2026届高三数学“8+3+3”三轮冲刺保分强化训练(17)

“8+3+3”73分三轮冲刺保分强化训练(17) (时间：45分钟分值：73分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·湖北荆州·一模）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·北京石景山·一模）如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足的是（   ） A．B．C． D． 3．（25-26高一下·安徽合肥·月考）某校在一次考试后，对两班的数学成绩进行分析.已知班有人，平均成绩为分，方差为；班有人，平均成绩为分，方差为.则两班全部名同学数学成绩的方差是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·湖南长沙·月考）在等比数列中，为其前n项和，若，，，则的值为（　　） A． B． C．20 D．30 5．（25-26高三下·重庆渝中·月考）已知向量且，对任意实数，恒有，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026·陕西西安·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知，则最大内角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·河南焦作·一模）已知函数若方程恰有2个实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·湖南怀化·一模）设为坐标原点，是的左、右焦点，若在双曲线上存在点，满足三角形的面积为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·江苏南京·一模）已知复数，，且，下列说法正确的是（   ） A．是纯虚数 B．是实数 C．是虚数 D．若，则是实数 10．（2026·湖南邵阳·二模）下列说法正确的是（   ） A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3 B．若随机变量，，则 C．某校在对高一（2）班学生的数学成绩调查中，随机抽取10名男生的数学成绩，其平均数为105，方差为24，随机抽取5名女生的数学成绩，其平均数为102，方差为21，则这15名学生的数学成绩的方差为25 D．一箱12罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率为 11．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数及其导函数的定义域均为R，在R上单调递增，为奇函数，则（   ） A． B． C．的图象关于直线对称 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三下·上海·月考）已知A、B为互斥事件，且，则______． 13．（2026高三·湖南·专题练习）如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为______． 14．（2026·山东德州·一模）在矩形中，已知是的中点，将沿直线翻折成为线段的中点，连接.当与平面所成角为时，三棱锥外接球的表面积为__________. 2 / 3 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ “8+3+3”73分三轮冲刺保分强化训练(17) (时间：45分钟分值：73分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·湖北荆州·一模）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】利用向量平行的坐标公式和充分条件及必要条件求解. 【解析】充分性分析：，，， ，，故充分性成立； 必要性分析：，， ，， ，，，故必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件 2．（2026·北京石景山·一模）如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【解题思路】利用空间向量法可解. 【解析】 不妨以为原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 对于A，则， ， 则，所以不垂直，故A错误； 对于B，则， ，则，所以不垂直；故B错误； 对于C，则， ，则，所以垂直，故C正确； 对于D，则， ，则，所以不垂直，故D错误. 3．（25-26高一下·安徽合肥·月考）某校在一次考试后，对两班的数学成绩进行分析.已知班有人，平均成绩为分，方差为；班有人，平均成绩为分，方差为.则两班全部名同学数学成绩的方差是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】两班全部名同学数学成绩的平均数为， 方差. 4．（25-26高三下·湖南长沙·月考）在等比数列中，为其前n项和，若，，，则的值为（　　） A． B． C．20 D．30 【答案】B 【解题思路】先分析出，然后由条件求出及的值，再根据在等比数列中仍构成等比数列，列出方程，即可求出. 【解析】在等比数列中,若，则， 由，知显然不成立，故. 将代入，解得，进而可得. 设，在等比数列中，因为仍构成等比数列， 所以，即， 整理可得，即，解得或. 因为，所以. 5．（25-26高三下·重庆渝中·月考）已知向量且，对任意实数，恒有，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】将模长不等式转化为关于的二次函数，利用二次函数性质，由其在 处取最小值推导出点积. 【解析】不等式等价于，设， 原不等式等价于对所有实数恒成立，即是的最小值， 整理，， 易得二次函数开口向上，在对称轴处取最小值， 则有，解得. 6．（2026·陕西西安·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知，则最大内角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先由正弦定理得到边的比例关系，再结合边的关系推导出最大边，最后用余弦定理求最大角的余弦值即可. 【解析】由题意得， 结合正弦定理得：， 所以 因为，所以， 则，即， 由正弦定理，得． 又，同理可得， 所以，故为的最大内角， 设，所以． 7．（2026·河南焦作·一模）已知函数若方程恰有2个实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】画出函数图象，数形结合得到答案. 【解析】时，，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，时，，故， 当时，单调递增，且， 画出的图象如下： 方程恰有2个实根，即与有2个交点， 则，则实数的取值范围是. 8．（2026·湖南怀化·一模）设为坐标原点，是的左、右焦点，若在双曲线上存在点，满足三角形的面积为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用已知，双曲线定义和的面积，最后利用双曲线离心率公式计算得到离心率. 【解析】设，双曲线焦点，， 由，得， 又因为的面积， 所以， 平方得：， 因为在双曲线上，满足， 所以， 所以 化简得， 代入，得：， ，约去得，即, 代入得， 因此离心率： . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·江苏南京·一模）已知复数，，且，下列说法正确的是（   ） A．是纯虚数 B．是实数 C．是虚数 D．若，则是实数 【答案】AD 【解析】A. 为纯虚数，故A正确； B.，只有时，才是实数，故B错误； C.，只有时为虚数，为实数，故C错误； D. 为实数，故D正确. 10．（2026·湖南邵阳·二模）下列说法正确的是（   ） A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3 B．若随机变量，，则 C．某校在对高一（2）班学生的数学成绩调查中，随机抽取10名男生的数学成绩，其平均数为105，方差为24，随机抽取5名女生的数学成绩，其平均数为102，方差为21，则这15名学生的数学成绩的方差为25 D．一箱12罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率为 【答案】BC 【解题思路】A选项，由百分位数的定义进行求解；B选项，利用二项分布的期望和方差公式进行求解；C选项，利用总体方差和样本方差的关系进行求解；D选项，利用超几何分布求解相应的概率 【解析】A选项，，故从小到大选取第2和第3个数的平均数作为第25百分位数， 即，故数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3.5，A错误； B选项，随机变量，，即，解得， 所以则，B正确； C选项，这15名学生的数学成绩的平均数为， 故这15名学生的数学成绩的方差为，C正确； D选项，2罐中有奖券的概率为，D错误. 11．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数及其导函数的定义域均为R，在R上单调递增，为奇函数，则（   ） A． B． C．的图象关于直线对称 D． 【答案】AC 【解题思路】A根据奇函数以及令可得；B根据奇函数以及反证法结合单调性可判断；C结合A选项以及单调性即可求出；D结合函数的单调性和对称性判断. 【解析】因为为奇函数，所以， 令，得，得，故A正确； 令，则，即， 若，则恒成立，与在R上单调递增矛盾，故B错误； 因为，所以的图象关于点中心对称， 又，在R上单调递增，所以时，时， 故在上单调递减，在上单调递增， 又函数的导函数为，则，得，其中为常数， 令，得，得，故， 故的图象关于直线对称，故C正确； 由的对称性可知，， 因为，以及的单调性可知，，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三下·上海·月考）已知A、B为互斥事件，且，则______． 【答案】0.2/ 【解题思路】利用互斥事件和的概率公式求得再利用对立事件的概率求解即得. 【解析】因为为互斥事件，则， 所以. 13．（2026高三·湖南·专题练习）如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为______． 【答案】/ 【解题思路】设，利用余弦定理及三角恒等变换将表示为的函数，再利用正弦函数的性质求出最大值. 【解析】在中，，设，则，， 在中，，则， 由余弦定理得 ， 因，则， 故当，即时，， 所以的最大值为. 14．（2026·山东德州·一模）在矩形中，已知是的中点，将沿直线翻折成为线段的中点，连接.当与平面所成角为时，三棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】/ 【解题思路】取的中点，先证明平面平面，则与平面所成角为，即，再证为的外接圆的圆心，设为三棱锥外接球的球心，半径为，设，分别考虑球心和点位于平面的两侧和同侧分别讨论，利用球的表面积公式求解. 【解析】因是的中点，则， 是矩形，， 翻折后，因为线段的中点，则， 因，，则，故， 取的中点，连接，则，，， ，平面，平面，平面， 平面，平面平面，在平面的射影为， 与平面所成角为，， 因和都是直角三角形，则，为等边三角形， 取的中点为，连，则， 平面，平面，， ，，平面，平面， 平面， 是直角三角形，，为的外接圆的圆心， 设为三棱锥外接球的球心，半径为，则平面， 设，则， 若球心和点位于平面的两侧，如图1，延长到点，使得， 平面，平面，， 四边形为平行四边形，， ， ， 解得，则， 三棱锥外接球的表面积； 若球心和点位于平面的同侧，如图2， 平面，平面，， 过点作，交于点，则四边形为平行四边形， 则，， 则，解得，舍去. 综上可得，三棱锥外接球的表面积为. 【点睛】 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $