专题13：数学广角——鸡兔同笼 培优讲义【知识精讲+典型例题+高频真题】2025-2026学年人教版数学四年级下册

专题13：数学广角——鸡兔同笼 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、问题起源与历史背景 出处：最早记载于中国古代数学名著《孙子算经》（约公元4-5世纪），原文为："今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？" 文化价值：作为中国古代数学趣题，体现了中国传统数学文化的魅力，增强民族自豪感 教学意义：通过解决这一经典问题，培养学生的逻辑推理能力和数学建模思想 二、基本概念与问题特征 1. 核心要素 两类对象：鸡（2只脚）和兔（4只脚），或其他具有类似数量关系的事物 两个已知条件： 总头数：两类对象的数量之和（鸡数 + 兔数 = 总头数） 总脚数：两类对象与各自单位数量（每只脚数）乘积的和（2×鸡数 + 4×兔数 = 总脚数） 一个求解目标：分别求出两类对象的具体数量 2. 数学模型本质 属于二元一次方程组的算术解法启蒙问题，四年级阶段不涉及方程术语，重点培养假设与推理能力 结构特征：已知两个未知数的和，以及这两个未知数与各自系数乘积的和，求未知数的值 三、核心解题方法（按教材重要性排序） 1. 列表枚举法（基础方法） 操作步骤： 从鸡的数量为0（或兔的数量为0）开始，逐一列举所有可能的组合 计算每组对应的总脚数 找到与题目总脚数相符的那一组数据 分类： 逐一列表法：按顺序逐个尝试，适合数据较小的情况 跳跃列表法：根据脚数差异规律跳跃尝试，提高效率 折中列表法：从中间值开始尝试，快速缩小范围 特点：直观易懂，适合初学者理解基本数量关系，但数据较大时繁琐低效 2. 假设法（核心方法，重点掌握） （1）假设全是鸡的解题步骤 假设笼子里全是鸡，计算假设的总脚数：假设总脚数 = 总头数 × 2 计算实际脚数与假设脚数的差值：实际总脚数 - 假设总脚数 分析差值原因：每只兔比鸡多2只脚，所以差值 ÷ 2 = 兔的只数 计算鸡的只数：总头数 - 兔的只数 （2）假设全是兔的解题步骤 假设笼子里全是兔，计算假设的总脚数：假设总脚数 = 总头数 × 4 计算假设脚数与实际脚数的差值：假设总脚数 - 实际总脚数 分析差值原因：每只鸡比兔少2只脚，所以差值 ÷ 2 = 鸡的只数 计算兔的只数：总头数 - 鸡的只数 （3）核心公式 兔数 = (实际总脚数 - 2×总头数) ÷ (4-2) 鸡数 = (4×总头数 - 实际总脚数) ÷ (4-2) （4）关键思路 假设与调整：先做与结论相反的假设，再根据实际与假设的差异进行调整 算理理解：差值 ÷ 单只脚数差 = 被假设对象的数量 3. 抬腿法（趣味方法，辅助理解） （1）经典抬腿法（"半足法"） 让鸡和兔同时抬起一半的脚，总脚数变为原来的一半 此时每只鸡1只脚，每只兔2只脚 公式：兔数 = 总脚数 ÷ 2 - 总头数，鸡数 = 总头数 - 兔数 （2）砍足法（类似思路） 每只鸡砍1只脚，每只兔砍2只脚 剩余脚数 = 总脚数 - 总头数 剩余脚数即为兔的只数，鸡数 = 总头数 - 兔数 4. 方程法（拓展方法，适合高年级衔接） 步骤： 设鸡有x只，则兔有(总头数 - x)只 根据总脚数列方程：2x + 4×(总头数 - x) = 实际总脚数 解方程求出x（鸡的只数），再求兔的只数 特点：思路直接，适合复杂问题，但四年级下册教材中不作为重点要求 四、解题步骤与规范格式 以假设全是鸡为例，标准解题格式： 假设全是鸡，总脚数：35×2 = 70（只） 实际脚数与假设脚数的差：94-70 = 24（只） 每只兔比鸡多的脚数：4-2 = 2（只） 兔的只数：24÷2 = 12（只） 鸡的只数：35-12 = 23（只） 验证：23×2+12×4 = 46+48 = 94（只），与实际总脚数一致 答：鸡有23只，兔有12只 五、常见变式与实际应用 1. 基本变式（保持"头数"和"脚数"结构） 动物替换：如"龟鹤问题"（龟4足，鹤2足）、"鸭兔问题"等 物品替换：如"铅笔钢笔问题"（铅笔单价、钢笔单价、总钱数、总数量）、"大船小船问题"（大船载人数、小船载人数、总人数、总船数） 2. 拓展变式（结构相似，情境不同） 竞赛得分问题：答对一题得几分，答错一题扣几分，总题数和总得分，求答对答错数量 购物问题：两种商品的单价、数量和总价关系 运输问题：两种车辆的载重量、车辆数和总运量关系 3. 解题关键 识别问题的鸡兔同笼模型本质，找出对应的"头数"和"脚数"关系 将实际问题中的数量关系转化为鸡兔同笼的基本结构 六、易错点与注意事项 计算错误：总脚数计算、差值计算、除法运算时容易出错，需仔细核对 假设与结论混淆：假设全是鸡，先求出的是兔的只数；假设全是兔，先求出的是鸡的只数 数量关系颠倒：混淆"每只兔比鸡多2只脚"与"每只鸡比兔少2只脚"的关系 变式问题识别困难：无法将实际问题与鸡兔同笼模型建立联系，需加强模型训练 验证环节缺失：求出结果后未验证是否符合总头数和总脚数两个条件 第二部分 典型例题 【例题1】宣纸是中国独特的手工艺品，享有“千年寿纸”的美誉。书法小组共12名同学用宣纸练毛笔字，男生每人用4张，女生每人用5张，一共用了53张宣纸。男生有多少人？女生有多少人？ 【例题2】尊老、敬老、爱老、助老是中华民族传统美德。在2024年端午节期间，镇安县56名社会爱心志愿者到某敬老院开展爱心助老活动。将56名社会爱心志愿者分成10组，每5人一组打扫卫生，每7人一组表演节目。打扫卫生和表演节目各有多少组？ 【例题3】潮汕猪肉脯肉质紧实，入口焦香。厂家出品了一箱6包的礼品装，还有一箱10包的普通装。如果车间一天生产760包，按两种包装，共分装为100箱，那么礼品装和普通装各装了多少箱？ 【例题4】为庆祝新中国成立75周年，传承红色基因，体悟中华优秀文化内涵，激发文化自信自强，感受新中国成立和建设的光辉历程、辉煌成就，厚植爱党爱国爱社会主义情怀，洛南县某中学举办了“唱响红色新童谣，经典诵读润书香”的诵读比赛。本次比赛一共有35人参加，共有7组诵读节目，分别是3人一组的小朗诵和10人一组的集体朗诵。小朗诵和集体朗诵分别有多少组？ 【例题5】中国乒乓球队在世界乒乓球坛上长期居于领先地位，涌现出了许多世界冠军和奥运会金牌得主，从而激发了更多的人投入到这项运动中去。红星小学乒乓球俱乐部在进行单打（2人）和双打（4人）训练，10张乒乓球台共有26人在训练。正在进行单打和双打训练的乒乓球台各有几张？ 第三部分 高频真题 1．自行车和三轮车共9辆，车轮共25个，自行车和三轮车分别是（    ）。 A．2辆和7辆 B．5辆和3辆 C．3辆和6辆 2．某小学六（1）班26名师生一起乘车去参观鄂豫皖革命纪念馆，租用面包车和出租车共5辆，每辆车都坐满了。每辆面包车可坐6人，每辆出租车可坐4人。面包车租了（    ）辆。 A．2 B．3 C．4 3．丽丽面对题目“有鸡兔同笼共25个头，脚80只，则有鸡、兔各几只”时一筹莫展。聪明的你一定能帮助她解答，答案是（    ）。 A．13只兔，12只鸡 B．10只兔，15只鸡 C．15只兔，10只鸡 4．大船限乘6人，小船限乘4人，38人共租了8条船，且都坐满了，那么租的小船有（    ）条。 A．4 B．5 C．6 5．四（1）班举行安全知识竞赛，共15题，答对一题得10分，答错一题不但不得分，还倒扣5分，小军每个题都答了，得了90分，他答对了（    ）题。 A．9 B．11 C．13 6．在垃圾分类活动中，50位志愿者分成两队向路人发放宣传手册，一共发放了556份，其中第一小队平均每人发放10份，第二小队平均每人发放12份。第一小队有（    ）人。 A．22 B．26 C．28 7．本届校园科技活动实行班级积分制，积分标准：第一名积8分，第二名积6分。四（3）班一共获得10个奖项，最终以66分的总积分获得了本届校园科技活动的年级第一名。四（3）班有（    ）个奖项获得了第一名。 A．2 B．3 C．4 8．停车场上停放着三轮车和自行车共39辆，两种车的轮子总数是96个，三轮车有（    ）辆。（按三轮车三个轮、自行车两个轮计算） A．39 B．18 C．21 9．小华和小兵用74根小棒搭“△和”，共搭了18个，其中他们搭了( )个△，( )个。 10．篮球比赛中，3分线外投中一球记3分，3分线内投中一球记2分。在一场比赛中小阳投进了8个球，没有罚球，总共得了19分。小阳在这场比赛中投进了( )个2分球。 11．自行车和三轮车共12辆，有28个轮子，则自行车有( )辆，三轮车有( )辆。 12．笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有10个头，从下面数，有28只脚。鸡有( )只。 13．小强有50元和20元的人民币共5张，数了数刚好是160元，50元人民币有( )张，20元人民币有( )张。 14．为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念，环保小分队的9名队员参加了植树活动。男生每人栽了6棵树，女生每人栽了5棵树，一共栽了49棵树。参加植树活动的男生有( )人，女生有( )人。 15．在垃圾分类知识竞赛中，有10道判断题，评分规定：每答对一题得3分，答错一题倒扣1分。小明虽然回答了全部的题目，但最后只得了22分。他答错了( )道题。 16．全班一共有38人，共租了8条船，每条船都坐满了，大船能坐6人，小船能坐4人，大船有( )条，小船有( )条。 17．学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰巧可供80人同时进行下棋活动。象棋有( )副，跳棋有( )副。 18．盒子里有相同数量的黑白棋子。每次取出9颗黑子和6颗白子，取了几次后，黑子剩下6颗，白子剩下24颗。一共取了( )次，黑子原来有( )颗。（提示：可以借助表格来思考哦！） 19．鸡兔同笼，有20个头，58条腿，则鸡有10只，兔有10只。( ) 20．解决鸡兔同笼问题常用的方法有列表法和假设法。( ) 21．100个和尚吃100个馒头。大和尚一人吃3个，小和尚3人吃1个。那么大和尚有25人。( ) 22．今有鸡兔同笼，头有27个，脚有74只，则鸡有16只，兔有11只。( ) 23．数学竞赛试卷共12道题，做对一题得10分，做错一题扣5分，小军全部做完了，但最后只得了90分，则他做错了6道题。( ) 24．鸡兔同笼，从上面数，有25个头；从下面数有80只脚，笼中鸡和兔各有多少只？ 25．学校开展丰富多彩的社团活动，准备了象棋、跳棋共26副，正好可以满足120名学生同时开展活动。象棋社团每2人一组，跳棋社团每6人一组。学校准备的象棋和跳棋各有多少副？ 26．文体中心在举行青少年乒乓球比赛。一共有20张乒乓球桌，共64人正在打乒乓球，有两人单打也有四人双打。正在进行双打的有几张桌子？ 27．学校乒乓球室有20张乒乓球台，现在共有54人在打球，那么正在进行乒乓球单打比赛和双打比赛的乒乓球台各有多少张？ 28．6月5日是世界环境日。实验小学四（1）班和四（2）班共有35名志愿者参加环境保护宣传活动，一共发放950份宣传手册，四（1）班平均每人发放25份，四（2）班平均每人发放30份，四（1）班和四（2）班各有多少名志愿者参加本次活动？ 29．2名老师带领30个同学去公园坐游船。鸭子形状的船大一些可以坐3人，每条船租金60元；金鱼形状的船小一些，只能坐2人，每条船租金50元。他们一共租了12条船。 （1）两种船各租了几条？ （2）一共付了多少租金？ 30．四年级学生分组参加课外兴趣小组，每人只能参加一个小组。航模类每6人一组，阅读类每4人一组，共38人报名，正好分成8组。参加航模类的学生有多少人？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13：数学广角——鸡兔同笼 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、问题起源与历史背景 出处：最早记载于中国古代数学名著《孙子算经》（约公元4-5世纪），原文为："今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？" 文化价值：作为中国古代数学趣题，体现了中国传统数学文化的魅力，增强民族自豪感 教学意义：通过解决这一经典问题，培养学生的逻辑推理能力和数学建模思想 二、基本概念与问题特征 1. 核心要素 两类对象：鸡（2只脚）和兔（4只脚），或其他具有类似数量关系的事物 两个已知条件： 总头数：两类对象的数量之和（鸡数 + 兔数 = 总头数） 总脚数：两类对象与各自单位数量（每只脚数）乘积的和（2×鸡数 + 4×兔数 = 总脚数） 一个求解目标：分别求出两类对象的具体数量 2. 数学模型本质 属于二元一次方程组的算术解法启蒙问题，四年级阶段不涉及方程术语，重点培养假设与推理能力 结构特征：已知两个未知数的和，以及这两个未知数与各自系数乘积的和，求未知数的值 三、核心解题方法（按教材重要性排序） 1. 列表枚举法（基础方法） 操作步骤： 从鸡的数量为0（或兔的数量为0）开始，逐一列举所有可能的组合 计算每组对应的总脚数 找到与题目总脚数相符的那一组数据 分类： 逐一列表法：按顺序逐个尝试，适合数据较小的情况 跳跃列表法：根据脚数差异规律跳跃尝试，提高效率 折中列表法：从中间值开始尝试，快速缩小范围 特点：直观易懂，适合初学者理解基本数量关系，但数据较大时繁琐低效 2. 假设法（核心方法，重点掌握） （1）假设全是鸡的解题步骤 假设笼子里全是鸡，计算假设的总脚数：假设总脚数 = 总头数 × 2 计算实际脚数与假设脚数的差值：实际总脚数 - 假设总脚数 分析差值原因：每只兔比鸡多2只脚，所以差值 ÷ 2 = 兔的只数 计算鸡的只数：总头数 - 兔的只数 （2）假设全是兔的解题步骤 假设笼子里全是兔，计算假设的总脚数：假设总脚数 = 总头数 × 4 计算假设脚数与实际脚数的差值：假设总脚数 - 实际总脚数 分析差值原因：每只鸡比兔少2只脚，所以差值 ÷ 2 = 鸡的只数 计算兔的只数：总头数 - 鸡的只数 （3）核心公式 兔数 = (实际总脚数 - 2×总头数) ÷ (4-2) 鸡数 = (4×总头数 - 实际总脚数) ÷ (4-2) （4）关键思路 假设与调整：先做与结论相反的假设，再根据实际与假设的差异进行调整 算理理解：差值 ÷ 单只脚数差 = 被假设对象的数量 3. 抬腿法（趣味方法，辅助理解） （1）经典抬腿法（"半足法"） 让鸡和兔同时抬起一半的脚，总脚数变为原来的一半 此时每只鸡1只脚，每只兔2只脚 公式：兔数 = 总脚数 ÷ 2 - 总头数，鸡数 = 总头数 - 兔数 （2）砍足法（类似思路） 每只鸡砍1只脚，每只兔砍2只脚 剩余脚数 = 总脚数 - 总头数 剩余脚数即为兔的只数，鸡数 = 总头数 - 兔数 4. 方程法（拓展方法，适合高年级衔接） 步骤： 设鸡有x只，则兔有(总头数 - x)只 根据总脚数列方程：2x + 4×(总头数 - x) = 实际总脚数 解方程求出x（鸡的只数），再求兔的只数 特点：思路直接，适合复杂问题，但四年级下册教材中不作为重点要求 四、解题步骤与规范格式 以假设全是鸡为例，标准解题格式： 假设全是鸡，总脚数：35×2 = 70（只） 实际脚数与假设脚数的差：94-70 = 24（只） 每只兔比鸡多的脚数：4-2 = 2（只） 兔的只数：24÷2 = 12（只） 鸡的只数：35-12 = 23（只） 验证：23×2+12×4 = 46+48 = 94（只），与实际总脚数一致 答：鸡有23只，兔有12只 五、常见变式与实际应用 1. 基本变式（保持"头数"和"脚数"结构） 动物替换：如"龟鹤问题"（龟4足，鹤2足）、"鸭兔问题"等 物品替换：如"铅笔钢笔问题"（铅笔单价、钢笔单价、总钱数、总数量）、"大船小船问题"（大船载人数、小船载人数、总人数、总船数） 2. 拓展变式（结构相似，情境不同） 竞赛得分问题：答对一题得几分，答错一题扣几分，总题数和总得分，求答对答错数量 购物问题：两种商品的单价、数量和总价关系 运输问题：两种车辆的载重量、车辆数和总运量关系 3. 解题关键 识别问题的鸡兔同笼模型本质，找出对应的"头数"和"脚数"关系 将实际问题中的数量关系转化为鸡兔同笼的基本结构 六、易错点与注意事项 计算错误：总脚数计算、差值计算、除法运算时容易出错，需仔细核对 假设与结论混淆：假设全是鸡，先求出的是兔的只数；假设全是兔，先求出的是鸡的只数 数量关系颠倒：混淆"每只兔比鸡多2只脚"与"每只鸡比兔少2只脚"的关系 变式问题识别困难：无法将实际问题与鸡兔同笼模型建立联系，需加强模型训练 验证环节缺失：求出结果后未验证是否符合总头数和总脚数两个条件 第二部分 典型例题 【例题1】宣纸是中国独特的手工艺品，享有“千年寿纸”的美誉。书法小组共12名同学用宣纸练毛笔字，男生每人用4张，女生每人用5张，一共用了53张宣纸。男生有多少人？女生有多少人？ 【答案】男生有7人；女生有5人 【分析】首先假设12名同学都是男生，则一共用48张宣纸，假设比实际少5张，一名男生比一名女生少用1张纸，也就是每少1张纸就对应一名女生，所以女生有5人，用总人数减去女生的人数就是男生的人数，据此解答。 【详解】第一步：假设12名同学都是男生，计算用了宣纸的总数量； （张） 第二步：计算出用了宣纸的总数量比实际的少了多少； （张） 第三步：计算出女生的人数； （人） 第四步：计算出男生的人数； （人） 答：男生有7人，女生有5人。 【例题2】尊老、敬老、爱老、助老是中华民族传统美德。在2024年端午节期间，镇安县56名社会爱心志愿者到某敬老院开展爱心助老活动。将56名社会爱心志愿者分成10组，每5人一组打扫卫生，每7人一组表演节目。打扫卫生和表演节目各有多少组？ 【答案】7组；3组 【分析】假设10组全部是打扫卫生的人，需要10×5＝50（人），与原有实际人数比较56－50＝6（人）相差6人，是因为有几组表演节目的人看成了打扫卫生的人，每组相差7－5＝2（人），6÷2＝3（组）就是表演节目的组数，剩下10－3＝7（组）是打扫卫生的组数。 【详解】假设10组全部是打扫卫生的人。 10×5＝50（人） 56－50＝6（人） 7－5＝2（人） 6÷2＝3（组） 10－3＝7（组） 答：打扫卫生有7组，表演节目有3组。 【例题3】潮汕猪肉脯肉质紧实，入口焦香。厂家出品了一箱6包的礼品装，还有一箱10包的普通装。如果车间一天生产760包，按两种包装，共分装为100箱，那么礼品装和普通装各装了多少箱？ 【答案】60箱；40箱 【分析】假设全是普通装，那么100箱共100×10＝1000（包），与实际生产760包比较多了240包，是因为把一部分礼品装看成普通装每箱差了10－6＝4（包），则礼品装就有240÷4＝60（箱），再用100－60＝40（箱）算出普通装。 【详解】假设全是普通装。 100×10＝1000（包）    1000－760＝240（包）    10－6＝4（包） 240÷4＝60（箱）    100－60＝40（箱） 答：礼品装60箱，普通装40箱。 【例题4】为庆祝新中国成立75周年，传承红色基因，体悟中华优秀文化内涵，激发文化自信自强，感受新中国成立和建设的光辉历程、辉煌成就，厚植爱党爱国爱社会主义情怀，洛南县某中学举办了“唱响红色新童谣，经典诵读润书香”的诵读比赛。本次比赛一共有35人参加，共有7组诵读节目，分别是3人一组的小朗诵和10人一组的集体朗诵。小朗诵和集体朗诵分别有多少组？ 【答案】小朗诵5组，集体朗诵2组 【分析】假设7组都是小朗诵组，那么一共有7×3＝21（人），因为实际一共有35人，多了（35－21）人，就是因为把集体朗诵的人数全看作小朗诵的人数，集体朗诵的每组人数比小朗诵的每组人数多（10－3）人，所以用（35－21）除以（10－3）就是集体朗诵的组数，再用总共的组数减去集体朗诵的组数，即可求出小朗诵的组数。 【详解】（35－7×3）÷（10－3） ＝（35－21）÷（10－3） ＝14÷7 ＝2（组） 7－2＝5（组） 答：小朗诵有5组，集体朗诵有2组。 【例题5】中国乒乓球队在世界乒乓球坛上长期居于领先地位，涌现出了许多世界冠军和奥运会金牌得主，从而激发了更多的人投入到这项运动中去。红星小学乒乓球俱乐部在进行单打（2人）和双打（4人）训练，10张乒乓球台共有26人在训练。正在进行单打和双打训练的乒乓球台各有几张？ 【答案】正在进行单打训练的有7张乒乓球台，进行双打训练的有3张乒乓球台。 【分析】双打的乒乓球台上有4人，单打的乒乓球台上有2人；假设10张乒乓球台上全是双打，则用乘法求出总人数；利用（总人数－实际的人数）÷（每张乒乓球台上双打的人数－每张乒乓球台上单打的人数），即可求出进行单打比赛的球台数，进而求出双打的球台数。 【详解】假设10张乒乓球台上全是双打，则正在进行单打的乒乓球台有： ＝ ＝ ＝7（张） 正在进行双打的乒乓球台有：（张） 答：正在进行单打训练的有7张乒乓球台，进行双打训练的有3张乒乓球台。 第三部分 高频真题 1．自行车和三轮车共9辆，车轮共25个，自行车和三轮车分别是（    ）。 A．2辆和7辆 B．5辆和3辆 C．3辆和6辆 【答案】A 【分析】假设全是自行车，每辆自行车有2个车轮，9辆自行车共有车轮9×2＝18（个）。实际有25个车轮，比假设情况多25－18＝7（个）车轮，每辆三轮车比自行车多3－2＝1（个）车轮，多的7个车轮对应7辆三轮车，总车辆数9辆减去三轮车7辆，得到自行车9－7＝ 2（辆），据此解答即可。 【详解】假设全是自行车， 9×2＝18（个） 25－18＝7（个） 3－2＝1（个） 所以三轮车7辆。 9－7＝ 2（辆） 所以自行车2辆，三轮车7辆。 故答案为：A 2．某小学六（1）班26名师生一起乘车去参观鄂豫皖革命纪念馆，租用面包车和出租车共5辆，每辆车都坐满了。每辆面包车可坐6人，每辆出租车可坐4人。面包车租了（    ）辆。 A．2 B．3 C．4 【答案】B 【分析】已知车辆总数是5辆（面包车和出租车数量之和），总人数是26人，每辆面包车坐6人，每辆出租车坐4人。可以用假设法，假设全是某一种车，再根据人数差异调整。 【详解】假设全是出租车： 4×5＝20（人） 26－20＝6（人） 6－4＝2（人） 6÷2＝3（辆） 即面包车租了3辆。 故答案为：B 3．丽丽面对题目“有鸡兔同笼共25个头，脚80只，则有鸡、兔各几只”时一筹莫展。聪明的你一定能帮助她解答，答案是（    ）。 A．13只兔，12只鸡 B．10只兔，15只鸡 C．15只兔，10只鸡 【答案】C 【分析】本题是鸡兔同笼类问题，可以用假设法来解决。假设25只全是鸡，那么一共有脚：25×2＝50（只）。实际上有脚80只，两者相差：80－50＝30（只）。每把一只鸡换成一只兔，脚的数量就增加2只。直接用30除以2即可算出兔子的只数，最后用25减兔子的只数即可得到鸡的只数。 【详解】25×2＝50（只） 80－50＝30（只） 4－2＝2（只） 30÷2＝15（只） 25－15＝10（只），即兔子有15只，鸡有10只。 故答案为：C 4．大船限乘6人，小船限乘4人，38人共租了8条船，且都坐满了，那么租的小船有（    ）条。 A．4 B．5 C．6 【答案】B 【分析】假设全租小船，依此计算出全租小船时的总人数，全租小船时的总人数与实际可坐的总人数的差，1条小船和1条大船可坐的人数差，然后用全租小船时的总人数与实际可坐的总人数的差，除以1条小船和1条大船可坐的人数差，得到的数就是租大船的数量，然后用租大船和小船一共的数量减去租大船的数量就是租小船的数量，依此计算。 【详解】假设全租小船 4×8＝32（人） 38－32＝6（人） 6－4＝2（人） 6÷2＝3（条） 8－3＝5（条） 租的小船有5条。 故答案为：B 5．四（1）班举行安全知识竞赛，共15题，答对一题得10分，答错一题不但不得分，还倒扣5分，小军每个题都答了，得了90分，他答对了（    ）题。 A．9 B．11 C．13 【答案】B 【分析】假设全做对，那么可得（10×15＝150）分，这样就比实际多出（150－90＝60）分；因为做对一题比做错一题多得（10＋5＝15）分，也就是做错了（60÷15＝4）道题。 【详解】（10×15－90）÷（10＋5） ＝（150－90）÷15 ＝60÷15 ＝4（道） 15－4＝11（道） 所以，丽丽答对了11道题，答错了4道题。 故答案为：B 6．在垃圾分类活动中，50位志愿者分成两队向路人发放宣传手册，一共发放了556份，其中第一小队平均每人发放10份，第二小队平均每人发放12份。第一小队有（    ）人。 A．22 B．26 C．28 【答案】A 【分析】假设50个志愿者全部平均每人发放10份，依此计算出50人平均每人发放10份时发出的总份数，50人平均每人发放10份时发出的总份数与556份的差，第一小队平均每人发放的数量与第二小队平均每人发放的数量差，然后用50人平均每人发放10份时发出的总份数与556份的差除以第一小队平均每人发放的数量与第二小队平均每人发放的数量差就得到第二小队的人数，最后用50人减去第二小队的人数就得到第一小队的人数，依此计算。 【详解】50×10＝500（份） 556－500＝56（份） 12－10＝2（份） 第二小队：56÷2＝28（人） 第一小队：50－28＝22（人） 故答案为：A 7．本届校园科技活动实行班级积分制，积分标准：第一名积8分，第二名积6分。四（3）班一共获得10个奖项，最终以66分的总积分获得了本届校园科技活动的年级第一名。四（3）班有（    ）个奖项获得了第一名。 A．2 B．3 C．4 【答案】B 【分析】首先假设四（3）班获得的奖项都是第一名，然后通过比较第一名积分和第二名积分的积分差，求出第二名的奖项数，最后用总奖项数减去第二名的奖项数，得到第一名的奖项数。 【详解】第一步：假设四（3）班获得的10个奖项都是第一名，计算出总积分； （分） 第二步：计算出总积分比实际的多了多少； （分） 第三步：计算出第二名的奖项数；      （个） 第四步：计算出第一名的奖项数； （个） 所以四（3）班有3个奖项获得了第一名。 故答案为：B 8．停车场上停放着三轮车和自行车共39辆，两种车的轮子总数是96个，三轮车有（    ）辆。（按三轮车三个轮、自行车两个轮计算） A．39 B．18 C．21 【答案】B 【分析】假设全是自行车，则有轮子39×2＝78个，假设就比实际少了96－78＝18个轮子，这是因为一辆自行车比一辆三轮车少3－2＝1个轮子。据此可求出三轮车的辆数。 【详解】假设都是自行车，则三轮车： （96－39×2）÷（3－2） ＝（96－78）÷1 ＝18÷1 ＝18（辆） 故答案为：B 【点睛】本题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答。 9．小华和小兵用74根小棒搭“△和”，共搭了18个，其中他们搭了( )个△，( )个。 【答案】 8 10 【分析】每个三角形用3根小棒，每个五边形用5根小棒，假设都搭三角形，共搭了18个需要3×18＝54（根），实际用了74根，总数相差了74－54＝20（根），是因为五边形都看作三角形搭，每个图形少了5－3＝2（根），所以五边形有20÷2＝10（个），则三角形的个数＝搭的总数－五边形的个数。 【详解】假设都搭三角形，则五边形有： （74－3×18）÷（5－3） ＝（74－54）÷2 ＝20÷2 ＝10（个） 18－10＝8（个） 所以他们搭了8个△，10个。 10．篮球比赛中，3分线外投中一球记3分，3分线内投中一球记2分。在一场比赛中小阳投进了8个球，没有罚球，总共得了19分。小阳在这场比赛中投进了( )个2分球。 【答案】5 【分析】假设小阳投进的8个球全是3分球，总得分为24分，与实际得分相差5分。每将一个2分球当作3分球计算会多出1分，因此2分球的数量为5个。 【详解】假设全部投进的是3分球： 3×8＝24（分） 实际得分与假设得分相差： 24－19＝5（分） 每个2分球与3分球的分数差： 3－2＝1（分） 2分球的数量为： 5÷1＝5（个） 所以小阳在这场比赛中投进了5个2分球。 11．自行车和三轮车共12辆，有28个轮子，则自行车有( )辆，三轮车有( )辆。 【答案】 8 4 【分析】此题考查鸡兔同笼相关知识，根据题意，假设全部是自行车，计算出轮子总数与实际轮子数的差值，通过差值求出三轮车的数量，再求出自行车的数量。列式计算即可。 【详解】根据分析可知： 假设全部是自行车，则轮子总数为： 2×12＝24（个） 实际轮子数比假设多： 28－24＝4（个） 每辆三轮车比自行车多1个轮子，因此三轮车数量为： 4÷1＝4（辆） 自行车数量为： 12－4＝8（辆） 综上可知，自行车和三轮车共12辆，有28个轮子，则自行车有8辆，三轮车有4辆。 12．笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有10个头，从下面数，有28只脚。鸡有( )只。 【答案】6 【分析】假设全是鸡，有10个头，假设就有10只鸡，算出脚是10×2＝20（只），实际有28只，相差了28－20＝8（只）脚，是因为兔子看成鸡，每只减少了2只脚，看8只脚里面有几个2只就有几只兔，再用10减去兔的只数即为鸡的只数。 【详解】假设全是鸡 10×2＝20（只） 28－20＝8（只） 4－2＝2（只） 8÷2＝4（只） 10－4＝6（只） 所以鸡有6只。 13．小强有50元和20元的人民币共5张，数了数刚好是160元，50元人民币有( )张，20元人民币有( )张。 【答案】 2 3 【分析】假设5张人民币全是20元的，那么总金额为20×5＝100（元）；但实际总金额是160元，比假设的情况多了160－100＝60（元）；每把一张50 元当成20元来算，就会少算50－20＝30（元）；总共少算的60元里有几个30元，就有几张50元人民币，所以50元人民币的张数为60÷30＝2（张）；因为两种人民币一共有5张，所以20元人民币的张数是5－2＝3（张）。 【详解】假设全是20元的总金额：20×5＝100（元）； 与实际总金额的差值：160－100＝60（元）； 每把一张50 元当成20元来算，少算的金额：50－20＝30（元） 50元人民币的张数：60÷30＝2（张）； 20元人民币的张数：5－2＝3（张）。 小强有50元和20元的人民币共5张，数了数刚好是160元，50元人民币有2张，20元人民币有3张。 【点睛】解答本题需要准确分析题目中的数量关系，如总金额与不同面值人民币张数之间的关系。本题有利于培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力，让学生学会从不同角度思考问题。 14．为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念，环保小分队的9名队员参加了植树活动。男生每人栽了6棵树，女生每人栽了5棵树，一共栽了49棵树。参加植树活动的男生有( )人，女生有( )人。 【答案】 4 5 【分析】假设环保小分队的9人都是男生，则一共栽了9×6＝54（棵），比实际多栽了54－49＝5（棵），因为把女生看作男生，1名女生看作男生就要多6－5＝1（棵）树，用多栽的总棵数除以把女生看作男生多栽的棵数，即可求出女生的人数，最后总人数减去女生的人数，即可求出男生的人数；据此列式计算即可解答。 【详解】（6×9－49）÷（6－5） ＝（54－49）÷1 ＝5÷1 ＝5（人） 9－5＝4（人） 参加植树活动的男生有4人，女生有5人。 15．在垃圾分类知识竞赛中，有10道判断题，评分规定：每答对一题得3分，答错一题倒扣1分。小明虽然回答了全部的题目，但最后只得了22分。他答错了( )道题。 【答案】2 【分析】假设10道题全做对，则应得分（10×3）分，比实际多（10×3－22）分；答错一题比答对一题少得（3＋1）分，所以用实际多得的分数除以答错一题比答对一题少得的分数，就是答错的题数， 【详解】（10×3－22）÷（3＋1） ＝（30－22）÷（3＋1） ＝8÷（3＋1） ＝8÷4 ＝2（道） 所以在垃圾分类知识竞赛中，有10道判断题，评分规定：每答对一题得3分，答错一题倒扣1分。小明虽然回答了全部的题目，但最后只得了22分。他答错了2道题。 16．全班一共有38人，共租了8条船，每条船都坐满了，大船能坐6人，小船能坐4人，大船有( )条，小船有( )条。 【答案】 3 5 【分析】根据题意，假设租的8条船都是大船，那么一共可以坐：6×8＝48（人），与实际相差48－38＝10（人），再根据每把一条大船换成一条小船，总人数相差：6－4＝2（人），然后用与实际相差的人数除以2，即可求出小船的数量；最后用8减去计算出的小船的数量即可求出大船的数量。 【详解】假设8条船都是大船； 小船的条数：（6×8－38）÷（6－4） ＝（48－38）÷2 ＝10÷2 ＝5（条） 大船的条数：8－5＝3（条） 即全班一共有38人，共租了8条船，每条船都坐满了，大船能坐6人，小船能坐4人，大船有3条，小船有5条。 17．学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰巧可供80人同时进行下棋活动。象棋有( )副，跳棋有( )副。 【答案】 19 7 【分析】假设全是象棋，则有26×2＝52（人），这样就少了80－52＝28（人），因为一副跳棋比一副象棋多6－2＝4（人），即跳棋有28÷4＝7（副）；进而求出象棋的数量。 【详解】26×2＝52（人） 80－52＝28（人） 6－2＝4（人） 28÷4＝7（副） 26－7＝19（副） 所以象棋有19副，跳棋有7副。 18．盒子里有相同数量的黑白棋子。每次取出9颗黑子和6颗白子，取了几次后，黑子剩下6颗，白子剩下24颗。一共取了( )次，黑子原来有( )颗。（提示：可以借助表格来思考哦！） 【答案】 6 60 【分析】根据题意可知，原有的黑白棋子数量相等。取了几次后，黑子剩下的少，白子剩下的多，说明黑子一共比白子多取了（24－6）颗，所以用黑子一共比白子多取的颗数除以每次多取的颗数即可求出一共取的次数。用黑子剩下的颗数加上取出的颗数即可求出原来黑子的颗数。 【详解】（24－6）÷（9－6） ＝18÷3 ＝6（次） 6＋9×6 ＝6＋54 ＝60（颗） 所以一共取了6次，黑子原来有60颗。 19．鸡兔同笼，有20个头，58条腿，则鸡有10只，兔有10只。( ) 【答案】× 【分析】此类问题可以利用假设法，假设全是鸡，那么就有20×2＝40条腿，这比已知58条腿少了58－40＝18条腿，1只兔比1只鸡多4－2＝2条腿，由此即可得出兔有：18÷2＝9只，则鸡有：20－9＝11只，由此即可进行选择。 【详解】假设全是鸡，那么兔有： （58－20×2）÷（4－2） ＝18÷2 ＝9（只） 则鸡有：20－9＝11（只） 所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】解决本题也可以这样想：10只鸡有20条腿，10只兔子有40条腿，一共是20＋40＝60（条），60＞58，所以原题说法错误。 20．解决鸡兔同笼问题常用的方法有列表法和假设法。( ) 【答案】√ 【分析】根据实际可知：解决鸡兔同笼问题常见的方法有列表法、假设法和方程法。据此解答即可。 【详解】解决鸡兔同笼问题常用的方法有列表法和假设法，说法正确。 故答案为：√。 【点睛】此题主要考查解决鸡兔同笼问题常用的方法。 21．100个和尚吃100个馒头。大和尚一人吃3个，小和尚3人吃1个。那么大和尚有25人。( ) 【答案】√ 【分析】根据“鸡兔同笼”问题，九个小和尚吃的个数相当于一个大和尚吃的个数，假设每人都吃3个，100×3－100＝200个，还差200个．这200个就相当于（9﹣1）个大和尚吃的个数，由此可以求出大和尚是几人，问题就得到解决。 【详解】九个小和尚吃的个数相当于一个大和尚吃的个数， 100×3－100＝200（个）， 100个大和尚要吃300个面包，还差200个， 200÷（9－1）＝25（人） 故判断正确。 【点睛】此题根据“鸡兔同笼”问题，利用假设法来解决问题比较简便。 22．今有鸡兔同笼，头有27个，脚有74只，则鸡有16只，兔有11只。( ) 【答案】× 【分析】假设全都是鸡，则应用2×27＝54只脚，实际有74只，实际就比假设多了74﹣54＝20只脚，这是因为每只兔子比每只鸡多了4﹣2只脚。据此可求出兔子的只数，再用27减兔子的只数，就是鸡的只数。据此解答。 【详解】(74﹣2×27)÷(4﹣2) ＝20÷2 ＝10（只） 27﹣10＝17（只） 即有鸡17只，兔子10只，所以原题说法错误。 故答案为：×。 【点睛】此题属于典型的鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用假设设法进行分析比较，进而得出结论；也可以用方程，设其中的一个数为未知数，另一个数也用未知数表示，列出方程解答即可。 23．数学竞赛试卷共12道题，做对一题得10分，做错一题扣5分，小军全部做完了，但最后只得了90分，则他做错了6道题。( ) 【答案】× 【分析】假设12道题全做对，则得10×12＝120分，这样就少得120﹣90＝30分；最错一题比做对一题少10+5＝15分，也就是做错30÷15＝2道题。 【详解】(10×12﹣90)÷(10+5) ＝30÷15 ＝2（道）； 即，他做错了2道题；所以原题说法错误。 故答案为：×。 【点睛】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答。 24．鸡兔同笼，从上面数，有25个头；从下面数有80只脚，笼中鸡和兔各有多少只？ 【答案】鸡10只；兔15只 【分析】这是一道鸡兔同笼问题，我们可以先假设笼子里全部是鸡，求出脚的只数，再根据实际脚数和假设脚数的差值，用差的脚的数量除以每只兔子比鸡多的脚的只数，求出兔子的只数；最后求出鸡的只数。 【详解】80－25×2 ＝80－50 ＝30（只） 30÷（4－2） ＝30÷2 ＝15（只） 25－15＝10（只） 答：笼中鸡有10只，兔有15只。 25．学校开展丰富多彩的社团活动，准备了象棋、跳棋共26副，正好可以满足120名学生同时开展活动。象棋社团每2人一组，跳棋社团每6人一组。学校准备的象棋和跳棋各有多少副？ 【答案】 象棋9副；跳棋17副 【分析】根据题意，假设26副全都是象棋，则一共有26×2＝52（人），比实际120人少了120－52＝68（人）；由于把跳棋看作象棋时，每副跳棋少看了6－2＝4（人），则用一共少的人数68人除以每副跳棋少看的4人，得到跳棋的副数；再用26副减跳棋的副数，即得到象棋的副数。据此解答。 【详解】跳棋：26×2＝52（人） 120－52＝68（人） 68÷（6－2） ＝68÷4 ＝17（副） 象棋：26－17＝9（副） 答：学校准备的象棋有9副，跳棋有17副。 26．文体中心在举行青少年乒乓球比赛。一共有20张乒乓球桌，共64人正在打乒乓球，有两人单打也有四人双打。正在进行双打的有几张桌子？ 【答案】12张 【分析】假设全是单打桌，则有同学2×20＝40（人），而比实际少了64－40＝24（人），因为每张单打桌比每张双打桌少（4－2）人，用比实际少的人数除以每桌少的人数，即可求出正在进行双打的有几张桌子。据此解答即可。 【详解】假设所有球桌都在打单打，一共的人数： （人） 比实际少的人数： （人） 一桌双打比一桌单打多的人数： （人） 双打的桌子张数： （张） 答：正在进行双打的有12张桌子。 27．学校乒乓球室有20张乒乓球台，现在共有54人在打球，那么正在进行乒乓球单打比赛和双打比赛的乒乓球台各有多少张？ 【答案】单打13张；双打7张 【分析】根据题意，可以假设都是双打比赛，用乒乓球台的张数乘4就是双打的人数。这个人数减去实际的54人，就是多出的人数。因为将单打看成双打了，每一张单打看成双打都多（4－2）人。用多出的人数除以每张多的人数就是单打的张数。 也可以通过列表的方式，先从双打1张，单张19张开始，用张数乘每张的人数，分别算出单打和双打的人数，再相加，看看什么时候是54人即可。 【详解】20×4＝80（人） 80－54＝26（人） 4－2＝2（人） 单打：26÷2＝13（张） 双打：20－13＝7（张） 或 单打（张） 双打（张） 总人数 19 1 19×2＋1×4 ＝38＋4 ＝42（人） 18 2 18×2＋2×4 ＝36＋8 ＝44（人） 17 3 17×2＋3×4 ＝34＋12 ＝46（人） 16 4 16×2＋4×4 ＝32＋16 ＝48（人） 15 5 15×2＋5×4 ＝30＋20 ＝50（人） 14 6 14×2＋6×4 ＝28＋24 ＝52（人） 13 7 13×2＋7×4 ＝26＋28 ＝54（人） 答：乒乓球单打比赛有13张，双打比赛的乒乓球台有7张。 28．6月5日是世界环境日。实验小学四（1）班和四（2）班共有35名志愿者参加环境保护宣传活动，一共发放950份宣传手册，四（1）班平均每人发放25份，四（2）班平均每人发放30份，四（1）班和四（2）班各有多少名志愿者参加本次活动？ 【答案】四（1）班20名；四（2）班15名 【分析】假设35名志愿者全部都是四（1）班的学生，平均每人发放25份，计算出35人平均每人发放25份时发出的总份数，用乘法，即35×25＝875（份）；再计算出950份与875份的差，即950－875＝75（份）；计算出四（2）班志愿者平均每人发放的数量与四（1）班志愿者平均每人发放的数量差，即30－25＝5（份）；用75除以5就得到四（2）班志愿者的人数，35名志愿者减去四（2）班志愿者的人数，就是四（1）班志愿者的人数，据此即可解答。 【详解】35×25＝875（份） 950－875＝75（份） 30－25＝5（份） 75÷5＝15（名） 35－15＝20（名） 答：四（1）班有20名志愿者参加本次活动，四（2）班有15名志愿者参加本次活动。 29．2名老师带领30个同学去公园坐游船。鸭子形状的船大一些可以坐3人，每条船租金60元；金鱼形状的船小一些，只能坐2人，每条船租金50元。他们一共租了12条船。 （1）两种船各租了几条？ （2）一共付了多少租金？ 【答案】（1）鸭子形状的船租了8条，金鱼形状的船租了4条 （2）680元 【分析】（1）先用30加上2计算出总人数，假设全租鸭子形状的船，那么可以坐12×3＝36（人），再计算出多算的人数：36－32＝4（人）；因为把金鱼形状的船看作了鸭子形状的船，每条金鱼形状的船多算了：3－2＝1（人），然后用除法计算出金鱼形状的船条数为：4÷1＝4（条），最后用减法计算出鸭子形状的船的条数； （2）单价×数量＝总价，分别计算出两种船的总价，再相加计算出一共付了多少租金；据此解答。 【详解】（1）30＋2＝32（人） 假设全租鸭子形状的船，则金鱼形状的船条数为： （12×3－32）÷（3－2） ＝（36－32）÷1 ＝4÷1 ＝4（条） 鸭子形状的船条数为：12－4＝8（条） 答：鸭子形状的船租了8条，金鱼形状的船租了4条。 （2）60×8＋50×4 ＝480＋200 ＝680（元） 答：一共付了680元租金。 30．四年级学生分组参加课外兴趣小组，每人只能参加一个小组。航模类每6人一组，阅读类每4人一组，共38人报名，正好分成8组。参加航模类的学生有多少人？ 【答案】18人 【分析】根据鸡兔同笼问题，假设8组都是阅读类，则应该有（4×8）人，比实际的人数少，因为一组阅读类的人数比一组航模类的人数少（6－4）人，用实际的人数减去应有的人数，再除以（6－4）即可求出参加航模类的组数，最后乘6即可求出参加航模类的学生有多少人。 【详解】（38－4×8）÷（6－4） ＝（38－32）÷2 ＝6÷2 ＝3（组） 3×6＝18（人） 答：参加航模类的学生有18人。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $