2026年中考第二次模拟考试数学检测卷（江苏泰州专用）

2026年泰州市中考第二次模拟考试检测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在下列各数中，最小的数为（    ） A． B． C． D．0 2．地震应急是指破坏性地震发生前所做的各种应急准备以及地震发生后采取的紧急抢险救灾行动．下列地震应急标志中，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 4．太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从光源发出的光线经抛物线反射后沿着与抛物线对称轴平行的方向射出．如果，则（   ） A． B． C． D． 5．某班有48位学生，每人抛10次硬币，统计正面向上的次数依次为0，1，2，…，10的人数，得到如图所示的直方图，则这次次数统计的众数和中位数分别是（    ） A．4，5 B．5，5 C．5，6 D．6，6 6．如图，在直角坐标系中，，点B的坐标是．若反比例函数的图象经过点A，C，且点A的横坐标是1，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 7．分解因式：________． 8．一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是________． 9．某探究小组对市面上35款“零糖”饮料进行含糖量测评统计，得到频数分布直方图（每一组含后一个边界值，不含前一个边界值）如图所示．根据《食品安全国家标准》，每100mL饮料含糖量不超过500mg，即可标注“零糖”，则名副其实的饮料有____________款． 10．已知，，则的值为_____． 11．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是________________ 12．已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的表面积为_____． 13．如图，在矩形土地上修建矩形菜地，并沿菜地四周修建宽度相等的环形小路．若小路宽，则菜地的面积为；若小路宽，则菜地的面积为．若菜地的面积为，则小路的宽度为______． 14．如图，为订书机的托板，压柄绕着点旋转，连接杆的一端点固定，点从向处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若 ，，则的长度为___．（结果保留整数，参考数据：） 15．如图，已知，，，，点是上一动点（不与、重合），连接，分别将和沿直线、翻折得到和，连接，给出下列结论： ； 面积的最小值为； 当、、三点共线时，四边形是菱形； 当时，的长为； 则正确结论有______．（填序号） 16．如图，为双曲线上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交直线于点、两点，若直线与轴交于点、与轴交于点，则值为______． 三、解答题（本大题共10个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题12分）计算与解不等式组 (1)计算：． (2)解不等式组： 18．（本题8分）某市教育局为了解全市初中生每周课外阅读时长（单位：时）的情况，在全市随机抽取了部分学生进行调查，按五个组别：A组，B组，C组，D组，E组进行整理，绘制出如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： (1)这次抽样调查的总人数是___________，扇形统计图中___________； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)若全市约有2万名初中生，请你估计该市每周课外阅读时长不少于6小时的初中生人数． 19．（本题8分）十二生肖是十二地支的形象化代表，是我国历史悠久的民俗文化符号．小辰收集了如图所示的五张不透明的生肖卡片（分别记作A，B，C，D，E），除正面图案不同外，其余完全相同，将其洗匀，背面朝上放置． (1)小辰从这五张卡片中随机抽取一张，恰好抽到“马”的概率是_____________； (2)小辰从这五张卡片中随机抽取一张，不放回，小强再从剩下的四张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求他们两人抽到的卡片中有一张是“马”的概率． 20．（本题8分）在古代，智慧的劳动人民已经会使用家畜拉动“石磨”磨制面粉，其原理为在磨盘的边缘连接一个“木杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．物理学上称这种动力传输工具为“杠杆原理”．小亮受此启发设计了一个“杠杆原理”，如图所示，是半径为6的直径，切于点A，交于点D．．请仅就下图的情形解答下列问题． (1)求的度数． (2)求弧的长．（结果保留） 21．（本题10分）已知四边形是矩形，，，M是对角线与的交点．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若反比例函数的图象经过点M，交于点E，交于点F． (1)求k的值； (2)求的面积． 22．（本题10分）2026年央视总台春晚由人形机器人与武术少年共同呈现的《武》节目，在除夕夜掀起了一阵“科技+传统”的视觉风暴．据了解，某科技公司2023年人形机器人项目营业收入2400万元，经过连续两年的增长，2025年全年该项目营业收入达到4704万元，请根据以上信息求出该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率，并预测2026年该公司的此项目营业收入（单位：万元，结果保留整数）． 23．（本题10分）小李同学进入初三复习以来，要用到的书籍与资料越来越多，他的课桌上已经放不下，小李在妈妈的建议下决定买一个桌边置物架，如图1所示，为适合自己的课桌尺寸，爱学习的小李量出相关数据如下：整体高，长，宽．同时还发现适合放书的有8层，如图2，每层之间的距离为．最底下一层可以用来放雨伞或水瓶，如图3，小李量得放书的每层隔板与水平线的夹角约为． (1)求最底层置物区开口的长； (2)已知目前初中课本标准是长约，宽，小李将最厚的一本书厚约如图4所示横放在书架上，则放书后整个书架占地的宽为多少？ (3)《中小学校设计规范》规定：中小学普通教室课桌椅横向留空不宜小于，否则会造成通行不便，小李同学与小明同学并行同排，且两课桌边缘相距，小明也买了一个同样的置物架，置物架可放在桌下部分约为宽，小李同学与小明同学将置物架靠桌边放，并尽可能贴近课桌，若放入的书厚度都不超过，是否会影响通行？ （结果精确到．参考数据：，，） 24．（本题10分）如图，正方形的边长为4，点在边上，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段． (1)在图中作出线段；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)当点，，三点共线时，求线段的长． 25．（本题12分）综合与实践 如图，在四边形中，是上一点，将四边形沿折叠，点B恰好落在射线上的点F处． (1)如图1，若四边形是正方形，延长交线段于点G，则与的数量关系是________． 类比探究 (2)如图2，若四边形是菱形，延长交线段于点G，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． 拓展应用 (3)若四边形是菱形，直线交直线于点G，，请直接写出线段的长． 26．（本题14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，当时，求点的坐标； (3)将抛物线的对称轴沿轴向右平移个单位得直线，点为直线上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年泰州市中考第二次模拟考试检测卷 数学·参考答案 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 第I卷 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 3 4 5 D D B 第IⅡ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 7.m(2x+y)(2x-y) 8.10 9.34 10.13 11.y=(x+3)2-7(或y=x2+6x+2)12.36m 13.2/0.5 14.13 15.①②③ 16.255 12 三、解答题（本大题共10个小题，共102分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本题12分)(1)解：-22-(V2-1)+1-3 =-4-1十3 =-2; x+5>3① (2)解： 4x-3<x+6② 解不等式①得x>一2， 解不等式②得x<3, ∴原不等式组的解集为-2<x<3。 18.(本题8分)(1)解：抽样调查的总人数是100÷10%=1000（人）， m%=0器×100%=32%， 1/10 故答案为：1000,32； (2)解：D组的频数为1000-100-200-320-80=300， 补全频数分布直方图如图所示： 频数A 400 300 320300 200 200 100 100 80 A BC D E 0 345 6 78 时 (3)解： 20000×300+80 1000 =7600(人)， 答：该市每周课外阅读时长不少于6小时的初中学生人数约为7600人. 19.(本题8分)(1)解：小辰从这五张卡片中随机抽取一张，恰好抽到“马”的概率是青： (2)解：根据题意，列表如下： A B C D E A (AB) (A C) (AD) (A E) B (B,A) (B,C) (B,D) (B,E) (C,A) (G,B) (C,D) (C,E) D (D,A) (D,B) (D,C) (D,E) E (E,A) (E,B) (E,C) (E,D) 则共有20种等可能的情况，其中两人抽到的卡片中有一张是“马”的情况有8种， 则两人抽到的卡片中有一张是“马”的概率为品=号 20.（本题8分)(1)解：：AC切⊙0于点A, ∠BAC=90o, :∠C=40°， :∠B=50°； (2)解：连接0D, 2/10 B C:∠B=50,AD=AD ·∠A0D=2∠B=100°， ,AB是半径为6的⊙0直径， ·AD的长为1=9。 180 21.(本题10分)(1)解：：四边形0ABC为矩形， .BA⊥OA,BC⊥OC,M为OB的中点. 0A=6,0C=4, B(6,4), .M(3,2), 将点M(3,2)代入y=会得2=等， .k=6 (2)解：由(1)知，反比例函数的解析式为y=, 令x=6,得y=1,则E(6,1):令y=4,得x=昌，则F(月，4) ∴△OEF的面积为SOABC-S△OAE-S△OCF-S△BF =6×4-×6×1-吉×4×号-×(4-1)×(6-)=9 22.(本题10分)解：设该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为x. 根据题意得2400(1+x)2=4704, 解得x1=0.4,x2=-2.4(舍去). ∴.该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为0.4=40%， 4704×(1+40%)=6585.6≈6586（万元）. 答：该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为40%，预测2026年该公司的人形机器人项目营业收 入约为6586万元. 23.(本题10分)(1)解：由题意得，∠EAD=38.7°，AD=100mm, .在Rt△AED中，ED=AD.tan38.7o ≈100×0.801 3/10 ≈80mm: (2)解：如图，过点F作MNAD,交AG于点M,过点I作IN⊥MN于点N. H E G 、 M------ --EN A .GF⊥AE,∠EAD=38.7o, ∴·∠GAF+∠MGF=90°，∠GAF+∠EAD=90o 故∠MGF=∠EAD=38.7o 在Rt△GMF中，∠GMF=90°，GF=20mm, 则MF=GF.sin38.7°≈20×0.625=12.5mm. 在Rt△IFN中，∠INF=90°，FI=184mm, 则FN=FI:cos38.7o184×0,78=143.52mm, .MN=MF+FN≈12.5+143.5=156mm, .放书后整个书架占地的宽约为156mm; (3)解：，156-50=106mm,106×2=212mm,1米=1000mm, .1000-212=788mm=0.788m<0.90m. 会影响通行 24.(本题10分)(1)解：如图所示，线段EF即为所求； D B (2)解：如图所示，过点F作FM⊥CB,交CB的延长线于点M, 4/10 M B ∴.∠M=90°， ,四边形ABCD为正方形， ∴.∠ABC=∠BAD=90°，AD=AB=4,∠DBC=45°， ∴.∠MBF=∠DBC=45o, .△MBF为等腰直角三角形， ..MB=MF, :∠AEF=90°， ∴.∠MEF=∠BAE=90o-∠AEB, 又，∠M=∠ABC,AE=EF, .△EMF≌△ABE(AAS), ∴.MF=BE,EM=AB=4, MB=BE=专EM=2. 25.（本题12分)(1)解：：四边形ABCD是正方形， ÷∠B=∠BCD=90°，∠ACD=专∠BCD=45°. 由折叠可得∠AFE=∠B=90°， ·∠CFG=∠AFE=90°， ·∠FGC=90°-∠ACG=45°=∠FCG, .FG=FC. (2)解：(1)中结论仍成立.证明如下： :四边形ABCD是菱形， ·∠B=∠D,AD=CD, ·∠ACD=∠DAC 由折叠可得∠B=∠AFE, 又：∠CFG=∠AFE, 5/10 ∴∠CFG=∠B=∠D, ,∠CFG+∠FCG+∠FGC=180°， ∠D+∠ACD+∠DAC=180°， ∴.∠FCG+∠FGC=∠ACD+∠DAC=2∠ACD=2∠FCG, .∠FCG=∠FGC, ∴.FG=FC. (3)解：分两种情况讨论： ①如图，当点F在线段AC上时. G B-- ,AB=2CF=4, ∴.CF=2; 由折叠的性质可得∠AFE=∠B,AF=AB=4, ∠AFE=∠CFG, ∴.∠CFG=∠B 由菱形的性质可得∠ACD=∠BCA,AB=BC=CD=4, ·△GFCM△ABC, 照=器， AC=AF+FC=6, :9=异， .CG=3, ·DG=CD-CG=1. ②如图，当点F在AC延长线上时. 6/10 B 图2 由折叠的性质可得∠F=∠B,AF=AB=4, 由菱形的性质可得∠ACB=∠ACD,BC=AB=CD=4, :∠ACD=∠FCG, ∴.∠ACB=∠FCG, .△GFC∽△ABC, 器=器 AC=AF-FC=2, 9=, 解得CG=1, ·DG=CD十CG=5. 综上所述，DG的长为1或5. 26.(本题14分)(1)解：，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点， ,∫a-b+4=0 “16a+4b+4=0' ∫a=-1 解得b=3 .抛物线的解析式为y=-2+3x+4. (2)解：在y=-x2+3x+4中， 当x=0时，y=4, ∴.C(0,4), .0C=4, .A(-1,0),B(4,0), ∴.0A=1,0B=4, ,∠PBA=∠ACO, ∴.tan∠PBA=tan∠AC0=, 7/10 设P(m,-m2+3m+4), :0兰=青或七=子， 4-m 4-1m 解得m=-寻或m=一寻， 当m=-时，-m2+3m+4=-（-)2+3×(-星)+4=器， 当m=-时，-m2+3m+4=-（-)+3×(-)+4=-器 P(-器)或P(-,-器) (3)解：在平面直角坐标系中存在点N,使以点B,C,M,N为顶点的四边形为菱形， :抛物线y=-x2+3x+4的对称轴为直线x=月，号+青=2， .直线：x=2, 设M(2,s), ,0C=4,0B=4, ∴.BC=V42+42=4W2, 若四边形BCMN为菱形，BM与CN的交点记为点K, 则CM=BC=4y2,BM⊥CN,CK=NK,BK=MK, y=-x2+3x+4 B M X=2 22+(s-4)2=(42)2, 解得s=±27+4， ∴.M(2,4+27)或M(2,4-2万)， 8/10 ∴8N的中点为（学，259）或（学，2*）， K(3,2+V万)或K(3,2-V万) 【专(xw+0)=3|(xw+0)=3 六(yw+4)=2+万或(yw+4)=2-V5 |xN=6【Xw=6 解行气yw=2F或yw=-25, ∴N(6,2)或N(6,-27), 若四边形BCNM为菱形，BN与CM的交点记为点T, 则BM=BC=4W2,BN⊥CM,CT=MT,BT=NT, y=-x2+3x+4 B ∴(4-2)2+s2=(42)2, 解得s=±27， .M(2,27)或M(2,-27) CN的中点为（学，“）（学，会）， .K(1,2+V万)或K(1,2-V万)， |支(xw+4)=1|(xw+4)=1 (yw+0)=2+万或(yw+0)=2-万， 9/10 |Xw=-2【w=-2 解得yN=4+2万或yw=4-2万， N(-2,4+2W5)或N(-2,4-2V万)， ∴.在平面直角坐标系中存在点N,使以点B,C,M,N为顶点的四边形为菱形，点N的坐标为(6,2V7)或 (6,-2W7)或(-2,4+27)或(-2,4-2y7) 10/10 2026年泰州市中考第二次模拟考试检测卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在下列各数中，最小的数为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【思路引导】先求得，再根据正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可解答． 【完整解答】解：∵，， ∴， 故最小的数为． 2．地震应急是指破坏性地震发生前所做的各种应急准备以及地震发生后采取的紧急抢险救灾行动．下列地震应急标志中，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】轴对称图形是沿一条直线折叠后，直线两旁部分能完全重合的图形，中心对称图形是绕某点旋转后能与原图形重合的图形，依据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断各选项即可求解． 【完整解答】A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 3．下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、完全平方公式、负整数指数幂的定义，逐一计算判断即可． 【完整解答】解：A.，本选项运算错误，不符合题意； B. ，本选项运算错误，不符合题意； C.，本选项运算错误，不符合题意； D. ，本选项运算正确，符合题意． 4．太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从光源发出的光线经抛物线反射后沿着与抛物线对称轴平行的方向射出．如果，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据平行线的性质解题即可． 【完整解答】解：由题意知，， ∴，， ∴． 5．某班有48位学生，每人抛10次硬币，统计正面向上的次数依次为0，1，2，…，10的人数，得到如图所示的直方图，则这次次数统计的众数和中位数分别是（    ） A．4，5 B．5，5 C．5，6 D．6，6 【答案】B 【思路引导】根据频数分布直方图中，众数就是分布图里最高的那条，中位数是第和个数的平均数，即可求出答案． 【完整解答】解：根据频数分布直方图可得： 众数就是分布图里最高的那条， 所以这次次数统计的众数是， 因为有位学生， 所以这次次数统计的中位数是． 6．如图，在直角坐标系中，，点B的坐标是．若反比例函数的图象经过点A，C，且点A的横坐标是1，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】先求出点A的坐标，进而求出直线的关系式，可得点D，E的坐标，再根据特殊角的三角函数值求出点F的坐标，然后求出直线的关系式，最后将两个函数关系式联立求出答案即可． 【完整解答】解：∵点A在双曲线的图象上，且横坐标为1， ∴， ∴点． 设直线的关系式为，且经过点，， 得，解得， ∴直线的关系式为， 当时，，当时，， ∴点， ∴， ∴，． 在中，， 在中，， 解得， ∴， ∴点． 设直线的关系式为，且经过点，， 得，解得， ∴直线的关系式为， 将两个函数关系式联立，得， 解得（舍去）或， 当时，， ∴点． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 7．分解因式：________． 【答案】 【思路引导】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【完整解答】解： ． 8．一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是________． 【答案】10 【思路引导】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【完整解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 9．某探究小组对市面上35款“零糖”饮料进行含糖量测评统计，得到频数分布直方图（每一组含后一个边界值，不含前一个边界值）如图所示．根据《食品安全国家标准》，每100mL饮料含糖量不超过500mg，即可标注“零糖”，则名副其实的饮料有____________款． 【答案】34 【思路引导】本题考查了频数分布直方图的应用，掌握根据统计标准确定对应组，累加对应组的频数是解题的关键． 先确定每含糖量不超过对应的频数分布组，再将这些组的频数相加，得到符合条件的饮料款数． 【完整解答】解：由频数分布直方图可知，各组频数为：，总款数为 35， ∵不超过的饮料对应除了含糖量超过的部分， ∴名副其实的饮料款数为． 故答案为：． 10．已知，，则的值为_____． 【答案】 【完整解答】解：． 11．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是________________ 【答案】（或） 【思路引导】先将原抛物线配方为顶点式，再根据平移规律“左加右减，上加下减”，即可求解． 【完整解答】解：将原抛物线配方化为顶点式得： ． 根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”，将抛物线向左平移个单位，自变量加，再向下平移个单位，整体减，可得： ． 整理得：． 化为一般式得． 12．已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的表面积为_____． 【答案】36π 【思路引导】先利用三视图得到底面圆的半径为4，圆锥的高为3，再根据勾股定理计算出母线长为5，然后根据圆锥的侧面积公式：代入计算即可． 【完整解答】解：根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为8，即底面圆的半径为4，圆锥的高为3， 所以圆锥的母线长， 所以这个圆锥的表面积是． 13．如图，在矩形土地上修建矩形菜地，并沿菜地四周修建宽度相等的环形小路．若小路宽，则菜地的面积为；若小路宽，则菜地的面积为．若菜地的面积为，则小路的宽度为______． 【答案】/ 【思路引导】设所求的小路的宽度为，矩形土地的长为，宽为，先求出的值，再根据面积关系建立一元二次方程，解方程即可． 【完整解答】解：设所求的小路的宽度为，矩形土地的长为，宽为， 由题意得：， 整理得：， 将和均看作整体，化简得：， 由②得：，代入①得：， 解得或， 当时，，不符合题设，舍去； 当时，，符合题设； 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以小路的宽度为． 14．如图，为订书机的托板，压柄绕着点旋转，连接杆的一端点固定，点从向处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若 ，，则的长度为___．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】 【思路引导】过点作于点，构造两个直角三角形. 在中利用锐角三角函数求出和的长，在中利用等腰直角三角形的性质求出的长，最后根据线段的和差关系求解． 【完整解答】解：如图，过点作于点 在中，，. 在中，， 是等腰直角三角形 ． ． 15．如图，已知，，，，点是上一动点（不与、重合），连接，分别将和沿直线、翻折得到和，连接，给出下列结论： ； 面积的最小值为； 当、、三点共线时，四边形是菱形； 当时，的长为； 则正确结论有______．（填序号） 【答案】①②③ 【思路引导】先根据折叠的性质证明是顶角是的等腰三角形，过点作于，然后利用勾股定理和三线合一求解即可； 由知，的面积，当时，的面积最小，同理求出，，代入求解即可； 如图，当、、三点共线时，由折叠得：，，，利用等角对等边得到，进而证明即可； 由折叠得，，证明出可得． 【完整解答】解：由折叠得：，，， ， ， ， 如图，过点作于， ， ，， ， ∴， ，故正确； 由知：的面积， ∴当最小时，面积最小， 如图，当时，面积最小， ，，， ∴， 同理可得，，， 面积的最小值为，故正确； 如图，当、、三点共线时，则， 由折叠得：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形，故正确； 如图，当时， ∴ 由折叠得，， ， ， ，故错误； ∴正确的结论有． 16．如图，为双曲线上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交直线于点、两点，若直线与轴交于点、与轴交于点，则值为______． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、三角形函数、勾股定理，首先过点作轴，过点作轴，可得：，，根据正切的定义可知，从而可得：，设点的坐标是，则，根据勾股定理可得：、，所以可得． 【完整解答】解：如下图所示，过点作轴，过点作轴， 当时，， ， 当时，， 解得：， ， ， ， 设点的坐标是，则， ，， ， 点的坐标是， ，， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题12分）计算与解不等式组 (1)计算：． (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先计算零指数幂，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 18．（本题8分）某市教育局为了解全市初中生每周课外阅读时长（单位：时）的情况，在全市随机抽取了部分学生进行调查，按五个组别：A组，B组，C组，D组，E组进行整理，绘制出如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： (1)这次抽样调查的总人数是___________，扇形统计图中___________； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)若全市约有2万名初中生，请你估计该市每周课外阅读时长不少于6小时的初中生人数． 【答案】(1)1000，32； (2)补图见解析； (3)7600人． 【思路引导】（）由A组人数及其所占百分比可得样本容量，用C组人数除以总人数，求出C组人数所占百分比，即可解答； （）根据各组人数之和等于样本容量求出组人数，即可补全图形； （）用总人数乘以样本中组人数和所占比例即可； 【完整解答】（1）解：抽样调查的总人数是(人)， ， 故答案为：1000，32； （2）解：组的频数为， 补全频数分布直方图如图所示； （3）解：（人）， 答：该市每周课外阅读时长不少于小时的初中学生人数约为7600人． 19．（本题8分）十二生肖是十二地支的形象化代表，是我国历史悠久的民俗文化符号．小辰收集了如图所示的五张不透明的生肖卡片（分别记作A，B，C，D，E），除正面图案不同外，其余完全相同，将其洗匀，背面朝上放置． (1)小辰从这五张卡片中随机抽取一张，恰好抽到“马”的概率是_____________； (2)小辰从这五张卡片中随机抽取一张，不放回，小强再从剩下的四张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求他们两人抽到的卡片中有一张是“马”的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用概率公式直接求解即可； （2）根据题意列出表格，列出所有等可能的情况数，再得到两人抽到的卡片中有一张是“马”的情况数，最后利用概率公式计算即可． 【完整解答】（1）解：小辰从这五张卡片中随机抽取一张，恰好抽到“马”的概率是； （2）解：根据题意，列表如下： — — — — — 则共有20种等可能的情况，其中两人抽到的卡片中有一张是“马”的情况有8种， 则两人抽到的卡片中有一张是“马”的概率为． 20．（本题8分）在古代，智慧的劳动人民已经会使用家畜拉动“石磨”磨制面粉，其原理为在磨盘的边缘连接一个“木杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．物理学上称这种动力传输工具为“杠杆原理”．小亮受此启发设计了一个“杠杆原理”，如图所示，是半径为6的直径，切于点A，交于点D．．请仅就下图的情形解答下列问题． (1)求的度数． (2)求弧的长．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了切线的性质，直角三角形的两个余角互余，弧长公式，圆周角定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合切线的性质得，又结合直角三角形的两个余角互余，得； （2）连接，根据圆周角定理得，再结合弧长公式进行列式计算，即可作答． 【完整解答】（1）解：切于点A， ∴， ， ； （2）解：连接， ， ， ∵是半径为6的直径， 的长为． 21．（本题10分）已知四边形是矩形，，，M是对角线与的交点．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若反比例函数的图象经过点M，交于点E，交于点F． (1)求k的值； (2)求的面积． 【答案】(1)6 (2) 【思路引导】（1）求出点坐标，即可得出结果； （2）求出点的坐标，利用分割法求出的面积即可． 【完整解答】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，，M为OB的中点． ∵，， ∴， ∴， 将点代入得， ∴． （2）解：由（1）知，反比例函数的解析式为， 令，得，则；令，得，则． ∴的面积为 ． 22．（本题10分）2026年央视总台春晚由人形机器人与武术少年共同呈现的《武》节目，在除夕夜掀起了一阵“科技+传统”的视觉风暴．据了解，某科技公司2023年人形机器人项目营业收入2400万元，经过连续两年的增长，2025年全年该项目营业收入达到4704万元，请根据以上信息求出该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率，并预测2026年该公司的此项目营业收入（单位：万元，结果保留整数）． 【答案】该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为，预测2026年该公司的人形机器人项目营业收入约为6586万元． 【思路引导】设该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为x，根据2023年和2025年的项目营业收入建立方程求解即可． 【完整解答】解：设该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为x． 根据题意得． 解得，（舍去）． ∴该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为， （万元）． 答：该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为，预测2026年该公司的人形机器人项目营业收入约为6586万元． 23．（本题10分）小李同学进入初三复习以来，要用到的书籍与资料越来越多，他的课桌上已经放不下，小李在妈妈的建议下决定买一个桌边置物架，如图1所示，为适合自己的课桌尺寸，爱学习的小李量出相关数据如下：整体高，长，宽．同时还发现适合放书的有8层，如图2，每层之间的距离为．最底下一层可以用来放雨伞或水瓶，如图3，小李量得放书的每层隔板与水平线的夹角约为． (1)求最底层置物区开口的长； (2)已知目前初中课本标准是长约，宽，小李将最厚的一本书厚约如图4所示横放在书架上，则放书后整个书架占地的宽为多少？ (3)《中小学校设计规范》规定：中小学普通教室课桌椅横向留空不宜小于，否则会造成通行不便，小李同学与小明同学并行同排，且两课桌边缘相距，小明也买了一个同样的置物架，置物架可放在桌下部分约为宽，小李同学与小明同学将置物架靠桌边放，并尽可能贴近课桌，若放入的书厚度都不超过，是否会影响通行？ （结果精确到．参考数据：，，） 【答案】(1) (2)放书后整个书架占地的宽约为 (3)会影响通行 【思路引导】（1）在中，由三角函数（正切）进行求解即可； （2）过点F作，交于点M，过点I作于点N，分别在和中，运用三角函数求出和，进而即可求解； （3）先算单个置物架突出桌面宽度：，两个共突出，剩余通行宽度，即可判断． 【完整解答】（1）解：由题意得，，， ∴在中， ； （2）解：如图，过点F作，交于点M，过点I作于点N． ∵，， ∴， 故 在中，，， 则． 在中，，， 则， ∴， ∴放书后整个书架占地的宽约为； （3）解：∵，，1米， ∴． ∴会影响通行． 【考点剖析】本题以桌边置物架为实际背景，融合解直角三角形的应用，通过构造直角三角形、分段计算求解实际尺寸，考查数学建模与运算能力，体现数形结合与转化化归的核心数学思想． 24．（本题10分）如图，正方形的边长为4，点在边上，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段． (1)在图中作出线段；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)当点，，三点共线时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【思路引导】（1）过点作的垂线，然后在垂线上截取； （2）过点作，交的延长线于点，根据正方形的性质得出，证明，即可求解． 【完整解答】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，过点作，交的延长线于点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 25．（本题12分）综合与实践 如图，在四边形中，是上一点，将四边形沿折叠，点B恰好落在射线上的点F处． (1)如图1，若四边形是正方形，延长交线段于点G，则与的数量关系是________． 类比探究 (2)如图2，若四边形是菱形，延长交线段于点G，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． 拓展应用 (3)若四边形是菱形，直线交直线于点G，，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)（1）中结论仍成立．证明见解析 (3)1或5 【思路引导】（1）由正方形的性质得出，由折叠得到，即可求出，得到； （2）由菱形的性质得到，因此，由折叠可得，从而得到，再根据三角形的内角和定理证明，即可得到； （3）分两种情况讨论：①点在线段上；②点在延长线上．证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【完整解答】（1）解：四边形是正方形， ． 由折叠可得， ， ， ． （2）解：（1）中结论仍成立．证明如下： 四边形是菱形， ， ． 由折叠可得， 又∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴． （3）解：分两种情况讨论： ①如图，当点在线段上时． ∵， ∴； 由折叠的性质可得，， ∵， ∴ 由菱形的性质可得，， ， ， ， ， ∴， ． ②如图，当点在延长线上时． 由折叠的性质可得， 由菱形的性质可得，， ∵， ∴， ， ． ， ， 解得， ． 综上所述，的长为1或5． 26．（本题14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，当时，求点的坐标； (3)将抛物线的对称轴沿轴向右平移个单位得直线，点为直线上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3) 在平面直角坐标系中存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或或． 【思路引导】（1）把，代入，可得，，即可得抛物线的解析式； （2）根据题意可得，，，当时，，设，则或，可得，即可得点的坐标； （3）抛物线的对称轴为直线，根据题意可得直线：，设，按照四边形为菱形，或四边形为菱形，进行分类讨论，根据菱形的性质，结合中点坐标，即可得点的坐标． 【完整解答】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：在中， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴或， 解得或， 当时，， 当时，， ∴或． （3）解：在平面直角坐标系中存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴直线：， 设， ∵，， ∴， 若四边形为菱形，与的交点记为点， 则，，，， ∴， 解得， ∴或， ∴的中点为或， ∴或， ∴或， 解得或， ∴或， 若四边形为菱形，与的交点记为点， 则，，，， ∴， 解得， ∴或， ∴的中点为或， ∴或， ∴或， 解得或， ∴或， ∴在平面直角坐标系中存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年泰州市中考第二次模拟考试检测卷 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一===-====。==一一====。==。--== 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1[1[/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C1[D1 2[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共30分） 7. 8. 10. 11 12 13. 15 16. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共10个小题，共102分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(12分) 18.(8分) 频数 400 320 300 10% A 200 200 D B 100 100 80 C AB 1m% 0v3 4 5678t/时 所抽取学生每周课外阅读时长的 所抽取学生每周课外阅读时长的 频数分布直方图 扇形统计图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) 20.(8分) B D A C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) y C \E B 心 E O A 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 320 H 700 E E G A D A D 100 图1 图2 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) A D B C E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) A D A不 D G G B-- B:-- E E 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(14分) A B δ B衣 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年泰州市中考第二次模拟考试检测卷 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [×][][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共18分） 1.IAIIBIICIIDI 5.IAJIBIICIIDI 2.[AIIBIICIIDI 6.AIIBIICIID] 3.[AJIBIIC]IDI 4.IAJIBIICIID] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共30分) 8. 9 10. 11. 13. 6 *女力脑口h晒可h你切，网么e,标阳宀厚从体快干效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本天逖共U个小邀，共U业分.瓣合丛与出义子况明，址明则在以演昇步嫌) 17.(12分) 18.(8分) 频数个 400 320 300 10% E A 200 200 0 B 100 100 80 A m 345678/时 所抽取学生每周课外阅读时长的 所抽取学生每周课外阅读时长的 频数分布直方图 扇形统计图 20.(8分) A O· B O B 图1 请在等题路图容作出组形边框限起慰戴修绒靠无效！ 19.(8分) 20.(8分) B D A C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) y F B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 320 H 700 G A D D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) D 它 C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) D G G B-- B E E 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(14分) YA A B A B 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年泰州市中考第二次模拟考试检测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在下列各数中，最小的数为（    ） A． B． C． D．0 2．地震应急是指破坏性地震发生前所做的各种应急准备以及地震发生后采取的紧急抢险救灾行动．下列地震应急标志中，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 4．太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从光源发出的光线经抛物线反射后沿着与抛物线对称轴平行的方向射出．如果，则（   ） A． B． C． D． 5．某班有48位学生，每人抛10次硬币，统计正面向上的次数依次为0，1，2，…，10的人数，得到如图所示的直方图，则这次次数统计的众数和中位数分别是（    ） A．4，5 B．5，5 C．5，6 D．6，6 6．如图，在直角坐标系中，，点B的坐标是．若反比例函数的图象经过点A，C，且点A的横坐标是1，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 7．分解因式：________． 8．一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是________． 9．某探究小组对市面上35款“零糖”饮料进行含糖量测评统计，得到频数分布直方图（每一组含后一个边界值，不含前一个边界值）如图所示．根据《食品安全国家标准》，每100mL饮料含糖量不超过500mg，即可标注“零糖”，则名副其实的饮料有____________款． 10．已知，，则的值为_____． 11．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是________________ 12．已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的表面积为_____． 13．如图，在矩形土地上修建矩形菜地，并沿菜地四周修建宽度相等的环形小路．若小路宽，则菜地的面积为；若小路宽，则菜地的面积为．若菜地的面积为，则小路的宽度为______． 14．如图，为订书机的托板，压柄绕着点旋转，连接杆的一端点固定，点从向处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若 ，，则的长度为___．（结果保留整数，参考数据：） 15．如图，已知，，，，点是上一动点（不与、重合），连接，分别将和沿直线、翻折得到和，连接，给出下列结论： ； 面积的最小值为； 当、、三点共线时，四边形是菱形； 当时，的长为； 则正确结论有______．（填序号） 16．如图，为双曲线上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交直线于点、两点，若直线与轴交于点、与轴交于点，则值为______． 三、解答题（本大题共10个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题12分）计算与解不等式组 (1)计算：． (2)解不等式组： 18．（本题8分）某市教育局为了解全市初中生每周课外阅读时长（单位：时）的情况，在全市随机抽取了部分学生进行调查，按五个组别：A组，B组，C组，D组，E组进行整理，绘制出如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： (1)这次抽样调查的总人数是___________，扇形统计图中___________； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)若全市约有2万名初中生，请你估计该市每周课外阅读时长不少于6小时的初中生人数． 19．（本题8分）十二生肖是十二地支的形象化代表，是我国历史悠久的民俗文化符号．小辰收集了如图所示的五张不透明的生肖卡片（分别记作A，B，C，D，E），除正面图案不同外，其余完全相同，将其洗匀，背面朝上放置． (1)小辰从这五张卡片中随机抽取一张，恰好抽到“马”的概率是_____________； (2)小辰从这五张卡片中随机抽取一张，不放回，小强再从剩下的四张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求他们两人抽到的卡片中有一张是“马”的概率． 20．（本题8分）在古代，智慧的劳动人民已经会使用家畜拉动“石磨”磨制面粉，其原理为在磨盘的边缘连接一个“木杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．物理学上称这种动力传输工具为“杠杆原理”．小亮受此启发设计了一个“杠杆原理”，如图所示，是半径为6的直径，切于点A，交于点D．．请仅就下图的情形解答下列问题． (1)求的度数． (2)求弧的长．（结果保留） 21．（本题10分）已知四边形是矩形，，，M是对角线与的交点．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若反比例函数的图象经过点M，交于点E，交于点F． (1)求k的值； (2)求的面积． 22．（本题10分）2026年央视总台春晚由人形机器人与武术少年共同呈现的《武》节目，在除夕夜掀起了一阵“科技+传统”的视觉风暴．据了解，某科技公司2023年人形机器人项目营业收入2400万元，经过连续两年的增长，2025年全年该项目营业收入达到4704万元，请根据以上信息求出该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率，并预测2026年该公司的此项目营业收入（单位：万元，结果保留整数）． 23．（本题10分）小李同学进入初三复习以来，要用到的书籍与资料越来越多，他的课桌上已经放不下，小李在妈妈的建议下决定买一个桌边置物架，如图1所示，为适合自己的课桌尺寸，爱学习的小李量出相关数据如下：整体高，长，宽．同时还发现适合放书的有8层，如图2，每层之间的距离为．最底下一层可以用来放雨伞或水瓶，如图3，小李量得放书的每层隔板与水平线的夹角约为． (1)求最底层置物区开口的长； (2)已知目前初中课本标准是长约，宽，小李将最厚的一本书厚约如图4所示横放在书架上，则放书后整个书架占地的宽为多少？ (3)《中小学校设计规范》规定：中小学普通教室课桌椅横向留空不宜小于，否则会造成通行不便，小李同学与小明同学并行同排，且两课桌边缘相距，小明也买了一个同样的置物架，置物架可放在桌下部分约为宽，小李同学与小明同学将置物架靠桌边放，并尽可能贴近课桌，若放入的书厚度都不超过，是否会影响通行？ （结果精确到．参考数据：，，） 24．（本题10分）如图，正方形的边长为4，点在边上，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段． (1)在图中作出线段；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)当点，，三点共线时，求线段的长． 25．（本题12分）综合与实践 如图，在四边形中，是上一点，将四边形沿折叠，点B恰好落在射线上的点F处． (1)如图1，若四边形是正方形，延长交线段于点G，则与的数量关系是________． 类比探究 (2)如图2，若四边形是菱形，延长交线段于点G，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． 拓展应用 (3)若四边形是菱形，直线交直线于点G，，请直接写出线段的长． 26．（本题14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，当时，求点的坐标； (3)将抛物线的对称轴沿轴向右平移个单位得直线，点为直线上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $