专题01 定义新运算（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-小升初奥数培优精讲精练

专题01 定义新运算 知识点梳理 一、基本概念 定义新运算是指用一个特定的符号（如△、*、□、⊕等）来表示一种人为规定的运算规则，而非常规的加、减、乘、除运算。 关键要素： 1.运算符号：题目自定义的符号（如“△”“*”），需明确其含义。 2.运算规则：规定符号两边的数（或字母）如何进行运算（如“a△b = 2a + b”），规则可能涉及加减乘除、括号优先级等。 3.运算优先级：若新运算中包含常规运算（如+、-、×、÷），需遵循“先括号内后括号外，先乘除后加减”的优先级。 二、核心解题方法 1.按规则代入法（基础方法） 方法要点：严格按照题目给出的运算规则，将已知数（或字母）代入规则中的对应位置，逐步计算。 示例：若定义ab = 3a - 2b，计算45时，直接代入得3×4 - 2×5 = 12 - 10 = 2。 2.规律探究法（进阶方法） 方法要点：当题目未直接给出规则，而是通过多组算式示例隐含规则时，需观察算式中数字的变化规律，推导出运算规则。 示例：已知1△2=3，2△3=5，3△4=7，可发现规律为“a△b = a + b + (b - a)”，即结果为两数之和加差，简化后为“a△b = 2b - 1”。 3.逆向推理法（综合方法） 方法要点：已知新运算的结果，反推参与运算的未知数。需将规则转化为方程，通过解方程求解。 示例：定义a□b = (a + b)÷(a - b)（a ≠ b），若x□3 = 2，求x。代入规则得(x + 3)÷(x - 3) = 2，解方程得x + 3 = 2(x - 3)，即x = 9。 三、常见题型 1.直接计算型：给定运算规则，直接代入数值计算结果。 2.规律探究型：通过多组算式示例，推导运算规则并应用。 3.逆向求解型：已知运算结果，反求参与运算的未知数（如字母参数）。 例题讲解 一、基础题（直接代入法） 例1：定义新运算“△”为：a△b = (a + b)×(a - b)，计算3△2的值。 解题步骤： 1.明确规则：a△b = (a + b)×(a - b)，即“两数和乘两数差”。 2.代入数值：a=3，b=2，得(3 + 2)×(3 - 2) = 5×1 = 5。 验证：3△2 = (3+2)(3-2)=5，正确。 跟踪练习1：定义ab = a² + b³，计算23的值。 答案：2² + 3³ = 4 + 27 = 31。 解析：直接代入规则，a=2时a²=4，b=3时b³=27，相加得31。 例2：定义“⊕”运算：m⊕n = m×n - m÷n（n≠0），计算6⊕3的值。 解题步骤： 1.规则拆解：m⊕n = （m乘n）减去（m除以n）。 2.代入计算：6×3 - 6÷3 = 18 - 2 = 16。 易错点：注意运算顺序，先算乘除再算加减，避免混淆“减”的顺序。 跟踪练习2：定义x○y = (x + y)÷2 + x×y，计算4○2的值。 答案：(4+2)÷2 + 4×2 = 3 + 8 = 11。 解析：先算括号内加法（4+2=6），再算除法（6÷2=3）和乘法（4×2=8），最后相加得11。 二、进阶题（规律探究型） 例3：观察下列新运算“”的算式，推导规则并计算57。 12=3，23=5，34=7，45=9，… 解题步骤： 1.观察算式规律： 12=3=1+2+0，23=5=2+3+0，3*4=7=3+4+0，结果均为“两数之和”加0？ 验证：1+2=3，2+3=5，3+4=7，4+5=9，规律成立！即a*b = a + b。 2.应用规则：5*7 = 5 + 7 = 12。 跟踪练习3：观察新运算“□”：2□3=8，3□4=13，4□5=18，5□6=23，推导规则并计算7□8。 答案：33。 解析：观察结果：8=2×3 + 2，13=3×4 + 1，18=4×5 - 2？不对。换思路：8=2+3×2，13=3+4×2.5？规律不明显。再看差：13-8=5，18-13=5，23-18=5，结果依次加5，首项2□3=8，第n组（a□b，a从2开始，b=a+1）结果=8 + 5×(n-1)。7□8是第6组（2□3为第1组），8 + 5×5=33。或直接观察a□b=5a - 2（2×5-2=8，3×5-2=13，4×5-2=18，成立），7×5-2=33。 三、挑战题（逆向求解型） 例4：定义新运算“☆”：a☆b = 3a + kb（k为常数），已知2☆3=12，求5☆4的值。 解题步骤： 1.先求常数k：将a=2，b=3，结果=12代入规则，得3×2 + k×3 = 12 → 6 + 3k = 12 → 3k=6 → k=2。 2.确定完整规则：a☆b = 3a + 2b。 3.计算5☆4：3×5 + 2×4 = 15 + 8 = 23。 易错点：需先通过已知算式求出规则中的未知参数（如k），再代入计算，避免直接猜测k的值。 跟踪练习4：定义x△y=ax + by，1△2=a+2b=5，2△1=2a+b=7，求3△4的值。 答案：3×1 + 2×4²=3 + 32=35。 解析：列方程组： 1△2 = a×1 + b×2² = a + 4b = 5 2△1 = a×2 + b×1² = 2a + b = 7 解得解得a=3，b=1，3△4=3×3 +1×4=13。 提升练习 1．定义：a*b＝a×b－a－b，如2*3＝2×3－2－3＝1，那么当（x*3）*18＝33时，x的值为（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】定义：a*b＝a×b－a－b，就是两个数相乘再联系减去两个数即可列出方程得出结果。 【详解】x*3＝3x－x－3＝2x－3 （2x－3）*18＝33 18（2x－3）－（2x－3）－18＝33 36x－54－2x＋3－18＝33 34x＝33＋54＋18－3 34x＝102 x＝3 故答案为：C 2．如果规定：2※4＝2＋3＋4，5※4＝5＋6＋7＋8，那么（4※3）※3＝（    ）。 A．21 B．30 C．39 D．48 【答案】D 【分析】因为：2※3＝2＋3＋4，5※4＝5＋6＋7＋8，所以（4※3）※3＝（4＋5＋6）※3，再按照规律计算即可。 【详解】（4※3）※3 ＝（4＋5＋6）※3 ＝15※3 ＝15＋16＋17 ＝48 故答案选：D 3．对于自然数a，b，规定a◎b＝ab－。那么5◎（2◎4）＝（    ）。 A． B． C． D．30 【答案】A 【分析】将a＝2、b＝4代入2◎4，化简并求出结果（下一步的b值）；进而将相应的a、b值代入5◎（2◎4），算出结果得解。 【详解】2◎4 ＝ ＝8－2 ＝6 5◎（2◎4） ＝5◎6 ＝ ＝ ＝ 故答案选：A 4．“※”表示一种新的运算符号，已知：2※；5※；4※，…按此规则，如果A※，那么A＝（    ）。 A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】根据题意，则x※y＝x＋x＋1＋x＋2＋……＋x＋（y－1），根据定义的新运算，得出A※6＝A＋（A＋1）＋（A＋2）＋（A＋3）＋（A＋4）＋（A＋5），再解方程得出A的值。 【详解】A※6＝57 则A＋（A＋1）＋（A＋2）＋（A＋3）＋（A＋4）＋（A＋5）＝57 6A＋15＝57 6A＝57－15 6A＝42 A＝7 故答案为：D 5．为了确保通信安全，信息需要加密后再传输。现规定加密的规则：明文加密变成密文后是。如明文，密文是。密文的明文是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】读题可知：密文数值25＝3a＋4b，28＝2b2－4；据此代入各个选项的明文之值，算出相应的密文之值，找到匹配的即可。 【详解】A．明文（2，3），密文：3×2＋4×3＝18，2×32－4＝14，即密文（18，14），与题意不符； B．明文（2，4），密文：3×2＋4×4＝22，2×42－4＝28，即密文（22，28），与题意不符； C．明文（3，4），密文：3×3＋4×4＝25，2×42－4＝28，即密文（25，28），与题意相符； D．明文（4，3），密文：3×4＋4×3＝24，2×32－4＝14，即密文（24，14），与题意不符； 故答案为：C 6．如果a⊕b＝a×b＋a＋b，例如：3⊕4＝3×4＋3＋4＝19，那么当（a⊕1）⊕2＝2024时，a＝（    ）。 A．1 B．2 C．335 D．336 E．336.5 【答案】E 【分析】首先根据a⊕b＝a×b＋a＋b，可得a⊕1＝a×1＋a＋1＝2a＋1，所以（a⊕1）⊕2＝（2a＋1）⊕2＝2（2a＋1）＋2a＋1＋2，然后根据（a⊕1）⊕2＝2024，求出a的值即可。 【详解】因为a⊕b＝a×b＋a＋b， 所以a⊕1＝a×1＋a＋1＝2a＋1， 所以（a⊕1）⊕2＝（2a＋1）⊕2＝2（2a＋1）＋2a＋1＋2＝6a＋5， 因为（a⊕1）⊕2＝2024， 所以6a＋5＝2024， 解得a＝336.5。 故答案选：E 7．对于一种符号“※”，我们规定※，那么当、时，※( )。 【答案】12 【分析】将、直接代入求值即可。 【详解】※ ＝4×4.5－6 ＝18－6 ＝12 8．定义新运算为，求( )。 【答案】 【分析】定义新运算a△b表示a与1除以b的商之和，即a△b＝（a＋1÷b）。需要先计算括号内的运算3△4，得到结果后再计算外层运算6△（3△4）。运算时需遵循先乘除后加减的顺序，并注意分数运算。 【详解】①计算括号内的部分：3△4。 根据定义，3△4＝3＋1÷4。 先计算除法：1÷4＝。 再计算加法：。 所以，3△4＝。 ②计算外层运算：6△（3△4）＝6△。 根据定义，6△＝6＋1÷。 先计算除法：1÷＝1×＝。 再计算加法：6＋＝。 因此，6△（3△4）＝。 9．规定：A〇B表示A，B中较大的数，A△B表示A，B中较小的数。则（100△25－7〇8）×（51〇53＋66△70）＝( )。 【答案】 2023 【分析】根据题意得，A〇B表示A和B中较大的数，A△B表示A和B中较小的数，根据这个规定和运算顺序，先计算括号内的表结果再相乘，据此即可求出最后答案。 【详解】（100△25－7〇8）×（51〇53＋66△70） ＝（25－8）×（53＋66） ＝17×119 ＝2023 10．定义运算“”和“”：当时，，。若整数满足，则( )。 【答案】5 【分析】当时，，也就是取前面的一个数，，也就是取后面的一个数。 【详解】 则x＝5。 11．规定※＝4×＋7×，那么8※5＝________。 【答案】67 【分析】首先根据新定义的运算规则，将，带入计算，最后算得结果即可。 【详解】根据已知：※＝4×＋7×， 将，带入算式中，得： ※＝4×＋7× 8※5＝ 那么8※5＝67。 12．一个特殊的计算器上面有个“”键，当计算器上显示的数是时，按一下“㊣”键后，计算器上的立刻消失，并显示一个新数。现在这个计算器上显示5，按一下“㊣”键后，计算器上显示的数是_____。 【答案】30 【分析】将a＝5代入的式子中，再根据四则混合运算的法则先算加法再算乘法得出结果。 【详解】5×（5＋1） ＝5×6 ＝30 13．如果4△3=4×（1+2+3），3△2=3×（1+2），那么5△4=( ) 【答案】50 【详解】式子的规律，5△4=5×（1+2+3+4）=50 14．对于正整数a与b，规定a☆b=a×（a＋1）×（a＋2）×……×（a＋b-1），如果（x☆3）☆2=3660，那么x=( )． 【答案】3 【详解】3660=60×61，那么x☆3=60，x☆3=x×（x＋1）×（x＋2）=60=3×（3＋1）×（3＋2），所以x=3. 15．如果A※B=（A+B）÷2， 那么4※5=( ) （5※6）※8=( ) 【答案】 4.5 6.75 【详解】略 16．已知：22=2+3=5,，33=3+4+5=12，44=4+5+6+7=22，则54=( )． 【答案】26 【详解】略 17．规定“”为一种新运算，对于任意两个数和都有，已知6x＋x4＝5，x的值为多少？ 【答案】x＝ 【分析】根据题目中定义的新运算规则，将＝6，＝x代入，得6x＝；将＝x， ＝4代入，得x4＝。将这两个表达式代入6x＋x4＝5即可列出方程＋＝5，方程左边两个分数的分母相同，根据同分母分数加法法则，分母不变，分子相加，可得，根据等式的性质，等式两边同时乘3可得3x＋14＝15，再根据等式的性质，等式两边同时减去14，可得3x＝1，最后根据等式的性质，等式两边同时除以3可得到x＝ 【详解】6x＋x4＝5 解：＋＝5 ＋＝5 3x＋14＝15 3x＋14 －14＝15－14 3x＝1 3x÷3＝1÷3 x＝ 【点睛】本题是一道定义新运算问题，解题的关键是正确理解定义的运算符号的意义。 18．对于整数，有如下规定：，计算： （1）； （2）。 【答案】（1）1591； （2）7623 【分析】定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。新运算是相对于常规运算而言的。常规的运算，如加、减、乘、除等运算有固定的运算定义、运算符号和运算法则，而新运算的定义则是由题目规定的，这种运算只在特定题目中有效，相同的符号在不同的题目中可能有不同的定义。 （1）中可以先算，再算外面的； （2）中可以先算，再算外面的。 【详解】（1） ＝ 则＝1591 （2） 则 19．定义两种运算“”和“⊙”，对于任意两个整数a，b，ab=a＋b－1，a⊙b=a×b－1．计算4⊙[（68）（35）]． 【答案】75 【详解】68=6+8-1=13 35=3+5-1=7 （68）（35）=137=13+7-1=19 4⊙[（68）（35）] =4⊙19 =4×19-1 =75 20．用❈表示一种运算符号，如果x❈y，且2❈1，求3❈1的值。 【答案】 【分析】根据新运算x❈y，且2❈1，再根据解方程的方法进一步求出A。进而求得3❈1的值即可。 【详解】因为：x❈y，且2❈1， 所以： 3＋3A＝12 3＋3A﹣3＝12﹣3 3A＝9 3A÷3＝9÷3 A＝3 所以：3❈1 21．如果，，，……那么，， 【答案】4936；183654 【分析】根据题目中所给的式子可知，……，直到b个a为止，据此解答。 【详解】 ＝4＋44＋444＋4444 ＝48＋444＋4444 ＝492＋4444 ＝4936 ＝18＋1818＋181818 ＝1836＋181818 ＝183654 【点睛】这是一道定义新运算的题目，根据给出的式子，找出运算规律是解答此题的关键。 22．规定，，，，……如果，那么是几？ 【答案】 【分析】将化为：再根据等式的性质进行解答即可。 【详解】由，可得： 进而得出 根据等式的性质2得：A＋1＝÷，将＝5×6×7，＝6×7×8代入可得： A＋1＝÷ 所以A＝－1＝ 答：是。 【点睛】本题是一道稍复杂的等量代换，合理运用等式的性质是解题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 定义新运算 知识点梳理 一、基本概念 定义新运算是指用一个特定的符号（如△、*、□、⊕等）来表示一种人为规定的运算规则，而非常规的加、减、乘、除运算。 关键要素： 1.运算符号：题目自定义的符号（如“△”“*”），需明确其含义。 2.运算规则：规定符号两边的数（或字母）如何进行运算（如“a△b = 2a + b”），规则可能涉及加减乘除、括号优先级等。 3.运算优先级：若新运算中包含常规运算（如+、-、×、÷），需遵循“先括号内后括号外，先乘除后加减”的优先级。 二、核心解题方法 1.按规则代入法（基础方法） 方法要点：严格按照题目给出的运算规则，将已知数（或字母）代入规则中的对应位置，逐步计算。 示例：若定义ab = 3a - 2b，计算45时，直接代入得3×4 - 2×5 = 12 - 10 = 2。 2.规律探究法（进阶方法） 方法要点：当题目未直接给出规则，而是通过多组算式示例隐含规则时，需观察算式中数字的变化规律，推导出运算规则。 示例：已知1△2=3，2△3=5，3△4=7，可发现规律为“a△b = a + b + (b - a)”，即结果为两数之和加差，简化后为“a△b = 2b - 1”。 3.逆向推理法（综合方法） 方法要点：已知新运算的结果，反推参与运算的未知数。需将规则转化为方程，通过解方程求解。 示例：定义a□b = (a + b)÷(a - b)（a ≠ b），若x□3 = 2，求x。代入规则得(x + 3)÷(x - 3) = 2，解方程得x + 3 = 2(x - 3)，即x = 9。 三、常见题型 1.直接计算型：给定运算规则，直接代入数值计算结果。 2.规律探究型：通过多组算式示例，推导运算规则并应用。 3.逆向求解型：已知运算结果，反求参与运算的未知数（如字母参数）。 例题讲解 一、基础题（直接代入法） 例1：定义新运算“△”为：a△b = (a + b)×(a - b)，计算3△2的值。 解题步骤： 1.明确规则：a△b = (a + b)×(a - b)，即“两数和乘两数差”。 2.代入数值：a=3，b=2，得(3 + 2)×(3 - 2) = 5×1 = 5。 验证：3△2 = (3+2)(3-2)=5，正确。 跟踪练习1：定义ab = a² + b³，计算23的值。 答案：2² + 3³ = 4 + 27 = 31。 解析：直接代入规则，a=2时a²=4，b=3时b³=27，相加得31。 例2：定义“⊕”运算：m⊕n = m×n - m÷n（n≠0），计算6⊕3的值。 解题步骤： 1.规则拆解：m⊕n = （m乘n）减去（m除以n）。 2.代入计算：6×3 - 6÷3 = 18 - 2 = 16。 易错点：注意运算顺序，先算乘除再算加减，避免混淆“减”的顺序。 跟踪练习2：定义x○y = (x + y)÷2 + x×y，计算4○2的值。 答案：(4+2)÷2 + 4×2 = 3 + 8 = 11。 解析：先算括号内加法（4+2=6），再算除法（6÷2=3）和乘法（4×2=8），最后相加得11。 二、进阶题（规律探究型） 例3：观察下列新运算“”的算式，推导规则并计算57。 12=3，23=5，34=7，45=9，… 解题步骤： 1.观察算式规律： 12=3=1+2+0，23=5=2+3+0，3*4=7=3+4+0，结果均为“两数之和”加0？ 验证：1+2=3，2+3=5，3+4=7，4+5=9，规律成立！即a*b = a + b。 2.应用规则：5*7 = 5 + 7 = 12。 跟踪练习3：观察新运算“□”：2□3=8，3□4=13，4□5=18，5□6=23，推导规则并计算7□8。 答案：33。 解析：观察结果：8=2×3 + 2，13=3×4 + 1，18=4×5 - 2？不对。换思路：8=2+3×2，13=3+4×2.5？规律不明显。再看差：13-8=5，18-13=5，23-18=5，结果依次加5，首项2□3=8，第n组（a□b，a从2开始，b=a+1）结果=8 + 5×(n-1)。7□8是第6组（2□3为第1组），8 + 5×5=33。或直接观察a□b=5a - 2（2×5-2=8，3×5-2=13，4×5-2=18，成立），7×5-2=33。 三、挑战题（逆向求解型） 例4：定义新运算“☆”：a☆b = 3a + kb（k为常数），已知2☆3=12，求5☆4的值。 解题步骤： 1.先求常数k：将a=2，b=3，结果=12代入规则，得3×2 + k×3 = 12 → 6 + 3k = 12 → 3k=6 → k=2。 2.确定完整规则：a☆b = 3a + 2b。 3.计算5☆4：3×5 + 2×4 = 15 + 8 = 23。 易错点：需先通过已知算式求出规则中的未知参数（如k），再代入计算，避免直接猜测k的值。 跟踪练习4：定义x△y=ax + by，1△2=a+2b=5，2△1=2a+b=7，求3△4的值。 答案：3×1 + 2×4²=3 + 32=35。 解析：列方程组： 1△2 = a×1 + b×2² = a + 4b = 5 2△1 = a×2 + b×1² = 2a + b = 7 解得解得a=3，b=1，3△4=3×3 +1×4=13。 提升练习 1．定义：a*b＝a×b－a－b，如2*3＝2×3－2－3＝1，那么当（x*3）*18＝33时，x的值为（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．如果规定：2※4＝2＋3＋4，5※4＝5＋6＋7＋8，那么（4※3）※3＝（    ）。 A．21 B．30 C．39 D．48 3．对于自然数a，b，规定a◎b＝ab－。那么5◎（2◎4）＝（    ）。 A． B． C． D．30 4．“※”表示一种新的运算符号，已知：2※；5※；4※，…按此规则，如果A※，那么A＝（    ）。 A．3 B．4 C．5 D．7 5．为了确保通信安全，信息需要加密后再传输。现规定加密的规则：明文加密变成密文后是。如明文，密文是。密文的明文是（    ）。 A． B． C． D． 6．如果a⊕b＝a×b＋a＋b，例如：3⊕4＝3×4＋3＋4＝19，那么当（a⊕1）⊕2＝2024时，a＝（    ）。 A．1 B．2 C．335 D．336 E．336.5 7．对于一种符号“※”，我们规定※，那么当、时，※( )。 8．定义新运算为，求( )。 9．规定：A〇B表示A，B中较大的数，A△B表示A，B中较小的数。则（100△25－7〇8）×（51〇53＋66△70）＝( )。 10．定义运算“”和“”：当时，，。若整数满足，则( )。 11．规定※＝4×＋7×，那么8※5＝________。 12．一个特殊的计算器上面有个“”键，当计算器上显示的数是时，按一下“㊣”键后，计算器上的立刻消失，并显示一个新数。现在这个计算器上显示5，按一下“㊣”键后，计算器上显示的数是_____。 13．如果4△3=4×（1+2+3），3△2=3×（1+2），那么5△4=( ) 14．对于正整数a与b，规定a☆b=a×（a＋1）×（a＋2）×……×（a＋b-1），如果（x☆3）☆2=3660，那么x=( )． 15．如果A※B=（A+B）÷2， 那么4※5=( ) （5※6）※8=( ) 16．已知：22=2+3=5,，33=3+4+5=12，44=4+5+6+7=22，则54=( )． 17．规定“”为一种新运算，对于任意两个数和都有，已知6x＋x4＝5，x的值为多少？ 18．对于整数，有如下规定：，计算： （1）； （2）。 19．定义两种运算“”和“⊙”，对于任意两个整数a，b，ab=a＋b－1，a⊙b=a×b－1．计算4⊙[（68）（35）]． 20．用❈表示一种运算符号，如果x❈y，且2❈1，求3❈1的值。 21．如果，，，……那么，， 22．规定，，，，……如果，那么是几？ 学科网（北京）股份有限公司 $