专题08：三角形 培优讲义【知识精讲+典型例题+高频真题】2025-2026学年人教版数学四年级下册

专题08：三角形 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、三角形的认识及各部分名称 三角形的定义 由3条线段围成的封闭图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 关键词：3条线段、封闭、首尾相连 三角形的各部分名称 边：围成三角形的3条线段，三角形有3条边。 顶点：两条边的交点，三角形有3个顶点。 角：两条边组成的夹角，三角形有3个角。 三角形的表示方法 可以用字母表示三角形的三个顶点，如顶点为A、B、C的三角形，记作：△ABC。 二、三角形的高和底 高和底的定义 从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 高的数量 任意一个三角形都有3条高，对应3条底。 锐角三角形：3条高都在三角形内部。 直角三角形：两条直角边互为底和高，第三条高在三角形内部。 钝角三角形：钝角对应的高在三角形外部，另外两条高在内部。 画高要点 高必须是垂直线段，要用虚线画。 画完后要标上直角符号。 三、三角形的特性 稳定性 三角形具有稳定性，不易变形；四边形具有不稳定性，容易变形。 生活应用 自行车车架、篮球架、塔吊、屋顶钢架、电线杆支架等都利用了三角形的稳定性。 四、三角形三边的关系 三边关系定理 三角形任意两边的和大于第三边。 判断三条线段能否围成三角形 只需判断较短两条边的和是否大于最长边即可。 例：三条边3cm、4cm、5cm，3+4＞5，能围成三角形。 三边关系拓展 三角形任意两边的差小于第三边。 易错点 两边之和等于第三边时，不能围成三角形，只能重合在一条直线上。 五、三角形的分类 （一）按角分类 锐角三角形 三个角都是锐角（大于0°且小于90°）的三角形。 直角三角形 有一个角是直角（90°）的三角形，另外两个角一定是锐角。 钝角三角形 有一个角是钝角（大于90°且小于180°）的三角形，另外两个角一定是锐角。 总结：一个三角形中最多有1个直角或1个钝角，至少有2个锐角。 （二）按边分类 不等边三角形（普通三角形） 三条边的长度都不相等。 等腰三角形 有两条边相等的三角形。 相等的两条边叫做腰。 第三条边叫做底边。 两腰的夹角叫做顶角。 腰和底边的夹角叫做底角。 性质：等腰三角形的两个底角相等。 等边三角形（正三角形） 三条边都相等的三角形。 性质：三个角都相等，都是60°。 等边三角形是特殊的等腰三角形。 等边三角形一定是锐角三角形。 六、三角形的内角和 核心结论 三角形的内角和是180°。 验证方法 剪拼法：把三个角剪下来拼在一起，形成一个平角（180°）。 测量法：用量角器测量三个角的度数再相加。 折拼法：将三个角向内折叠，拼成平角。 应用计算 已知两个角的度数，求第三个角：∠3 = 180°−∠1−∠2 直角三角形中，两个锐角的和是90°。 等腰三角形中，已知顶角求底角：底角 = (180°−顶角)÷2 等腰三角形中，已知底角求顶角：顶角 = 180°−底角×2 七、四边形的内角和 任意四边形的内角和是360°。 推导：把四边形分成2个三角形，180°×2 = 360°。 拓展：多边形内角和 = 180°×(边数−2)（了解即可） 八、图形的拼组 用两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形。 用两个完全相同的直角三角形可以拼成长方形、平行四边形、大三角形。 用两个完全相同的等腰直角三角形可以拼成正方形。 用三个完全相同的等边三角形可以拼成等腰梯形。 密铺：三角形、四边形可以单独密铺平面。 九、易错点总结 有三条线段不一定能围成三角形，必须满足两边之和大于第三边。 钝角三角形和直角三角形都有高在图形外或边上，不是只有锐角三角形有高。 等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。 三角形内角和永远是180°，与三角形大小、形状无关。 等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，但底角只能是锐角。 第二部分 典型例题 【例题1】四（1）班的小婷和小芳用小棒（长度为整厘米数）围三角形，她们先用了一根10厘米和15厘米长的小棒。小婷说：“现在还需要一根5厘米长的小棒。”小芳说：“需要一根至少6厘米长的小棒。”你认为谁说的对？请说说你的理由？ 【例题2】我们利用“拼”和“分”的方法证明了所有三角形的内角和都是180°，所有四边形的内角和都是360°。你能用学过的方法求出下面这个图形的内角和是多少度吗？请把你的思考过程用画图方式或文字方式表示出来。 【例题3】小华家有一个三角形的小花园，其中一个角的度数为90°，而这个角的度数恰好是另一个角的度数的3倍。这个三角形花园的其他两个角的度数分别是多少？ 这个三角形的形状是什么样的？ 【例题4】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”在古代，风筝又称为“纸鸢”，放风筝是传统游戏之一，深受孩子们的喜爱。张华有一个等腰三角形的风筝，其中一个底角是55度，这个风筝的顶角是多少度？ 【例题5】学完《三角形》这个单元后，小明说：“一个三角形，如果两个内角之和等于第一个内角，那么这个三角形一定是直角三角形。”你认为小明的说法对吗？请说明理由。 【例题6】如图，将一张长方形纸片折起一个角，已知∠2＝70°，你能求出∠1和∠4的度数是多少吗？ 第三部分 高频真题 1．下面不可以围成一个三角形的三条线段是（    ）。 A．5cm、6cm、7cm B．5cm、5cm、10cm C．3cm、4cm、6cm D．5cm、10cm、10cm 2．下图中，编织的篱笆最牢固的是（    ）。 A． B． C． D．都一样 3．下面四种方法中，不能说明“三角形的内角和是180°”的是（    ）。 A．剪拼法： B．折一折： C．折一折： D．量一量： 4．在下图三角形中，底边AB边上的高是（    ）。 A．线段CD B．线段BF C．线段EF D．线段BE 5．天文爱好者小明将天文望远镜放在地面上准备观星，望远镜能够稳稳地放在地面，是根据（    ）。 A．三角形任意两边之和大于第三边 B．三角形的稳定性 C．三角形的内角和是180° D．三角形有三个顶点 6．如下图。展览区的展板支架损坏了，需要更换钢条。则更换的钢条的长度可能为（    ）。 A．0.5米 B．1米 C．0.4米 D．0.7米 7．如图，点C可以在虚线上左右移动，A、B、C三点所形成的三角形可能是（    ）。 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 8．把一个等边三角形沿一条边上的高剪成两个三角形（如图），每个直角三角形的内角和是（    ）。 A．180度 B．360度 C．90度 D．无法判定 9．一个等腰三角形的两条边分别是5厘米和10厘米，这个等腰三角形的第三边的长是( )厘米。 10．房屋的屋顶采用三角形设计，是利用了三角形的( )性。 11．一个等腰三角形的底角是45°，它的顶角是( )°；有两根木条，分别是5厘米、10厘米，再用一根长( )厘米的木条，就可以围成一个等腰三角形。 12．如图所示，∠1＝( )，∠2＝( )，这个三角形，按角分是( )三角形，按边分( )三角形。 13．小明做了一个等腰三角形的风筝，已知两条边长分别是55厘米、27厘米，那么这个等腰三角形风筝的周长是( )厘米。 14．小亮用一根48厘米长的铁丝围了一个等边三角形，等边三角形的每条边长是( )厘米，还可以用这根铁丝围成一个底边是18厘米，腰是( )厘米的等腰三角形。 15．明明用三根小棒围成了一个等腰三角形，第一根长5厘米，第二根长11厘米，这个三角形的周长是( )厘米；按角分，这是一个( )三角形。 16．一根铁丝恰好围成一个边长为12cm的等边三角形，如果把它改围成有一条边长为8cm的等腰三角形，那么另外两条边长是( )cm和( )cm。 17．一个等腰三角形两条边的长度分别为5厘米和11厘米，那么第三条边的长度是( )厘米，如果这个等腰三角形的一个底角是70°，它的顶角是( )°。 18．根据中国地震局及历史统计数据，中国大陆平均每年发生20余次5级以上地震。发生地震时，我们应尽量寻找“救命三角”——也就是选择室内结实、能掩护身体的物体旁，易于形成三角空间的地方，这主要是利用了三角形的( )。 19．一个三角形中的最小角是46°，这个三角形一定是锐角三角形。( ) 20．三角形有1条高，平行四边形有无数条高。( ) 21．三条线段分别长5cm、4cm、9cm，它们可以组成一个三角形。( ) 22．用一个10倍的放大镜看一个四边形，它的内角和为3600°。( ) 23．用木条钉成一个三角形框架，用力拉时容易变形。( ) 24．兴兴爷爷从点A出发，想去牵走拴在点B处的马，再到河边让马饮水，怎样走最近？画一画。 25．画出下面三角形指定底边上的高。 26．一个等腰三角形的周长是137厘米，已知一条边的长度为27厘米，另外两条边的长度是多少厘米？ 27．聪聪有一根16cm长的木条，要把木条截成三段并拼成一个等腰三角形，并且每段的长度都为整厘米数。请你帮他写出全部设计。 28．已知，，，求的度数。 29．一块等腰三角形菜地，周长是32米，底边长8米。它的腰长多少米？ 30．淘气是个爱动手、爱动脑的孩子。他把一根20厘米长的吸管剪成3段（每段长是整厘米数），再用这三段吸管围成一个等腰三角形，可以怎么剪？（写出三种不同的答案，可画图说明） 31．作为新时代的少年儿童，我们要正确佩戴红领巾，为中国少年先锋队队员的身份感到自豪，张腾身上佩戴着一条形状为等腰三角形的红领巾，顶角是一个底角度数的4倍，这条红领巾的顶角是多少度？按角分，这是一个什么三角形？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08：三角形 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、三角形的认识及各部分名称 三角形的定义 由3条线段围成的封闭图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 关键词：3条线段、封闭、首尾相连 三角形的各部分名称 边：围成三角形的3条线段，三角形有3条边。 顶点：两条边的交点，三角形有3个顶点。 角：两条边组成的夹角，三角形有3个角。 三角形的表示方法 可以用字母表示三角形的三个顶点，如顶点为A、B、C的三角形，记作：△ABC。 二、三角形的高和底 高和底的定义 从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 高的数量 任意一个三角形都有3条高，对应3条底。 锐角三角形：3条高都在三角形内部。 直角三角形：两条直角边互为底和高，第三条高在三角形内部。 钝角三角形：钝角对应的高在三角形外部，另外两条高在内部。 画高要点 高必须是垂直线段，要用虚线画。 画完后要标上直角符号。 三、三角形的特性 稳定性 三角形具有稳定性，不易变形；四边形具有不稳定性，容易变形。 生活应用 自行车车架、篮球架、塔吊、屋顶钢架、电线杆支架等都利用了三角形的稳定性。 四、三角形三边的关系 三边关系定理 三角形任意两边的和大于第三边。 判断三条线段能否围成三角形 只需判断较短两条边的和是否大于最长边即可。 例：三条边3cm、4cm、5cm，3+4＞5，能围成三角形。 三边关系拓展 三角形任意两边的差小于第三边。 易错点 两边之和等于第三边时，不能围成三角形，只能重合在一条直线上。 五、三角形的分类 （一）按角分类 锐角三角形 三个角都是锐角（大于0°且小于90°）的三角形。 直角三角形 有一个角是直角（90°）的三角形，另外两个角一定是锐角。 钝角三角形 有一个角是钝角（大于90°且小于180°）的三角形，另外两个角一定是锐角。 总结：一个三角形中最多有1个直角或1个钝角，至少有2个锐角。 （二）按边分类 不等边三角形（普通三角形） 三条边的长度都不相等。 等腰三角形 有两条边相等的三角形。 相等的两条边叫做腰。 第三条边叫做底边。 两腰的夹角叫做顶角。 腰和底边的夹角叫做底角。 性质：等腰三角形的两个底角相等。 等边三角形（正三角形） 三条边都相等的三角形。 性质：三个角都相等，都是60°。 等边三角形是特殊的等腰三角形。 等边三角形一定是锐角三角形。 六、三角形的内角和 核心结论 三角形的内角和是180°。 验证方法 剪拼法：把三个角剪下来拼在一起，形成一个平角（180°）。 测量法：用量角器测量三个角的度数再相加。 折拼法：将三个角向内折叠，拼成平角。 应用计算 已知两个角的度数，求第三个角：∠3 = 180°−∠1−∠2 直角三角形中，两个锐角的和是90°。 等腰三角形中，已知顶角求底角：底角 = (180°−顶角)÷2 等腰三角形中，已知底角求顶角：顶角 = 180°−底角×2 七、四边形的内角和 任意四边形的内角和是360°。 推导：把四边形分成2个三角形，180°×2 = 360°。 拓展：多边形内角和 = 180°×(边数−2)（了解即可） 八、图形的拼组 用两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形。 用两个完全相同的直角三角形可以拼成长方形、平行四边形、大三角形。 用两个完全相同的等腰直角三角形可以拼成正方形。 用三个完全相同的等边三角形可以拼成等腰梯形。 密铺：三角形、四边形可以单独密铺平面。 九、易错点总结 有三条线段不一定能围成三角形，必须满足两边之和大于第三边。 钝角三角形和直角三角形都有高在图形外或边上，不是只有锐角三角形有高。 等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。 三角形内角和永远是180°，与三角形大小、形状无关。 等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，但底角只能是锐角。 第二部分 典型例题 【例题1】四（1）班的小婷和小芳用小棒（长度为整厘米数）围三角形，她们先用了一根10厘米和15厘米长的小棒。小婷说：“现在还需要一根5厘米长的小棒。”小芳说：“需要一根至少6厘米长的小棒。”你认为谁说的对？请说说你的理由？ 【答案】小婷说的不对；小芳说的对；理由见详解 【分析】任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边。将较短的2根小棒长度相加，如果大于第三根小棒长度，就能围成三角形。第三根小棒的长度最长是（10＋15－1）厘米，第三根小棒的长度最短是（15－10＋1）厘米。 【详解】5＋10＝15，5厘米、10厘米、15厘米的小棒不能围成三角形。 15－10＋1 ＝5＋1 ＝6（厘米） 第三根小棒最少6厘米。 答：小婷说的不对，小芳说的对。 【例题2】我们利用“拼”和“分”的方法证明了所有三角形的内角和都是180°，所有四边形的内角和都是360°。你能用学过的方法求出下面这个图形的内角和是多少度吗？请把你的思考过程用画图方式或文字方式表示出来。 【答案】540°；思考过程见详解 【分析】三角形的内角和为180°，观察发现图中为一个五边形，连接五边形的任一个顶点和不相邻角的顶点，用一个三角形的内角和度数，乘三角形的个数，可以计算出多边形的内角和是多少度；据此解答。 【详解】如图： 180°×3＝540° 答：这个图形的内角和是540°；思考过程：四边形内角的和是360°，三角形的内角和是180°，四边形的内角和相当于两个三角形的内角和，因此，连结四边形的任一个角的顶点和不相邻角的顶点，即可把三角形分成两个三角形；同理，求一个五边形的内角和，连接五边形的任一个顶点和不相邻角的顶点，把五边形分成3个三角形，再求出五边形的内角和。 【例题3】小华家有一个三角形的小花园，其中一个角的度数为90°，而这个角的度数恰好是另一个角的度数的3倍。这个三角形花园的其他两个角的度数分别是多少？ 这个三角形的形状是什么样的？ 【答案】30°，60°；直角三角形 【分析】三角形的一个角的度数为90°，是另一个角的3倍，所以90°除以3等于另一个角的度数，三角形的内角和等于180°，180°减去90°，再减去另一个角的度数，即等于第三个角的度数；再根据三角形的分类知识判断这个三角形是什么三角形；据此即可解答。 【详解】90°÷3＝30° 180°－90°－30° ＝90°－30° ＝60° 三角形有一个角等于90°，是直角，所以这个三角形是直角三角形。 答：这个三角形花园的其他两个角的度数分别是30°、60°，这个三角形是直角三角形。 【例题4】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”在古代，风筝又称为“纸鸢”，放风筝是传统游戏之一，深受孩子们的喜爱。张华有一个等腰三角形的风筝，其中一个底角是55度，这个风筝的顶角是多少度？ 【答案】70度 【分析】根据对等腰三角形的认识，等腰三角形的两个底角相等，已知底角为55度，则两个底角的和为55度＋55度＝110度。三角形的三个内角和为180度，再用减法求出顶角的度数即可。 【详解】根据分析得： 55＋55＝110（度） 180－110＝70（度） 答：这个风筝的顶角是70度。 【例题5】学完《三角形》这个单元后，小明说：“一个三角形，如果两个内角之和等于第一个内角，那么这个三角形一定是直角三角形。”你认为小明的说法对吗？请说明理由。 【答案】小明的说法正确，理由见详解 【分析】三角形的内角和总是180度。如果两个内角的和等于第三个内角，那么第三个内角的度数是180度除以2，即90度。然后根据三角形的分类，可知这个三角形是直角三角形，因为直角三角形有一个角是90度，所以这个三角形一定是直角三角形，据此判断。 【详解】两个内角和是第一个内角，所以内角和180度是第一个内角度数的两倍。 所以180÷2＝90（度） 答：小明的说法正确，因为两个内角的和等于第三个内角，那么第三个内角的度数是180度除以2，即90度，所以一定是直角三角形。 【例题6】如图，将一张长方形纸片折起一个角，已知∠2＝70°，你能求出∠1和∠4的度数是多少吗？ 【答案】∠1是55°；∠4是20° 【分析】平角是180°，∠1＝（180°－∠2）÷2；∠3和∠1所在的三角形是直角三角形，直角90°，∠3＝90°－∠1，∠4＝90°－∠3－∠3。 【详解】（180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° 90°－55°＝35° 90°－35°－35°＝20° 答：∠1是55°，∠4是20°。 第三部分 高频真题 1．下面不可以围成一个三角形的三条线段是（    ）。 A．5cm、6cm、7cm B．5cm、5cm、10cm C．3cm、4cm、6cm D．5cm、10cm、10cm 【答案】B 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，较短的两条线段之和大于最长的线段，则三条线段能围成三角形，否则就不能围成三角形，据此解答。 【详解】A．5cm＋6cm＞7cm，则5cm、6cm、7cm可以围成一个三角形； B．5cm＋5cm＝10cm，则5cm、5cm、10cm不可以围成一个三角形； C．3cm＋4cm＞6cm，则3cm、4cm、6cm可以围成一个三角形； D．5cm＋10cm＞10cm，则5cm、10cm、10cm可以围成一个三角形。 故答案为：B 2．下图中，编织的篱笆最牢固的是（    ）。 A． B． C． D．都一样 【答案】A 【分析】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。而四边形具有不稳定性；据此进行解答。 【详解】A．篱笆形成三角形，三角形具有稳定性，符合； B．篱笆形成四边形，四边形具有不稳定性，不符合； C．篱笆形成四边形，四边形具有不稳定性，不符合； D．以上说法有一个正确，不符合； 故答案为：A 3．下面四种方法中，不能说明“三角形的内角和是180°”的是（    ）。 A．剪拼法： B．折一折： C．折一折： D．量一量： 【答案】B 【分析】将三角形三个角相加，即可求出三角形内角和的度数，据此分析每个选项选择即可。 【详解】A．将三个角都剪下来，拼在一起得到一个平角，平角等于180°，可以说明三角形内角和是180°； B．将三个角折在一起，组成一个周角，周角是360°，但是无法确定另外两个角的度数，所以无法说明三角形内角和是180°； C．将三个角折在一起，拼成一个平角，可以说明三角形内角和是180°； D．量出三个角的度数，60°＋75°＋45°＝135°＋45°＝180°，可以说明三角形内角和是180°； 不能说明的是折一折：。 故答案为：B 4．在下图三角形中，底边AB边上的高是（    ）。 A．线段CD B．线段BF C．线段EF D．线段BE 【答案】A 【分析】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，据此找出底边AB边上的高即可。 【详解】A．线段CD和底边AB垂直，是底边AB边上的高，符合题意； B．线段BF和和底边AB垂直，但是没有经过三角形的顶点，不符合题意； C．线段EF在边AC上，不是底边AB边上的高，不符合题意； D．线段BE是底边AC边上的高，不符合题意。 底边AB边上的高是线段CD。 故答案为：A 5．天文爱好者小明将天文望远镜放在地面上准备观星，望远镜能够稳稳地放在地面，是根据（    ）。 A．三角形任意两边之和大于第三边 B．三角形的稳定性 C．三角形的内角和是180° D．三角形有三个顶点 【答案】B 【分析】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，如埃及金字塔、钢轨、三角形框架、起重机、三角形吊臂、屋顶、三角形钢架、钢架桥和埃菲尔铁塔都以三角形形状建造。 【详解】天文爱好者小明将天文望远镜放在地面上准备观星，望远镜能够稳稳地放在地面，是根据三角形的稳定性。 A．三角形任意两边之和大于第三边，不符合题意； B．三角形的稳定性，符合题意； C．三角形的内角和是180°，不符合题意； D．三角形有三个顶点，不符合题意。 故答案为：B 6．如下图。展览区的展板支架损坏了，需要更换钢条。则更换的钢条的长度可能为（    ）。 A．0.5米 B．1米 C．0.4米 D．0.7米 【答案】B 【分析】三角形的两已知两条边分别为0.6米和0.8米。根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，所以第三边（即更换钢条的长度）一定小于0.6＋0.8＝1.4（米）；两边之差小于第三边，所以第三边（即更换钢条的长度）一定大于0.8－0.6＝0.2（米）。因为从直线外一点到这条直线的线段中，垂线段最短，即需要更换的钢条的长度大于直角边0.8米，所以更换钢条的取值范围是大于0.8米小于1.4米。 【详解】由分析可知，更换钢条的取值范围是大于0.8米小于1.4米。 A．0.5＜0.8，不在钢条的取值范围内， B．1＞0.8＜1.4，在钢条的取值范围内， C．0.4＜0.8，不在钢条的取值范围内， D．0.7＜0.8，不在钢条的取值范围内， 所以，更换的钢条的长度可能为1米。 故答案为：B 7．如图，点C可以在虚线上左右移动，A、B、C三点所形成的三角形可能是（    ）。 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据题意可知，点C在虚线上可以左右移动，点A和点B在直线上固定不动，当点C移动到使AC垂直于AB时，三角形ABC是直角三角形；当点C移动到使∠CAB和∠CBA都小于90°时，三角形ABC是锐角三角形；当点C移动到使∠CAB或∠CBA大于90°时，三角形ABC是钝角三角形。 【详解】根据分析可知，顺次连接A、B、C三点所形成的三角形ABC可能是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 故答案为：D 8．把一个等边三角形沿一条边上的高剪成两个三角形（如图），每个直角三角形的内角和是（    ）。 A．180度 B．360度 C．90度 D．无法判定 【答案】A 【分析】将其剪开得到的还是三角形，只要是三角形，不论形状、大小，内角和都是180°。 【详解】把一个等边三角形沿一条边上的高剪成两个三角形（如图），每个直角三角形的内角和是180度。 故答案为：A 9．一个等腰三角形的两条边分别是5厘米和10厘米，这个等腰三角形的第三边的长是( )厘米。 【答案】 10 【分析】在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底。三角形中两边之和大于第三边。 根据题意，分情况讨论。 第一种情况：把5厘米的边作为腰，5＋5＝10厘米，10＝10，两边之和等于第三边，不能组成三角形。 第二种情况：把10厘米的边作为腰，10＋5＝15厘米，15＞10，能组成三角形。 【详解】因为5厘米＋5厘米＝10厘米，不能组成三角形，所以这个等腰三角形的第三边的长是10厘米。 10．房屋的屋顶采用三角形设计，是利用了三角形的( )性。 【答案】稳定 【详解】三角形具有不易变形的特点，这种特性被称为稳定性，即三角形的三条边长度确定后，三角形的形状和大小就固定不变，不易变形，而平行四边形具有易变形性。房屋的屋顶需要稳定的结构，三角形的这种特性，能够满足屋顶结构稳定的需求。 所以房屋的屋顶采用三角形设计，是利用了三角形的稳定性。 11．一个等腰三角形的底角是45°，它的顶角是( )°；有两根木条，分别是5厘米、10厘米，再用一根长( )厘米的木条，就可以围成一个等腰三角形。 【答案】 90 10 【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，用三角形的内角和180°减去两个底角的度数即可求出三角形顶角的度数。 等腰三角形有两条边相等，任意三角形的两边之和必须大于第三边，求出两边之和与第三边比较，满足三边关系的即可。 【详解】180°－45°－45° ＝135°－45° ＝90° 当腰长是5厘米时，5＋5＝10（厘米），10＝10，所以5厘米、5厘米、10厘米不能组成等腰三角形。 当腰长是10厘米时，10＋5＝15（厘米），15＞10，所以5厘米、10厘米、10厘米能组成等腰三角形。 一个等腰三角形的底角是45°，它的顶角是90°；有两根木条，分别是5厘米、10厘米，再用一根长10厘米的木条，就可以围成一个等腰三角形。 12．如图所示，∠1＝( )，∠2＝( )，这个三角形，按角分是( )三角形，按边分( )三角形。 【答案】 30° 60° 钝角 等腰 【分析】（1）三角形的内角和是180°，用180°减去已知的两个角的度数，就是∠1的度数。 （2）∠2和120°的角构成了一个平角，用180°减去120°即可求出∠2的度数。 （3）三角形按角分，可分为三种：三个角都是锐角的三角形，叫锐角三角形；有一个角是直角的三角形，叫直角三角形；有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形。 （4）三角形按边分，有三条边相等的是等边三角形，有两条边相等的是等腰三角形。 【详解】（1）∠1＝180°－120°－30°＝30° （2）∠2＝180°－120°＝60° （3）在这个三角形中，最大的角是120°，是钝角，所以这是一个钝角三角形。 （4）在这个三角形中，有两个角都是30°，这两个角相等，也就是有两条边相等，所以这个三角形是等腰三角形。 13．小明做了一个等腰三角形的风筝，已知两条边长分别是55厘米、27厘米，那么这个等腰三角形风筝的周长是( )厘米。 【答案】137 【分析】先根据等腰三角形的特征确定第三条边长可能的情况，再根据“任意两边之和必须大于第三边，否则无法构成三角形”的三角形三边关系排除无效情况，确定最终的边长长度，最后再将三条边的边长相加计算出周长，据此解答。 【详解】等腰三角形有两条边长度相等，因此第三条边有两种可能： 第一种可能：与55厘米相等，此时三边长为55厘米、55厘米、27厘米 55厘米＋55厘米＝110厘米＞27厘米，55厘米＋27厘米＝82厘米＞55厘米，满足三边关系，有效； 第二种可能：与27厘米相等，此时三边长为55厘米、27厘米、27厘米 27厘米＋27厘米＝54厘米＜55厘米，不满足三边关系，无效。 因此等腰三角形三条边的边长分别是55厘米、55厘米、27厘米，其周长为： 55＋55＋27＝137（厘米） 小明做了一个等腰三角形的风筝，已知两条边长分别是55厘米、27厘米，那么这个等腰三角形风筝的周长是137厘米。 14．小亮用一根48厘米长的铁丝围了一个等边三角形，等边三角形的每条边长是( )厘米，还可以用这根铁丝围成一个底边是18厘米，腰是( )厘米的等腰三角形。 【答案】 16 15 【分析】三角形的三边之和是三角形的周长；等边三角形三条边长度相等，用48除以3，即可算出这个等边三角形的每条边长度是多少； 等腰三角形的两条腰长度相等；用这根铁丝的长度减去18，算出三角形另外两条边的长度之和，再除以2，即可算出这个等腰三角形的腰是多少。据此解答。 【详解】48÷3＝16（厘米） （48－18）÷2 ＝30÷2 ＝15（厘米） 小亮用一根48厘米长的铁丝围了一个等边三角形，等边三角形的每条边长是16厘米，还可以用这根铁丝围成一个底边是18厘米，腰是15厘米的等腰三角形。 15．明明用三根小棒围成了一个等腰三角形，第一根长5厘米，第二根长11厘米，这个三角形的周长是( )厘米；按角分，这是一个( )三角形。 【答案】 27 锐角 【分析】等腰三角形的两条腰长度相等。由题意得，等腰三角形的两条边分别是5厘米和11厘米，那么可以假设5厘米或11厘米长的边为腰，然后利用三角形三边的关系（任意两边之和大于第三边）来验证假设是否成立。最后用满足题意的三条边算出等腰三角形的周长即可；三角形按角来分，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。可以根据三角形三边的长度画出这个等腰三角形，然后看这个三角形属于哪类三角形即可。 【详解】假设5厘米长的边为腰，那么另一条腰的长度也是5厘米。 5＋5＝10（厘米），10厘米＜11厘米，即这三边无法围成三角形，该假设不成立。 假设11厘米长的边为腰，那么另一条腰的长度也是11厘米。 5＋11＝16（厘米），16厘米＞11厘米，即这三边可以围成三角形，该假设成立。 5＋11＋11 ＝16＋11 ＝27（厘米），即这个三角形的周长是27厘米。 根据三角形的三边作图如下： 由图可知，这个三角形的三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形。 明明用三根小棒围成了一个等腰三角形，第一根长5厘米，第二根长11厘米，这个三角形的周长是27厘米；按角分，这是一个锐角三角形。 16．一根铁丝恰好围成一个边长为12cm的等边三角形，如果把它改围成有一条边长为8cm的等腰三角形，那么另外两条边长是( )cm和( )cm。 【答案】 14 14 【分析】等边三角形的三条边都相等，依此计算出这根铁丝的长度，再根据这根铁丝的长度、8cm、以及三角形三边的关系确定出另外两条边的长度即可。 三角形任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此解答。 【详解】12×3＝36（cm） 假设8cm为腰长： 36－8－8＝20（cm） 8＋8＝16（cm），16cm＜20cm，因此8cm不能为腰长。 36－8＝28（cm） 28÷2＝14（cm） 该等腰三角形另两条边是14cm和14cm。 17．一个等腰三角形两条边的长度分别为5厘米和11厘米，那么第三条边的长度是( )厘米，如果这个等腰三角形的一个底角是70°，它的顶角是( )°。 【答案】 11 40 【分析】根据题意，等腰三角形的两腰相等，所以第三条边的长度是5厘米或11厘米。再根据三角形任意两边之和都大于第三条边。确定第三条边的最终长度。 三角形的内角和是180°，等腰三角形的两个底角相等。用180°减去两个70°，就是顶角的度数。 【详解】5＋5＜11，所以5厘米、5厘米、11厘米不能围成三角形。 5＋11＞11，11＋11＞5，所以5厘米、11厘米、11厘米能围成三角形。那么第三条边的长度是11厘米。 180°－70°－70° ＝110°－70° ＝40° 它的顶角是40°。 18．根据中国地震局及历史统计数据，中国大陆平均每年发生20余次5级以上地震。发生地震时，我们应尽量寻找“救命三角”——也就是选择室内结实、能掩护身体的物体旁，易于形成三角空间的地方，这主要是利用了三角形的( )。 【答案】稳定性 【分析】三角形具有稳定性，三角形稳定，因为它的三条边首尾相接，形成了稳定结构。三角形的三个角固定了三条边的位置，使得整个结构在受力时，力的分布更加均匀，不易发生变形。其次，三角形的三条边相互支撑，一旦其中一条边受到拉力或压力，其他两条边会产生反作用力，相互抵消，从而保持整个结构的稳定。 【详解】由分析知： 发生地震时，我们应尽量寻找“救命三角”——也就是选择室内结实、能掩护身体的物体旁，易于形成三角空间的地方，这主要是利用了三角形的稳定性。 19．一个三角形中的最小角是46°，这个三角形一定是锐角三角形。( ) 【答案】√ 【分析】根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°。一个三角形中至少有两个锐角。已知最小角为46°，则其余两个角均不小于46°。计算最大角的最小可能值：当其余两个角均为46°时，求出第三个角的度数，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，据此判断。 【详解】设三角形的最小角为46°。根据三角形内角和为180°，其余两个角的和为134°。由于最小角为46°，其余两个角均不小于46°。因此，最大角的最大可能值为当其中一个角取最小值46°时，另一个角为134°－46°＝88°。88°＜90°，所以最大角小于90°。最小角46°＞0°，且所有角均小于90°，因此这个三角形一定是锐角三角形。 原题说法正确。 故答案为：√ 20．三角形有1条高，平行四边形有无数条高。( ) 【答案】× 【分析】三角形的高是从一个顶点到对边的垂线段，三角形有三个顶点，因此有三条高；平行四边形的高是从一条边上的任意一点向对边引的垂线段，因此有无数条高，据此即可解答。 【详解】根据分析可知，三角形有3条高，平行四边形有无数条高，原说法错误。 故答案为：× 21．三条线段分别长5cm、4cm、9cm，它们可以组成一个三角形。( ) 【答案】× 【分析】判断三条线段能否组成三角形，需依据三角形三边关系定理：任意两边之和必须大于第三边。若存在任意两边之和不大于第三边（包括等于或小于），则不能组成三角形。本题中三边长度分别为5cm、4cm、9cm，需逐一检验三组组合是否满足条件。 【详解】根据三角形三边关系定理，检验三条线段： ，不大于9（等于9），不满足； 因存在两边之和不大于第三边的情况（），故这三条线段不能组成一个三角形。 故答案为：× 22．用一个10倍的放大镜看一个四边形，它的内角和为3600°。( ) 【答案】× 【分析】放大镜只改变物体的视觉大小，不改变其角度大小。四边形的内角和恒为360°，与是否放大无关。因此，即使用放大镜观察，内角和也不会变为3600°。 【详解】用一个10倍的放大镜看四边形，只是将图形放大到原来的10倍，但每个角的大小不变，因此四个内角的和仍然是360°，而不是3600°。 故答案为：× 23．用木条钉成一个三角形框架，用力拉时容易变形。( ) 【答案】× 【分析】三角形具有稳定性，三角形稳定，因为它三条边首尾相接，形成了稳定结构。三角形的三个角固定了三条边的位置，使得整个结构在受力时，力的分布更加均匀，不易发生形变。其次，三角形的三条边相互支撑，一旦其中一条边受到拉力或压力，其他两条边会产生反作用力，相互抵消，从而保持整个结构的稳定。这种力的平衡状态使得三角形结构在受力时能够均匀分散压力，提高了结构的抗压能力和稳定性。据此解答即可。 【详解】用木条钉成一个三角形框架，三角形具有稳定性，用力拉时不易变形。原题说法错误。 故答案为：× 24．兴兴爷爷从点A出发，想去牵走拴在点B处的马，再到河边让马饮水，怎样走最近？画一画。 【答案】见详解 【分析】根据两点之间，线段最短，所以连接A、B两点。根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂线段和斜线，垂线段最短。把河边看作一条直线，依据垂线段最短，作出B点到直线的垂线段即可。 【详解】如图： 25．画出下面三角形指定底边上的高。 【答案】图见详解 【分析】根据从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。把三角板的一条直角边与指定底边重合，然后沿着另一条直角边过相对的顶点作一条垂线，这条垂线就是该三角形指定底边上的高。 【详解】 26．一个等腰三角形的周长是137厘米，已知一条边的长度为27厘米，另外两条边的长度是多少厘米？ 【答案】 55厘米；55厘米 【分析】根据等腰三角形的性质，已知边可能是底边或腰。若27厘米为腰，则底边为137－27×2厘米；若27厘米为底边，则腰长为（137−27）÷2厘米，再根据三角形任意两边之和大于第三边，验证两种情况，是否符合条件。 【详解】当27厘米为腰长时，底边长度为： （厘米） 因为（厘米），54厘米＜83厘米 所以不满足三角形三边关系。 当27厘米为底边长时，腰长为： （厘米） （厘米），110厘米＞27厘米 （厘米），82厘米＞55厘米 答：另外两条边的长度都是55厘米。 27．聪聪有一根16cm长的木条，要把木条截成三段并拼成一个等腰三角形，并且每段的长度都为整厘米数。请你帮他写出全部设计。 【答案】三种设计：①5cm、5cm、6cm；②6cm、6cm、4cm；③7cm、7cm、2cm。 【分析】本题可根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系来确定三段木条的长度。等腰三角形两腰长度相等。三角形三边关系为：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。判断三条线段能否围成三角形，把较短的两条线段相加的和与最长的线段相比较，若大于最长的线段，则能围成三角形，反之则不能。据此解答。 【详解】假设两腰的长度都是1cm，此时三角形的三边为：1cm、1cm、14cm，因为1＋1＝2＜14，不能围成三角形； 假设两腰的长度都是2cm，此时三角形的三边为：2cm、2cm、12cm，因为2＋2＝4＜12，不能围成三角形； 假设两腰的长度都是3cm，此时三角形的三边为：3cm、3cm、10cm，因为3＋3＝6＜10，不能围成三角形； 假设两腰的长度都是4cm，此时三角形的三边为：4cm、4cm、8cm，因为4＋4＝8，不能围成三角形； 假设两腰的长度都是5cm，此时三角形的三边为：5cm、5cm、6cm，因为5＋5＝10＞6，能围成三角形； 假设两腰的长度都是6cm，此时三角形的三边为：6cm、6cm、4cm，因为6＋6＝12＞4，能围成三角形； 假设两腰的长度都是7cm，此时三角形的三边为：7cm、7cm、2cm，因为7＋7＝14＞2，能围成三角形； 所以，聪聪有一根16cm长的木条，要把木条截成三段并拼成一个等腰三角形，并且每段的长度都为整厘米数，有三种设计方案：①5cm、5cm、6cm；②6cm、6cm、4cm；③7cm、7cm、2cm。 28．已知，，，求的度数。 【答案】39° 【分析】根据图片可知，∠2、∠3和其中一个角组成三角形，三角形内角和是180°，已知∠2和∠3的度数，用180°减去∠2和∠3的度数即可求出这个角的度数，这个角和∠4组成平角，平角等于180°，用180°减去这个角的度数即可求出∠4的度数，∠4、∠1和∠5组成一个三角形，用180°减去∠4和∠1的度数，即可求出∠5的度数。 【详解】∠4＝180°－（180°－20°－46°）＝180°－114°＝66° ∠5＝180°－∠1－∠4＝180°－75°－66°＝105°－66°＝39° 答：∠5＝39°。 29．一块等腰三角形菜地，周长是32米，底边长8米。它的腰长多少米？ 【答案】12米 【分析】等腰三角形的两条腰长度相等，周长等于底边与两腰之和。用周长减去底边长度，再除以2即可求出腰长。 【详解】32－8＝24（米） 24÷2＝12（米） 答：它的腰长12米。 30．淘气是个爱动手、爱动脑的孩子。他把一根20厘米长的吸管剪成3段（每段长是整厘米数），再用这三段吸管围成一个等腰三角形，可以怎么剪？（写出三种不同的答案，可画图说明） 【答案】见详解 【分析】有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。由题意得，淘气要把一根20厘米长的吸管剪成3段（每段长是整厘米数），再用这三段吸管围成一个等腰三角形，那么这三段应该有两段的长度应该相等且满足构成三角形的条件。据此解答。 【详解】6＋6＋8＝12＋8＝20（厘米），6＝6，6＋6＝12＞8，即淘气可以将吸管剪成6厘米，6厘米，8厘米的小段。 7＋7＋6＝14＋6＝20（厘米），7＝7，6＋7＝13＞7，即淘气可以将吸管剪成7厘米，7厘米，6厘米的小段。 8＋8＋4＝16＋4＝20（厘米），8＝8，8＋4＝12＞8，即淘气可以将吸管剪成8厘米，8厘米，4厘米的小段。 答：淘气可以将吸管剪成6厘米，6厘米，8厘米的小段，也可以将吸管剪成7厘米，7厘米，6厘米的小段，还可以将吸管剪成8厘米，8厘米，4厘米的小段。（答案不唯一） 31．作为新时代的少年儿童，我们要正确佩戴红领巾，为中国少年先锋队队员的身份感到自豪，张腾身上佩戴着一条形状为等腰三角形的红领巾，顶角是一个底角度数的4倍，这条红领巾的顶角是多少度？按角分，这是一个什么三角形？ 【答案】120度；钝角三角形 【分析】因为等腰三角形两个底角相等，已知红领巾形状为等腰三角形，则红领巾的两个底角相等；它的顶角是一个底角度数的4倍，则把一个底角看作一份，则顶角是4份，则三角形的三个角的和就是1份＋1份＋4份＝6份；根据三角形的内角和是180°可知，6份是180°，则一份是：180°÷6＝30°，那么三角形顶角的度数是30°×4＝120°；锐角三角形：三个角都是锐角的三角形；直角三角形：有一个角是直角的三角形；钝角三角形：有一个角是钝角的三角形；据此解答。 【详解】180°÷（1＋1＋4） ＝180°÷（2＋4） ＝180°÷6 ＝30° 30°×4＝120° ，所以这是一个钝角三角形 答：这条红领巾的顶角是120度，按角分，这是一个钝角三角形。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $