第九章 图形的变换单元复习与题型总结 2025-2026学年苏科版七年级下学期数学

2025-2026学年七年级下学期数学单元复习与检测（2024苏科版） 第九章 图形的变换 题型速览 题型速览 1 模块1：思维导图 2 模块2：考点梳理 3 模块3：题型总结 4 【题型1】生活中平移现象的识别 4 【题型2】利用平移的性质求解 4 【题型3】平移的作图 6 【题型4】轴对称图形的识别 8 【题型5】利用成轴对称的性质求解 8 【题型6】折叠问题 10 【题型7】钟表镜面对称问题 12 【题型8】轴对称作图问题 12 【题型9】旋转现象的识别 14 【题型10】中心对称图形的识别 15 【题型11】利用旋转的性质求解 16 【题型12】找旋转中心问题 17 【题型13】求旋转角问题 17 【题型14】旋转作图问题 20 【题型15】旋转变换综合问题 20 模块1：思维导图 模块2：考点梳理 考点1：平移变换 1.平移概念： 在平面内,将一个图形沿直线的某个方向平行移动一定的距离后得到另一个图形的平面变换叫作平移。 2.平移的性质： （1）平移前后的两个图形可以重合,对应线段相等,对应角也相等； （2）平移前后的两个图形中,两组对应点的连线段平行(或在同一条直线上)且相等. 考点2：轴对称变换 1.轴对称概念： 将一个平面图形沿某条直线翻折后得到另一个图形的平面变换叫作轴对称,这条直线叫作对称轴。 2.轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形可以重合,对应线段相等,对应角也相等； （2）成轴对称的两个图形中,不在对称轴上的两个对应点的连线 段被对称轴垂直平分。 3.垂直平分线： 垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 4.轴对称图形： 如果一个图形关于某条直线成轴对称的图形是其本身,那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴. 考点3：旋转变换 1.旋转概念： 在平面内,把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度得到另一个图形的平面变换叫作旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角度称为旋转角。 2. 旋转性质： （1）旋转前后的两个图形可以重合,对应线段相等,对应角也相等。 （2）旋转前后的两个图形中,对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角。 3.中心对称概念： 在平面内,若一个图形是由另一个图形绕某个点旋转180°得到的,则称这两个图形成中心对称,这个点叫作对称中心,两个对称图形上的对应点叫作对称点 . 4.中心对称的性质： 成中心对称的两个图形中,对应点的连线段经过对称中心, 且被对称中心平分。 模块3：题型总结 【题型1】生活中平移现象的识别 例题1．下列生活现象中属于平移的是（    ）． A．坐在秋千上人的运动 B．升降式电梯的运动 C．时钟上的秒针在不停地转动 D．教室开门时门的运动 举一反三 1．下列图案中，不能用其中一部分经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2．下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于平移的是（   ） A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板 C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车 3．下列图形中，属于四方连续纹样的是（    ）． A．B． C． D． 4．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能看作由其中一部分平移得到的是（　　　） A． B． C． D． 【题型2】利用平移的性质求解 例题2．如图，将沿向左平移得到，，相交于点，如果的周长是，那么与周长之和为（   ） A． B． C． D． 举一反三 1．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，两个直角三角形重叠在一起，将沿方向平移得到，，，下列结论：①；②；③；④阴影部分的面积为．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②③④ D．①②④ 3．如图，中，，，将三角形沿向右平移至，点E在上，若，则四边形的周长为（　　） A．21 B．23 C．25 D．27 4．将直角梯形平移得梯形，若，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．32 B．36 C．20 D．40 【题型3】平移的作图 例题3．如图，在的方格中，请用无刻度的直尺按下列要求作格点三角形（三角形的顶点都在正方形网格线的交点上）． (1)在图1中，将三角形先向右平移3格，再向上平移1格，得到三角形，请画出三角形； (2)在图2中，线段与相交于点O，且，请作一个，使得． 举一反三 1．在边长为1的正方形网格中，三角形的三个顶点都在格点（网格线的交点）上．按下列要求画图． (1)点在格点上，将三角形平移，使点移动到点处，画出平移后的三角形； (2)在图中找一个格点，连接，使． 2．如图，所有小正方形的边长都为个单位，均在格点上． (1)过点画线段的垂线，垂足为； (2)点到线段的距离即线段 的长； (3)在直线上找一点，使得的值最小． 3．如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点A、B、C都在格点上． (1)将向右平移3个单位得到，请作出； (2)连接，，则线段和线段的关系为________； (3)在平移的过程中，求线段扫过的面积． 4．如图，在方格中平移三角形，使点移到点， (1)作出平移后的三角形． (2)三角形可以看作三角形向右平移____个单位长度，再向下平移____个单位长度得到的图形． 【题型4】轴对称图形的识别 例题4．下列交通标志图案是轴对称图形的是（　　） A．B． C． D． 举一反三 1．下列图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下面四种化学仪器的示意图不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．传统文化如下为篆书书写的“大美云南”，其中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（    ） A．B．C． D． 【题型5】利用成轴对称的性质求解 例题5．如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 举一反三 1．木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，与关于直线l对称，则（   ） A． B． C．BC D． 3．如图，直线m是多边形的对称轴，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【题型6】折叠问题 例题6．如图1是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为（   ） A． B． C． D． 举一反三 1．图，把长方形纸片沿折叠后，点C、D分别落在的位置，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．在综合实践课上，老师要求验证纸条两边与是否平行，甲、乙、丙三位同学按照如图所示的方式折叠，并测量出部分数据，关于三人的方案及数据，下列判断正确的是（    ） ， A．甲、乙、丙都可行 B．只有甲、乙可行 C．只有乙、丙可行 D．只有乙可行 3．如图，四边形为一张长方形纸片，点E，F分别为边上一点，将这张纸片沿折叠，使点A，B分别落在点M，N的位置，的对应边与交于点G，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型7】钟表镜面对称问题 例题7．小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 举一反三 1．平面镜中看到电子钟示数为“”，实际时间是（    ） A． B． C． D． 2．从镜子里看到位于镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是（   ） A． B． C． D． 3．如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字代码，则镜子中的数字代码对应的实际数字代码是____________． 4．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称如图1，若从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间为如图2所示，则电子钟的实际时间应该是______． 【题型8】轴对称作图问题 例题8．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、M、N均为格点．只用无刻度的直尺，按下列要求作图： (1)在图①中，画出图中向下平移3格后的； (2)在图②中，画出图中关于直线对称的． 举一反三 1．在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： (1)如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形； (2)画出三角形关于直线成轴对称的三角形； (3)线段扫过的面积为______． 2．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出将向下平移5个单位长度后的； (2)画出关于直线l成轴对称的； (3)在直线l上找一点P，使最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 3．在的正方形格点图中，有格点和，且和关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出符合条件的及对称轴．（每个正方形格点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种）． 4．如图，和的顶点都在由边长为1的小正方形组成的网格的格点（小正方形的顶点）上，且和关于直线成轴对称． (1)用直尺作出对称轴； (2)要在直线上找到一点，使的周长最小，淇淇的作法是直接连接，与直线的交点为点，淇淇的作法_____________；（填“正确”或“不正确”） (3)用尺规在直线上找一点，使．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【题型9】旋转现象的识别 例题9．以下生活现象中，属于旋转变换的是（   ） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．汽车沿笔直的公路行驶 D．地下水位线逐年下降 举一反三 1．下列选项中属于旋转运动的是（    ） A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千 2．数学来源于生活．下列生活中的现象属于旋转的是（   ） A．国旗上升的过程 B．球场上奔跑的运动员 C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带上运输的东西 3．数学来源生活，下列生活中的运动属于旋转的是（  ） A．钟表上的时针运动 B．火箭升空 C．月亮在水中的倒影 D．足球在草地上滚动 4．数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（    ） A．地下水位逐年下降 B．传送带的移动 C．升国旗的过程 D．工作中的风力发电机叶片 【题型10】中心对称图形的识别 例题10．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 举一反三 1．如图，在“百年华诞”四个字的音节首字母中，既是轴对称又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．下列四个图形中，是中心对称图形的是（    ） A．B．C．D． 【题型11】利用旋转的性质求解 例题11．如图，三角形绕点顺时针旋转得到三角形．，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 举一反三 1．如图，将绕点逆时针旋转得到．已知，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，将四边形绕点O顺时针旋转一定角度得到四边形，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，将矩形 绕其顶点逆时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（     ） A． B． C． D． 4．如图，将绕着点顺时针旋转后，得到，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型12】找旋转中心问题 例题12．如图，在的方格纸中，格点三角形①经过一次旋转后得到格点三角形②，则旋转中心是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 举一反三 1．如图，在正方形网格中，一个飞机图案绕某点旋转一定角度后能与另一个飞机图案重合，则旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．如图，在的正方形网格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 4．小明在如图所示的方格纸中，将三个顶点都在格点上的经过旋转后得到，则其旋转中心是（    ） A．格点M B．格点P C．格点Q D．格点N 【题型13】求旋转角问题 例题13．如图，是由绕点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 举一反三 1．如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转角得到的，点与A对应，则角的大小为（ ） A． B． C． D． 2．下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在正方形网格中，格点绕某点顺时针旋转角得到格点，点A与点，点B与点，点C与点是对应点，则（    ）度． A． B． C． D． 4．如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定角度后得到，旋转角是（    ） A． B． C． D． 【题型14】旋转作图问题 例题14．在网格中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为． (1)将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，请画出； (2)连接与，线段与之间的关系是 ，扫过的面积为 ； (3)画出绕点旋转之后得到的． 举一反三 1．如图，由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（格点是网格线的交点）． (1)画出关于所在直线对称的； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 2．如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图． (1)如图1，作出绕点O逆时针旋转得到的，则的面积为______； (2)如图2，旋转得到，标出旋转中心为点______． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，用无刻度直尺，在给定网格中作出一个符合要求的图形即可． (1)在图1中，画出经过平移后得到的，且的顶点都在格点上． (2)在图2中，画出经过轴对称后得到的，且的顶点都在格点上． (3)在图3中，画出经过旋转后得到的，且的顶点都在格点上． 4．如图，在中，，如果将绕点B顺时针旋转得到，将沿着射线方向平移得到． (1)画出． (2)若平移的距离为a．求四边形的面积．（用的代数式表示）． (3)若的面积和的面积相等，直接写出平移的距离．（用的代数式表示） 【题型15】旋转变换综合问题 例题15．取一副三角板按图①拼接，固定三角板，将三角板绕点依顺时针方向旋转一定的角度得到．请问： (1)如图②，当与垂直时，求的度数； (2)如图①，三角板绕点以顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转时间为，三角板旋转一周时停止运动，当三角板的一边与平行时，求出时间的值（直接回答，不用证明）． 举一反三 1．已知三角尺的直角顶点在直线上． (1)①如图，若，求的度数； ②如图，若射线平分，补全图形，并探究与的数量关系，请说明理由． (2)如图，若，．将绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转．当旋转一周后停止转动，三角尺也随之停止．设旋转时间为秒，当为何值时，？ 2．已知，射线平分，射线平分． (1)如图1，若，，则___________度：___________度． (2)与的位置关系如图2所示，用含与的式子表示． (3)如图3，若（其中），射线在直线的右侧按顺时针方向分布，从开始运动．将绕点以每秒的速度顺时针旋转，运动时间为，其中． （i）当与重合时，用与的代数式表示． （ii）猜想三个角之间的关系，并证明． 3．【问题情境】在综合与实践课上，老师想让同学们探究与角度有关的数学问题，进行了以下数学活动：已知，是一条射线，射线，分别是和的平分线． 【初步感知】（1）如图1，若射线在的内部，且，则__________． 【探究发现】（2）如图2，当射线在的内部绕点转动时，则的度数是否发生变化？请判断并说明理由． 【拓展延伸】（3）若射线从出发，绕着点按顺时针方向转动，转动的角度不超过，其余条件不变，设，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数．（不写探究过程） 4．数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)如图1，边，与直线重合，，，则的度数为___________； (2)如图2，在（1）的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点逆时针旋转一个角度． ①当为直角时，求的度数； ②在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由其中任意两边组成的角时，请求出旋转角的度数． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期数学单元复习与检测（2024苏科版） 第九章 图形的变换 题型速览 题型速览 1 模块1：思维导图 2 模块2：考点梳理 3 模块3：题型总结 4 【题型1】生活中平移现象的识别 4 【题型2】利用平移的性质求解 4 【题型3】平移的作图 10 【题型4】轴对称图形的识别 15 【题型5】利用成轴对称的性质求解 15 【题型6】折叠问题 17 【题型7】钟表镜面对称问题 23 【题型8】轴对称作图问题 23 【题型9】旋转现象的识别 26 【题型10】中心对称图形的识别 31 【题型11】利用旋转的性质求解 35 【题型12】找旋转中心问题 38 【题型13】求旋转角问题 38 【题型14】旋转作图问题 44 【题型15】旋转变换综合问题 46 模块1：思维导图 模块2：考点梳理 考点1：平移变换 1.平移概念： 在平面内,将一个图形沿直线的某个方向平行移动一定的距离后得到另一个图形的平面变换叫作平移。 2.平移的性质： （1）平移前后的两个图形可以重合,对应线段相等,对应角也相等； （2）平移前后的两个图形中,两组对应点的连线段平行(或在同一条直线上)且相等. 考点2：轴对称变换 1.轴对称概念： 将一个平面图形沿某条直线翻折后得到另一个图形的平面变换叫作轴对称,这条直线叫作对称轴。 2.轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形可以重合,对应线段相等,对应角也相等； （2）成轴对称的两个图形中,不在对称轴上的两个对应点的连线 段被对称轴垂直平分。 3.垂直平分线： 垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 4.轴对称图形： 如果一个图形关于某条直线成轴对称的图形是其本身,那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴. 考点3：旋转变换 1.旋转概念： 在平面内,把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度得到另一个图形的平面变换叫作旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角度称为旋转角。 2. 旋转性质： （1）旋转前后的两个图形可以重合,对应线段相等,对应角也相等。 （2）旋转前后的两个图形中,对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角。 3.中心对称概念： 在平面内,若一个图形是由另一个图形绕某个点旋转180°得到的,则称这两个图形成中心对称,这个点叫作对称中心,两个对称图形上的对应点叫作对称点 . 4.中心对称的性质： 成中心对称的两个图形中,对应点的连线段经过对称中心, 且被对称中心平分。 模块3：题型总结 【题型1】生活中平移现象的识别 例题1．下列生活现象中属于平移的是（    ）． A．坐在秋千上人的运动 B．升降式电梯的运动 C．时钟上的秒针在不停地转动 D．教室开门时门的运动 【答案】B 【分析】某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移，据此一一分析，即可选出正确答案． 【详解】解：A、C、D均不属于平移；只有B属于平移． 举一反三 1．下列图案中，不能用其中一部分经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的定义判断即可． 【详解】解：由平移的定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动．根据定义可知A、B、D选项均可以用其中一部分经过平移得到，不符合题意，C选项不能用其中一部分经过平移得到，符合题意，故选C． 2．下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于平移的是（   ） A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板 C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车 【答案】B 【分析】本题考查了平移的定义，在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：A、工作中的雨刮器不属于平移，故该选项不符合题意； B、移动中的黑板属于平移，故该选项符合题意； C、折叠中的纸片不属于平移，故该选项不符合题意； D、骑行中的自行车不属于平移，故该选项不符合题意； 故选：B 3．下列图形中，属于四方连续纹样的是（    ）． A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了四方连续纹样，熟练掌握四方连续纹样是指一个单位纹样向上下左右四个方向反复连续循环排列所产生的纹样，是解题的关键． 根据四方连续纹样图形的定义，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、属于四方连续纹样，符合题意； B、不属于四方连续纹样，不符合题意； C、不属于四方连续纹样，不符合题意； D、不属于四方连续纹样，不符合题意； 故选：A． 4．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能看作由其中一部分平移得到的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解题的关键．根据平移的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，上列甲骨文中，能看作由其中一部分平移得到的是： 故选：A． 【题型2】利用平移的性质求解 例题2．如图，将沿向左平移得到，，相交于点，如果的周长是，那么与周长之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质可得，，然后判断出与的周长之和等于的周长，即可求解． 【详解】解：将向左平移得到， ，，， 又∵的周长是， 与的周长之和 ． 举一反三 1．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质求解即可． 【详解】解：由平移可得，，， ∴， ，即， 又． 2．如图，两个直角三角形重叠在一起，将沿方向平移得到，，，下列结论：①；②；③；④阴影部分的面积为．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】根据平移的性质判断即可． 【详解】解：∵将沿方向平移得到，， ∴，，，，①②正确； ∵， ∴， 由平移性质可得：， ∴，③正确； ∵，， ∴， ∵阴影部分的面积的面积的面积 的面积的面积 四边形的面积 ，故④正确． 3．如图，中，，，将三角形沿向右平移至，点E在上，若，则四边形的周长为（　　） A．21 B．23 C．25 D．27 【答案】C 【分析】由平移性质可得、、，根据求出的长，进而求出的长，从而得到四边形的周长． 【详解】解：由平移性质可得，、、， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的周长为25． 4．将直角梯形平移得梯形，若，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．32 B．36 C．20 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质、平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得，，，，再根据平移的性质可得，从而可得四边形和四边形都是直角梯形，然后根据图中阴影部分的面积等于直角梯形的面积求解即可得． 【详解】解：由图可知，在直角梯形中，， 由平移的性质可知，，，，， ∴， ∴四边形和四边形都是直角梯形， ∵， ∴， ∵， ∴图中阴影部分的面积为 ． 【题型3】平移的作图 例题3．如图，在的方格中，请用无刻度的直尺按下列要求作格点三角形（三角形的顶点都在正方形网格线的交点上）． (1)在图1中，将三角形先向右平移3格，再向上平移1格，得到三角形，请画出三角形； (2)在图2中，线段与相交于点O，且，请作一个，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）把向右平移3格，再向上平移1格即可； （2）把向上平移1格，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． 根据平移可知：， ∴， 即． 举一反三 1．在边长为1的正方形网格中，三角形的三个顶点都在格点（网格线的交点）上．按下列要求画图． (1)点在格点上，将三角形平移，使点移动到点处，画出平移后的三角形； (2)在图中找一个格点，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意得到平移规则为向右平移2个单位，再向上平移1个单位，作图即可； （2）根据平移思想，将点向左平移2个单位得到点，连接，易得． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点即为所求； 2．如图，所有小正方形的边长都为个单位，均在格点上． (1)过点画线段的垂线，垂足为； (2)点到线段的距离即线段 的长； (3)在直线上找一点，使得的值最小． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)作图见解析 【分析】（1）如图所示，取格点，则，将沿着小正方形对角线平移，则，即可得到，延长交于点，则垂足为； （2）结合（1）中图形，由点到线段的距离定义即可找到； （3）由两点之间线段最短可得当三点共线使得的值最小，连接即可． 【详解】（1）解：如图所示： 是网格中的长方形的对角线，是网格中的长方形的对角线， 则， ， 将沿着小正方形对角线平移得到网格中的长方形的对角线， ， 则， 延长交于点，则点即为所求； （2）解：由（1）中作图知，可得点到线段的距离即线段的长； （3）解：如图所示： 点是直线上的一点， 由两点之间线段最短可得，当三点共线时，的值最小． 则与的交点即为所求． 3．如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点A、B、C都在格点上． (1)将向右平移3个单位得到，请作出； (2)连接，，则线段和线段的关系为________； (3)在平移的过程中，求线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3)6 【分析】（1）根据平移的性质得到点A，B，C的对应点，即可； （2）根据平移的性质解答即可； （3）根据平移的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：线段和线段的关系为平行且相等； （3）解：线段扫过的面积为． 4．如图，在方格中平移三角形，使点移到点， (1)作出平移后的三角形． (2)三角形可以看作三角形向右平移____个单位长度，再向下平移____个单位长度得到的图形． 【答案】(1)画图见解析 (2)， 【分析】（）根据平移的性质画图即可； （）根据平移的性质解答即可求解； 本题考查了平移作图，平移变换，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求； （2）解：三角形可以看作三角形向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的图形， 故答案为：，． 【题型4】轴对称图形的识别 例题4．下列交通标志图案是轴对称图形的是（　　） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、它不是轴对称图形； B、它是轴对称图形； C、它不是轴对称图形； D、它不是轴对称图形． 故，选择B。 举一反三 1．下列图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴对称图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、D都不是轴对称图形， 选项C，该图形沿着中间横直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形． 2．下面四种化学仪器的示意图不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；熟练掌握对称点与对称轴垂直等距是解题的关键． 【详解】解：A.原图是轴对称图形，不符合要求； B.原图不是轴对称图形，符合要求； C.原图是轴对称图形，不符合要求； D.原图是轴对称图形，不符合要求． 3．传统文化如下为篆书书写的“大美云南”，其中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故该选项不符合题意， B．是轴对称图形，故该选项不符合题意， C．不是轴对称图形，故该选项符合题意， D．是轴对称图形，故该选项不符合题意． 4．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】“轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（对称轴）折叠，使得直线两侧的图形能够完全重合”，据此判断即可． 【详解】解：A选项中的图形不是轴对称图形； B选项中的图形不是轴对称图形； C选项中的图形不是轴对称图形； D选项中的图形是轴对称图形． 【题型5】利用成轴对称的性质求解 例题5．如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】B 【分析】利用轴对称的性质得出五边形每条边的长度，再用周长公式计算即可． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，，， ∵，，， ∴，，， ∴五边形的周长为：． 举一反三 1．木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、角的和与差，根据轴对称可知，，因为，，，即可求出的度数． 【详解】解：由轴对称可知，， ，，， ， ． 故选：D． 2．如图，与关于直线l对称，则（   ） A． B． C．BC D． 【答案】D 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知关于轴对称的两个图形全等是解答此题的关键． 先根据和关于直线对称得出，故可得出． 【详解】解：∵和关于直线l对称， ∴， ∴． 故选：D． 3．如图，直线m是多边形的对称轴，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质， 掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称的性质，得到，即可解答． 【详解】解：∵直线m是多边形的对称轴，若， ∴． 故选C． 4．如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查轴对称，两点之间线段最短等知识点，作点关于的对称点，连接，与的交点即可所求． 【详解】解：点关于的对称点，连接，如图， 由图可知点应选在点； 故选：D． 【题型6】折叠问题 例题6．如图1是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据折叠的性质以及平角的定义列方程求解即可． 【详解】解：如图， 设， 由折叠的性质可知，，， ， ， ， ， ，即， 图2中的度数为． 举一反三 1．图，把长方形纸片沿折叠后，点C、D分别落在的位置，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质求出 的度数，再根据折叠的性质得出 ，最后利用平角的定义求出 的度数 【详解】解：四边形是长方形 由折叠的性质可知， 2．在综合实践课上，老师要求验证纸条两边与是否平行，甲、乙、丙三位同学按照如图所示的方式折叠，并测量出部分数据，关于三人的方案及数据，下列判断正确的是（    ） ， A．甲、乙、丙都可行 B．只有甲、乙可行 C．只有乙、丙可行 D．只有乙可行 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理分别对三位同学的方式折叠判断即可． 【详解】解：甲：∵， ∴， 同理可得，， ∴ ∴，故甲可行； 乙：如图， 由折叠得， ∵ ∴ ∴，故乙可行； 丙：由无法判断与是否平行，故丙不可行； 综上所述，只有甲、乙可行． 3．如图，四边形为一张长方形纸片，点E，F分别为边上一点，将这张纸片沿折叠，使点A，B分别落在点M，N的位置，的对应边与交于点G，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质得，进而得到，再由两直线平行，同旁内角互补进行求解． 【详解】解：由折叠可知， 又， ， 在长方形中，， （两直线平行，同旁内角互补）， ． 4．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，先根据平行线的性质可得，从而可得，，再根据折叠的性质可得，由此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， 解得， 即． 【题型7】钟表镜面对称问题 例题7．小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称． 【详解】解：实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点， 那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子， 所以应该是A或D答案之一，这两个答案中更接近八点的应该是第四个图形． 故选：D． 举一反三 1．平面镜中看到电子钟示数为“”，实际时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质．根据镜面对称的性质，像与物左右颠倒，将镜中示数“”整体左右翻转即可得到实际时间“”． 【详解】解：∵镜中示数为“”， ∴ 实际数字为每个数字的镜像： 第一个数字， 第二个数字， 第三个数字， 第四个数字， ∴ 实际时间为， 故选：D． 2．从镜子里看到位于镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5，5的对称数字是2． 关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字． 【详解】解：是从镜子中看， 对称轴为竖直方向的直线， 、0的对称数字为1、0，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， 这时的时刻应是． 故选：C． 3．如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字代码，则镜子中的数字代码对应的实际数字代码是____________． 【答案】630085 【分析】本题主要考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形；注意的关于竖直的一条直线的轴对称图形是． 所求的数字与看到的数字关于竖直的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】解：作轴对称图形得： 故答案为：． 4．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称如图1，若从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间为如图2所示，则电子钟的实际时间应该是______． 【答案】15∶01 【分析】本题镜面对称的知识；得到相应的对称轴是解决本题的关键；难点是作出相应的对称图形；注意2，5的关于竖直的一条直线的轴对称图形是5，2． 实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，画出相关图形可得实际时间． 【详解】解：实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称， 电子钟的实际时间应该是， 故答案为：． 【题型8】轴对称作图问题 例题8．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、M、N均为格点．只用无刻度的直尺，按下列要求作图： (1)在图①中，画出图中向下平移3格后的； (2)在图②中，画出图中关于直线对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图：即为所作， ； （2）解：如图，即为所作， ； 举一反三 1．在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： (1)如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形； (2)画出三角形关于直线成轴对称的三角形； (3)线段扫过的面积为______． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)10 【分析】（1）根据题意，点A平移到点D位置，平移规律是向右平移3个单位，向下平移1个单位，由此即可得到平移图形； （2）根据轴对称图形的性质作图即可； （3）根据线段平移，网格求图形面积的方法求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求图形， （2）解：如图所示，即为所求图形； （3）解：从到，线段扫过的面积为． 2．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出将向下平移5个单位长度后的； (2)画出关于直线l成轴对称的； (3)在直线l上找一点P，使最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平移方式确定点的位置，描出点，并顺次连接点即可； （2）根据轴对称的特点确定点的位置，描出点，并顺次连接点即可； （3）连接交直线l于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，点P即为所求． 3．在的正方形格点图中，有格点和，且和关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出符合条件的及对称轴．（每个正方形格点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种）． 【答案】见解析 【分析】根据轴对称的性质画出及对称轴，即可求解． 【详解】解：如图所示 4．如图，和的顶点都在由边长为1的小正方形组成的网格的格点（小正方形的顶点）上，且和关于直线成轴对称． (1)用直尺作出对称轴； (2)要在直线上找到一点，使的周长最小，淇淇的作法是直接连接，与直线的交点为点，淇淇的作法_____________；（填“正确”或“不正确”） (3)用尺规在直线上找一点，使．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】(1)见解析 (2)正确； (3)见解析 【分析】题目主要考查轴对称图形的性质，周长最短问题，线段垂直平分线的性质等，理解题意，熟练掌握是解题关键． （1）连接，利用网格即可确定m； （2）根据轴对称图形的性质及两点之间线段最短即可判断； （3）根据题意作线段AC的垂直平分线交m于点O，即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，直线m即为所求； （2）如图所示，淇淇的作法正确； （3）如图所示：点O即为所求． 【题型9】旋转现象的识别 例题9．以下生活现象中，属于旋转变换的是（   ） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．汽车沿笔直的公路行驶 D．地下水位线逐年下降 【答案】A 【分析】本题是考查图形的平移、旋转的意义，掌握图形平移与旋转的区别是解题的关键． 根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．由此进行判定即可． 【详解】解：A、钟表的指针和钟摆的运动，钟表指针绕中心旋转，钟摆绕悬挂点摆动，两者均属于旋转运动，故该说法正确，符合题意； B、站在电梯上的人的运动，是平移，不符合题意； C、汽车沿笔直的公路行驶，是平移，不符合题意； D、地下水位线逐年下降，不是旋转，不符合题意； 故选：A． 举一反三 1．下列选项中属于旋转运动的是（    ） A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转运动；旋转运动是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动．选项A、B、C均为平移运动，只有选项D的荡秋千是围绕固定点旋转． 【详解】解：∵ 旋转运动需围绕固定点转动， A项为平移运动，无旋转中心； B项传送带为平移运动； C项电梯为上下平移运动； D项荡秋千是围绕悬挂点做圆弧运动，属于旋转运动． 故选：D． 2．数学来源于生活．下列生活中的现象属于旋转的是（   ） A．国旗上升的过程 B．球场上奔跑的运动员 C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带上运输的东西 【答案】C 【分析】旋转是指物体围绕一个点或一个轴做圆周运动。我们需要根据这个定义来判断每个选项是否属于旋转现象． 【详解】解：A、国旗上升的过程，是沿着直线进行的平移运动，不符合旋转的定义，不符合题意； B、球场上奔跑的运动员，是在平面上的平移运动，不符合旋转的定义，不符合题意； C、工作中的风力发电机叶片，围绕中心轴做圆周运动，符合旋转的定义，符合题意； D、传输带上运输的东西，是沿着传输带做直线平移运动，不符合旋转的定义，不符合题意． 故选：C． 3．数学来源生活，下列生活中的运动属于旋转的是（  ） A．钟表上的时针运动 B．火箭升空 C．月亮在水中的倒影 D．足球在草地上滚动 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴转动，且形状和大小不变是解题的关键． 根据旋转的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．钟表时针围绕中心轴转动，属于旋转，符合题意； B． 火箭升空是直线平移运动，不符合题意； C． 月亮倒影是光的反射形成的像，不是物体运动，不符合题意；    D． 足球滚动时接触点变化，旋转中心移动，不属于固定点旋转，不符合题意． 故选A． 4．数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（    ） A．地下水位逐年下降 B．传送带的移动 C．升国旗的过程 D．工作中的风力发电机叶片 【答案】D 【分析】题目主要考查旋转的定义，旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，据此依次判断即可． 【详解】解：旋转的定义是物体绕一个固定点或轴做圆周运动， A、地下水位逐年下降是垂直方向的变化，无旋转中心； B、传送带的移动是物体沿直线运动，属于平移； C、升国旗的过程是国旗沿旗杆直线上升，属于平移； D、工作中的风力发电机叶片绕中心轴转动，属于旋转； 故选：D． 【题型10】中心对称图形的识别 例题10．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A.该选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B. 该选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C. 该选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D. 该选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 举一反三 1．如图，在“百年华诞”四个字的音节首字母中，既是轴对称又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意． 2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 4．下列四个图形中，是中心对称图形的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】中心对称图形绕着某个点旋转后能与原来的图形完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形； 选项B、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形； 选项C、该图形绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形； 选项D、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形． 【题型11】利用旋转的性质求解 例题11．如图，三角形绕点顺时针旋转得到三角形．，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 根据旋转的性质，利用旋转角，计算即可． 【详解】解：∵三角形绕点顺时针旋转得到三角形， ∴是旋转角， ∵，， ∴， ∴旋转角的度数是， 故选：D． 举一反三 1．如图，将绕点逆时针旋转得到．已知，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转变换，掌握旋转前后两图形全等、对应点与旋转中心的连线所成的夹角等于旋转角是解答本题的关键． 由旋转的性质可得，然后根据角度的和差关系即可求出的度数． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ， ， 故选：B． 2．如图，将四边形绕点O顺时针旋转一定角度得到四边形，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质．根据旋转的性质：旋转前后的图形，对应边相等，对应角相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，据此逐一判断即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，，，， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 3．如图，将矩形 绕其顶点逆时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，长方形性质，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识.记旋转后的对应点为交于点，利用旋转的性质，长方形性质，平行线性质进行求解即可． 【详解】解：记旋转后的对应点为交于点， 由旋转的性质可知四边形为长方形， ∴， ∴， ∵ ∴， 旋转角可以为． 故选：A． 4．如图，将绕着点顺时针旋转后，得到，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出，则，即可解答． 【详解】解：∵将绕着点顺时针旋转后，得到， ∴， ∴． 故选B． 【题型12】找旋转中心问题 例题12．如图，在的方格纸中，格点三角形①经过一次旋转后得到格点三角形②，则旋转中心是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，通过旋转的性质，旋转中心到旋转前、后图形的对应点的距离相等． 【详解】解：如图，连接D和两个三角形的对应点，发现两个三角形的对应点到点D的距离相等， 因此格点D就是所求的旋转中心， 故选：D． 举一反三 1．如图，在正方形网格中，一个飞机图案绕某点旋转一定角度后能与另一个飞机图案重合，则旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，旋转中心的确定． 根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图，连接两个飞机图形的飞机头，连接两个飞机图形的两个左翼， 利用格点性质以及勾股定理可求出两个飞机头的点到的距离都为， ∴点在两个飞机头的连线的垂直平分线上， 两个左翼到点的距离都为， ∴点在两个左翼的连线的垂直平分线上， ∴旋转中心为点， 故选：D． 2．如图，在的正方形网格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心是解题的关键．如图根据题意，可知点绕某点旋转后的对应点为点，点绕某点旋转后的对应点为点，点绕某点旋转后的对应点为点，连接，，借助网格，画出线段，的垂直平分线，找到其垂直平分线的交点，即可所求． 【详解】解：如图所示，点即为所求， 故选：C． 3．如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义，学会构造旋转对应点连线的垂直平分线找出旋转中心是解题的关键．连接、，分别作和的垂直平分线，则交点即为旋转中心． 【详解】解：将绕某个点旋转，得到，则与为对应点，则与为对应点， 连接、，分别作和的垂直平分线，如图所示交于点C，故点C为旋转中心． 故选：C． 4．小明在如图所示的方格纸中，将三个顶点都在格点上的经过旋转后得到，则其旋转中心是（    ） A．格点M B．格点P C．格点Q D．格点N 【答案】C 【分析】本题考查找旋转中心，根据旋转的性质，旋转中心为对应点连线的中垂线上，连接，两条线段的中垂线的交点即为旋转中心．掌握旋转的性质，是解题的关键． 【详解】解：旋转的性质，旋转中心为对应点连线的中垂线上，连接，两条线段的中垂线的交点即为旋转中心． ， 故选C． 【题型13】求旋转角问题 例题13．如图，是由绕点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了旋转的性质，解题的关键是正确找出旋转角． 首先利用已知条件求出，然后利用旋转角的定义即可求解． 【详解】解：，， ， 是由绕点旋转得到的， ， ， 旋转角的度数为． 故选：B． 举一反三 1．如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转角得到的，点与A对应，则角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心的知识． 如图：连接，，作线段，的垂直平分线交点为，点O即为旋转中心，连接、，即为旋转角． 【详解】解：如图：连接，，作线段，的垂直平分线交点为，点O即为旋转中心． 连接，，即为旋转角， 由图可知，旋转角为 故选：． 2．下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转对称图形的旋转角，求各图形的最小旋转角度时，关键要看各图形可以被平分成几部分，被平分成n部分，旋转的最小角度就是． 先求出各选项图形的最小旋转角，然后比较即可解答． 【详解】解：A．图形的旋转角度； B． 图形的旋转角度； C． 图形的旋转角度； D． 图形的旋转角度． 综上，旋转角度最小的是C选项． 故选C． 3．如图，在正方形网格中，格点绕某点顺时针旋转角得到格点，点A与点，点B与点，点C与点是对应点，则（    ）度． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先连接，，作，的垂直平分线交于点，连接，，再由题意得到旋转中心，由旋转的性质即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，，作，的垂直平分线交于点，连接，， ∵，的垂直平分线交于点， ∴点是旋转中心， ∵， ∴旋转角，故C正确． 故选：C． 4．如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定角度后得到，旋转角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋旋转角的定义即可判断． 【详解】解：将绕点O按逆时针方向旋转一定角度后得到， 旋转角是∠AOC或∠BOD． 故选：D． 【题型14】旋转作图问题 例题14．在网格中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为． (1)将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，请画出； (2)连接与，线段与之间的关系是 ，扫过的面积为 ； (3)画出绕点旋转之后得到的． 【答案】(1)见解析； (2)平行且相等，； (3)见解析 【分析】（1）分别画出各点平移后的对应点，再顺次连接即可； （2）由平移的性质可得线段与之间的关系，扫过的面积是四边形与三角形的面积之和； （3）分别画出各点旋转后的对应点，再顺次连接即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由平移可得：线段与之间的关系是平行且相等， 扫过的面积为， 故答案为：平行且相等，； （3）解：如图，即为所求． 举一反三 1．如图，由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（格点是网格线的交点）． (1)画出关于所在直线对称的； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作轴对称图形，画旋转图形等． （1）根据题意过点作关于直线的对称点，连接和，即可得到本题答案； （2）根据题意将绕点分别画出的对应点，再连接，即可得出． 【详解】（1）解：过点作关于直线的对称点，连接和，如图所示，即为所求； （2）解：先画出点绕点逆时针旋转的对应点，再画出点绕点逆时针旋转的对应点，再连接，和， 2．如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图． (1)如图1，作出绕点O逆时针旋转得到的，则的面积为______； (2)如图2，旋转得到，标出旋转中心为点______． 【答案】(1)作图见解析，4 (2)作图见解析，P 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是理解旋转不改变图形的面积，并能通过对应点连线的垂直平分线找到旋转中心． （1）根据旋转的性质，画图，然后根据三角形面积公式即可解答； （2）根据旋转的性质：线段，的垂直平分线的交点P即为所求． 【详解】（1）解：即为所求； ∵旋转不改变图形的面积， ∴的面积等于的面积． 观察的底为2，高为4， ， ∴的面积为4． 故答案为：4； （2）解：如图点P为所求， 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，用无刻度直尺，在给定网格中作出一个符合要求的图形即可． (1)在图1中，画出经过平移后得到的，且的顶点都在格点上． (2)在图2中，画出经过轴对称后得到的，且的顶点都在格点上． (3)在图3中，画出经过旋转后得到的，且的顶点都在格点上． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查平移作图，轴对称作图和旋转作图，掌握好每种作图的规范与技巧是关键． （1）将点A、B、C向右平移得到，，，连接成三角形即可； （2）将点C关于作对称，得到，连接成三角形即可； （3）将点A、C绕点B顺时针旋转得到、，连接成三角形即可． 【详解】（1）解：如图1所示， （2）解：如图2所示， （3）解：如图3所示， 4．如图，在中，，如果将绕点B顺时针旋转得到，将沿着射线方向平移得到． (1)画出． (2)若平移的距离为a．求四边形的面积．（用的代数式表示）． (3)若的面积和的面积相等，直接写出平移的距离．（用的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了画旋转图形，平移的性质和旋转的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据画旋转图形的方法作图即可； （2）证明点与点B重合，三点共线，再根据列式求解即可；（3）求出，则根据三角形面积计算公式可得到的距离为，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由平移的性质可得，，，， ∴点与点B重合， 由旋转的性质可得， ∴三点共线， ∴， ∴ ； （3）解：由平移的性质可得， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∵的面积和的面积相等， ∴； 设到的距离为h， ∴， ∴， ∴平移的距离为或． 【题型15】旋转变换综合问题 例题15．取一副三角板按图①拼接，固定三角板，将三角板绕点依顺时针方向旋转一定的角度得到．请问： (1)如图②，当与垂直时，求的度数； (2)如图①，三角板绕点以顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转时间为，三角板旋转一周时停止运动，当三角板的一边与平行时，求出时间的值（直接回答，不用证明）． 【答案】(1)或 (2)的值为5秒或35秒或50秒或65秒或95秒或110秒． 【分析】（1）分两种情况讨论，利用垂直和旋转的性质求解即可； （2）由旋转性质依次分析不同情况，作出图形，由平行线的性质求出旋转角度即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图，令与的交点为， ， ， ， ； ②如图，延长交于点， ， ， ； 综上可知，的度数为或； （2）解：三角板绕点依顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转一周停止． 当三角板的一边与平行时，分下列情况讨论： ①，如图， ， ，即旋转角为， 秒； ②，如图，令与的交点为， ， ， ，即旋转角为， 秒； ③，如图， ，即旋转角为， 秒； ④（第二次平行），如图， ， 旋转角为， 秒； ⑤（第二次平行），如图， 同（1）②理可得：， 旋转角为， 秒； ⑥（第二次平行），如图所示： ， 旋转角为， 秒． 综上， 的值为5秒或35秒或50秒或65秒或95秒或110秒． 举一反三 1．已知三角尺的直角顶点在直线上． (1)①如图，若，求的度数； ②如图，若射线平分，补全图形，并探究与的数量关系，请说明理由． (2)如图，若，．将绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转．当旋转一周后停止转动，三角尺也随之停止．设旋转时间为秒，当为何值时，？ 【答案】(1)①② (2)或 【分析】（1）①根据求解即可；②根据角的和差可得，把，代入进行替换，则可推导出； （2）把分别用含的式子表示，分情况讨论列出方程求解即可. 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即：； （2）解：∵，， ∴， 解得：， ∵绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转， ∴或， 当时，，， ∵， ∴，解得：； 当时，，， ∵， ∴， 解得：； 当时，，， ∵， ∴， 解得：（舍） 综上：或. 2．已知，射线平分，射线平分． (1)如图1，若，，则___________度：___________度． (2)与的位置关系如图2所示，用含与的式子表示． (3)如图3，若（其中），射线在直线的右侧按顺时针方向分布，从开始运动．将绕点以每秒的速度顺时针旋转，运动时间为，其中． （i）当与重合时，用与的代数式表示． （ii）猜想三个角之间的关系，并证明． 【答案】(1)； (2) (3)（i）；（ii）当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了几何图形中角度关系的分析与计算，特别是动态旋转背景下角度关系的探究．掌握角平分线的性质、角度和差的计算，并能够根据旋转的不同阶段进行准确的分类讨论是解题的关键． （1）在给定的条件下，直接应用角平分线定义和角度和差关系即可求出与的度数； （2）本小问探究静态图形中三个角（, , ）的数量关系．解题关键在于利用已知条件“”建立等量关系，通过代数推导消去中间量，最终得到． （3）本小问为综合探究题，涉及图形的旋转运动． （i）求特定位置（与重合）对应的时间t，通过角平分线定义与旋转角度建立方程即可求解． （ii）猜想并证明三个角在旋转过程中的关系。解题的核心是根据旋转角（即）的大小，划分三个不同的时间段（对应射线相对于和的不同位置），在每种情况下分别利用角平分线性质和全局角度关系（）进行推导，最终得到三种不同的关系式． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 故答案为：；． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入得： ， 化简得：． 故答案为：． （3）解：（i）当与重合时， ， ∵从开始运动．将绕点以每秒的速度顺时针旋转，运动时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ， 解得：． 故答案为：． （ii）①若， ∵， ∴， 化简得：， ∵， ∴， ∴， 将代入得： ， 化简得：； ②若， ∵， ∴， 化简得：， ∵， ∴， ∴， 将代入得： ， 化简得：； ③若， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入得： ， 化简得：． 综上：当时，； 当时，； 当时，． 3．【问题情境】在综合与实践课上，老师想让同学们探究与角度有关的数学问题，进行了以下数学活动：已知，是一条射线，射线，分别是和的平分线． 【初步感知】（1）如图1，若射线在的内部，且，则__________． 【探究发现】（2）如图2，当射线在的内部绕点转动时，则的度数是否发生变化？请判断并说明理由． 【拓展延伸】（3）若射线从出发，绕着点按顺时针方向转动，转动的角度不超过，其余条件不变，设，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数．（不写探究过程） 【答案】（1）；（2）的度数不发生变化，见解析；（3）或 【分析】（1）先利用两角的差求得，再用角平分线的意义分别求得，，从而可利用两角的和求得； （2）利用角平分线的意义分别得出，，从而可利用两角的和求得，以此说明的度数不会发生变化； （3）根据射线绕点按顺时针方向转动，转动的角度不超过，分在的外部、在的内部两种情况讨论，分别画出图形，求出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵射线，分别是和的平分线， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：的度数不发生变化． 理由：∵射线，分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∴的度数不会发生变化，始终为； （3）解：射线绕点按顺时针方向转动，转动的角度不超过， 分两种情况： ①如图1，当在的外部时， ∵， ∴， ∵射线，分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； ②如图2，当在的内部时， ∵， ∴， ∵射线，分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 4．数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)如图1，边，与直线重合，，，则的度数为___________； (2)如图2，在（1）的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点逆时针旋转一个角度． ①当为直角时，求的度数； ②在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由其中任意两边组成的角时，请求出旋转角的度数． 【答案】(1) (2)①或；②或或 【分析】本题主要考查三角板中角的计算，角平分线的有关计算，旋转的性质，正确理解题意和画图是解题的关键． （1）根据平角的定义即可得出答案； （2）①根据平角的定义及角的和差，分两种情况即可得出答案； ②分为当平分时，当平分时，当平分时三种情况画图进行分析，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图1，， ． 故答案为：； （2）①如图，当三角板绕点逆时针旋转到此位置时，， ，， ， ； 如图，当三角板绕点逆时针旋转到此位置时，， ，，， ， 则的度数为或； ②如下图，当平分时， 则， ， ； 如下图，当平分时， ， ； 如下图，当平分时， ，， ， ， ， 综上所述，旋转角的度数为或或． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $