专题05 比例应用题（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-小升初奥数培优精讲精练

专题05 比例应用题 知识点梳理 一、基本概念 1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例，形如 (a:b = c:d)（或，其中 (b)、(d) 不为 0。 2.比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，即 (ad = bc)。 3.正比例与反比例 正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且相对应的两个数的比值（商）一定，关系式为（(k) 为常数）。 反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且相对应的两个数的乘积一定，关系式为 (xy = k)（(k) 为常数）。 4.按比例分配：把一个数量按照一定的比分成若干部分，关键是确定各部分占总量的分率。 二、核心解题方法 1.比例性质法 利用比例的基本性质“外项积=内项积”求解未知数，适用于已知比例中的三项求第四项。 示例：若 (3:4 = x:8)，则 (4x = 3×8)，解得 (x = 6)。 2.正反比例判断法 步骤：①确定两种相关联的量；②判断比值一定还是乘积一定；③若比值一定则成正比例，若乘积一定则成反比例。 示例：路程一定时，速度和时间成反比例（(速度×时间=路程)，乘积一定）。 3.按比例分配法 步骤：①求出总份数；②计算各部分占总量的分率；③用总量乘以分率得到各部分量。 示例：将 60 按 2:3 分配，总份数 (2+3=5)，第一部分)，第二部分 4.不变量法 当题目中部分量变化但总量或某一中间量不变时，以不变量为桥梁建立比例关系。 示例：甲、乙两数比为 3:5，乙数增加 10 后，比变为 1:2，不变量为甲数，设甲数为 3x，乙数原为 5x，可列方程。 三、常见题型 1.基础型：直接利用比例性质求未知项、按比例分配实际问题。 2.正反比例应用：行程问题（速度与时间）、工程问题（效率与时间）、购物问题（单价与数量）等。 3.综合型：结合分数、百分数的比例问题，或涉及多个量的比例转化问题。 例题讲解 一、基础题（比例性质与按比例分配） 例1：解比例 (2.4:x = 1.5:3)。 解题步骤： 1.根据比例性质“外项积=内项积”，得 (1.5x = 2.4×3)； 2.计算右边：(2.4×3 = 7.2)； 3.解得 (x = 7.2÷1.5 = 4.8)。 跟踪练习1：解比例，答案：(x = 1)（解析：(12x = 4×3)，(x = 12÷12 = 1)）。 例2：学校将 90 本图书按 4:5 分给六年级和五年级，两个年级各分得多少本？ 解题步骤： 1.总份数：(4+5=9)（份）； 2.六年级分得：(90×\frac{4}{9}=40)（本）； 3.五年级分得：(90×\frac{5}{9}=50)（本）。 跟踪练习2：一个三角形三个内角的度数比是 2:3:4，最大内角是多少度？答案：(80°)（解析：总份数 (2+3+4=9)，最大角占 (\frac{4}{9})，°)）。 二、进阶题（正反比例应用） 例3：一辆汽车从甲地到乙地，每小时行 60 千米，5 小时到达。若要 4 小时到达，每小时需行多少千米？ 解题步骤： 1.确定关系：路程一定，速度和时间成反比例（(速度×时间=路程)）； 2.设每小时需行 (x) 千米，列方程：(4x = 60×5)； 3.解得 (x = 300÷4 = 75)（千米/小时）。 跟踪练习3：用同样的方砖铺地，铺 18 平方米用砖 144 块，铺 24 平方米需用多少块？答案：192 块（解析：每平方米用砖量一定，面积与块数成正比例，设需 (x) 块， = 16×24 = 192)）。 三、挑战题（综合比例与不变量） 例4：甲、乙两仓库存粮比为 5:3，从甲仓运出 90 吨后，两仓库存粮比为 2:3，求乙仓库存粮多少吨？ 解题步骤： 1.不变量：乙仓库存粮不变，设乙仓存粮为 (3x) 吨，则甲仓原存粮为 (5x) 吨； 2.运出后甲仓存粮为 (5x - 90)，此时比例为 ((5x - 90):3x = 2:3)； 3.根据比例性质：(3(5x - 90) = 2×3x)，即 (15x - 270 = 6x)； 4.解得 (9x = 270)，(x = 30)，乙仓存粮 (3x = 90) 吨。 跟踪练习4：六年级男生人数是女生转来 3 名女生后，男生人数是女生的 提升练习 1．小雅、小贝和小周共从图书馆搬出1110本书，其中小雅工作3小时，小贝工作4小时，小周工作5小时。他们三人的工作效率都不一样，小雅搬5本书所需的时间，小贝只能搬3本书，而小周只能搬2本书。请问小雅一共搬了多少本书？ 2．某蛋糕店做一个生日蛋糕，需面粉1000克，奶油400克，水果200克。已知500克面粉3元，500克奶油10元，500克水果15元。请问：这个生日蛋糕的成本为多少元？ 3．小刚读一本书，第一天读了全书的，第二天比第一天多读了10页，这时已读的页数与剩下页数的比是3∶7，小刚再读多少页就能读完这本书？ 4．甲、乙、丙三人同时从A向B跑，当甲跑到B时，乙离B还有25米，丙离B还有40米；当乙跑到B时，丙离B还有20米，A，B相距多少米？ 5．甲乙两人原有钱数之比是，后来甲用去80元，乙又得20元，这时甲乙两人的钱数比是，原来两人各有多少钱？ 6．服装厂有三条生产线，第一、二、三条生产线上的工人每小时分别能完成西服30套、24套、20套，现有90名工人要使每天三条生产线完成的套数相同，每条生产线应安排多少名工人？ 7．有甲、乙两杯含盐量不同的盐水，甲杯盐水的质量为100克，乙杯盐水的质量为60克。现在从两杯中倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中，这时两杯新盐水的含盐率相等，从每杯倒出盐水多少克？ 8．一列货车和一列客车同时从甲乙两地相向开出，已知客车的速度是货车的速度的，两车相遇时，客车比货车少行8千米．求甲、乙两地间的距离． 9．高中学生的人数是初中学生人数的，高中毕业生的人数是初中毕业生人数的，高、初中毕业生毕业后，高、初中留下的人数都是520人．问高、初中毕业生共有多少人？ 10．有两堆棋子， A堆有黑子 350个和白子500个， B堆有黑子400个和白子100个．为了使A堆中黑子占A堆的，B堆中黑子占．要从B堆中拿到A堆黑子、白子各多少个？ 11．甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？ 12．有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙长度的比是6:5，甲钉子的钉入墙内，甲与丙钉入墙内的部分之比5:4，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？ 13．小张、小李和小王于某日上午分别步行、骑自行车和开汽车从A地出发沿公路向B地匀速前进．已知小李比小张晚1小时出发，小王比小李晚45分钟出发．他们三人恰在中途某地相遇．若小李比小张早到达B地24分钟，则小王比小张早多少分钟． 14．A、B、C三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市，开车后1小时A车出了事故，B和C车照常前进，A车停车修理半小时后以原速度的继续前进，B、C两车行至距离甲市200千米处B车出了事故，C车照常前进，B车停了半小时后也以原速度的继续前进，结果到达乙市的时间C车比B车早1小时，B车比A车早1小时，求甲、乙两市的距离为多少千米？ 15．在商场里，小明从正在向上移动的自动楼梯顶部下120级台阶到达底部，然后从底部上90级台阶回到顶部．自动楼梯从底部到顶部的台阶数是不变的，假设小明单位时间内下的台阶数是他上的台阶数的2倍．则该自动楼梯从底到顶的台阶数为多少？ 16．商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下．如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级． 17．甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后1小时，乙从同地同路同向出发，步行2小时到达甲于45分钟前曾到过的地方。此后乙每小时多行500米，经过3小时追上速度保持不变的甲。甲每小时行多少米？ 18．甲骑车自A向B驶去，2小时后，乙步行由A向B走去，乙走出2小时后甲到B，此时乙距B地32千米；甲在B休息2小时30分钟又原路返回，经过1小时与一直步行向B走的乙相遇，问此时乙距B地多少千米？ 19．甲乙两车分别从A，B两地出发，相向而行。出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米。问：A，B两地相距多少千米？ 20．、、三项工程的工作量之比为，由甲、乙、丙三队分别承担。三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？ 21．兰州来的马师傅擅长做拉面，拉出的面条很细很细，他每次做拉面的步骤是这样的：将一个面团先搓成圆柱形面棍，长米．然后对折，拉长到米；再对折，拉长到米……照此继续进行下去，最后拉出的面条粗细(直径)仅有原先面棍的．问：最后马师傅拉出的这些细面条的总长有多少米？(假设马师傅拉面的过程中．面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费) 22．（2009年第七届“希望杯”二试六年级）某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大型车元，中型车元，小型车元．一天，通过该收费站的大型车和中型车数量之比是，中型车与小型车之比是，小型车的通行费总数比大型车多元．（1）这天通过收费站的大型车、中型车、小型车各有多少辆？（2）这天的收费总数是多少元？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 比例应用题 知识点梳理 一、基本概念 1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例，形如 (a:b = c:d)（或，其中 (b)、(d) 不为 0。 2.比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，即 (ad = bc)。 3.正比例与反比例 正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且相对应的两个数的比值（商）一定，关系式为（(k) 为常数）。 反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且相对应的两个数的乘积一定，关系式为 (xy = k)（(k) 为常数）。 4.按比例分配：把一个数量按照一定的比分成若干部分，关键是确定各部分占总量的分率。 二、核心解题方法 1.比例性质法 利用比例的基本性质“外项积=内项积”求解未知数，适用于已知比例中的三项求第四项。 示例：若 (3:4 = x:8)，则 (4x = 3×8)，解得 (x = 6)。 2.正反比例判断法 步骤：①确定两种相关联的量；②判断比值一定还是乘积一定；③若比值一定则成正比例，若乘积一定则成反比例。 示例：路程一定时，速度和时间成反比例（(速度×时间=路程)，乘积一定）。 3.按比例分配法 步骤：①求出总份数；②计算各部分占总量的分率；③用总量乘以分率得到各部分量。 示例：将 60 按 2:3 分配，总份数 (2+3=5)，第一部分)，第二部分 4.不变量法 当题目中部分量变化但总量或某一中间量不变时，以不变量为桥梁建立比例关系。 示例：甲、乙两数比为 3:5，乙数增加 10 后，比变为 1:2，不变量为甲数，设甲数为 3x，乙数原为 5x，可列方程。 三、常见题型 1.基础型：直接利用比例性质求未知项、按比例分配实际问题。 2.正反比例应用：行程问题（速度与时间）、工程问题（效率与时间）、购物问题（单价与数量）等。 3.综合型：结合分数、百分数的比例问题，或涉及多个量的比例转化问题。 例题讲解 一、基础题（比例性质与按比例分配） 例1：解比例 (2.4:x = 1.5:3)。 解题步骤： 1.根据比例性质“外项积=内项积”，得 (1.5x = 2.4×3)； 2.计算右边：(2.4×3 = 7.2)； 3.解得 (x = 7.2÷1.5 = 4.8)。 跟踪练习1：解比例，答案：(x = 1)（解析：(12x = 4×3)，(x = 12÷12 = 1)）。 例2：学校将 90 本图书按 4:5 分给六年级和五年级，两个年级各分得多少本？ 解题步骤： 1.总份数：(4+5=9)（份）； 2.六年级分得：(90×\frac{4}{9}=40)（本）； 3.五年级分得：(90×\frac{5}{9}=50)（本）。 跟踪练习2：一个三角形三个内角的度数比是 2:3:4，最大内角是多少度？答案：(80°)（解析：总份数 (2+3+4=9)，最大角占 (\frac{4}{9})，°)）。 二、进阶题（正反比例应用） 例3：一辆汽车从甲地到乙地，每小时行 60 千米，5 小时到达。若要 4 小时到达，每小时需行多少千米？ 解题步骤： 1.确定关系：路程一定，速度和时间成反比例（(速度×时间=路程)）； 2.设每小时需行 (x) 千米，列方程：(4x = 60×5)； 3.解得 (x = 300÷4 = 75)（千米/小时）。 跟踪练习3：用同样的方砖铺地，铺 18 平方米用砖 144 块，铺 24 平方米需用多少块？答案：192 块（解析：每平方米用砖量一定，面积与块数成正比例，设需 (x) 块， = 16×24 = 192)）。 三、挑战题（综合比例与不变量） 例4：甲、乙两仓库存粮比为 5:3，从甲仓运出 90 吨后，两仓库存粮比为 2:3，求乙仓库存粮多少吨？ 解题步骤： 1.不变量：乙仓库存粮不变，设乙仓存粮为 (3x) 吨，则甲仓原存粮为 (5x) 吨； 2.运出后甲仓存粮为 (5x - 90)，此时比例为 ((5x - 90):3x = 2:3)； 3.根据比例性质：(3(5x - 90) = 2×3x)，即 (15x - 270 = 6x)； 4.解得 (9x = 270)，(x = 30)，乙仓存粮 (3x = 90) 吨。 跟踪练习4：六年级男生人数是女生转来 3 名女生后，男生人数是女生的 提升练习 1．小雅、小贝和小周共从图书馆搬出1110本书，其中小雅工作3小时，小贝工作4小时，小周工作5小时。他们三人的工作效率都不一样，小雅搬5本书所需的时间，小贝只能搬3本书，而小周只能搬2本书。请问小雅一共搬了多少本书？ 【答案】450本 【分析】先求出小雅、小贝和小周三人的工作效率之比为：，三人的工作效率之比为：，因此三人的工作量之比为：，化简为，最后再按比例分配即可求出小雅搬得书的数量为：（本）。 【详解】三人的工作量之比为： 小雅搬得书的数量为：（本） 答：小雅一共搬了450本书。 2．某蛋糕店做一个生日蛋糕，需面粉1000克，奶油400克，水果200克。已知500克面粉3元，500克奶油10元，500克水果15元。请问：这个生日蛋糕的成本为多少元？ 【答案】 20元 【分析】计算蛋糕成本需分别求出面粉、奶油、水果的费用并相加。 根据单价和用量，面粉1000克需2个500克，费用为3×2＝6元；奶油400克是500克的，费用为10×＝8元；水果200克是500克的，费用为15×＝6元。总费用为三者之和。 【详解】面粉费用： 1000 ÷ 500＝ 2（份） 费用：3×2 ＝6（元） 奶油费用： 400÷500＝（份） 费用：10× ＝ 8（元） 水果费用：200÷500＝（份） 费用：15×＝ 6（元） 总成本： 6＋ 8＋ 6＝ 20（元） 答：这个生日蛋糕的成本为20元。 3．小刚读一本书，第一天读了全书的，第二天比第一天多读了10页，这时已读的页数与剩下页数的比是3∶7，小刚再读多少页就能读完这本书？ 【答案】210页 【分析】根据两天后已读的页数与剩下页数的比是3∶7，可知这两天已读的页数占全书的，即已读了全书的。由于第一天读了全书的，因此用已读的减去第一天读的即可求出第二天读了全书的几分之几。第二天比第一天多读了10页，因此再用第二天读了全书的几分之几减去第一天读的即可求出第二天比第一天多读了全书的几分之几。最后再根据单位“1”＝分率对应量÷对应分率即可求出全书的页数。再用全书的页数减去已读的页数，即可求出小刚再读多少页就能读完这本书。 【详解】 （页） （页） 答：小刚再读210页就能读完这本书。 4．甲、乙、丙三人同时从A向B跑，当甲跑到B时，乙离B还有25米，丙离B还有40米；当乙跑到B时，丙离B还有20米，A，B相距多少米？ 【答案】100米 【分析】当甲跑到B时，乙离B还有25米，丙离B还有40米；当乙跑到B时，丙离B还有20米。据此即可知道乙跑25米的时间丙可以跑：40－20＝20（米），因此乙丙的速度之比为25∶20＝5∶4。然后可以设A，B相距x米，乙离B还有25米，丙离B还有40米时，即可知道乙跑了（x－25）米，丙跑了（x－40）米。根据时间一定时路程比等于速度比即可列出方程。 【详解】解：设A，B相距x米。 答：A，B相距100米。 5．甲乙两人原有钱数之比是，后来甲用去80元，乙又得20元，这时甲乙两人的钱数比是，原来两人各有多少钱？ 【答案】1380元；1150元 【分析】本题可以列方程来解决。甲乙两人原有钱数之比是，因此可以设甲原来有6x元钱，则乙原来有5x元钱。后来甲用去80元，乙又得20元，此时甲的钱数是（6x－80）元，乙的钱数是（5x＋20）元。然后再根据甲乙两人的钱数比是即可列出方程。 【详解】解：设甲原来有6x元钱，则乙原来有5x元钱。 甲：（元） 乙：（元） 答：甲原来有1380元钱，则乙原来有1150元钱。 6．服装厂有三条生产线，第一、二、三条生产线上的工人每小时分别能完成西服30套、24套、20套，现有90名工人要使每天三条生产线完成的套数相同，每条生产线应安排多少名工人？ 【答案】24人；30人；36人 【分析】根据人数×每小时完成的套数等于总套数，要求每天三条线完成的总套数相同，即总套数一定，则人数和每小时完成的套数成反比例。根据三条线上每小时完成的套数比，推出每条线上的人数比，再将90人，按照比进行分配即可。 【详解】三条生产线的工人每小时完成的套数比＝30∶24∶20＝15∶12∶10 根据每条线上的总套数一定，则每条线上的人数和每小时完成的套数成反比 因此，三条线上的人数比＝12∶15∶18 90÷（12＋15＋18） ＝90÷45 ＝2（人） 第一条生产线人数：2×12＝24（人） 第二条生产线人数：2×15＝30（人） 第三条生产线人数：2×18＝36（人） 答：第一条生产线安排24人，第二条生产线安排30人，第三条生产线安排36人。 7．有甲、乙两杯含盐量不同的盐水，甲杯盐水的质量为100克，乙杯盐水的质量为60克。现在从两杯中倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中，这时两杯新盐水的含盐率相等，从每杯倒出盐水多少克？ 【答案】37.5克 【分析】根据题意，倒完之后，原来甲乙的盐水比就是两杯盐水完全混合的比，也就是甲∶乙＝100∶60＝5∶3；所以从甲杯中拿出的盐水：，据此即可解答。 【详解】100∶60＝5∶3 从甲杯中拿出的盐水：＝37.5（克） 从乙杯中拿出的盐水：＝37.5（克） 答：从每杯倒出盐水37.5克。 8．一列货车和一列客车同时从甲乙两地相向开出，已知客车的速度是货车的速度的，两车相遇时，客车比货车少行8千米．求甲、乙两地间的距离． 【答案】40千米 【分析】客车速度：货车速度=2：3，客车路程：货车路程=2：3，客车行驶的路程为2份，货车行驶的路程为3份，也就是说客车比货车少行了1份，少行了8千米；所以两城相距8÷=40千米． 【详解】8÷=40 (千米) 答：甲、乙两城相距40千米． 9．高中学生的人数是初中学生人数的，高中毕业生的人数是初中毕业生人数的，高、初中毕业生毕业后，高、初中留下的人数都是520人．问高、初中毕业生共有多少人？ 【答案】1160人 【详解】先画出如下示意图： 6-5＝1，相当于图中相差 17-12＝5（份），初中总人数是 5×6＝30份，因此，每份人数是：520÷（30-17）= 40（人）. 因此，高、初中毕业生共有：40×（17＋12）＝ 1160（人）. 答：高、初中毕业生共1160人. 10．有两堆棋子， A堆有黑子 350个和白子500个， B堆有黑子400个和白子100个．为了使A堆中黑子占A堆的，B堆中黑子占．要从B堆中拿到A堆黑子、白子各多少个？ 【答案】从B堆拿出黑子 175个，白子25个 【详解】要B堆中黑子占，即黑子与白子之比是3:1，先从B堆中拿出黑子100个，使余下黑子与白子之比是（40-100）∶100＝3∶1.再要从 B堆拿出黑子与白子到A堆，拿出的黑子与白子数目也要保持3∶1的比. 现在 A堆已有黑子350＋100＝450个，与已有白子500个，相差50个．要黑子占，就是两种棋子一样多． 从B堆再拿出黑子与白子，要相差50个，又要符合3∶1这个比，要拿出白子数是：50÷（3-1）＝25（个）. 再要拿出黑子数是25×3＝ 75（个） 答：从B堆拿出黑子 175个，白子25个. 11．甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？ 【答案】27.5元 【详解】解法一：设每种糖果所花钱数为1． 平均价是：=27.5（元） 答：这些糖果每千克平均价是27.5元． 上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易．最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有： =27.5（元） 解法二：先求出这三种糖果所买数量之比. 不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10. 平均数是（15+11+10）÷3=12. 单价33元的可买10份，要买12份，单价是33×=27.5（元） 12．有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙长度的比是6:5，甲钉子的钉入墙内，甲与丙钉入墙内的部分之比5:4，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？ 【答案】30∶25∶26 【详解】略 13．小张、小李和小王于某日上午分别步行、骑自行车和开汽车从A地出发沿公路向B地匀速前进．已知小李比小张晚1小时出发，小王比小李晚45分钟出发．他们三人恰在中途某地相遇．若小李比小张早到达B地24分钟，则小王比小张早多少分钟． 【答案】42分钟 【详解】解法一：由题目可知小张、小李、小王都是以匀速前进，且无论相遇点之前和相遇点之后总行程都相等，所以我们应当使用“路程相同，速度比等于时间的反比”这条比例关系来解答本题． 首先，小张和小李的相遇前后的两个追及，相遇前的追及路程为小张行走一小时的路程，相遇后的追及路程为小张行走24分钟的路程，所以追及路程比为60：24=5：2，两人速度都不变，所以速度差也不变，所以追及时间比为5：2，所以小李前后行走的时间比也是5：2，即前后两段路程比为5：2． 其次，小王和小张的前后两个追及问题：由于前后路程比为5：2，所以小王的行走时间比为5：2，也即是追及时间比为5：2，速度都不变，所以追及路程比为5：2， 而前段追及路程是小张行走60+45=105分钟的路程，所以后段追及路程是小张行走105÷5×2=42（分钟）所行走的路程，即小王比小张早42分钟到达． 解法二：运用折线示意图，结合基本几何知识，整个行程过程和其中的数量关系即可一目了然，即： ，解得，t=42． 14．A、B、C三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市，开车后1小时A车出了事故，B和C车照常前进，A车停车修理半小时后以原速度的继续前进，B、C两车行至距离甲市200千米处B车出了事故，C车照常前进，B车停了半小时后也以原速度的继续前进，结果到达乙市的时间C车比B车早1小时，B车比A车早1小时，求甲、乙两市的距离为多少千米？ 【答案】280千米 【分析】题目给出的距离信息只有200千米这一条，所以我们应当求出200千米对应的路程比。如果A车没有停半小时，那么它将比C车晚到1.5小时，因A车后来的速度是C车的，所以A车和C车相同路程行程的时间比为5∶4，即C车每行驶4小时就比A车快1小时，所以C车快了1.5小时，说明C车后来行了1.5×4＝6（小时）．那么从甲市到乙市C车行了6＋1＝7（小时）。同样如果B车没有停半小时，它将比C车晚到0.5小时，而此时B车和C车在相同路段行程的时间比也是5∶4，说明C车后来行了0.5÷（5－4）×4＝2（小时），这段路是甲、乙两市距离的。所以B车出事故时，已经行驶了整个路程的。用200除以即可得解。 【详解】1.5×4＋1 ＝6＋1 ＝7（小时） 0.5÷（5－4）×4 ＝0.5÷1×4 ＝2（小时） 1－2÷7 ＝1－ ＝ ＝200× ＝280（千米） 答：甲、乙两市之间的距离为280千米。 【点睛】此题已知条件为速度比例和时间差，也符合“比例＋两者之一或两者和与差”的出题模式，所以利用“比例转化＋按比例分配（已知两者之一或两者和与差分别求两者）”的解题模式，注意此题中的时间差计算时要扣除停留的时间，注意加减关系。 15．在商场里，小明从正在向上移动的自动楼梯顶部下120级台阶到达底部，然后从底部上90级台阶回到顶部．自动楼梯从底部到顶部的台阶数是不变的，假设小明单位时间内下的台阶数是他上的台阶数的2倍．则该自动楼梯从底到顶的台阶数为多少？ 【答案】108级 【详解】解法一：小明单位时间内下的台阶数是他上的台阶数的2倍，而小明下楼梯跨了120级，上楼梯跨了90级，所以小明下楼和上楼所花的时间比为： 自动楼梯在相同的时间内运行相同的级数，假设在小明下楼梯过程中，自动楼梯运行了2x级，自动楼梯可见部分为：120-2x，而在小明上楼的过程中，自动楼梯运行了3x级，所以自动楼梯可见部分为：90+3x，由此可列得方程：120-2x=90+3x 解得x=6， 自动楼梯的可见台阶数为．120-6×2=108． 解法二：使用图示可将问题中的数量关系表示出来：将小明上楼期间自动扶梯上行台阶数看作2份，那么小明下楼期间，自动扶梯上行3份，那么5份的台阶数相当于120-90=30份．所以每份的台阶数为6，自动楼梯从底到顶的台阶数为90+6×3=108． 【点睛】 16．商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下．如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级． 【答案】60级 【详解】关键是找出两人上下楼的时间比． 因为男孩的速度是女孩的2倍，所以男孩走80级到达楼下与女孩走40级到达楼上所用时间相同，男孩下楼过程中由于自动扶梯上行而多走的路应该等于女孩上楼过程借助自动扶梯少走的路，男孩比女孩多走的路应等于行程过程中自动扶梯运行的级数的两倍． 因此自动扶梯向上运行了（80-40）÷2=20（级），扶梯可见部分有80-20=60（级）． 17．甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后1小时，乙从同地同路同向出发，步行2小时到达甲于45分钟前曾到过的地方。此后乙每小时多行500米，经过3小时追上速度保持不变的甲。甲每小时行多少米？ 【答案】4000米 【分析】乙加速之前步行2小时的路程等于甲步行2.25小时的路程，得到甲、乙速度之比2︰2.25，乙的速度是甲的速度的1.125倍；加速之后乙加速之后步行3小时的路程等于甲步行3.75小时的路程，甲乙速度比为3︰3.75，乙的速度是甲的速度的1.25倍，由于乙加速后每小时多走500米，所以甲的速度为500÷（1.25－1.125），依此计算即可。 【详解】加速前甲乙的速度之比为2︰2.25＝8︰9，乙的速度是甲的速度的1.125倍； 加速后甲乙的速度比为3︰3.75＝4︰5，乙的速度是甲的速度的1.25倍， 甲的速度为500÷（1.25－1.125） ＝500÷0.125 ＝4000（米/时）， 答：甲每小时行4000米。 【点睛】先求出甲乙二人的速度比是解答此题的关键。 18．甲骑车自A向B驶去，2小时后，乙步行由A向B走去，乙走出2小时后甲到B，此时乙距B地32千米；甲在B休息2小时30分钟又原路返回，经过1小时与一直步行向B走的乙相遇，问此时乙距B地多少千米？ 【答案】11千米 【详解】甲走完全程需要4小时，乙走5.5小时的路程与甲走1个小时的路程之和也等于一个全程． 所以甲走3个小时的路程等于乙走5.5小时的路程． （4-1）÷5.5=，即乙的速度是甲的速度的．甲每小时行全程的，所以乙每小时行全程的，乙两个小时行驶，距B地还有全程的． 所以全程为：（千米） 甲的速度是：（千米/小时） 所以相遇时乙距离B地11千米． 19．甲乙两车分别从A，B两地出发，相向而行。出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米。问：A，B两地相距多少千米？ 【答案】450千米 【分析】甲、乙原来的速度比是5∶4，相遇后的速度比是：[5×（1－20％）]∶[4×（1＋20％）]＝4∶4.8＝5∶6。相遇时，甲、乙分别走了全程的和。设全程x千米，剩下的部分甲行的长度和乙行的长度之比为5：6，其中相遇后甲行驶了全长的，所以乙行驶了全长的，所以乙一共行了全长，还剩1－＝没有走，所以A、B全长为450千米。 【详解】[5×（1－20％）]∶[4×（1＋20％）] ＝[5×0.8]∶[4×1.2] ＝4∶4.8 ＝5∶6 1－＝ 10÷＝450（千米） 答：A，B两地相距450千米。 【点睛】关键是确定相遇后的速度比，综合运用所学知识。 20．、、三项工程的工作量之比为，由甲、乙、丙三队分别承担。三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？ 【答案】4∶6∶3 【分析】设三个队的工作效率分别为、、，三项工程的工作量分别为1、2、3，若干天为k天，则k天后，甲完成的工作量为，未完成的工作量为1－，乙完成的工作量为，未完成的工作量为2－。丙完成的工作量为，未完成的工作量为3－，于是有、、，解方程组即可。 【详解】设三个队的工作效率分别为、、，三项工程的工作量分别为1、2、3，若干天为k天，则k天后，甲完成的工作量为，未完成的工作量为1－，乙完成的工作量为，未完成的工作量为2－，丙完成的工作量为，未完成的工作量为3－。 由此可得： 从而可得：即： 进而得：，即 所以，4∶6∶3 答：甲、乙、丙队的工作效率的比是4∶6∶3。 【点睛】解答此题的关键是利用假设法，然后列方程组计算。 21．兰州来的马师傅擅长做拉面，拉出的面条很细很细，他每次做拉面的步骤是这样的：将一个面团先搓成圆柱形面棍，长米．然后对折，拉长到米；再对折，拉长到米……照此继续进行下去，最后拉出的面条粗细(直径)仅有原先面棍的．问：最后马师傅拉出的这些细面条的总长有多少米？(假设马师傅拉面的过程中．面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费) 【答案】6553.6 【详解】最后拉出的面条直径是原先面棍的，则截面积是原先面棍的，细面条的总长为：(米)．注意运用比例思想． 22．（2009年第七届“希望杯”二试六年级）某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大型车元，中型车元，小型车元．一天，通过该收费站的大型车和中型车数量之比是，中型车与小型车之比是，小型车的通行费总数比大型车多元．（1）这天通过收费站的大型车、中型车、小型车各有多少辆？（2）这天的收费总数是多少元？ 【答案】（1）90 108 297 （2）7290 【详解】（1）大型车、小型车通过的数量都是与中型车相比，如果能将中的与中的统一成，就可以得到大型车、中型车、小型车的连比．由和，得到．以辆大型车、辆中型车、辆小型车为一组．因为每组中收取小型车的通行费比大型车多(元)，所以这天通过的车辆共有(组)．所以这天通过大型车有(辆)，中型车有(辆)，小型车有(辆)． （2）这天收取的总费用为：元． 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $