5.3正方形专题练习2025-2026学年浙教版八年级数学下册

2026年浙教版八年级第二学期第五单元：特殊平行四边形之正方形 【知识点】正方形的性质 1.如图，在正方形ABCD中，AB＝10，点E、F是正方形内两点，AE＝FC＝6，BE＝DF＝8，则EF的长为（　　） A． B． C． D．3 【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝10，AE＝FC＝6，BE＝DF＝8，如图：延长AE交DF于G， ∵AB＝10，AE＝6，BE＝8， ∴△ABE是直角三角形， ∴同理可得△DFC是直角三角形， 可得△AGD是直角三角形 ∴∠ABE+∠BAE＝∠DAE+∠BAE， ∴∠GAD＝∠EBA， 同理可得：∠ADG＝∠BAE， 在△AGD和△BAE中， ， ∴△AGD≌△BAE（ASA）， ∴AG＝BE＝8，DG＝AE＝6， ∴EG＝2， 同理可得：GF＝2， 在直角三角形GEF中，由勾股定理得：EF， 故选B． 2.如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形．连接AG，BG，DE．若点F是线段DE上的一点，且EF＝3DF＝3，则AG＝（　　） A．5 B． C． D． 【解答】解：过点G作直线垂直BC于点M，交AD于点N，如图所示： ∵EF＝3DF＝3， ∴EF＝3，DF＝1， ∴DE＝EF+DF＝4， ∵四边形CEFG是正方形， ∴CE＝EF＝FG＝CG＝3，∠CGF＝∠CGB＝∠E＝90°， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD5， 在正方形ABCD中，AD＝CD＝BC＝5，∠ADC＝∠BCD＝90°， 在Rt△BCG中，BC＝5，CG＝3， 由勾股定理得：BG4， ∵MN⊥BC， ∴∠NMC＝90°， ∴由三角形的面积公式得：S△BGCBC•GMBG•CG， ∴GM， 在Rt△MCG中，由勾股定理得：CM， ∵∠NMC＝∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴四边形CDNM是矩形， ∴MN＝CD＝5，DN＝CM，∠MND＝∠MNA＝90°， ∴AN＝AD﹣DN，GN＝MN﹣GM， 在Rt△AGN中，由勾股定理得：AG． 故选：D． 3.如图是正方形纸片ABCD，点E在边BC上（不与点B，C重合），连接DE．把四边形ADEB翻折，折痕为DE，点A，B分别落在A′，B′处．若AB＝3，则点A′到点A的距离可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：连接AA′，与DE相交于点O，由折叠的性质可知DE垂直且平分AA′， ∴AA′＝2OA， 由图可知，在正方形ABCD中，AD＝AB＝3， 当点E与点B重合时，∠ADO＝45°， 当点E与点C重合时，此时∠ADO＝90°， ∵点E在边BC上（不与点B，C重合）， ∴45°＜∠ADO＜90°， ∴0°＜∠DAO＜45°， 在Rt△AOD中，当∠DAO＝45°时， ∴OA＝OD，OA2+OD2＝AD2， ∴2OA2＝32， 此时， 当点E与点C重合时，AO＝AD＝3， ∴OA＜3， ∴3AA'＜6， ∵， ∵3，4，5，6中，只有5在此范围内， ∴C选项符合题意， 故选：C． 4.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若点E是AH的中点，连接BH并延长交CD于点I，若DI＝1，则线段BI的长为（　　） A．4 B．5 C． D． 【解答】解：∵点E是AH的中点， ∴AE＝EH， ∵四个直角三角形全等， ∴BE＝AH＝DG，∠EBH＝∠CDG，DH＝AE＝CG， ∴BE＝2EH， ∵四边形EFHG是正方形， ∴∠BEH＝90°，EH＝HG ∴AB＝BH， ∵EF∥HG， ∴∠FBH＝∠GHB， ∵∠BHG＝∠DHI， ∴∠IDH＝∠DHI， ∴HI＝DI＝1， 设BC＝CD＝BH＝a， ∴BI＝a+1，CI＝a﹣1， ∵BC2+CI2＝BI2， ∴a2+（a﹣1）2＝（a+1）2， ∴a＝4或a＝0（不合题意舍去）， ∴BI5， 故选：B． 5.如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一个动点（不与点A，点B重合），连结CE，作BF⊥CE交AD于点F，垂足为点G，连结CF，记△BEG，△CDF，△CFG，△BCG，四边形AEGF的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，方方通过探究，得到以下两个结论：①S1+S2＝S3，②S4＝S5．则下列选项中，正确的是（　　） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【解答】解：由正方形ABCD，BF⊥CE， 得△ABF≌△BCE（ASA）， 得S1+S5＝S1+S4， 得S4＝S5， 由S1+S2+S5＝S3+S4， 得S1+S2＝S3． 故选：A． 6.如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH＝DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：①FH＝2BH；②AC⊥FH；③S△ACF＝1；④CEAF；⑤EG2＝FG•DG，其中正确结论的有　①②④⑤　 （只填序号）． 【解答】解：①②如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝90°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠FAD＝∠CAF＝22.5°， 在△ABH和△ADF中，， ∴△ABH≌△ADF（SAS）， ∴AH＝AF，∠BAH＝∠FAD＝22.5°， ∴∠HAC＝∠FAC， ∴HM＝FM，AC⊥FH， ∵AE平分∠DAC， ∴DF＝FM， ∴FH＝2DF＝2BH， 故①②正确； ③在Rt△FMC中，∠FCM＝45°， ∴△FMC是等腰直角三角形， ∵正方形的边长为2， ∴AC＝2，MC＝DF＝22， ∴FC＝2﹣DF＝2﹣（22）＝4﹣2， S△AFCCF•AD≠1， 故③不正确； ④AF2， ∵△ADF∽△CEF， ∴， ∴CE， ∴CEAF， 故④正确； ⑤延长CE和AD交于N，如图2， ∵AE⊥CE，AE平分∠CAD， ∴CE＝EN， ∵EG∥DN， ∴CG＝DG， 在Rt△FEC中，EG⊥FC， ∴∠GEF＝∠GCE， ∴△EFG∽△CEG， ∴， ∴EG2＝FG•CG， ∴EG2＝FG•DG， 故选项⑤正确； 故答案为：①②④⑤． 7.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD的延长线上，连接AE，AF，EF，AE与CF交于点G．已知∠EAF＝45°，AB＝3．有以下四个结论：①BE﹣DF＝EF；②∠AEF＝∠AEB；③GF＝GE；④若DF＝1，则△AEF的面积为7.5． 以上结论中正确的是 　①②④　 ． 【解答】解：①在BC上截取BH＝DF，连接AH，GH，过点H作HT⊥AE于T，如图1所示： ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠CDA＝90°， ∴∠B＝ADF＝90°， 在△ABH和△ADF中， ， ∴△ABH≌△ADF（SAS）， ∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，∠AHB＝∠AFD， ∵∠EAF＝∠EAD+∠DAF＝45°， ∴∠EAD+∠BAH＝45°， ∴∠EAH＝∠DAB﹣（∠EAD+∠BAH）＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAH＝∠EAF＝45°， 在△EAH和△EAF中， ， ∴△EAH≌△EAF（SAS）， ∴EH＝EF， ∵EH＝BE﹣BH＝BE﹣DF， ∴BE﹣DF＝EF， 故结论①正确； ②∵△EAH≌△EAF， ∴∠AEF＝∠AEB， 故结论②正确； ③设∠DAF＝α， ∴∠BAH＝∠DAF＝α， ∴∠AHB＝∠AFD＝90°﹣α， ∵∠EAH＝45°， ∴∠EAB＝∠EAH+∠BAH＝45°+α， ∴∠AEB＝90°﹣∠EAB＝90°﹣（45°+α）＝45°﹣α， 在△AHG和△AFG中， ， ∴△AHG≌△AFG（SAS）， ∴∠AHG＝∠AFD＝90°﹣α，GH＝GF， ∴∠BHG＝∠AHB+∠AHG＝90°﹣α+90°﹣α＝180°﹣2α， ∴∠GHE＝180°﹣∠BHG＝180°﹣（180°﹣2α）＝2α， ∴∠AEB≠∠GHE， ∴GE≠GH， 即GF≠GE， 故结论③不正确； ④设EH＝x，其中x≠0， ∵DF＝1，AB＝3， ∴BH＝DF＝1，BE＝BH+EH＝x+1， 在Rt△ABH中，由勾股定理得：AH， ∵∠EAH＝45°，HT⊥AE， ∴△ATH为等腰直角三角形， 由勾股定理得：AT＝HTAH， 在Rt△EHT中，由勾股定理得：ET， ∴AE＝AT+ET， 在Rt△EAB中，由勾股定理得：AE2＝AB2+EB2， 即， 整理得：√， ∴5x2﹣25＝（x+5）2， 整理得：2x2﹣5x﹣25＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）， ∴EH＝x＝5， ∴S△EAHEH•AB5×3＝7.5， ∵△EAH≌△EAF， ∴S△AEF＝S△EAH＝7.5． 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 8.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，点B，C关于EF对称，点M在EF上，点N在AE上，且点A，M关于BN对称，BM的延长线交AD于点H，CM交BD于点G，则 　　 ． 【解答】解：设AB＝BC＝CD＝AD＝2a，过点G作GT⊥CD于点T． ∵A，M关于BN对称， ∴AB＝BM＝BC， ∵B，C关于EF对称， ∴BM＝MC＝BC， ∴△BCM是等边三角形， ∴∠MBC＝∠BCM＝60°， ∵∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴∠ABH＝∠DCG＝30°， ∴BH＝2AH， ∴AHa， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CDB＝45°， ∵GT⊥CD， ∴DT＝GT，CG＝2TG，CTGT， ∵DT+TC＝2a， ∴DT＝TG＝（1）a， ∴CG＝2（1）a， ∴． 故答案为：． 9.如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，点E为OC上一点，连接BE并延长交CD于点F，满足BA＝BE．若，，则BC＝ 　　 ． 【解答】解：∵BA＝BE， ∴∠FEC＝∠BEA＝∠BAE， ∵四边形ABCD是矩形，点F在CD上， ∴BA＝CD，CF∥AB，∠BCF＝90°， ∴∠FCE＝∠BAE，CD＝BE， ∴∠FEC＝∠FCE， ∴FC＝FE， ∵FC＝CD﹣DF＝BE﹣DF，FE＝BF﹣BE，且BF＝4，DF＝2， ∴BE﹣24BE ∴BE＝3， ∴FC＝FE＝BF﹣BE＝43， ∴BC， 故答案为：． 10.如图，从一个大正方形中裁去面积为8和18的两个小正方形，则剩下的阴影部分面积为　24　 ． 【解答】解：由图可得， 大正方形的边长为235， ∵裁去的部分是面积为8和18的两个小正方形， ∴剩下的阴影部分面积为：（5）2﹣8﹣18 ＝50﹣8﹣18 ＝24， 故答案为：24． 11.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，小明用相同的七巧板拼成一个无缝隙的正方形（如图1）和一个中间留有空白的数字“0”（如图2），若图1正方形的面积是16，则图2中空白部分的面积是 　88　 ． 【解答】解：由题意，图1中，大正方形的边长为4， 图2中，空白部分的面积＝2416＝88． 故答案为：88． 12.如图，正方形ABCD的边长为4，点G是边AD的中点，点E是边CD上的动点，连接BE，将△BCE沿BE翻折得到△BFE，连接GF．当GF最小时，CE的长为　22　 ． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4， ∴∠C＝∠A＝90°，AB＝AD＝BC＝4， ∵点G是边AD的中点， ∴AG＝DG＝2， 连接BG， ∴BG2， ∵将△BCE沿BE翻折得到△BFE， ∴BF＝BC＝4， ∵GF≥BG﹣BF， ∴当点G、F、B三点共线时，GF最小， 连接EG，设DE＝x，则CE＝EF＝4﹣x， ∵S梯形CBGD＝S△EDG+S△BCE+S△EBG， ∴（2+4）×42x4×（4﹣x）2（4﹣x）， 解得x＝6﹣2， ∴CE＝4﹣（6﹣2）＝22． 故答案为：22． 【知识点】正方形综合 1.如图1，在正方形ABCD中，点P在AB上，连结CP，过点B作BE⊥CP于点E，过点D作DF⊥CP于点F． （1）求证：△CBE≌△DCF． （2）如图2，延长CP至点G，使EG＝EB，连结BG，DG． ①探究线段BG，CG，DG之间的数量关系，并说明理由． ②连结AG，若，AD＝3，求DG的长． 【解答】（1）证明：∵正方形ABCD， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°， ∵BE⊥CP，DF⊥CP， ∴∠BEC＝∠CFD＝90°， ∴∠BCE+∠CBE＝90°， ∵∠BCE+∠DCF＝90°， ∴∠CBE＝∠DCF， 在△CBE和△DCF中， ， ∴△CBE≌△DCF（AAS）； （2）解：①∵△CBE≌△DCF， ∴CE＝DF，BE＝CF， ∴BE＝CF＝EG， ∵GF＝EG+EF＝CF+EF＝CE＝DF， ∴△DGF是等腰直角三角形， ∵CG＝CE+EG＝GF+EG， ∴； ②过点B作BH⊥BG交CG于H，过点A作AQ⊥GD交GD于点Q， ∴∠GBH＝∠PBC＝90°，GB＝BH， ∴∠GBA＝∠HBC， ∵AB＝BC， ∴△ABG≌△CBH（SAS）， ∴∠GAB＝∠HCB＝∠CDF， ∵∠CDF+∠ADG＝45°， ∴∠GAB+∠ADG＝45°， ∴∠AGD＝45°， ∵AG， ∴AQ＝GQ＝1， ∴DQ， ∴DG＝GQ+DQ＝1． 2.如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点（不与点A，C重合），连接DE，BE．过点E作BC，AB的垂线，垂足分别为点F，点G，连接FG与BE相交于点O． （1）求证：DE＝BE； （2）圆圆说：“直线DE⊥GF”．你认为圆圆的说法是否正确？请说明理由； （3）若AE＝2，CE＝6，求GF的长度． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAE＝∠BAE＝45°， 在△ADE和△ABE中， ， ∴△ADE≌△ABE（SAS）， ∴DE＝BE； （2）解：圆圆的说法正确，理由如下： 延长FE交AD于点P，延长DE交GF于点H，如图所示： 在正方形ABCD中，AD∥BC，∠GAP＝∠GBF＝90°，AD＝AB， ∵EF⊥BC， ∴EP⊥AD， 又∵EG⊥AB， ∴∠EGA＝∠EGB＝∠GAP＝∠EPA＝∠GBF＝∠EBF＝90°， ∴四边形EGAP和四边形EFBG都是矩形， ∴∠GEF＝90°，PF＝AB＝AD， ∵∠DAE＝45°， ∴∵△PAE是等腰直角三角形， ∴PA＝PE， ∴矩形EGAP是正方形， ∴EG＝PE，∠GEF＝∠EPD＝90°，∠PEG＝90°， ∵PF＝AB＝AD， ∴PE+EF＝PA+PD， ∴EF＝PD， 在△EFG和△EPD中， ， ∴△EFG≌△EPD（SAS）， ∴∠EGF＝∠PED， ∵∠PEG＝90°， ∴∠GEH+∠PED＝90°， ∴∠GEH+∠EGF＝90°， 在GEH中，∠GHE＝180°﹣（∠GEH+∠EGF）＝90°， ∴EH⊥GF， 即直线DE⊥GF， 故圆圆的说法正确； （3）解：∵∠BAE＝45°，∠EGA＝90°， ∴△AEG是等腰直角三角形， 由勾股定理得：AEEG， ∵AE＝2， ∴EGAE， 同理：△EFC是等腰直角三角形， 由勾股定理得：CEEF， ∵CE＝6， ∴EFCE， 在Rt△GEF中，由勾股定理得：GF． 3.如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点（不与端点重合），延长BC至点F使CF＝BE，连结BD，过点F作FG⊥BD于点G，连结AE，EG，FD． （1）求证：四边形AEFD为平行四边形． （2）若，，求CF的长． （3）当点E在BC上任意运动时（不与端点重合），求的值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵CF＝BE， ∴CF+CE＝BE+CE， 即EF＝BC， ∴AD∥EF，AD＝EF， ∴四边形AEFD为平行四边形． （2）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠GBF＝45°， ∵FG⊥BD， ∴∠BGF＝90°， ∴△BGF是等腰直角三角形， ∵BG， ∴BFBG， ∵DG， ∴BD＝BG+DG＝2， ∴BCBD， ∴CF＝BF﹣BC； （3）连接AG，CG，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∴AB＝CB，∠ABG＝∠CBG＝45°， 在△ABG和△CBG中， ， ∴△ABG≌△CBG（SAS）， ∴AG＝CG，∠AGB＝∠CGB， ∵FG⊥BD， ∴∠BGF＝90°， 又∵∠CBG＝45°， ∴△GBF是等腰直角三角形， ∴GF＝GB，∠F＝∠CBG＝45°， 在△GCF和△GEB中， ， ∴△GCF≌△GEB（SAS）， ∴CG＝EB，∠CGF＝∠EGB， ∴AG＝EG， ∴△GAE是等腰三角形， ∵∠AGB＝∠CGB，∠CGF＝∠EGB， ∴∠AGE＝∠AGB+∠EGB＝∠CGB+∠CGF＝∠BGF＝90°， ∴△GAE是等腰直角三角形， 在Rt△GAE中，由勾股定理得：AEEG， ∴． 4.如图1，正方形ABCD与矩形AEFG的顶点重合于点A，且D为FG边上的一点，B，E，F三点共线． （1）求证：矩形AEFG为正方形； （2）如图2，连接CF，BD，若O，P，Q分别是BD，DF，CF的中点，连接OP，OQ，求证：∠POQ＝45°； （3）在（2）的条件下，已知CF＝1，AD＝5，求DF的长度． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∵四边形AEFG为矩形， ∴∠AEB＝∠EAG＝∠G＝90°， ∴∠BAD＝∠EAG＝90°， ∴∠BAE＝∠DAG． 在△BAE和△DAG中， ， ∴△BAE≌△DAG（AAS）， ∴AE＝AG， ∴矩形AEFG为正方形； （2）证明：连接AC，OF，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AC，BD互相平分， ∴AC经过BD的中点O， ∴OA＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD， ∵四边形AEFG为矩形， ∴∠BFD＝90°， ∵O为BD的中点， ∴OF＝OB＝ODBD， ∴OC＝OF＝OD， ∵P，Q分别是DF，CF的中点， ∴OP平分∠DOF，OQ平分∠COF， 即∠POFDOF，∠FOQFOC， ∵∠DOC＝90°， ∴∠POQ＝∠POF+∠FOQ（∠DOF+∠COF）90°， ∴∠POQ＝45°； （3）解：延长OQ，DF交于点H，如图， 由（2）知：∠POQ＝45°，OD＝OF， ∵DP＝PF， ∴OP⊥DF， ∴△OPH为等腰直角三角形， ∴OP＝PHOH，∠H＝45°． ∵OF＝OC，QC＝QF， ∴OQ⊥CF， ∴△FQH为等腰直角三角形， ∴QH＝QF， ∴FHQH． ∵四边形ABCD为正方形，AD＝5， ∴AC＝BD＝5， ∴OC＝OD＝OF， ∴OQ， ∴OH＝OQ+QH＝4， ∴OP＝PHOH＝2， ∴PF＝PH﹣FH， ∴DF＝2PF＝3． 5.如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接BE，点C关于直线BE的对称点为点F，连接BF，EF． （1）如图1，若点F恰好落在对角线BD上，连接AF，求∠CAF的度数． （2）如图2，连接DF，CF，若DF∥BE，试判断线段DF与CF的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）如图3，连接DF，DE，记△DEF的面积为S1，△BEF的面积为S2，若DF⊥FE，求的值． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ABD，∠BAC， ∵点C关于直线BE的对称点为点F， ∴BF ＝BC， ∴AB＝BF， ∴∠BAF＝∠AFA67.5°， ∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝22.5°； （2）如图1， DF⊥CF，CF＝2DF，理由如下， 延长BE，交CF于G， ∵点C关于直线BE的对称点为点F， ∴BG⊥CF，CF＝2CG， ∴∠BGC＝90°， ∵DF∥BE， ∴DF⊥CF， ∴∠CFD＝90°， ∴∠CFD＝∠BGC＝90°， ∴∠DCF+∠CDF＝90°， ∵∠BCD＝90°， ∴∠BCG+∠DCF＝90°， ∴∠CDF＝∠BCG， ∵BC＝CD， ∴△BCG≌△CDF（AAS）， ∴CG＝DF， ∴CF＝2DF； （3）（方法一）如图2， 连接BD，作BH⊥DF，交DF的延长线于点H，作BG⊥FE，交FE的延长线于点G，连接BD，交AC于O， 不妨设正方形的边长是2， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BD⊥AC，BDAB＝2，OB＝OD，∠ACB， ∵点C关于直线BE的对称点为点F， ∴S△BCE＝S△BEF，CE＝EF，∠BFE＝∠ACB＝45°，BF＝BC＝2， ∴， ∴BG＝OB， ∵DF⊥EF， ∴∠DFE＝90°， ∴∠BFE＝180°﹣∠DFE﹣∠BFE＝45°， ∴BH＝FHBF， ∴DH， ∴DF＝DH﹣FH， ∴， （方法二），如图3， 连接BD，作BG⊥DF，交DF的延长线于G，作EW⊥BC于W，作FH⊥AD于H， 不妨设正方形的边长是2， 由上知，DF， BG＝FG，BD＝2， ∵∠ACB＝45°， ∴EF＝CEEW， ∴． 6.如图，P是正方形ABCD内一点，CP＝CB． （1）填空：①若∠PCB＝30°，则∠BPD＝ 　135°　 ； ②若∠PCB＝x°，则∠BPD＝ 　135°　 ． （2）若BC＝5，BP＝2，求PD的长． （3）若∠APD＝90°，求的值． 【解答】解：（1）如图1所示： ①∵CP＝CB，∠PCB＝30°， ∴∠CPB（180°﹣∠PCB）＝75°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°， ∴∠PCD＝∠BCD﹣∠PCB＝60°， 又∵CP＝BC＝CD， ∴△PCD是等边三角形， ∴∠CPD＝60°， ∴∠BPD＝∠CPB+∠CPD＝75°+60°＝135°， 故答案为：135°； ②∵CP＝CB，∠PCB＝x°， ∴∠CPB（180°﹣∠PCB）＝90°x°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°， ∴∠PCD＝∠BCD﹣∠PCB＝90°﹣x°， 又∵CP＝BC＝CD， ∴∠CPD（180°﹣90°+x°）＝45°x°， ∴∠BPD＝∠CPB+∠CPD＝90°x°+45°x°＝135°， 故答案为：135°； （2）过点C作CH⊥PD于点H，CH的延长线交BP的延长线于点M，连接MD，如图2所示： ∵四边形ABCD是正方形，BC＝5， ∴BC＝CD＝5，∠BCD＝90°， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD， ∵CP＝BC＝CD， ∴CM是线段PD的垂直平分线， ∴MP＝MD， 由（1）可知：∠BPD＝135°， ∴∠MPD＝180°﹣∠BPD＝45°， ∴△MPD是等腰直角三角形， 设MP＝MD＝x，∠PMD＝90°， 由勾股定理得：PD， ∵BP＝2， ∴BM＝MP+BP＝x+2，∠BMD＝90°， 在Rt△BMD中，由勾股定理得：BM2+MD2＝BD2， ∴， 整理得：（x+1）2＝24， 解得：x，x0（不合题意，舍去）， ∴PD； （3）过点C作CE⊥PD于点E，如图3所示： ∵CP＝BC＝CD， ∴CE是线段PD的垂直平分线， ∴ED＝EP， ∴DP＝2ED， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∵∠APD＝90°，CE⊥PD， ∴∠APD＝∠DEC＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠2， 在△APD和△DEC中， ， ∴△APD≌△DEC（AAS）， ∴PA＝ED， ∴PD＝2AP， ∴． 7.如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上（不与点B，C重合），连结AE．点D关于直线AE的对称点为P，连结PA，PB，PD，PD交AE于点F，延长PB交AE的延长线于点H． （1）依题意补全图形，并判断AP与AB是否相等． （2）求∠AHB的度数． （3）求证：BH+PHAH． 【解答】（1）解：如图1，连结PA，PB，PD，PD交AE于点F，延长BP、AE交于点H， AP＝AB，理由如下： ∵点P与点D关于直线EF对称， ∴AE垂直平分PD， ∴AP＝AD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD， ∴AP＝AB． （2）解：如图1，延长PA到点L， ∵AP＝AB，AP＝AD， ∴∠APB＝∠ABP，∠APD＝∠ADP， ∴∠LAB＝∠APB+∠ABP＝2∠APB，∠LAD＝∠APD+∠ADP＝2∠APD， ∴∠APB∠LAB，∠APD∠LAD， ∵∠BAD＝90°， ∴∠HPD＝∠APB﹣∠APD（∠LAB﹣∠LAD）∠BAD＝45°， ∵∠PFH＝90°， ∴∠AHB＝90°﹣∠HPD＝45°， ∴∠AHB的度数是45°． （3）证明：如图2，连结并延长HD，作AK⊥AH交HD的延长线于点K， ∵AE垂直平分PD，点H在直线AE上， ∴DH＝PH， ∴∠AHK＝∠AHB＝45°， ∵∠HAK＝90°， ∴∠K＝∠AHK＝45°， ∴AK＝AH， ∴HKAH， ∵∠HAK＝∠BAD＝90°， ∴∠DAK＝∠BAH＝90°﹣∠DAH， 在△DAK和△BAH中， ， ∴△DAK≌△BAH（SAS）， ∴DK＝BH， ∴BH+PH＝DK+DH＝HK， ∴BH+PHAH． 8.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB和BC的延长线上（点E不与点A，点B重合），且CF＝AE，连接DE，DF，EF．过点D作DH⊥EF于H，连接CH． （1）求证：点H是线段EF的中点． （2）若AB＝3，CF＝1，求CH． （3）求证：点H始终在正方形ABCD的对角线AC上． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴DC＝DA，∠DAB＝∠DCB＝∠B＝90°， ∴∠DCF＝∠DAB＝90°， 在△DCF和△DAE中， ， ∴△DCF≌△DAE（SAS）， ∴DF＝DE， ∵DH⊥EF于H， ∴EH＝FH， 即点H是线段EF的中点； （2）解：过点H作HK⊥BF于K，如图1所示： ∵AB＝3，CF＝1， ∴BC＝AB＝3，AE＝CF＝1， ∴BF＝BC+CF＝4，BE＝AB﹣AE＝2， ∵HK⊥BF于K，∠B＝90°， ∴HK∥AB， ∵点H是线段EF的中点， ∴HK是△BEF的中位线， ∴HKBE＝1，BK＝FKBF＝2， ∴CK＝FK﹣CF＝2﹣1＝1， 在Rt△HKC中，由勾股定理得：CH； （3）法一 证明：连接AH，过点H作HK⊥BC于K，HT⊥AB于T，如图2所示： 则四边形BKHT为矩形， ∴BK＝HT，HK＝BT，HK∥AB，∠KHT＝∠BTH＝90°， 设CF＝a，HK＝b，则AE＝CF＝a，HK＝BT＝b， ∵点H是线段EF的中点，HK∥AB， ∴HK是△BEF的中位线， ∴BE＝2HK＝2b，BK＝FKBF， ∴BC＝AB＝AE+BE＝a+2b， ∴BF＝BC+CF＝a+2b+a＝2a+2b， ∴FK＝BKBF＝a+b， ∴FK＝CF+CK＝a+CK＝a+b， ∴CK＝b， ∴HK＝CK＝b， ∴△CHK为等腰直角三角形， ∴∠CHK＝45°， ∵HT＝BK＝a+b，AT＝AB﹣BT＝AB﹣HK＝a+2b﹣b＝a+b， ∴△AHT为等腰直角三角形， ∴∠AHT＝45°， ∴∠AHC＝∠AHT+∠KHT+∠CHK＝45°+90°+45°＝180°， ∴A，H，C在同一条直线上， ∴点H始终在正方形ABCD的对角线AC上． 法二：连接AH，过点H作HM⊥AD于K，HN⊥AB于T，如图3所示： 由（1）知△DCF≌△DAE、DE＝DF ∴∠ADE＝∠CDF ∴∠ADE+∠EDC＝90° ∴∠CDF+∠EDC＝90° ∴∠EDF＝90° ∴△EDF为等腰直角三角形 ∵由（1）知EH＝FH ∴DH＝EH、∠EHD＝90° ∵HN⊥AB、HM⊥AD ∴∠ANH＝∠AMH＝90° ∵∠A＝90° ∴四边形ANHM为矩形 ∴∠NHM＝90° ∴∠NHE+∠EHM＝90° ∵∠MHD+∠EHM＝90° ∴∠NHE＝∠MHD ∴Rt△NHE≌Rt△MHD（AAS） ∴HN＝HM ∵HN⊥AB、HM⊥AD ∴点H在∠BAD的角平分线上 即点H始终在正方形ABCD的对角线AC上 9.综合与实践 问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD，且∠ABF＞∠BAF． 特殊化探究：连接BH．设BF＝a，AF＝b． “运河小组”从线段长度的特殊化提出问题： （1）若AB＝5，FG＝1，求△ABF的面积． “武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题： （2）若b＝2a，求证：∠BAE＝∠BHE． 深入探究：老师进一步提出问题： （3）如图2，连接BE，延长FA到点I，使AI＝AB，作矩形BFIJ．设矩形BFIJ的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2，若BE平分∠ABF，求证：S1＝S2． 请你解答这三个问题． 【解答】（1）解：设BF＝a，则BG＝a+1， ∵△ABF≌△BCG， ∴AF＝BG＝a+1， ∵AB＝5， ∴在Rt△ABF中，BF2+AF2＝AB2， 即a2+（a+1）2＝25， 解得a＝3（负值舍去）， ∴BF＝3，AF＝4， ∴S△ABFBF•AF＝6． （2）证明：∵b＝2a， ∴AF＝2BF＝2AE， ∴AE＝EF， ∵四边形EHGF是正方形， ∴HG＝HE＝EF＝GF＝BF， ∵AF＝BG，∠AFB＝∠HGE＝90°， ∴△HGB≌△BFA（SAS）， ∴∠GBH＝∠BAF， ∵DE∥BG， ∴∠BHE＝∠HBG， ∴∠BAE＝∠BHE． （3）证明：设DH＝CG＝BF＝AE＝a，正方形HEFG的边长为d，AI＝AB＝AD＝c， 如图，过E分别作AB，AD的垂线，垂足分别为M、N， S1＝a（a+d+c）＝a（a+d）+ac＝AD•EN+ac， ∵BE平分∠ABF， ∴∠FBE＝∠MBE， ∵∠BME＝∠BFE＝90°，BE＝BE， ∴△BEF≌△BEM（AAS）， ∴BM＝BF＝a， ∴NE＝AM＝c﹣a， ∴S1＝AD•EN+ac＝c（c﹣a）+ac＝c2＝S2． ∴S1＝S2． 10.四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形； （2）若AB＝3，CE＝2，求CG的长度； （3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，求∠EFC的度数． 【解答】（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q， ∵∠DCA＝∠BCA＝45°， ∴EQ＝EP， ∵∠QEF+∠PEF＝90°，∠PED+∠PEF＝90°， ∴∠QEF＝∠PED， 在Rt△EQF和Rt△EPD中， ， ∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA）， ∴EF＝ED， ∴矩形DEFG是正方形； （2）解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝3， ∴AD＝CD＝3，∠ADC＝90°，ACAD＝3， ∵CE＝2， ∴AE， ∵四边形DEFG是正方形， ∴DE＝DG，∠EDG＝90°＝∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDG， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴CG＝AE； （3）解：①当DE与AD的夹角为30°时， 如图2， ∵∠ADE＝30°，∠ADC＝90°， ∴∠EDC＝60°， ∵∠EDC+∠DEF+∠EFC+∠FCD＝360°， ∴∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°； ②当DE与DC的夹角为30°时， 如图3 ∵∠DEF＝∠DCF＝90°， ∴点D，点E，点C，点F四点共圆， ∴∠EDC＝∠EFC＝30°， 综上所述：∠EFC＝30°或120°． 11.如图，在正方形ABCD中，点E，H，F分别在AB，BC，CD边上，EF交对角线BD于点G，AH⊥EF于点M，且点M是AH的中点，连接AG，GH，CG． （1）求证：∠AEM＝∠AHB； （2）求证：AG⊥GH； （3）若AG＝GE，求AE：EB的值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABH＝90°， ∵AH⊥EF于点M， ∴∠AME＝90°， ∵∠AEM+∠AME+∠EAM＝∠AHB+∠AHB+∠EAM＝180°， ∴∠AEM＝∠AHB． （2）证明：连接BM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABH＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°， ∵点M是AH的中点， ∴BM＝AM＝MH， ∴∠1＝∠2， 设∠1＝∠2＝x， ∴∠3＝∠ABG﹣∠2＝45°﹣x，∠AMB＝180°﹣2x， ∵∠AME＝90°， ∴∠4＝90°﹣2x， ∴∠5＝∠4﹣∠3＝90°﹣2x﹣（45°﹣x）＝45°﹣x， ∴∠5＝∠3， ∴BM＝MG＝AM＝MH， ∵∠AMG＝∠HMG＝90°， ∴∠MAG＝∠MGA＝∠MGH＝∠MHG＝45°， ∴∠AGH＝90°， ∴AG⊥GH． （3）解：∵AH⊥EF于点M，且点M是AH的中 点， ∴EF是AH的线段垂直平分线， ∴AG＝GH，AE＝EH， ∵AG＝GE， ∴EG＝GH， ∵AG＝EG， ∴， ∴∠BEG＝112.5°， ∴∠BGE＝180°﹣45°﹣112.5°＝22.5°， ∴∠BGE＝∠BGH＝22.5°， ∵BG＝BG，EG＝GH，∠BGE＝∠BGH， ∴△GEB≌△GHB（SAS）， ∴BE＝BH，连接EH， 则△BEH是等腰直角三角形，BE2+BH2＝EH2 ∴ ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年浙教版八年级第二学期第五单元：特殊平行四边形之正方形 【知识点】正方形的性质 1.如图，在正方形ABCD中，AB＝10，点E、F是正方形内两点，AE＝FC＝6，BE＝DF＝8，则EF的长为（　　） A． B． C． D．3 2.如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形．连接AG，BG，DE．若点F是线段DE上的一点，且EF＝3DF＝3，则AG＝（　　） A．5 B． C． D． 3.如图是正方形纸片ABCD，点E在边BC上（不与点B，C重合），连接DE．把四边形ADEB翻折，折痕为DE，点A，B分别落在A′，B′处．若AB＝3，则点A′到点A的距离可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若点E是AH的中点，连接BH并延长交CD于点I，若DI＝1，则线段BI的长为（　　） A．4 B．5 C． D． 5.如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一个动点（不与点A，点B重合），连结CE，作BF⊥CE交AD于点F，垂足为点G，连结CF，记△BEG，△CDF，△CFG，△BCG，四边形AEGF的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，方方通过探究，得到以下两个结论：①S1+S2＝S3，②S4＝S5．则下列选项中，正确的是（　　） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 6.如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH＝DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：①FH＝2BH；②AC⊥FH；③S△ACF＝1；④CEAF；⑤EG2＝FG•DG，其中正确结论的有　 　 （只填序号）． 7.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD的延长线上，连接AE，AF，EF，AE与CF交于点G．已知∠EAF＝45°，AB＝3．有以下四个结论：①BE﹣DF＝EF；②∠AEF＝∠AEB；③GF＝GE；④若DF＝1，则△AEF的面积为7.5． 以上结论中正确的是 　 ． 8.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，点B，C关于EF对称，点M在EF上，点N在AE上，且点A，M关于BN对称，BM的延长线交AD于点H，CM交BD于点G，则 　 　 ． 9.如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，点E为OC上一点，连接BE并延长交CD于点F，满足BA＝BE．若，，则BC＝ ． 10.如图，从一个大正方形中裁去面积为8和18的两个小正方形，则剩下的阴影部分面积为　　 ． 11.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，小明用相同的七巧板拼成一个无缝隙的正方形（如图1）和一个中间留有空白的数字“0”（如图2），若图1正方形的面积是16，则图2中空白部分的面积是 　 ． 12.如图，正方形ABCD的边长为4，点G是边AD的中点，点E是边CD上的动点，连接BE，将△BCE沿BE翻折得到△BFE，连接GF．当GF最小时，CE的长为　 　 ． 【知识点】正方形综合 1.如图1，在正方形ABCD中，点P在AB上，连结CP，过点B作BE⊥CP于点E，过点D作DF⊥CP于点F． （1）求证：△CBE≌△DCF． （2）如图2，延长CP至点G，使EG＝EB，连结BG，DG． ①探究线段BG，CG，DG之间的数量关系，并说明理由． ②连结AG，若，AD＝3，求DG的长． 2.如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点（不与点A，C重合），连接DE，BE．过点E作BC，AB的垂线，垂足分别为点F，点G，连接FG与BE相交于点O． （1）求证：DE＝BE； （2）圆圆说：“直线DE⊥GF”．你认为圆圆的说法是否正确？请说明理由； （3）若AE＝2，CE＝6，求GF的长度． 3.如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点（不与端点重合），延长BC至点F使CF＝BE，连结BD，过点F作FG⊥BD于点G，连结AE，EG，FD． （1）求证：四边形AEFD为平行四边形． （2）若，，求CF的长． （3）当点E在BC上任意运动时（不与端点重合），求的值． 4.如图1，正方形ABCD与矩形AEFG的顶点重合于点A，且D为FG边上的一点，B，E，F三点共线． （1）求证：矩形AEFG为正方形； （2）如图2，连接CF，BD，若O，P，Q分别是BD，DF，CF的中点，连接OP，OQ，求证：∠POQ＝45°； （3）在（2）的条件下，已知CF＝1，AD＝5，求DF的长度． 5.如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接BE，点C关于直线BE的对称点为点F，连接BF，EF． （1）如图1，若点F恰好落在对角线BD上，连接AF，求∠CAF的度数． （2）如图2，连接DF，CF，若DF∥BE，试判断线段DF与CF的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）如图3，连接DF，DE，记△DEF的面积为S1，△BEF的面积为S2，若DF⊥FE，求的值． 6.如图，P是正方形ABCD内一点，CP＝CB． （1）填空：①若∠PCB＝30°，则∠BPD＝ 　 　 ； ②若∠PCB＝x°，则∠BPD＝ 　 　 ． （2）若BC＝5，BP＝2，求PD的长． （3）若∠APD＝90°，求的值． 7.如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上（不与点B，C重合），连结AE．点D关于直线AE的对称点为P，连结PA，PB，PD，PD交AE于点F，延长PB交AE的延长线于点H． （1）依题意补全图形，并判断AP与AB是否相等． （2）求∠AHB的度数． （3）求证：BH+PHAH． 8.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB和BC的延长线上（点E不与点A，点B重合），且CF＝AE，连接DE，DF，EF．过点D作DH⊥EF于H，连接CH． （1）求证：点H是线段EF的中点． （2）若AB＝3，CF＝1，求CH． （3）求证：点H始终在正方形ABCD的对角线AC上． 9.综合与实践 问题情境：第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD，且∠ABF＞∠BAF． 特殊化探究：连接BH．设BF＝a，AF＝b． “运河小组”从线段长度的特殊化提出问题： （1）若AB＝5，FG＝1，求△ABF的面积． “武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题： （2）若b＝2a，求证：∠BAE＝∠BHE． 深入探究：老师进一步提出问题： （3）如图2，连接BE，延长FA到点I，使AI＝AB，作矩形BFIJ．设矩形BFIJ的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2，若BE平分∠ABF，求证：S1＝S2． 请你解答这三个问题． 10.四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形； （2）若AB＝3，CE＝2，求CG的长度； （3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，求∠EFC的度数． 11.如图，在正方形ABCD中，点E，H，F分别在AB，BC，CD边上，EF交对角线BD于点G，AH⊥EF于点M，且点M是AH的中点，连接AG，GH，CG． （1）求证：∠AEM＝∠AHB； （2）求证：AG⊥GH； （3）若AG＝GE，求AE：EB的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $