第9章图形的变换（专题6：求边长）2025-2026学年苏科版数学七年级下册

2025-2026学年苏科版数学七年级下册 第9章图形的变换 （专题6：求边长） 【典型例题】 【例1】如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到对应的△A′B′C′．若B′C＝4cm，则BC′的长是（　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．10cm 【例2】如图，点D为△ABC的边AB上一点，点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，连接DE，若AB＝10，AC＝4，BC＝9，则△BDE的周长是（　　） A．13 B．15 C．17 D．不能确定 【例3】如图，和关于直线对称，点、、的对应点分别为点、、，点、、、在同一条直线上，若，则的长度为 ． 【例4】如图，在中，若，，，是由绕点C顺时针旋转得到的，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，连接，且点A，B，三点在同一直线上，则的长为 ． 【例5】如图，在中，点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E，连接若的周长为18，的周长为32，求的长． 【例6】如图，将逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点． （1）若，指出旋转中心，并求出的值； （2）若，求的长． 【举一反三】 【变式1】如图，△ABC沿BC所在直线向右平移到△DEF，连接AD，已知CE＝3，BF＝7，则AD的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【变式2】如图，点D为的边上一点，点A关于直线对称的点E恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（   ） A．13 B．15 C．17 D．不能确定 【变式3】如图，和关于点C成中心对称，若，则的长是 ． 【变式4】如图，将绕点B逆时针旋转一定的角度得到，当点在边上且时，的长为 ． 【变式5】如图，在中，，，，点D，E分别在，上，且和关于对称． (1)求的长； (2)求的周长． 【变式6】如图，将三角形ABC沿射线BC方向平移得到三角形DEF，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F． （1）若∠DAC＝60°，求∠DFE的度数； （2）若BF＝15，BE＝CE，求平移的距离； （3）在（2）的条件下，若三角形ABC的周长为25，求四边形ABFD的周长． 【巩固练习】 1.如图，△ABC沿射线BC方向平移到△DEF（点E在线段BC上）．若BF＝10cm，EC＝4cm，则平移距离为（　　） A．3cm B．4cm C．6cm D．10cm 2.如图，绕点B旋转得到，A、B、D三点在同一条直线上，且，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.如图，将直角△ABC沿边AC的方向平移到△DEF的位置，连结BE，若CD＝6，AF＝14，则BE的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 4.如图，设和是镜面平行相对且间距为的两面镜子，把一个小球A放在和之间，小球在镜中的像为，在镜是中的像为，则等于（   ） A． B． C． D． 5.如图，中，，，，，点、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（    ） A．9.6 B．13.5 C．19.2 D．22.5 6.如图，已知△ABC与△ADE关于点A中心对称，若AC＝3cm，则CE的长为　 cm． 7.如图，三角形ABC的周长为8cm，D为边AC上一点，将三角形ABC沿着射线BD的方向平移3cm到三角形EFG的位置，则五边形ABCGE的周长为 　　． 8.一个长8厘米，宽5厘米的长方形纸片，沿对角线对折后，得到下面所示几何图形，阴影部分的周长是 厘米. 9.如图，的周长为，若将沿射线方向平移后得到，与相交于点G，连结，则和的周长和为_______． 10.如图，已知直角三角形，，，，点、在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，点在直线上，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，点在直线上，……按照此规律继续旋转，直到得到点，则 ． 11.如图，△A'B'C'与△ABC关于原点O成中心对称，已知∠BAC＝∠BCA，AB＝2，求B′C′的值． 12.如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 13.如图，将沿的方向平移得到．    (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离． 14.如图所示，在长方形纸片中，，，点E在边上，将沿折叠，点C恰巧落在边上的点F处，点G在上，将沿折叠，点A恰好落在线段上的点H处． （1）求的度数； （2）求的值． 15.古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答：    （1）证明：如图3，在直线l上另取任一点，连结，，，    ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴ ， ， ∴ ． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）．本问题可归纳为求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值的问题的数学模型． （2）问题解决 如图，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程，即的周长最小．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）    答案解析 【典型例题】 【例1】如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到对应的△A′B′C′．若B′C＝4cm，则BC′的长是（　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【例2】如图，点D为△ABC的边AB上一点，点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，连接DE，若AB＝10，AC＝4，BC＝9，则△BDE的周长是（　　） A．13 B．15 C．17 D．不能确定 【答案】B 【例3】如图，和关于直线对称，点、、的对应点分别为点、、，点、、、在同一条直线上，若，则的长度为 ． 【答案】 【例4】如图，在中，若，，，是由绕点C顺时针旋转得到的，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，连接，且点A，B，三点在同一直线上，则的长为 ． 【答案】9 【例5】如图，在中，点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E，连接若的周长为18，的周长为32，求的长． 【答案】点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E， ， ， ∵的周长为18，的周长为32， ∴， ， 【例6】如图，将逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点． （1）若，指出旋转中心，并求出的值； （2）若，求的长． 【答案】（1）解：∵由逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴旋转中心为点C，旋转角度为； （2）解：由旋转得，，， ∵点恰好为的中点， ∴， ∴． 【举一反三】 【变式1】如图，△ABC沿BC所在直线向右平移到△DEF，连接AD，已知CE＝3，BF＝7，则AD的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】A 【变式2】如图，点D为的边上一点，点A关于直线对称的点E恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（   ） A．13 B．15 C．17 D．不能确定 【答案】B 【变式3】如图，和关于点C成中心对称，若，则的长是 ． 【答案】5 【变式4】如图，将绕点B逆时针旋转一定的角度得到，当点在边上且时，的长为 ． 【答案】5 【变式5】如图，在中，，，，点D，E分别在，上，且和关于对称． (1)求的长； (2)求的周长． 【答案】（1）解：∵和关于对称， ∴， ∴. （2）∵和关于对称， ∴， ∴的周长. 【变式6】如图，将三角形ABC沿射线BC方向平移得到三角形DEF，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F． （1）若∠DAC＝60°，求∠DFE的度数； （2）若BF＝15，BE＝CE，求平移的距离； （3）在（2）的条件下，若三角形ABC的周长为25，求四边形ABFD的周长． 【答案】（1）∵△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF， ∴AC∥DF，AD∥BF， ∴∠ACB＝∠DFE，∠ACB＝∠DAC， ∴∠DFE＝∠DAC＝60°； （2）由平移的性质可知：BE＝CF， ∵BE＝CE， ∴， ∴平移的距离为5； （3）由平移的性质可知：AD＝BE＝CF＝5，DF＝AC， ∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+2AD＝25+2×5＝35． 【巩固练习】 1.如图，△ABC沿射线BC方向平移到△DEF（点E在线段BC上）．若BF＝10cm，EC＝4cm，则平移距离为（　　） A．3cm B．4cm C．6cm D．10cm 【答案】A 2.如图，绕点B旋转得到，A、B、D三点在同一条直线上，且，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 3.如图，将直角△ABC沿边AC的方向平移到△DEF的位置，连结BE，若CD＝6，AF＝14，则BE的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 4.如图，设和是镜面平行相对且间距为的两面镜子，把一个小球A放在和之间，小球在镜中的像为，在镜是中的像为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 5.如图，中，，，，，点、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（    ） A．9.6 B．13.5 C．19.2 D．22.5 【答案】C 6.如图，已知△ABC与△ADE关于点A中心对称，若AC＝3cm，则CE的长为　 cm． 【答案】6 7.如图，三角形ABC的周长为8cm，D为边AC上一点，将三角形ABC沿着射线BD的方向平移3cm到三角形EFG的位置，则五边形ABCGE的周长为 　　． 【答案】14cm 8.一个长8厘米，宽5厘米的长方形纸片，沿对角线对折后，得到下面所示几何图形，阴影部分的周长是 厘米. 【答案】 9.如图，的周长为，若将沿射线方向平移后得到，与相交于点G，连结，则和的周长和为_______． 【答案】 10.如图，已知直角三角形，，，，点、在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，点在直线上，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，点在直线上，……按照此规律继续旋转，直到得到点，则 ． 【答案】 11.如图，△A'B'C'与△ABC关于原点O成中心对称，已知∠BAC＝∠BCA，AB＝2，求B′C′的值． 【答案】∵∠BAC＝∠BCA， ∴BC＝AB＝2， ∵△A′B′C′与△ABC关于原点O成中心对称， ∴B′C′＝BC＝2． 12.如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 【答案】（1）解：如图所示，点即为所求．（作法不唯一） （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴，，， ∴的周长， 答：的周长为18． 13.如图，将沿的方向平移得到．    (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离． 【答案】（1）解：将沿的方向平移得到， ∴； 解：∵， ∴，即：平移的距离为1cm． 14.如图所示，在长方形纸片中，，，点E在边上，将沿折叠，点C恰巧落在边上的点F处，点G在上，将沿折叠，点A恰好落在线段上的点H处． （1）求的度数； （2）求的值． 【答案】（1）解：由折叠的性质得：，， ∵在长方形中，， ∴， ∴． （2）解：∵在长方形纸片中，，， ∴由折叠的性质得：，， ∴， ∴． 15.古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答：    （1）证明：如图3，在直线l上另取任一点，连结，，，    ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴ ， ， ∴ ． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）．本问题可归纳为求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值的问题的数学模型． （2）问题解决 如图，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程，即的周长最小．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）    【答案】（1）解：由题意可知， ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴， 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． （2）解：分别过P作和的对称点，分别为和，然后连接分别交和于一点，即为点E和点F，如图所示：    ∵是点P，的对称轴，是点P，的对称轴， 所以，， 那么的周长为， 所以三点共线， 即两点之间，线段最短，那么的周长最小． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $