的平分线交直线于点，如图②． ①当，时，求的度数； ②小安将三角板保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含的式子表示）． 【答案】解：（1）如图，过点作， ， ， ， ， ， 故本题答案为：； （2）①，， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ； ②（i）如图，点在的右侧时， ，， ， ， ， ， 平分， ， ， ， （ii）如图，点在的左侧时， ，， ， ， ， ，， 平分， ， ， 综上，的度数为或． 15.如图1，点O为直线上一点，两个完全相同的直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边在直线上，． (1)将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，则______； (2)将图1中的三角板绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转一周，此时，三角板不动，请问几秒后所在的直线平分？ (3)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转两周，同时三角板绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转（随三角板COD停止而停止），请直接写出几秒后所在的直线平分？ 【答案】（1）解：∵， ∴， ∵三角板绕点O按顺时针方向旋转到如图2所示的位置， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：三角板绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转一周，则旋转时间为（秒）． 如图，当旋转至时，平分，则， ∴， ∴，即15秒时，所在的直线平分； 如图，当旋转至时，所在直线平分，交于点E， ∴，即35秒时，所在的直线平分． 综上，15秒或35秒时，所在的直线平分． （3）解：三角板绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转两周，则旋转时间为（秒）， 三角板绕点沿逆时针方向按每秒的速度旋转，旋转的角度为， 设旋转时间为t秒， ①如图：当三角板绕点O沿逆时针方向旋转时，所在的直线平分， ∴，解得：； ②如图：当三角板绕点O沿逆时针方向旋转时，所在的直线平分， ∴，解得：． ③如图：当三角板绕点O沿逆时针方向旋转时，所在的直线平分， ∴，解得：． 综上所述，27秒或63秒或99秒时，所在的直线平分． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $