专题06 工程问题（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-小升初奥数培优精讲精练

专题06 工程问题 知识点梳理 一、基本概念 工程问题是研究工作总量、工作效率、工作时间三者之间关系的应用题。关键要素： 1.工作总量：指一项工程的全部工作量，通常用“1”表示（当工作量未知时），也可根据实际情况用具体数量（如“120个零件”“300米路程”等）表示。 2.工作效率：单位时间内完成的工作量，公式为“工作效率=工作总量÷工作时间”，通常表示为“每天完成几分之几”或“每小时完成多少个”。 3.工作时间：完成工作总量所需的时间，公式为“工作时间=工作总量÷工作效率”。 4.核心关系：工作总量=工作效率×工作时间（变形公式：工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率）。 二、核心解题方法 1.单位“1”法（基础方法） 方法要点：当工作总量未知时，设工作总量为单位“1”，则工作效率=1÷工作时间（如甲单独完成需5天，甲的效率为）。 示例：一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天，两人合作需几天？ 解：设总量为1，甲效率=，乙效率=，合作效率=+=，合作时间=1÷=6（天）。 2.假设具体总量法（进阶方法） 方法要点：当题目涉及多个工作量或效率时，可假设工作总量为各工作时间的最小公倍数，将效率转化为具体数量，简化计算。 示例：甲3天完成，乙4天完成，假设总量为12（3和4的最小公倍数），则甲效率=12÷3=4，乙效率=12÷4=3，合作效率=4+3=7，合作时间=12÷7=12/7（天）。 3.分阶段工程解法（综合方法） 方法要点：对于分阶段完成的工程（如先合作再单独做、中途有人休息等），需分段计算工作量，再根据“各阶段工作量之和=总工作量”列方程或算式求解。 示例：一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成，两人合作3天后甲离开，乙还需几天完成？ 解：设总量为1，合作3天完成（+）×3=，剩余工作量=1-=，乙需÷=7.5（天）。 4.效率转换法（复杂问题） 方法要点：当题目给出“甲做a天=乙做b天”等效率关系时，可转化为效率比（甲效率:乙效率=b:a），再按比例分配工作量。 示例：甲6天工作量=乙8天工作量，甲效率:乙效率=8:6=4:3，若乙效率为3，则甲效率为4。 三、常见题型 1.基本工程问题：已知工作时间，求合作时间；已知效率和时间，求总量等。 2.合作与分工问题：多人合作、中途加入/退出、分工完成不同部分等。 3.周期工程问题：按周期循环工作（如甲工作1天休息1天，乙工作2天休息1天），需先算周期内工作量，再求完整周期数和剩余工作量。 4.效率变化问题：工作过程中效率提升或降低（如甲先按原效率做，后提速20%），需分段计算效率和时间。 例题讲解 一、基础题（单位“1”法） 例1：一项工程，甲单独做需8天完成，乙单独做需12天完成。两人合作，几天可以完成这项工程的3/4？ 解题步骤： 1.设工作总量为1，甲效率=1/8，乙效率=。 2.合作效率=+=。 3.需完成工作量=3/4，合作时间=（）÷（）=（）×（）==3.6（天）。 跟踪练习1：一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成，两人合作完成全部工程需要几天？ 答案：6天。解析：合作效率=+=，时间=1÷=6（天）。 例2：修一条路，甲队每天修全长的，乙队每天修全长的，两队合修5天后，还剩全长的几分之几？ 解题步骤： 1.合作效率=+=。 2.5天完成工作量=×5=。 3.剩余工作量=1-=。 易错点：注意“剩余工作量=总量-已完成量”，避免直接用效率减时间。 跟踪练习2：一项工程，甲每天完成，乙每天完成，两人合作3天，完成了这项工程的几分之几？ 答案：27/40。解析：合作效率=+=，3天完成×3=。 二、进阶题（假设总量法+分阶段工程） 例3：一批零件，甲单独做需12小时，乙单独做需15小时。若甲先做3小时，余下的由乙单独做，还需几小时完成？ 解题步骤： 1.假设零件总量=60（12和15的最小公倍数），则甲效率=60÷12=5（个/小时），乙效率=60÷15=4（个/小时）。 2.甲3小时完成=5×3=15（个），剩余=60-15=45（个）。 3.乙需时间=45÷4=11.25（小时）。 跟踪练习3：一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。甲先做5天，剩下的甲乙合作，还需几天完成？ 答案：9天。解析：设总量=60，甲效率=3，乙效率=2。甲5天完成15，剩余45，合作效率=5，时间=45÷5=9（天）。 例4：一项工程，甲、乙合作6天完成，乙、丙合作10天完成，甲、丙合作12天完成。甲、乙、丙单独做各需几天完成？ 解题步骤： 1.设总量=60（6、10、12的最小公倍数），则： 甲+乙效率=60÷6=10， 乙+丙效率=60÷10=6， 甲+丙效率=60÷12=5。 2.三式相加：2（甲+乙+丙）=21→甲+乙+丙=10.5。 3.甲效率=10.5-6=4.5，甲时间=60÷4.5=（天）； 乙效率=10.5-5=5.5，乙时间=60÷5.5=（天）； 丙效率=10.5-10=0.5，丙时间=60÷0.5=120（天）。 跟踪练习4：甲、乙合作8天完成一项工程，乙、丙合作10天完成，甲、丙合作15天完成。甲单独做需几天？ 答案：天。解析：总量=120，甲+乙=15，乙+丙=12，甲+丙=8，甲效率=（15+8-12）÷2=，时间=120÷=≈21.8（天）。 三、挑战题（周期工程+效率转换） 例5：一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天，甲每工作2天休息1天，乙每工作3天休息1天。两人合作，从开始到完成需多少天？ 解题步骤： 1.甲周期=3天（工作2天，休息1天），周期效率=2×1/10=1/5； 乙周期=4天（工作3天，休息1天），周期效率=3×1/15=1/5。 2.取周期公倍数12天，甲12天完成：12÷3×1/5=4/5； 乙12天完成：12÷4×1/5=3/5； 12天共完成4/5+3/5=7/5＞1，说明12天内已完成。 3.前8天：甲工作6天（8÷3=2周期余2天，工作2×2+2=6天），完成6/10=3/5； 乙工作6天（8÷4=2周期，工作3×2=6天），完成6/15=2/5； 共完成3/5+2/5=1，刚好完成。 答：需8天。 跟踪练习5：一项工程，甲单独做12天，乙单独做15天，甲每工作3天休息1天，乙每工作5天休息2天。两人合作，完成工程需多少天？ 答案：8天。解析：甲周期4天（3工作1休息），效率=；乙周期7天（5工作2休息），效率5/15=1/3。前8天甲工作6天（8-2休息=6），完成=；乙工作5天 例6：甲、乙两人加工一批零件，甲单独加工需20小时，乙单独加工需30小时。若甲先加工，然后乙加入，两人合作完成，共用15小时。甲单独加工了几小时？ 解题步骤： 1.设总量=60，甲效率=3，乙效率=2。设甲单独加工x小时，则合作（15-x）小时。 2.甲单独完成3x，合作完成（3+2）（15-x）=5（15-x）。 3.总量：3x+5（15-x）=60→3x+75-5x=60→-2x=-15→x=7.5（小时）。 跟踪练习6：一项工程，甲单独做15天，乙单独做10天。甲先做若干天，乙再加入，合作5天完成，甲单独做了几天？ 答案：2.5天。解析：设甲单独做x天，总量=30，甲效率=2，乙效率=3。2x+（2+3）×5=30→2x+25=30→x=2.5。 提升练习 1．某蓄水池有大小两个排水管。单独打开大排水管，排完水池中的水需11小时；两个排水管一起打开，排完水池中的水需8小时。已知小排水管每小时排水7.5立方米，那么大排水管每小时排水多少立方米？ 【答案】 20立方米 【分析】将水池总水量看作单位“1”，大排水管单独排完需11小时，每小时排水效率为；两管一起排完需8小时，总效率为。小排水管效率为总效率减去大排水管效率。根据小排水管实际排水量7.5立方米/小时，求出总水量，再计算大排水管每小时排水量。 【详解】1÷11＝ 1÷8＝ （立方米） （立方米） 答：大排水管每小时排水20立方米。 2．“不是羽绒服买不起，而是军大衣更有性价比！”今年这个冬天军大衣成为了零零后大学生们的冬季新宠。甲、乙两个车间合作赶制一批军大衣，15天可以完成。如果甲车间单独做4天，乙车间单独做3天，可以完成这批军大衣的，现在由甲车间单独做需要多少天完成？ 【答案】30天 【分析】根据题意，甲、乙两个车间合作赶制一批军大衣，15天可以完成，将工作总量看作单位“1”，所以甲、乙两个车间合作的工作效率是，如果甲车间单独做4天，乙车间单独做3天，此时相当于甲乙两车间合作3天，甲车间单独做一天，此时甲单独做一天的工作效率是：，甲车间单独做的时间＝1÷甲车间的工作效率。据此解答。 【详解】 （天） 答：甲单独做需要30天完成。 3．制造一个零件，甲需8分钟，乙需6分钟，丙需5分钟。现在有1180个零件的制造任务分配给他们三人，要求在相同时间内完成，每人应该分配到多少个零件？ 【答案】甲分配到300个零件；乙分配到400个零件；丙分配到480个零件。 【分析】根据工作时间×工作效率＝工作总量，加工同样的零件时，工作总量一定，工作时间和工作效率成反比，根据时间的比，推导出效率的比，再结合工作时间一定，工作效率和工作总量成正比，从而得出三者工作量之比，从而根据工作量比将总1180个零件分配下去即可。 【详解】甲乙丙的时间比＝8∶6∶5 根据工作总量一定，工作效率和工作时间成反比，可得： 甲乙丙的效率比＝15∶20∶24 当时间相同时，工作效率和工作总量成正比 因此，甲乙丙的工作量比＝15∶20∶24 1180÷（15＋20＋24）＝20（个） 甲：20×15＝300（个） 乙：20×20＝400（个） 丙：20×24＝480（个） 答：甲应该分配300个，乙分配400个，丙分配480个。 4．师徒两人合作一件工作，要20天完成，如果让徒弟先做8天，剩下的工作由师傅单独做，还要26天才能完成，师傅单独做这件工作需要多少天完成？ 【答案】30天 【分析】师徒两人合作一件工作要20天完成，因此师徒的合作效率为。如果让徒弟先做8天，剩下的工作由师傅单独做，还要26天才能完成，可以看作师徒合作8天，师傅再单独工作：26－8＝18（天），由此即可求出师傅这18天的工作量为：，再用师傅的工作量除以工作时间即可求出师傅的工作效率，由此即可解决。 【详解】 （天） 答：师傅单独做这件工作需要30天完成。 5．一项工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要天，由丙单独做需要天完成，那么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？ 【答案】天 【分析】丙单独做的工作效率是，乙、丙合作的工作效率是，甲、乙合作的工作效率是 ；先求出乙的工作效率，再计算甲的工作效率，然后求出甲、丙合作的工作效率之和，再计算时间。 【详解】我们可以有： 甲乙，乙丙，丙 不难求得，乙的工作效率为，因此甲的工作效率为，从而甲丙合作的工作效率为， （天） 答：甲、丙合作12天能完成。 【点睛】本题考查的是工程问题，合作的工作效率等于每个人的工作效率之和。 6．一项工程，甲队单独做天可以完成，甲队做了天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做天完成。问：乙队单独完成这项工作需多少天？ 【答案】天 【分析】甲队做了8天后，剩下的工程量甲需要做12天，乙需要做15天，可以求出甲和乙的工作效率的关系，然后计算乙单独完成这项工作需要的时间。 【详解】20－8＝12（天） 甲12天工作量等于乙15天工作量； 乙的工作效率为甲的，乙独做的时间为（天） 答：乙队单独完成这项工作需25天。 【点睛】本题考查的是工程问题，求出甲和乙的工作效率的关系是求解问题的关键。 7．一项工程，甲、乙两队合干需天，需支付工程款元；乙、丙两队合干需天，需支付工程款元；甲、丙两队合干需天，需支付工程款元。如果要求总工程款尽量少，应选择哪个工程队？ 【答案】乙队 【分析】根据题目给出的三种情况，可以求出甲、乙、丙三个队各自的工作效率，以及三个队各自的费用，然后进行比较即可。 【详解】甲、乙一天完成工程的； 乙、丙一天完成工程的； 甲、丙一天完成工程的； 所以，甲的工效为： 乙的工效为；丙的工效为 甲、乙一天需工程款（元）； 乙、丙一天需工程款（元）； 甲、丙一天需工程款（元）； 所以，甲一天的工程款为： （元） 乙一天的工程款为（元），丙一天的工程款为（元）； 单独完成整个工程，甲队需工程款（元）； 乙队需工程款（元）； 丙队需工程款（元）； 答：应该选择乙队。 【点睛】本题考查的是工程问题，解题的关键是如何通过题目给出的三种情况，得到三个队各自的工作效率及所需费用。 8．、、、、五个人干一项工作，若、、、四人一起干需要6天完成；若、、、四人一起干需要8天完工；若、两人一起干需要12天完工。那么，若一人单独干需要几天完工？ 【答案】天 【分析】根据题意，可以求出A、B、C、D的工作效率之和，B、C、D、E的工作效率之和，A、E的工作效率之和，然后设法求出E的工作效率，再计算工作时间。 【详解】从题中可以看出，、、、四人每天完成总量的，、、、四人每天完成总量的，、两人每天完成总量的； 可见，的工作效率是： 所以一人单独干需要天。 答：若E一人单独干需要48天完工。 【点睛】本题考查的是工程问题，合作情况下的工作效率等于每个人的工作效率之和。 9．放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成。问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？ 【答案】分钟 【分析】1、2、3号阀门的效率之和是；2、3、4号阀门的效率之和是；1、3、4号阀门的效率之和是 ；1、2、4号阀门的效率之和是；据此可以求出1、2、3、4号阀门的效率之和，然后再计算时间。 【详解】根据条件，列表如下（画○表示阀门打开，画×表示阀门关闭）： 1号 2号 3号 4号 工作效率 ○ ○ ○ × × ○ ○ ○ ○ × ○ ○ ○ ○ × ○ 从表中可以看出，每个阀门都打开了三次，所以这4个阀门的工作效率之和为： 那么同时打开这4个阀门，需要（分钟） 答：18分钟可以完成。 【点睛】本题考查的是工程问题，四个量任意三个相加的和再相加，得到的和是四个量之和的3倍。 10．一个没有盖的水箱，在其侧面高和高的位置各有一个排水孔，它们排水时的速度相同且保持不变。现在以一定的速度从上面给水箱注水。如果打开关闭，那么分钟可将水箱注满；如果关闭打开，那么分钟可将水箱注满。如果两个孔都打开，那么需要多少分钟才能将水箱注满？ 【答案】分钟 【分析】对比题目给出的两种情况，求出注水的效率以及排水孔排水的效率，再分阶段考虑两个孔都打开时首先要的时间。 【详解】根据题意可知，要注水箱的水，开一个出水孔比不开出水孔要多用分钟； 那么不开出水孔时注满水箱需分钟； 如果一直开一个出水孔需要分钟； 说明每分钟注水量为，一个孔每分钟排水量为。 如果两个孔都打开，需要： （分钟） 答：需要55分钟才能将水箱注满。 【点睛】本题考查的是工程问题中的注水问题，求出注水效率和排水效率是求解问题的关键。 11．一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水。若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满。又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍。则该水箱最多可容纳多少吨水？ 【答案】吨 【分析】 由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍。那么甲管注入18吨水的时间是乙管注入36吨水的时间，甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是4∶3，也就是这两种情况下丙管注水的时间比为4∶3，可以求出当甲管注入18吨水时丙管注水多少吨，甲管的注水量加上丙的注水量，得到总的注水量。 【详解】甲管注入18吨水的时间是乙管注入： （吨） 甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是： 那么在这两种情况下丙管注水的时间比为，而且前一种情况比后一种情况多注入吨水； 则甲管注入18吨水时，丙管注入水： （吨） （吨） 答：该水箱最多可容纳54吨水。 【点睛】本题将工程问题与比例问题相结合，当时间一定时，工作总量与工作效率成正比例关系。 12．一项工程，由甲队单独工作需要15天完成，由乙队单独工作需要12天完成，由丙队单独工作需要10天完成．现在由甲、乙两个工程队共同工作了3天后，剩下的工程由丙队单独完成，丙队还需要几天才能完成这项工程？ 【答案】5天 【分析】这一项工程看作单位“1”，甲队单独工作需15天完成，甲队工作效率应是，乙队单独工作需要12天完成，乙队工作效率应是，丙队单独工作需10天完成，丙队工坐效率应是，现由甲、乙两队先共同工作3天，可完成这项工程的(＋)×3＝，还剩下1－＝ ，剩下的由丙队去完成，需要的天数÷． 【详解】[ 1－（＋）×3 ]÷ ＝5（天） 答：丙队还需要工作5天． 13．某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有合格，两种零件合格的一共是42个，两种零件各生产了多少个？ 【答案】甲种零件30个，乙种零件18个 【分析】我们可以根据“两种零件合格的一共42个”建立等式，可列出方程． 【详解】解：设生产乙种零件为x个，则生产甲种零件为x＋12个． （x+ 12）× +x= 42 x+= 42 x= 18 甲种零件个数为：18+12=30（个） 答:甲种零件生产了30个，乙种零件生产了18个． 14．甲、乙、丙、丁四人一共做了370个零件，如果把甲做的个数加10个，乙做的个数减去20个，丙做的个数乘2，丁做的个数除以2，四人做的零件数就正好相等，那么乙实际做了多少个？ 【答案】100个 【分析】此题包含了四个未知数，它们之间的关系是经过加减乘除的运算后，四人做的零件个数相等，由此可以设出零件数相等时是x个，从而可以得出他们实际所做的零件个数：甲为（x-10 ）个，乙为（x+20）个，丙为（x÷2）个，丁为2x个．根据等量关系四人所做的零件个数之和=370，可以列出方程解决问题． 【详解】解：设四人做的零件数相等时为x个，那么原来甲为（x-10 ）个，乙为（x+20）个，丙为（x÷2）个，丁为2x个．根据题意列方程： （x-10）+（x+20）+（x÷2）+2x=370 解得x=80 乙为：80+20=100（个） 答：乙实际做了100个零件． 15．一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？ 【答案】甲：75天   乙：50天 【详解】共做了6天后，原来，甲做24天，乙做24天，现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天. 这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率是乙工作效率的= 乙独做需时间： 甲独做需时间： 答：甲和乙独做所需时间分别是75天和50天. 16．王师傅加工一批零件，每小时加工120个，当加工了全部任务的多60个时，工作效率降低，只有原来的75%，这样加工完成全部零件，比计划的时间多用了20分钟，这批零件一共有多少个？ 【答案】900个 【详解】略 17．一件工作，甲单独完成需要30小时，乙单独完成，需要20小时，丙单独完成，需要40小时，现在这件工作甲乙合作3小时后，甲因有事离开了，又过3小时后，丙加入进来，直到工作完成，完成这件工作共用了多少小时？ 【答案】14小时 【详解】略 18．一组割草的人要把两片草地的草割掉，大的草地比小的大一倍．全体组员先用半天时间割大的草地，到下午，他们对半分开，一半仍留在大草地上，到傍晚时正好把大草地割完；另一半到小草地去割，到傍晚时还剩一小块，这一小块由1人去割，正好1天割完．问这组共有多少人？ 【答案】8人 【分析】本题实际上隐含着每个人的工作效率相同这个条件．要求出有多少人，关键是求出1个人的工作效率，也就是1个人1天的工作量，还要求出全组人1天的工作量． 【详解】设大片草地的面积为单位“1”，则小片草地的面积为．根据题中条件，可以知道，一半组员半天割，则一天割了，全组人员1天割了．由此还知道所剩的一小块面积应是：，也就是1人1天的工作量为．所以全组人数是． 19．甲、乙、丙、丁四人共同生产一批零件，甲生产的占其他三人总数的，乙生产的占其他三人生产总数的，丙生产的占其他三人生产总数的．已知丁生产了60个，求甲、乙、丙各生产零件多少个？ 【答案】甲：20个   乙：30个   丙：40个 【详解】因为甲生产的占其他三人生产量的，设其他三人生产量为“1”，则甲的生产量占总产量的．同理，乙的产量占总产量的；丙的产量占总产量的，则丁的产量占总产量的．又因为丁生产了60个，所以零件的总数为：．进而甲生产的零件个数为，乙生产的零件个数为，丙生产的零件个数为：． 20．地下水从一个水池的四壁渗入，每小时渗入该水池的水量是固定的．当这个水池水满时，打开A管，8小时可将水池排空；打开B管，10小时可将水池排空；打开C管，12小时可将水池排空．如果打开A、B两管4小时可将水池排空，那么打开B、C两管，将水池排空需要多少时间？ 【答案】小时 【详解】把满池水看作“1”．A管8小时把水排空，表明A管8小时的排水量为“1”加8小时的渗水量，设每小时渗水量为x，则A管每小时的排水量为；类似地，B管每小时的排水量为；C管每小时的排水量为．于是A、B两管同时打开，一小时的排水量即可表示为，又可表示为，由此就可求出每小时的渗水量相当满池水的几分之几． 再设想B、C同时打开，每小时渗入的水全由B排出，那么B、C两管每小时将排出水为，这样就可求出所需时间． 据以上分析可得方程 解得 答：打开B、C两管，将水池排空需小时． 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 工程问题 知识点梳理 一、基本概念 工程问题是研究工作总量、工作效率、工作时间三者之间关系的应用题。关键要素： 1.工作总量：指一项工程的全部工作量，通常用“1”表示（当工作量未知时），也可根据实际情况用具体数量（如“120个零件”“300米路程”等）表示。 2.工作效率：单位时间内完成的工作量，公式为“工作效率=工作总量÷工作时间”，通常表示为“每天完成几分之几”或“每小时完成多少个”。 3.工作时间：完成工作总量所需的时间，公式为“工作时间=工作总量÷工作效率”。 4.核心关系：工作总量=工作效率×工作时间（变形公式：工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率）。 二、核心解题方法 1.单位“1”法（基础方法） 方法要点：当工作总量未知时，设工作总量为单位“1”，则工作效率=1÷工作时间（如甲单独完成需5天，甲的效率为）。 示例：一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天，两人合作需几天？ 解：设总量为1，甲效率=，乙效率=，合作效率=+=，合作时间=1÷=6（天）。 2.假设具体总量法（进阶方法） 方法要点：当题目涉及多个工作量或效率时，可假设工作总量为各工作时间的最小公倍数，将效率转化为具体数量，简化计算。 示例：甲3天完成，乙4天完成，假设总量为12（3和4的最小公倍数），则甲效率=12÷3=4，乙效率=12÷4=3，合作效率=4+3=7，合作时间=12÷7=12/7（天）。 3.分阶段工程解法（综合方法） 方法要点：对于分阶段完成的工程（如先合作再单独做、中途有人休息等），需分段计算工作量，再根据“各阶段工作量之和=总工作量”列方程或算式求解。 示例：一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成，两人合作3天后甲离开，乙还需几天完成？ 解：设总量为1，合作3天完成（+）×3=，剩余工作量=1-=，乙需÷=7.5（天）。 4.效率转换法（复杂问题） 方法要点：当题目给出“甲做a天=乙做b天”等效率关系时，可转化为效率比（甲效率:乙效率=b:a），再按比例分配工作量。 示例：甲6天工作量=乙8天工作量，甲效率:乙效率=8:6=4:3，若乙效率为3，则甲效率为4。 三、常见题型 1.基本工程问题：已知工作时间，求合作时间；已知效率和时间，求总量等。 2.合作与分工问题：多人合作、中途加入/退出、分工完成不同部分等。 3.周期工程问题：按周期循环工作（如甲工作1天休息1天，乙工作2天休息1天），需先算周期内工作量，再求完整周期数和剩余工作量。 4.效率变化问题：工作过程中效率提升或降低（如甲先按原效率做，后提速20%），需分段计算效率和时间。 例题讲解 一、基础题（单位“1”法） 例1：一项工程，甲单独做需8天完成，乙单独做需12天完成。两人合作，几天可以完成这项工程的3/4？ 解题步骤： 1.设工作总量为1，甲效率=1/8，乙效率=。 2.合作效率=+=。 3.需完成工作量=3/4，合作时间=（）÷（）=（）×（）==3.6（天）。 跟踪练习1：一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成，两人合作完成全部工程需要几天？ 答案：6天。解析：合作效率=+=，时间=1÷=6（天）。 例2：修一条路，甲队每天修全长的，乙队每天修全长的，两队合修5天后，还剩全长的几分之几？ 解题步骤： 1.合作效率=+=。 2.5天完成工作量=×5=。 3.剩余工作量=1-=。 易错点：注意“剩余工作量=总量-已完成量”，避免直接用效率减时间。 跟踪练习2：一项工程，甲每天完成，乙每天完成，两人合作3天，完成了这项工程的几分之几？ 答案：27/40。解析：合作效率=+=，3天完成×3=。 二、进阶题（假设总量法+分阶段工程） 例3：一批零件，甲单独做需12小时，乙单独做需15小时。若甲先做3小时，余下的由乙单独做，还需几小时完成？ 解题步骤： 1.假设零件总量=60（12和15的最小公倍数），则甲效率=60÷12=5（个/小时），乙效率=60÷15=4（个/小时）。 2.甲3小时完成=5×3=15（个），剩余=60-15=45（个）。 3.乙需时间=45÷4=11.25（小时）。 跟踪练习3：一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。甲先做5天，剩下的甲乙合作，还需几天完成？ 答案：9天。解析：设总量=60，甲效率=3，乙效率=2。甲5天完成15，剩余45，合作效率=5，时间=45÷5=9（天）。 例4：一项工程，甲、乙合作6天完成，乙、丙合作10天完成，甲、丙合作12天完成。甲、乙、丙单独做各需几天完成？ 解题步骤： 1.设总量=60（6、10、12的最小公倍数），则： 甲+乙效率=60÷6=10， 乙+丙效率=60÷10=6， 甲+丙效率=60÷12=5。 2.三式相加：2（甲+乙+丙）=21→甲+乙+丙=10.5。 3.甲效率=10.5-6=4.5，甲时间=60÷4.5=（天）； 乙效率=10.5-5=5.5，乙时间=60÷5.5=（天）； 丙效率=10.5-10=0.5，丙时间=60÷0.5=120（天）。 跟踪练习4：甲、乙合作8天完成一项工程，乙、丙合作10天完成，甲、丙合作15天完成。甲单独做需几天？ 答案：天。解析：总量=120，甲+乙=15，乙+丙=12，甲+丙=8，甲效率=（15+8-12）÷2=，时间=120÷=≈21.8（天）。 三、挑战题（周期工程+效率转换） 例5：一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天，甲每工作2天休息1天，乙每工作3天休息1天。两人合作，从开始到完成需多少天？ 解题步骤： 1.甲周期=3天（工作2天，休息1天），周期效率=2×1/10=1/5； 乙周期=4天（工作3天，休息1天），周期效率=3×1/15=1/5。 2.取周期公倍数12天，甲12天完成：12÷3×1/5=4/5； 乙12天完成：12÷4×1/5=3/5； 12天共完成4/5+3/5=7/5＞1，说明12天内已完成。 3.前8天：甲工作6天（8÷3=2周期余2天，工作2×2+2=6天），完成6/10=3/5； 乙工作6天（8÷4=2周期，工作3×2=6天），完成6/15=2/5； 共完成3/5+2/5=1，刚好完成。 答：需8天。 跟踪练习5：一项工程，甲单独做12天，乙单独做15天，甲每工作3天休息1天，乙每工作5天休息2天。两人合作，完成工程需多少天？ 答案：8天。解析：甲周期4天（3工作1休息），效率=；乙周期7天（5工作2休息），效率5/15=1/3。前8天甲工作6天（8-2休息=6），完成=；乙工作5天 例6：甲、乙两人加工一批零件，甲单独加工需20小时，乙单独加工需30小时。若甲先加工，然后乙加入，两人合作完成，共用15小时。甲单独加工了几小时？ 解题步骤： 1.设总量=60，甲效率=3，乙效率=2。设甲单独加工x小时，则合作（15-x）小时。 2.甲单独完成3x，合作完成（3+2）（15-x）=5（15-x）。 3.总量：3x+5（15-x）=60→3x+75-5x=60→-2x=-15→x=7.5（小时）。 跟踪练习6：一项工程，甲单独做15天，乙单独做10天。甲先做若干天，乙再加入，合作5天完成，甲单独做了几天？ 答案：2.5天。解析：设甲单独做x天，总量=30，甲效率=2，乙效率=3。2x+（2+3）×5=30→2x+25=30→x=2.5。 提升练习 1．某蓄水池有大小两个排水管。单独打开大排水管，排完水池中的水需11小时；两个排水管一起打开，排完水池中的水需8小时。已知小排水管每小时排水7.5立方米，那么大排水管每小时排水多少立方米？ 2．“不是羽绒服买不起，而是军大衣更有性价比！”今年这个冬天军大衣成为了零零后大学生们的冬季新宠。甲、乙两个车间合作赶制一批军大衣，15天可以完成。如果甲车间单独做4天，乙车间单独做3天，可以完成这批军大衣的，现在由甲车间单独做需要多少天完成？ 3．制造一个零件，甲需8分钟，乙需6分钟，丙需5分钟。现在有1180个零件的制造任务分配给他们三人，要求在相同时间内完成，每人应该分配到多少个零件？ 4．师徒两人合作一件工作，要20天完成，如果让徒弟先做8天，剩下的工作由师傅单独做，还要26天才能完成，师傅单独做这件工作需要多少天完成？ 5．一项工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要天，由丙单独做需要天完成，那么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？ 6．一项工程，甲队单独做天可以完成，甲队做了天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做天完成。问：乙队单独完成这项工作需多少天？ 7．一项工程，甲、乙两队合干需天，需支付工程款元；乙、丙两队合干需天，需支付工程款元；甲、丙两队合干需天，需支付工程款元。如果要求总工程款尽量少，应选择哪个工程队？ 8．、、、、五个人干一项工作，若、、、四人一起干需要6天完成；若、、、四人一起干需要8天完工；若、两人一起干需要12天完工。那么，若一人单独干需要几天完工？ 9．放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成。问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？ 10．一个没有盖的水箱，在其侧面高和高的位置各有一个排水孔，它们排水时的速度相同且保持不变。现在以一定的速度从上面给水箱注水。如果打开关闭，那么分钟可将水箱注满；如果关闭打开，那么分钟可将水箱注满。如果两个孔都打开，那么需要多少分钟才能将水箱注满？ 11．一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水。若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满。又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍。则该水箱最多可容纳多少吨水？ 12．一项工程，由甲队单独工作需要15天完成，由乙队单独工作需要12天完成，由丙队单独工作需要10天完成．现在由甲、乙两个工程队共同工作了3天后，剩下的工程由丙队单独完成，丙队还需要几天才能完成这项工程？ 13．某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有合格，两种零件合格的一共是42个，两种零件各生产了多少个？ 14．甲、乙、丙、丁四人一共做了370个零件，如果把甲做的个数加10个，乙做的个数减去20个，丙做的个数乘2，丁做的个数除以2，四人做的零件数就正好相等，那么乙实际做了多少个？ 15．一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？ 16．王师傅加工一批零件，每小时加工120个，当加工了全部任务的多60个时，工作效率降低，只有原来的75%，这样加工完成全部零件，比计划的时间多用了20分钟，这批零件一共有多少个？ 17．一件工作，甲单独完成需要30小时，乙单独完成，需要20小时，丙单独完成，需要40小时，现在这件工作甲乙合作3小时后，甲因有事离开了，又过3小时后，丙加入进来，直到工作完成，完成这件工作共用了多少小时？ 18．一组割草的人要把两片草地的草割掉，大的草地比小的大一倍．全体组员先用半天时间割大的草地，到下午，他们对半分开，一半仍留在大草地上，到傍晚时正好把大草地割完；另一半到小草地去割，到傍晚时还剩一小块，这一小块由1人去割，正好1天割完．问这组共有多少人？ 19．甲、乙、丙、丁四人共同生产一批零件，甲生产的占其他三人总数的，乙生产的占其他三人生产总数的，丙生产的占其他三人生产总数的．已知丁生产了60个，求甲、乙、丙各生产零件多少个？ 20．地下水从一个水池的四壁渗入，每小时渗入该水池的水量是固定的．当这个水池水满时，打开A管，8小时可将水池排空；打开B管，10小时可将水池排空；打开C管，12小时可将水池排空．如果打开A、B两管4小时可将水池排空，那么打开B、C两管，将水池排空需要多少时间？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $