期中复习4大类型28个题型（前3章）（举一反三期中专项训练）七年级数学下学期新教材浙教版
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内容正文：
期中复习4大类型28个题型（前3章）
【新教材浙教版】
【核心概念建构】 2
【题型1 对顶角】 2
【题型2 同位角、内错角、同旁内角】 5
【题型3 二元一次方程（组）的概念】 7
【题型4 幂的乘除】 8
【题型5 零整数指数幂】 9
【题型6 负整数指数幂】 10
【题型7 整式的乘除】 11
【题型8 乘法公式】 12
【能力层级提升】 13
【题型9 平行线的判定】 13
【题型10 平行线的性质】 15
【题型11 相交线中的角度计算】 18
【题型12 平行线的判定与性质】 22
【题型13 二元一次方程（组）的解】 25
【题型14 二元一次方程（组）的应用】 27
【题型15 逆用幂的运算】 31
【题型16 整式的乘法】 33
【题型17 整式的除法】 35
【题型18 完全平方公式】 37
【题型19 平方差公式】 40
【运算素养强化】 42
【题型20 解二元一次方程组】 42
【题型21 解三元一次方程组】 46
【题型22 幂的运算】 48
【题型23 整式的乘除】 52
【综合思维突破】 55
【题型24 探究平行线中角度之间的关系】 55
【题型25 过拐点作平行】 60
【题型26 旋转使平行】 67
【题型27 乘法公式在几何图形中的应用】 78
【题型28 与整式乘除有关的化简求值】 85
【核心概念建构】
【题型1 对顶角】
1．如图，直线、相交于点，，．求的度数．
【答案】
【分析】本题考查垂直的定义，对顶角，角的和差关系等，解题的关键是综合运用上述知识．
根据垂直的定义可得，从而得到，再根据对顶角相等解答即可．
【详解】解：，
．
，
，
．
2．（24-25七年级下·重庆长寿·阶段练习）下列各图中，与是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查对顶角．根据对顶角的特点，有公共顶点，两边互为反向延长线，进行判断即可．
【详解】解：A、没有公共顶点，与不是对顶角，该选项不符合题意；
B、与是对顶角，该选项符合题意；
C、有公共顶点，两边不是互为反向延长线，与不是对顶角，该选项不符合题意；
D、没有公共顶点，与不是对顶角，该选项不符合题意；
故选：B．
3．如图，当剪刀口减少时，的度数（ ）
A．增大 B．减少 C．增大 D．减少
【答案】B
【分析】本题考查对顶角，理解对顶角的定义是正确解答的前提．根据对顶角的性质进行判断即可．
【详解】解：∵与是对顶角，
∴，
∴当剪刀口减少时，的度数也减少，
故选∶B．
4．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，直线与相交于点O，、分别是，的平分线．
(1)试判断和的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)，理由见详解
(2)
【分析】本题考查了垂线的定义，对顶角、邻补角，角平分线的定义，根据图形得出角之间的关系是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得出， ，根据邻补角的定义得出，即可求出，于是问题得证；
（2）根据角平分线的定义求出的度数，再由（1）中的结论得出，即可求出的度数．
【详解】（1）解：，理由：
∵、分别是，的平分线，
∴， ，
∴
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴．
【题型2 同位角、内错角、同旁内角】
1．如图所示，同位角的对数是 ，内错角的对数是 ，同旁内角的对数是 ．
【答案】 32 16 16
【分析】依据定义，依次分析即可.同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角是两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两侧；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
【详解】解：同位角的对数是32，内错角的对数是 16，同旁内角的对数是16，
故答案为32，16，16．
【点睛】解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
2．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，与的位置关系是（ ）
A．对顶角 B．同旁内角 C．内错角 D．同位角
【答案】D
【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的辨析，根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐项判断即可求解．
【详解】解：与的位置关系是同位角．
故选：D
3．如图，下列说法不正确的是（ ）
A． B．和是同位角
C． D．和是内错角
【答案】A
【分析】本题考查了对顶角、同位角、内错角的定义，平行线的性质．
根据对顶角、同位角、内错角的定义，平行线的性质判断即可．
【详解】解：A． 和是同旁内角，两直线平行同旁内角互补，但图中两直线不平行，则，原说法错误
B． 和是同位角，原说法正确
C． 和是对顶角，则，原说法正确
D． 和是内错角，原说法正确
故选：A
4．如图，下列判断：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角．其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，即两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方的角，这样的两个角称为同位角；两条直线被第三条直线所截，两个角都在被截两条直线之间，并且在第三条直线的两侧，这样的一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截，两个角都在被截两条直线之间，并且在第三条直线的同侧，这样的一对角叫做同旁内角，进行判断即可．
【详解】解：①由同位角的概念得出：与是同位角，正确；
②由同旁内角的概念得出：与是同旁内角，正确；
③由内错角的概念得出：与不是内错角，错误；
④由内错角的概念得出：与是内错角，错误．
故正确的有2个，是，
故选：A．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，理解和掌握同位角、内错角、同旁内角的意义是正确判断的前提．
【题型3 二元一次方程（组）的概念】
1．以下方程是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、方程是二元一次方程，符合题意；
B、方程中，含有未知数的项的次数不都是1，不是二元一次方程，不符合题意；
C、方程中，含有3个未知数，不是二元一次方程，不符合题意；
D、方程不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意；
故选：A．
2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程的特点：一个方程组中含有两个未知数，且含未知数项的次数都是1，这样的方程组叫做二元一次方程组，逐一判断即可．
【详解】解：A．有三个未知数，不是二元一次方程组；故错误；
B．不是整式方程，故错误；
C． 是二元一次方程组，故正确；
D． ，是二元二次方程，故错误；
故选：C．
3．已知是关于、的二元一次方程，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，化简绝对值，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
根据二次一次方程的定义，可得，，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，，
解得：或，，
∴．
故答案为：1．
【题型4 幂的乘除】
1．（2026·福建漳州·一模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘除法运算法则，幂的乘方、积的乘方运算法则分别计算判断即可．
【详解】解：A、，原计算错误；
B、，原计算错误；
C、，计算正确；
D、，原计算错误．
2．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）计算：______．
【答案】a6
【分析】先根据积的乘方法则化简，再利用同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：
．
3．（25-26九年级下·陕西西安·期中）下列运算结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘除法的运算法则判断选项即可．
【详解】解：A选项，，A选项不满足题意；
B选项，，B选项不满足题意；
C选项，，C选项不满足题意；
D选项，，D选项满足题意 ．
【题型5 零整数指数幂】
1．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）_____．
【答案】
【分析】本题主要考查了零指数幂的运算，根据任何非零数的零次幂都等于可得结果.
【详解】解：，
.
故答案为：.
2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）若有意义，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据零指数幂的底数不能为，求解即可.
【详解】解：∵有意义，
∴ ，解得
3．（24-25七年级下·江苏镇江·月考）已知：，，，则，，大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出，，的值；然后根据实数大小比较的方法，判断出，，大小关系即可．
【详解】 ，，，
．
【题型6 负整数指数幂】
1．（25-26八年级上·陕西延安·期末）计算：（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【详解】解：∵ ，
∴ ．
2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：．
3．已知：，则，，大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据幂运算的相关法则，分别计算出a、b、c的具体数值，再比较三个数的大小，即可得到结果．
【详解】解：∵根据负整数指数幂运算法则，，根据乘方运算法则，，根据零指数幂运算法则，底数不等于0，即成立，，
又，
．
【题型7 整式的乘除】
1．（25-26七年级下·湖南邵阳·月考）化简，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用单项式乘多项式法则求解判断即可．
【详解】解：．
2．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若的结果中不含x的一次项，则m的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，需先展开式子，根据结果不含x的一次项即一次项系数为0，建立方程求解m的值．
【详解】解：∵
又∵结果中不含x的一次项
∴
解得
故选：D．
3．若，，，则___________．
【答案】
【分析】先将和表达出来，最后代入求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴
，
，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式求值和整式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键．
【题型8 乘法公式】
1．（25-26七年级下·重庆·开学考试）下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】平方差公式要求两个二项式相乘，且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，满足该条件才能用平方差公式计算，据此逐一判断各选项即可．
【详解】解：A、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算；
B、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算；
C、，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式的使用条件，不能用平方差公式计算；
D、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算．
2．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键．根据，，据此求解即可．
【详解】解：A、，原式计算正确，不符合题意；
B、，原式计算正确，不符合题意；
C、，原式计算正确，不符合题意；
D、，原式计算错误，符合题意；
故选：D．
3．（25-26七年级下·山东青岛·月考）是完全平方式，则的值是_____．
【答案】17或
【分析】根据完全平方公式，确定一次项系数满足的等量关系，计算求解即可．
【详解】解：是完全平方式，，，
即或，
解得或．
【能力层级提升】
【题型9 平行线的判定】
1．如图，下列能判定的条件有（ ）个
（1）；（2）；（3）；（4）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握“同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．
【详解】解：（1），
，符合题意；
（2），
，不符合题意；
（3），
，符合题意；
（4），
，符合题意；
共有3个条件符合题意．
故选：C．
2．如图，因为 ，所以，理由是“同旁内角互补，两直线平行”．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行，结合图形找到同旁内角，即可求解．
【详解】解：因为，所以，理由是“同旁内角互补，两直线平行”．
故答案为：．
3．如图，点为直线上一点，，，平分，．证明：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定定理，角平分线与垂直的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．利用角平分线的定义与垂直的定义求出，从而得出，即可由平行线的判定定理得出结论．
【详解】证明：，
，
，
，
平分，
，
，
．
4．如图，已知、分别垂直于，且，求证：．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查垂直的定义及平行线的判定，熟练掌握垂直的定义及平行线的判定是解题的关键；由题意易得，则有，进而问题可求证．
【详解】证明：∵、分别垂直于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【题型10 平行线的性质】
1．如图，若，，则图中与互补的角有 个．
【答案】4
【分析】本题主要考查平行线的性质和补角的定义，根据可得，，根据可得，根据对顶角相等可得，，根据补角的定义即可求解．
【详解】解：对图中各角进行如下标注：
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
综上可知，与互补的角有，，，，共4个，
故答案为：4．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点D在BC边上，且，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
先利用平行线的性质可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
故选：
3．有一副三角板按如图所示的方式放置，两个三角板的斜边互相平行，则∠1的度数为 ．
【答案】/15度
【分析】本题考查三角板中角度计算，平行线的性质，如图，由两直线平行，同位角相等，可得，结合即可求解．
【详解】解：如图，，，
两个三角板的斜边互相平行，
，
，
故答案为：．
4．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可知，，，根据角之间的关系可得：，从而可知的度数．
【详解】解：如下图所示，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【题型11 相交线中的角度计算】
1．（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）（1）如图①，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数为 ．
（2）如图②，直线、相交于点O，射线垂直于且平分．若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】（1）设，根据角平分线的定义得，，再根据得，然后根据平分得，进而得，最后再根据可得出答案；
（2）设，根据射线垂直于得，根据射线平分得，进而得，再根据对顶角的性质得，然后根据得，由此解出α即可得出答案．
【详解】解：（1）设，
平分，
，，
，
，
，
平分，
，
，
．
故答案为：．
（2）设，
∵射线垂直于，
，
，
∵射线平分，
，
，
∵直线、相交于点O，
，
又，
，
解得：，
即．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，对顶角的性质，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握对顶角的性质和角的计算是解决问题的关键．
2．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，直线相交于点D，．若与的度数之比为，的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．根据题意求得，进而根据对顶角相等得出，根据即可求解．
【详解】解：，与的度数之比为，
，
直线、相交于点，
，
，
，
故答案为：．
3．如图，三条直线相交于O，且，，若平分，则 度．
【答案】
【分析】根据垂直的定义，对顶角相等，角的平分线定义，解答即可．
本题考查了垂直的定义，对顶角相等，角的平分线定义，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：55．
4．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图，已知直线、相交于点O，平分，平分，，则 ．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义得到，，根据邻补角的概念求出、，根据对顶角相等求出，计算即可．
本题考查的是对顶角、邻补角、角平分线的定义，熟记对顶角相等是解题的关键．
【详解】解：平分，
，
∵，
，
，，
，
平分，
，
，
，
故答案为：．
【题型12 平行线的判定与性质】
1．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，．
(1)求证：；
(2)若于点H，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质．
（1）根据同位角相等，两直线平行可得，再根据平行线的性质可得，再等量代换可得，进而证出结论；
（2）结合（1）根据平行线的性质得出，利用对顶角相等即可求出结果．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
2．如图，中，，直尺的两边与各边交于C、D、E、F四点．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键．先根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质得出，再根据角度间的关系，求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，某燃气公司安装燃气管道，从点A处铺设到点B处时，由于一个湖泊无法再直线铺设，需要改变方向经过点M再拐到点C，然后沿方向继续铺设．已知，，则 °．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定．过点M作，则，由平行线的性质可得，进而可得，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点M作，
∵，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
4．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，直线，直角三角尺的锐角顶点A，C分别在直线，上，点在直线之间，．
（1）当时， ；
（2）如图2，在线段上取一点，过点作直线，若射线平分，且满足，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟知平行线的性质是解题关键．
（1）易得，根据平行线的性质求得，则；
（2）设，则，由角平分线的定义可得，由平行线的性质得，于是求得，在三角形中，利用三角形内角和定求解即可．
【详解】解：（1）由题意可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）设，则，
∵射线平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【题型13 二元一次方程（组）的解】
1．若是关于x、y的二元一次方程的解，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．
把代入，然后解关于m的方程即可求出m的值．
【详解】解：把代入，得
，
解得．
故答案为：1．
2．小亮求得方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和■，则●是 ．
【答案】8
【分析】本题考查用代入法解二元一次方程组，熟练掌握代入法是解题的关键．将代入方程组中第二个方程，解得，再将、代入方程组中第一个方程，即可求解●的值．
【详解】根据题意，将代入方程组中第二个方程，
得，
解得，
再将、代入方程组中第一个方程，
解得●，
故答案为8．
3．已知p为偶数，q为奇数，方程组的解是整数，那么（ ）
A．x为奇数，y是偶数 B．x为偶数，y是奇数
C．x为偶数，y是偶数 D．x为奇数，y是奇数
【答案】B
【分析】此题考查的是解二元一次方程组和奇偶数的性质，根据奇偶数的性质一一验证即可得出答案．
【详解】解：．当x为奇数，y是偶数时，则p为奇数，q为奇数，与题干不符，故该选项不符合题意；
．当x为偶数，y是奇数时，则为偶数偶数偶数，为偶数奇数奇数，与题干符合，故该选项符合题意；
．当x为偶数，y是偶数时，则p为偶数，q为偶数，与题干不符，故该选项不符合题意；
．当x为奇数，y是奇数时，则为奇数偶数奇数，与题干不符，故该选项不符合题意；
故选：B．
4．若关于、的方程组的解为，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查同解二元一次方程组问题，熟记二元一次方程组解的定义是解决问题的关键．先将恒等变形为，由与的解相同可得，直接求解即可得到答案．
【详解】解：将恒等变形为，
关于、的方程组的解为，
关于、的方程组的解为，
解得，
故选：B
【题型14 二元一次方程（组）的应用】
1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒．
(1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？
(2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？
【答案】(1)A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒；
(2)完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．
（1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可；
（2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可．
【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒
由题意可得
解得
答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒；
（2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步
由题意可得
因为m、n为正整数，n为15的整数倍，
，，
当时，完成接力任务的时间为（秒）
当时，完成接力任务的时间为（秒）
当时，完成接力任务的时间为（秒）
答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒．
2．虹口区正在创建全国文明城区，现对区内的部分河道进行整治，现有一段长340米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治20米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？
(1)小泓和小智两位同学提出的解题思路如下，请你补全两位同学的解题思路．
①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米
由题得：
②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天
由题得：
(2)请从①②中任选一个解题思路，继续完成解答过程．
【答案】(1)①；②
(2)见解析
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握列方程组，解方程组是解题的关键．
（1）根据题意，结合方程组的意义，补充完善即可；
（2）选择适当的方法解方程组即可．
【详解】（1）解：小泓和小智两位同学提出的解题思路如下：
①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米
由题得：
②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天
由题得：
故答案为：①；②．
（2）若选择①
则，
解得
答：甲工程队整治河道180米，乙工程队整治河道160米．
若选择②
则，
解得
甲整治的河道长度：米；乙整治的河道长度：米．
3．亲子装是现代家庭中的一种流行趋势，亲子装不仅能表达“我们是亲密的一家人”的浓浓亲情，同时家长可以过一把“孩童”瘾，某专卖店购进一批甲、乙两款亲子装，它们的进货单价之和是360元．甲款亲子装零售单价比进货单价多40元，乙款亲子装零售单价比进货单价的1.5倍少60元；按零售单价购买甲款亲子装4件和乙款亲子装2件，共需要1320元．
(1)分别求出甲、乙两款亲子装的进价；
(2)该专卖店平均每天卖出甲款亲子装20件和乙款亲子装12件．经调查发现，甲款亲子装零售单价每降低1元，平均每天就可多售出甲款亲子装2件．商店决定把甲款亲子装的零售单价下降元，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两款亲子装获取的总利润为1490元？
【答案】(1)甲款亲子装的进价为200元，乙款亲子装的进价为160元
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
（1）设甲款亲子装的进价为x元，乙款亲子装的进价为y元，根据等量关系：甲、乙两款亲子装，它们的进货单价之和是360元；按零售单价购买甲款亲子装4件和乙款亲子装2件，共需要1320元；列方程组求解即可；
（2）根据等量关系：总利润为1490元，列方程即可求解．
【详解】（1）解：设甲款亲子装的进价为x元，乙款亲子装的进价为y元
，
解得．
故甲款亲子装的进价为200元，乙款亲子装的进价为160元；
（2）解：依题意得
解得．
故当m为15时，商店每天销售甲、乙两款亲子装获取的总利润为1490元．
4．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
(1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值；
(2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？
(3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值．
【答案】(1)19
(2)30元
(3)
【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键．
（1）将方程即可求解；
（2）设每只铅笔元，每块橡皮元，每本日记元，由题意列出方程组，即可求解；
（3）由题意列出方程组，再计算出的结果即可得到答案，即可求解．
【详解】（1）解：解：
得，，
得，；
（2）解：解：设一支铅笔的单价为元，一块橡皮的单价为元，一本日记本的单价为元，
根据题意得，
得，，
得，，
得，，
答：购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需30元；
（3）解：解：根据新定义运算得，
得，
∴．
【题型15 逆用幂的运算】
1．若，，则的值是（ ）．
A．0.5 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查了幂的运算．熟练掌握幂乘方运算法则，同底数幂除法法则，是解题的关键．
由，，代入计算即得．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴．
故选：B．
2．已知，则的值是 ．
【答案】4
【分析】利用幂的运算将转化为：，再将整体代入计算即可．
【详解】解：，
∵，
∴原式=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了幂的运算，掌握幂的混合运算法则是解题的关键．
3．（24-25八年级上·云南保山·期末）的计算结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数乘方运算，积的乘方逆运算，同底数幂乘法的逆用．根据有理数乘方运算的意义可得，再利用积的乘方逆运算法则计算即可．
【详解】解：
故选：D
4．设，，，下列m，n，p三者之间的三个关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用，完全平方公式的应用．根据同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用可得，，，，再进一步分析即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，故A符合题意；
∵，，，
∴，，
∴，
∴，故B不符合题意；
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，，
故C不符合题意，D不符合题意.
故选：A．
5．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）已知，则 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了逆用同底数幂的除法、幂的乘方法则等知识点，灵活逆用运算法则对所求代数式变形成为解题的关键．
先逆用同底数幂的除法和幂的乘方法则得到，然后将整体代入计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【题型16 整式的乘法】
1．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可．
【详解】解：，
∵单项式与的积与是同类项，
∴与是同类项，
∴，，
解得，，
∴，
故选：C．
2．已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了单项式乘以多项式以及代数式的求值，积的乘方的逆应用，掌握相关法则及概念是关键．利用单项式乘以多项式法则计算，再化为，将代入计算即可．
【详解】解：
，
∵，
∴原式
．
故答案为：
3．若关于x的二次三项式，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查多项式乘多项式，多项式相等的条件，代数式求值．
按照运算法则计算，根据对应项系数相等，可得和，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴的值是．
故答案为：．
4．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）A，B两张长方形纸片如图所示，设纸片A，B的面积分别为，比较 的大小关系为： （填“”、“”或“”）．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式与多项式乘法在几何图形中的应用，根据多项式乘以多项式的计算法则求出，，再利用作差法求出，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
5．（24-25七年级下·福建漳州·期末）若，则有理数的末尾四位数是（ ）
A．1131 B．2431 C．3131 D．4131
【答案】A
【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．设，则，计算多项式乘以多项式可得，判断出的末尾四位数是0，由此即可得．
【详解】解：设，
则
，
∵和的末尾四位数都是0，且，
∴的末尾四位数是0，
∴的末尾四位数是，
即有理数的末尾四位数是，
故选：A．
【题型17 整式的除法】
1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）计算 ．
【答案】
【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
2．若关于x的多项式除以，所得商恰好为，则 ．
【答案】
【分析】利用可求出，进一步可得：，，，进一步可求出，，，相加即可求出．
【详解】解：由题意可知：
，
∴，
∴，，，
解之得：，，，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查多项式系数中的字母求值，单项式乘多项式，解题的关键是理解题意，找出，令其系数对应相等即可解答．
3．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是 ．
账号：shulishijie
密码：前四位：SLSJ
后四位：？
【答案】
【分析】本题考查幂的乘方，单项式乘以单项式及单项式除以单项式，先化简各式，得出密码与指数的关系即可得答案．熟练掌握运算法则，正确得出密码与指数的关系是解题关键．
【详解】解：，，
∴密码是x、y、z的指数按顺序拼接而成的数字，
∴，
∴密码是．
故答案为：．
【题型18 完全平方公式】
1．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）下列各式中，可以用乘法公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查乘法公式的应用，包括平方差公式和完全平方公式，需判断各选项是否符合公式结构．
【详解】A、，
两括号中的项分别为和，既无相同项也无相反项，无法直接应用乘法公式，需逐项展开；
B、，
将第二个括号提取负号，得：，
符合完全平方公式，可用乘法公式计算；
C、，
第二个括号可整理为，但两括号中的项与无相同或相反项，无法直接应用乘法公式；
D、
两括号中的项分别为和，无相同项或相反项，需逐项展开，无法直接应用乘法公式．
故选：B．
2．已知，且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练运用公式变形是解题的关键．把两个等式两边同时平方，再相加即可得解．
【详解】解：，
，
，，
由得，
故，
故答案为：．
3．（25-26八年级上·全国·期中）设，若，则（ ）
A．1014 B．1013 C．1012 D．1011
【答案】D
【分析】本题考查完全平方公式．熟练掌握完全平方公式，利用换元思想进行代数式求值是解题的关键．
写出a、b、c的关系式代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
∴．
∴，
解得：．
故选：D．
4．（25-26八年级上·全国·期末）已知，则的值是（ ）
A．36 B．49 C．54 D．64
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式的灵活运用，解题的关键是通过设未知数将原式转化为含相同变量的平方形式，再利用完全平方公式展开求解．
设，则；将其代入已知等式，利用完全平方公式展开得到关于的方程；解方程求出的值，即的值．
【详解】解：设，则．
已知，代入得：．
展开得：，
合并同类项得：，
化简得：，即．
所以．
故选：B．
5．若是一个完全平方式，则a的值为 ．
【答案】11或
【分析】本题考查了完全平方式，掌握是解题的关键．
首末两项是x和4的平方，所以中间项为加上或减去x和4的乘积的2倍，故，解方程即可得答案．
【详解】解：是完全平方式，
解方程得：或，
故答案为：11或．
6．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可．
【详解】解：∵正方形，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴．
故答案为：．
【题型19 平方差公式】
1．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
把变成利用平方差公式运算求解即可．
【详解】解：
原式
；
故答案为：．
2．计算： ．
【答案】
【分析】此题考查了平方差和完全平方公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．原式把看作一个整体，符合平方差公式，展开后再利用完全平方公式计算即可得到结果．
【详解】解：
．
故答案为：
3．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据左边的操作，得到剩余的面积为；根据右边的操作，得到长方形的面积为，根据面积相等，解答即可．
本题考查了平方差公式，熟练掌握公式的几何意义是解题的关键．
【详解】解：根据左边的操作，得到剩余的面积为；根据右边的操作，得到长方形的面积为，根据面积相等，得．
故选：D．
4．（24-25七年级下·山东青岛·期末）某校组织了《“徽”聚梦想引领班风》的班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，先设计了一个正方形的班徽图形（如图），准备进一步优化改造，加一些文字，需要将原正方形的一组对边各增加，另一组对边各减少，改造以后的图形面积与原来的面积相比（ ）
A．不变 B．减少 C．增加 D．增加
【答案】B
【分析】本题考查平方差公式和整式加减的应用，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
用代数式分别表示改造前后图形的面积，再列式求前后的面积差即可．
【详解】解：设原正方形的边长为，
因此面积为，
改造后的图形是长为，宽为的长方形，
因此面积为，
所以改造前后的面积差为，
因此改造以后的图形面积与原来的面积相比减少了．
故选：B．
【运算素养强化】
【题型20 解二元一次方程组】
1．解下列方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键．
（1）利用代入消元法解方程组即可；
（2）对①进行变形整理，用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：，
由①得，③，
将③代入②得，，
解得，
将代入③得，，
∴方程组的解为；
（2）解：，
由①得③，
由③②得，
解得，
把代入②得
解得，
所以方程组的解为．
2．已知方程组与的解相同，求的值．
【答案】9
【分析】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值，代入计算即可
【详解】解：∵方程组与的解相同
∴
解得：
将代入得
解得：
∴.
3．下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题．
解：得：…（1），
得：…（2）
∴（3）
(1)第 步（填序号）出错；
(2)请你写出正确的解题过程．
【答案】(1)（1）；
(2)，过程见详解．
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、等式的基本性质等知识点，灵活运用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
（1）根据等式的性质即可判断第（1）步出错；
（2）根据加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：第（1）步出错．
故答案为：（1）．
（2）解：，
得：③，
得：，
∴．
把代入②，得，
所以方程组的解是．
4．在解方程组时，小军由于粗心看错了方程组中的n，解得；小红由于看错了方程组中的m，解得．
(1)则m，n的值分别是多少？
(2)原方程组正确的解应该是怎样的？
【答案】(1)，；
(2)
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解题关键在于把已知的值代入方程组.
（1）将第一对解代入方程组的第一个方程求出m的值，将第二对解代入方程组的第二个方程求出n的值即可；
（2）确定出正确的方程组，求出解即可解答.
【详解】（1）解：将代入得：，
解得：，
把将代入得：，
解得：；
所以，；
（2）解：将，代入原方程组得，
解得：．
所以，原方程组正确的解为：．
5．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）阅读下面解方程组的方法，然后解答下列问题．
解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算．例如，解下面的方程组：时，可以采用以下方法．解：②①得，，所以③，将③，得④，①④，得，从而可得，所以原方程组的解为．
(1)请你用上述方法解方程组
(2)猜测关于x、y的方程组的解，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法并灵活变通是解答此题的关键．
（1）本题先得，在求得，然后即可求解；
（2）本题先①②得： ③，③得：④，然后即可求解；
【详解】（1）解：①②得：，即③，
③：④，
①④得，，解得，，
把代入③得，
所以这个方程组的解是．
（2）解：猜测关于x、y的方程组的解为，
理由如下：
，
①②得：，即③，
③得：④，
①④得，，解得，，
把代入③得，
∴这个方程组的解是．
【题型21 解三元一次方程组】
1．（24-25六年级下·上海·期末）解方程组：
【答案】
【分析】本题考查解三元一次方程组．运用加减消元法解三元一次方程组即可．
【详解】解：①②得，
解得
把代入③得，
解得，
把代入①得，
解得，
∴方程组的解为．
2．解方程组：．
【答案】
【分析】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟记方程组的解法是解题关键．先将方程组的第一个方程与第二个方程相加、第二个方程与第三个方程相加可得一个含有x、z的二元一次方程组，再利用加减消元法可求出x、z的值，然后代入第三方程可求出y的值，从而可得方程组的解．
【详解】解：
①②得：，
②③得：，
联立④⑤得，
④⑤得： ，解得：，
将代入④得：，解得：，
将，代入③得：，解得：，
方程组的解为： ．
3．（24-25七年级下·四川乐山·期末）在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②−①得到③，因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了．
(1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出的值；
(2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值．
【答案】(1)40
(2)1
【分析】本题考查利用“整体思想”和“消元、转化”方法解三元一次方程组，代数式求值，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可；
（2）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可．
【详解】（1）解：
得， ，
将原方程变形成
，
将③代入④，得，，
．
（2）解：，
①+②得： ，
将原方程变形成：
，
将③代入④，得
．
【题型22 幂的运算】
1．计算：
【答案】
【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据积的乘方，幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算，再合并即可．
【详解】解：
．
2．计算：
【答案】
【分析】本题考查了整式的乘法运算、积的乘方、幂的乘方等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键．
根据整式的乘法运算及积的乘方、幂的乘方运算法则求解即可．
【详解】解：
．
3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了代数式求值，指数的相关运算，先将已知的等式转化成以相同的底数3的指数形式，然后通过指数的运算找到a，b与指数的关系，进而求出求出代数式的值．
【详解】解：
，
即
4．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）按要求计算下面各题：
(1)已知，求的值；
(2)已知为正整数，且，求的值．
【答案】(1)64
(2)56
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
（1）利用幂的乘方，同底数幂的乘法法则，整理，再将整体代入运算即可；
（2）利用积的乘方，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】（1）解：
当，
则原式．
（2）解：
当，
则原式．
5．（1）先化简，再求值：其中，．
（2）下面是小明完成的一道作业，请你参考小明的方法解答下面的问题：
小明的作业计算：
解：
；
②；
③若，直接写出n的值．
【答案】（1），；（2）；②；
【分析】此题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，整式的混合运算，解题的关键是熟悉同底数幂的乘法．
（1）先展开，再去括号，合并同类项，化简后将a，b的值代入计算即可；
（2）①逆用积的乘方法则可得答案；
②逆用积的乘方法则；
③利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则把左边变形，可得关于n的方程，即可解得答案．
【详解】解：（1）
，
当，时，
原式
；
（2）
；
②
；
，
．
．
，
解得，
的值为3．
6．（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究：
探究一：比较与的大小．
解：因为，，
又因为，所以，所以．
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小，
探究二：比较和的大小．
解：因为，且，所以，即，
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小．
解决下列问题：
(1)比较，的大小；
(2)比较，，，的大小；
(3)比较与的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，据此可得答案；
（2）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，，
，据此可得答案；
（3）根据同底数幂乘法的逆运算法则和积的乘方的逆运算法则可得，，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，，
，且，
∴，
∴；
（3）解：，，
又∵，
∴．
【题型23 整式的乘除】
1．（25-26八年级上·全国·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的四则混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键；
（1）先计算单项式乘多项式，再计算多项式除以单项式即可；
（2）分别按照多项式乘多项式、单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
2．（24-25七年级下·山东青岛·期中）先化简，再求值：
，其中
【答案】，9
【分析】根据去括号，合并同类项，多项式除以单项式，正确化简，后转化为代数式的值计算即可．
本题考查了整式的化简求值，正确化简是解题的关键．
【详解】解：
，
当时，
原式．
3．（24-25七年级下·河北保定·期中）阅读材料
我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算．可用竖式除法．
步骤如下：
①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐；
②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；
③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减；
④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．
被除式=除式×商式＋余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除．
∵余式为0，∴可以整除．
解决问题
(1)请在竖式的两个方框内分别填入正确的数或式子；
(2)用竖式计算求的除式和商；
(3)若多项式，则______．
【答案】(1)，
(2)除式是，商是7
(3)
【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是读懂题意，能用竖式计算多项式除以多项式．
（1）用竖式计算即可得到答案；
（2）用竖式计算即可得到答案；
（3）由，得，用竖式计算即可得到答案．
【详解】（1）解：由题可得：
故答案为：，；
（2）解：竖式如下：
即除式是，商是7；
（3）解：∵，
∴，
竖式如下：
∴．
4．（24-25七年级下·江西九江·期中）（1）若的结果中不含项，求的值；
（2）已知单项式，是多项式，小明计算时，看成了，结果得，求正确的结果．
【答案】（1）1；（2）
【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式的加减，解题的关键是理解题干意思，列出正确的算式计算．
（1）利用多项式乘多项式法则展开，根据结果不含项，求出n的值即可；
（2）根据求出B，再代入中计算即可．
【详解】解：（1）原式，
不含有项，
，
；
（2），，
，
，
故正确的结果
5．试说明多项式的值与x的取值无关．
【答案】见解析
【分析】根据单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式的法则将原式化简，即可作出判断．
【详解】解：
；
所以原多项式的值与x的取值无关．
【点睛】本题考查了整式的运算，涉及单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式，熟练掌握多项式的乘法法则是解题的关键．
【综合思维突破】
【题型24 探究平行线中角度之间的关系】
1．如图，已知，则、、、的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，过作，得，则，，由三角形外角的性质得，根据得，再代入计算可得结论．
【详解】解：过点作，过作，
∵，
∴
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
2．（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图，在三角形中，，是锐角，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则 ．
【答案】或或
【分析】根据题意得，再由的平移过程，分成两种情况考虑：（1）点在线段上；（2）点在外，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系后即可得解．
【详解】解：依题得：，
分两种情况考虑：
（1）点在线段上，过点作，如下图：
，
，
，
，，
，
又，
；
，
，
又，
；
（2）点在外时，过点作，如下图：
，
，
，，
，
又，
，
即；
，
由图可知，，
此情况不成立；
综上，或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查的知识点是平移的性质、平行公理的应用、平行线的性质、几何图形中的角度计算，解题关键是熟练掌握平行线的性质．
3．在数学延时课上，小西把一张纸条（对边）沿着EF折叠，如图所示．通过反复多次的操作实验，他发现与之间有关系，请你写出它们之间的关系： ．
【答案】
【分析】本题考查了折叠及平行线的性质．关键是明确折叠前后，对应角相等；还有两直线平行，内错角相等的性质．设，
由折叠的性质得：，再由邻补角的性质即可得与之间的等量关系．最后得出答案即可．
【详解】解：设，
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
，即，
．
故答案为：．
4．已知：，点、分别在、上，且．如图，分别在、上取点、，使平分，要使．则与满足的关系是 ．
【答案】
【分析】过点O作，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质得出，可得，再证明，进一步可得出结论．
【详解】解：过点O作，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
故要使．则与满足的关系是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线定义等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
【题型25 过拐点作平行】
1．（24-25七年级下·陕西延安·期末）某学习小组发现一个结论：已知直线，若直线，则．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：
已知直线，点P、Q分别在直线、上，连接、．
(1)如图1，点E在、之间，运用上述结论，探究、和之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，点E在、之间，平分，平分，当时，求出的度数；
(3)如图3，平分，平分，延长交于点F，当时，求出的度数．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了平行线的性质定理，角平分线，平行公里的推论，邻补角，根据性质定理得到角的关系．
（1）过E点作，再利用平行线性质，两直线平行内错角相等，可得到
（2）过点E作，利用平行线性质，角平分线定义可以得到角的关系，可得到，再作，利用平行线性质，角平分线定义可以得到角的关系，得到，的度数．
（3）过点E作，如图，设 ，再利用角平分线性质得到，，再利用平行线性质、角平分线定义，作即可求出答案．
【详解】（1）解：，理由如下：
过点E作
，
，
，
，
．
（2）过点E作，过点F作，如图，
由（1）同理可得，，，
∵，
∴，
∵平分平分
∴
∴，
∴．
（3）过点E作，过点F作，如图，
由（1）同理可得，，
有，
设，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
，
∴
∵平分
∴，
∴．
2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知．将一副三角板摆放在两条平行线之间，使三角板的顶点E落在直线上，三角板的边落在直线上，并且边在一条直线上．求的度数．
【答案】
【分析】本题考查平行公理，平行线的性质，平角定义，掌握相关知识是解决问题的关键．作，因为，所以，由平行线的性质可知，即，由三角板的度数可求，则的度数可求．
【详解】解∶作，
∵，
∴，
∴，
∴，
由三角板的度数可知，，
∵，
∴．
3．（24-25七年级下·新疆·期末）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为M，机械臂与轨道的接触点记为N，为了实现复杂的操作任务，通过关节P和关节Q来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线．
(1)如图1所示，当机械臂时，证明．
(2)如图2所示，当，，时，=___________（用含α的式子表示）直接写出，无需证明．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质和平行公理的推论，熟知相关定理，根据题意正确添加辅助线是解题关键．
（1）延长交于点E，根据得到，根据得到，即可证明；
（2）分别过点P、Q作，根据得到，即可求出进而求出，根据求出，即可求出
【详解】（1）解：如图，延长交于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，分别过点P、Q作，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：
4．感知发现：（1）在学习平行线中，兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图1，当时，可以得到结论：．那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是兴趣小组想尝试证明：如图1，，求证：．请写出证明过程．
（2）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图2．已知两直线a，b且和直角三角形，，，．创新小组的同学发现，说明理由．
实践探究：
（3）如图3，，在射线是的平分线，在的延长线上取点N，连接，若，，求的度数．
【答案】（1）证明见解析（2）理由见解析（3）
【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，熟练的利用类比的结论解决问题是关键．
（1）过点E作，证明，结合已知可得，再进一步可得结论；
（2）由（1）可得，且，再进一步可得结论；
（3）如图，令，，则，由（1）得：，表示，，结合，可得，过点H作，可得，，利用，再建立方程进一步求解即可．
【详解】（1）证明：过点E作，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，由（1）可知，
，且，
∴，
∴；
（3）如图，令，，则，
由（1）得：，
∵射线是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点H作，
则，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【题型26 旋转使平行】
1．（24-25七年级上·重庆·期末）已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且．
(1)求的度数；
(2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒．
①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值；
②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值．
【答案】(1)
(2)①或；②，，，
【分析】（1）根据题意可得，由平行线的性质可得，再结合角平分线的定义，角的和差关系，可得的度数．
（2）①根据题意分成在内部时，在外部时两种情况分别讨论，结合角平分线的定义，一元一次方程即可求解．
②当时，分成两种情况和当时，分成两种情况，共四种情况分别讨论，结合平行线的性质，邻补角，一元一次方程的应用，三角形内角和即可求解．
【详解】（1）解：∵，，三角板中含，
∴，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
．
（2）解：①若在内部时，则，
又∵，是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
；
若在外部时，则，
又∵，是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
，
综上，或．
②当时，第一种情况：延长交于点，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
解得：；
第二种情况：延长交于点，
∵，，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴当时，或；
当时，第一种情况：延长交于点，
∵，，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：；
第二种情况：延长交于点，
∵，，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴当时，或；
∴当边与三角板的一条直角边平行时，的值为，，，．
【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角，角平分线的定义，一元一次方程的应用，三角形内角和的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，线段与相交于点F，交直线的延长线于点B．已知，，现将直线绕着点B顺时针（箭头方向）旋转，当直线垂直于的任意一条边时，旋转的角度是 °．
【答案】60或90或126或240或270或306
【分析】本题主要考查三角形内角和定理，垂直的定义，求旋转角，分六种情况画出图形运用角的和差关系求解即可．
【详解】解：如图1，当时，即，
∵,
∴；
如图2，当时，，
如图3，当时，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图4，当时，即，
∴旋转的度数为：；
如图5，当时，即，
∴旋转的度数为：；
如图6，当于点时，
∵，
∴，
∴，
∴旋转的度数为：；
综上，AB旋转的角度是，
故答案为：60或90或126或240或270或306．
3．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒．
(1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由；
(2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由；
(3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)存在某一时刻，使得，此时
(2)存在某一时刻，使得，此时
(3)存在某一时刻，使得，此时或27
【分析】（1）根据题意得：，连接，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解；
（2）根据题意得：，设射线交于点G，过点G作，则，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当和相遇前时；当和相遇后时，结合一元一次方程解答即可．
【详解】（1）解：存在，
根据题意得：，
如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
解得：，
即存在某一时刻，使得，此时；
（2）解：存在，
根据题意得：，
如图，设射线交于点G，过点G作，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：，
即存在某一时刻，使得，此时；
（3）解：存在，
根据题意得：，，
当和相遇前时，，
∴，
解得：；
当和相遇后时，，
∴，
解得：；
综上所述，存在某一时刻，使得，此时或27．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，解题的关键在充分利用数形结合和分类讨论思想进行解答．
4．（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知三角板与，，，，将它们按下列要求放置．
(1)如图1，当平分时，求证：；
(2)如图2所示，若，求的度数
(3)如图3，将三角板固定不动，的角平分线交于点，改变另一个三角板的位置，顶点与顶点始终保持重合，旋转三角板，当与平行时，求的度数．（度数不大于）．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的性质；
（1）根据角平线的定义得到的度数，进而求出的度数，即可得到，根据内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）过点作，根据平行线的性质解答即可；
（3）分为两种情况画图，过点作，根据平行线的性质解答即可．
【详解】（1）证明：平分，
，
又，
，
，
，
；
（2）过点作，
，
，
，
，，
．
；
（3）i）当三角尺转到如图1所示位置时，延长，交于点，过点作，
平分，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
ii）当三角尺转到如图2所示位置时，延长交于点，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的度数为或．
【题型27 乘法公式在几何图形中的应用】
1．如图①，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）．
(1)图②中画有阴影的小正方形的边长为 （用含的式子表示）；
(2)观察图②，写出代数式与之间的等量关系；
(3)根据（2）中的等量关系解决下面的问题：
①若，求的值；
②若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键：
（1）直接根据图形列出代数式即可；
（2）两种方法表示出阴影部分的面积，即可得出结果；
（3）利用（2）中结论进行作答即可．
【详解】（1）解：由图②可知：小正方形的边长为；
故答案为：；
（2）由图②可知，小正方形的面积可以表示为和；
故；
（3）①由（2）得：，
，
；
②，
．
2．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题．
①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，则 ；
②用4个长和宽分别为的长方形拼成如图2的正方形，则 ；
【阅读理解】“若满足，求的值”
解：设，，
则，
【解决问题】
（1）若满足，则的值为 ；
（2）如图3，正方形的边长为，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值）
【答案】①，②；（1）；（2）
【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握公式及整体思想是解题的关键．
①根据等面积法即可得到答案.
②根据等面积法即可得到答案.
（1）运用题干所给的方法进行计算即可.
（2）根据题意易得、的长，然后结合图形、运用题干所给的方法求解即可．
【详解】解：①由图1的面积可得：.
②由图2正方形的面积可得：.
（1）设，，
则，
，
.
（2）矩形的面积，
设，，
则
∴阴影部分的面积
．
答：阴影部分的面积为1056．
3．颖颖同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且．
(1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ；
(2)若每块小长方形的面积为10，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58，试求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解，完全平方公式的变形运用．
（1）利用数形结合的思想，表示大长方形的面积，根据大长方形的面积等于长乘以宽，即可得出结论；
（2）由题意，得到，，利用完全平方公式进行求解即可．
【详解】（1）解：由图可知：表示大长方形的面积，
大长方形的边长分别为：，
∴；
故答案为：；
（2）解：由题意，得：，，
∴，
∴，
∴（负值舍去）．
4．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均裁成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．
(1)图2中的阴影部分正方形的边长是 （用含a，b的代数式表示）；
(2)观察图1，图2，能验证的等式是： （请选择正确的一个）；
A．
B．
C．
(3)如图3，C是线段上的一点，以为边向上分别作正方形和正方形，连接．若，求的面积．
【答案】(1)
(2)C
(3)
【分析】（1）根据图2中的信息即可得出阴影部分正方形的边长；
（2）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，进行求解即可；
（3）设正方形的边长为x，正方形的边长为y，根据图形中的关系得出，再求解，最后利用三角形面积公式即可得出答案；
另解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y，根据图形中的关系得出，利用（2）的结论直接代入即可，最后根据三角形面积公式即可得出答案．
【详解】（1）图2中的阴影部分正方形的边长是；
故答案为：
（2）之间的等量关系是：，
故选：C.
（3）设正方形的边长为x，正方形的边长为y
∴，
解得，
；
另解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
5．若x满足，求的值．
解：设，则．
所以．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若x满足，求的值；
(2)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是24，分别以为边作正方形．
①正方形的边长为a，正方形的边长为b，则________； _______；
②利用你学过的平方差公式和完全平方公式求图中阴影部分面积．
【答案】(1)5
(2)①2；24；②20
【分析】（1）设，则，根据代入计算即可解答；
（2）①根据正方形ABCD的边长为x，即可表示出MF与DF，正方形的边长为a，正方形的边长为b，表示出和即可；②根据矩形的面积公式、正方形的面积公式以及完全平方公式求解即可．
【详解】（1）解：设，则．
所以．
（2）解：①由题意得，．
∵正方形的边长为a，正方形的边长为b
∴，，
∴，
∵长方形的面积是24，
∴,即．
故答案为2，24．
②由图形可知：阴影部分的面积为：
∵，
∴，即
∴ ．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的几何背景、平方差公式等知识点，熟练掌握完全平方公式与平方差公式是解答本题的关键．
6．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如，，，…，因此12，20，28这三个数都是奇巧数．
(1)设两个连续偶数为，（其中n为正整数），由这两个连续偶数构造的奇巧数是8的倍数吗？为什么？
(2)研究发现：任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，请给出验证．
【答案】(1)这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数，见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
（1）先根据平方差公式对两个连续偶数的平方差进行化简，再分析结果是否为8的倍数；
（2）通过对两个连续“奇巧数”作差，化简后看结果是否为固定值．
【详解】（1）解：这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数，理由如下：
因为，
所以这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数．
（2）证明：因为
，
所以任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数．
【题型28 与整式乘除有关的化简求值】
1．（25-26八年级上·四川南充·期末）已知，，则（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】A
【分析】本题考查本题考查指数的运算性质，将原式进行正确地变形是解题的关键．
利用同底数幂除法法则可得，，设，，
则，从而求得答案．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴．
设，，
则，．
∵，
又，
∴，
∴．
∴．
故选A.
2．（25-26八年级上·山东烟台·期末）当或时，多项式的值为0，则把此时的值称为多项式的零点．若多项式，则多项式的零点是 ．
【答案】2或3/3或2
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式运算法则．
先利用多项式乘以多项式运算法则将其展开，通过比较多项式的两种形式系数，建立方程求解参数，进而得到零点．
【详解】解：
比较系数得：，，，
∴
代入，则，
∴；
∴
解得
∴
∴或，
解得，
∴，
解得
故多项式的零点为2或3，
故答案为：2或3．
3．将多项式除以后得商式，余式为0，则的值为（ ）
A．3 B．23 C．25 D．29
【答案】D
【分析】先把整式化简，然后由整式的乘法、除法运算进行运算，求出a、b、c的值，即可得到答案．
【详解】解：
=；
∵，
∴，，，
∴，，，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
4．已知，，．求的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握其运算法则，整式的化简，将式子变形得是解题的关键．
根据整式的混合运算，整式的化简等方法，将式子变形得即可求解．
【详解】解：已知，，，
∵
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为： ．
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期中复习4大类型28个题型（前3章）
【新教材浙教版】
【核心概念建构】 2
【题型1 对顶角】 2
【题型2 同位角、内错角、同旁内角】 3
【题型3 二元一次方程（组）的概念】 4
【题型4 幂的乘除】 4
【题型5 零整数指数幂】 4
【题型6 负整数指数幂】 4
【题型7 整式的乘除】 5
【题型8 乘法公式】 5
【能力层级提升】 5
【题型9 平行线的判定】 5
【题型10 平行线的性质】 6
【题型11 相交线中的角度计算】 7
【题型12 平行线的判定与性质】 8
【题型13 二元一次方程（组）的解】 9
【题型14 二元一次方程（组）的应用】 9
【题型15 逆用幂的运算】 11
【题型16 整式的乘法】 11
【题型17 整式的除法】 11
【题型18 完全平方公式】 12
【题型19 平方差公式】 13
【运算素养强化】 13
【题型20 解二元一次方程组】 13
【题型21 解三元一次方程组】 14
【题型22 幂的运算】 15
【题型23 整式的乘除】 16
【综合思维突破】 17
【题型24 探究平行线中角度之间的关系】 17
【题型25 过拐点作平行】 18
【题型26 旋转使平行】 20
【题型27 乘法公式在几何图形中的应用】 21
【题型28 与整式乘除有关的化简求值】 24
【核心概念建构】
【题型1 对顶角】
1．如图，直线、相交于点，，．求的度数．
2．（24-25七年级下·重庆长寿·阶段练习）下列各图中，与是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，当剪刀口减少时，的度数（ ）
A．增大 B．减少 C．增大 D．减少
4．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，直线与相交于点O，、分别是，的平分线．
(1)试判断和的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【题型2 同位角、内错角、同旁内角】
1．如图所示，同位角的对数是 ，内错角的对数是 ，同旁内角的对数是 ．
2．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，与的位置关系是（ ）
A．对顶角 B．同旁内角 C．内错角 D．同位角
3．如图，下列说法不正确的是（ ）
A． B．和是同位角
C． D．和是内错角
4．如图，下列判断：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角．其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 二元一次方程（组）的概念】
1．以下方程是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知是关于、的二元一次方程，则 ．
【题型4 幂的乘除】
1．（2026·福建漳州·一模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）计算：______．
3．（25-26九年级下·陕西西安·期中）下列运算结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
【题型5 零整数指数幂】
1．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）_____．
2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）若有意义，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级下·江苏镇江·月考）已知：，，，则，，大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【题型6 负整数指数幂】
1．（25-26八年级上·陕西延安·期末）计算：（ ）
A． B． C．3 D．
2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．已知：，则，，大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【题型7 整式的乘除】
1．（25-26七年级下·湖南邵阳·月考）化简，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若的结果中不含x的一次项，则m的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．若，，，则___________．
【题型8 乘法公式】
1．（25-26七年级下·重庆·开学考试）下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26七年级下·山东青岛·月考）是完全平方式，则的值是_____．
【能力层级提升】
【题型9 平行线的判定】
1．如图，下列能判定的条件有（ ）个
（1）；（2）；（3）；（4）
A． B． C． D．
2．如图，因为 ，所以，理由是“同旁内角互补，两直线平行”．
3．如图，点为直线上一点，，，平分，．证明：．
4．如图，已知、分别垂直于，且，求证：．
【题型10 平行线的性质】
1．如图，若，，则图中与互补的角有 个．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点D在BC边上，且，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．有一副三角板按如图所示的方式放置，两个三角板的斜边互相平行，则∠1的度数为 ．
4．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，则的度数为 ．
【题型11 相交线中的角度计算】
1．（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）（1）如图①，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数为 ．
（2）如图②，直线、相交于点O，射线垂直于且平分．若，则的度数为 ．
2．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，直线相交于点D，．若与的度数之比为，的度数是 ．
3．如图，三条直线相交于O，且，，若平分，则 度．
4．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图，已知直线、相交于点O，平分，平分，，则 ．
【题型12 平行线的判定与性质】
1．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，．
(1)求证：；
(2)若于点H，，求的度数．
2．如图，中，，直尺的两边与各边交于C、D、E、F四点．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，某燃气公司安装燃气管道，从点A处铺设到点B处时，由于一个湖泊无法再直线铺设，需要改变方向经过点M再拐到点C，然后沿方向继续铺设．已知，，则 °．
4．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，直线，直角三角尺的锐角顶点A，C分别在直线，上，点在直线之间，．
（1）当时， ；
（2）如图2，在线段上取一点，过点作直线，若射线平分，且满足，则 ．
【题型13 二元一次方程（组）的解】
1．若是关于x、y的二元一次方程的解，则 ．
2．小亮求得方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和■，则●是 ．
3．已知p为偶数，q为奇数，方程组的解是整数，那么（ ）
A．x为奇数，y是偶数 B．x为偶数，y是奇数
C．x为偶数，y是偶数 D．x为奇数，y是奇数
4．若关于、的方程组的解为，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【题型14 二元一次方程（组）的应用】
1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒．
(1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？
(2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？
2．虹口区正在创建全国文明城区，现对区内的部分河道进行整治，现有一段长340米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治20米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？
(1)小泓和小智两位同学提出的解题思路如下，请你补全两位同学的解题思路．
①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米
由题得：
②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天
由题得：
(2)请从①②中任选一个解题思路，继续完成解答过程．
3．亲子装是现代家庭中的一种流行趋势，亲子装不仅能表达“我们是亲密的一家人”的浓浓亲情，同时家长可以过一把“孩童”瘾，某专卖店购进一批甲、乙两款亲子装，它们的进货单价之和是360元．甲款亲子装零售单价比进货单价多40元，乙款亲子装零售单价比进货单价的1.5倍少60元；按零售单价购买甲款亲子装4件和乙款亲子装2件，共需要1320元．
(1)分别求出甲、乙两款亲子装的进价；
(2)该专卖店平均每天卖出甲款亲子装20件和乙款亲子装12件．经调查发现，甲款亲子装零售单价每降低1元，平均每天就可多售出甲款亲子装2件．商店决定把甲款亲子装的零售单价下降元，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两款亲子装获取的总利润为1490元？
4．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
(1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值；
(2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？
(3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值．
【题型15 逆用幂的运算】
1．若，，则的值是（ ）．
A．0.5 B．2 C．4 D．5
2．已知，则的值是 ．
3．（24-25八年级上·云南保山·期末）的计算结果是（ ）
A． B． C． D．
4．设，，，下列m，n，p三者之间的三个关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）已知，则 ．
【题型16 整式的乘法】
1．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知，则的值为 ．
3．若关于x的二次三项式，则的值是 ．
4．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）A，B两张长方形纸片如图所示，设纸片A，B的面积分别为，比较 的大小关系为： （填“”、“”或“”）．
5．（24-25七年级下·福建漳州·期末）若，则有理数的末尾四位数是（ ）
A．1131 B．2431 C．3131 D．4131
【题型17 整式的除法】
1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）计算 ．
2．若关于x的多项式除以，所得商恰好为，则 ．
3．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是 ．
账号：shulishijie
密码：前四位：SLSJ
后四位：？
【题型18 完全平方公式】
1．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）下列各式中，可以用乘法公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，且，则 ．
3．（25-26八年级上·全国·期中）设，若，则（ ）
A．1014 B．1013 C．1012 D．1011
4．（25-26八年级上·全国·期末）已知，则的值是（ ）
A．36 B．49 C．54 D．64
5．若是一个完全平方式，则a的值为 ．
6．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则 ．
【题型19 平方差公式】
1．计算： ．
2．计算： ．
3．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25七年级下·山东青岛·期末）某校组织了《“徽”聚梦想引领班风》的班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，先设计了一个正方形的班徽图形（如图），准备进一步优化改造，加一些文字，需要将原正方形的一组对边各增加，另一组对边各减少，改造以后的图形面积与原来的面积相比（ ）
A．不变 B．减少 C．增加 D．增加
【运算素养强化】
【题型20 解二元一次方程组】
1．解下列方程组：
(1)；
(2)．
2．已知方程组与的解相同，求的值．
3．下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题．
解：得：…（1），
得：…（2）
∴（3）
(1)第 步（填序号）出错；
(2)请你写出正确的解题过程．
4．在解方程组时，小军由于粗心看错了方程组中的n，解得；小红由于看错了方程组中的m，解得．
(1)则m，n的值分别是多少？
(2)原方程组正确的解应该是怎样的？
5．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）阅读下面解方程组的方法，然后解答下列问题．
解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算．例如，解下面的方程组：时，可以采用以下方法．解：②①得，，所以③，将③，得④，①④，得，从而可得，所以原方程组的解为．
(1)请你用上述方法解方程组
(2)猜测关于x、y的方程组的解，并说明理由．
【题型21 解三元一次方程组】
1．（24-25六年级下·上海·期末）解方程组：
2．解方程组：．
3．（24-25七年级下·四川乐山·期末）在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②−①得到③，因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了．
(1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出的值；
(2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值．
【题型22 幂的运算】
1．计算：
2．计算：
3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知，求的值．
4．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）按要求计算下面各题：
(1)已知，求的值；
(2)已知为正整数，且，求的值．
5．（1）先化简，再求值：其中，．
（2）下面是小明完成的一道作业，请你参考小明的方法解答下面的问题：
小明的作业计算：
解：
；
②；
③若，直接写出n的值．
6．（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究：
探究一：比较与的大小．
解：因为，，
又因为，所以，所以．
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小，
探究二：比较和的大小．
解：因为，且，所以，即，
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小．
解决下列问题：
(1)比较，的大小；
(2)比较，，，的大小；
(3)比较与的大小．
【题型23 整式的乘除】
1．（25-26八年级上·全国·期中）计算：
(1)；
(2)．
2．（24-25七年级下·山东青岛·期中）先化简，再求值：
，其中
3．（24-25七年级下·河北保定·期中）阅读材料
我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算．可用竖式除法．
步骤如下：
①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐；
②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；
③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减；
④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．
被除式=除式×商式＋余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除．
∵余式为0，∴可以整除．
解决问题
(1)请在竖式的两个方框内分别填入正确的数或式子；
(2)用竖式计算求的除式和商；
(3)若多项式，则______．
4．（24-25七年级下·江西九江·期中）（1）若的结果中不含项，求的值；
（2）已知单项式，是多项式，小明计算时，看成了，结果得，求正确的结果．
5．试说明多项式的值与x的取值无关．
【综合思维突破】
【题型24 探究平行线中角度之间的关系】
1．如图，已知，则、、、的关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图，在三角形中，，是锐角，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则 ．
3．在数学延时课上，小西把一张纸条（对边）沿着EF折叠，如图所示．通过反复多次的操作实验，他发现与之间有关系，请你写出它们之间的关系： ．
4．已知：，点、分别在、上，且．如图，分别在、上取点、，使平分，要使．则与满足的关系是 ．
【题型25 过拐点作平行】
1．（24-25七年级下·陕西延安·期末）某学习小组发现一个结论：已知直线，若直线，则．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：
已知直线，点P、Q分别在直线、上，连接、．
(1)如图1，点E在、之间，运用上述结论，探究、和之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，点E在、之间，平分，平分，当时，求出的度数；
(3)如图3，平分，平分，延长交于点F，当时，求出的度数．
2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知．将一副三角板摆放在两条平行线之间，使三角板的顶点E落在直线上，三角板的边落在直线上，并且边在一条直线上．求的度数．
3．（24-25七年级下·新疆·期末）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为M，机械臂与轨道的接触点记为N，为了实现复杂的操作任务，通过关节P和关节Q来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线．
(1)如图1所示，当机械臂时，证明．
(2)如图2所示，当，，时，=___________（用含α的式子表示）直接写出，无需证明．
4．感知发现：（1）在学习平行线中，兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图1，当时，可以得到结论：．那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是兴趣小组想尝试证明：如图1，，求证：．请写出证明过程．
（2）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图2．已知两直线a，b且和直角三角形，，，．创新小组的同学发现，说明理由．
实践探究：
（3）如图3，，在射线是的平分线，在的延长线上取点N，连接，若，，求的度数．
【题型26 旋转使平行】
1．（24-25七年级上·重庆·期末）已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且．
(1)求的度数；
(2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒．
①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值；
②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值．
2．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，线段与相交于点F，交直线的延长线于点B．已知，，现将直线绕着点B顺时针（箭头方向）旋转，当直线垂直于的任意一条边时，旋转的角度是 °．
3．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒．
(1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由；
(2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由；
(3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由．
4．（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知三角板与，，，，将它们按下列要求放置．
(1)如图1，当平分时，求证：；
(2)如图2所示，若，求的度数
(3)如图3，将三角板固定不动，的角平分线交于点，改变另一个三角板的位置，顶点与顶点始终保持重合，旋转三角板，当与平行时，求的度数．（度数不大于）．
【题型27 乘法公式在几何图形中的应用】
1．如图①，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）．
(1)图②中画有阴影的小正方形的边长为 （用含的式子表示）；
(2)观察图②，写出代数式与之间的等量关系；
(3)根据（2）中的等量关系解决下面的问题：
①若，求的值；
②若，求的值．
2．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题．
①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，则 ；
②用4个长和宽分别为的长方形拼成如图2的正方形，则 ；
【阅读理解】“若满足，求的值”
解：设，，
则，
【解决问题】
（1）若满足，则的值为 ；
（2）如图3，正方形的边长为，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值）
3．颖颖同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且．
(1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ；
(2)若每块小长方形的面积为10，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58，试求的值．
4．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均裁成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．
(1)图2中的阴影部分正方形的边长是 （用含a，b的代数式表示）；
(2)观察图1，图2，能验证的等式是： （请选择正确的一个）；
A．
B．
C．
(3)如图3，C是线段上的一点，以为边向上分别作正方形和正方形，连接．若，求的面积．
5．若x满足，求的值．
解：设，则．
所以．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若x满足，求的值；
(2)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是24，分别以为边作正方形．
①正方形的边长为a，正方形的边长为b，则________； _______；
②利用你学过的平方差公式和完全平方公式求图中阴影部分面积．
6．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如，，，…，因此12，20，28这三个数都是奇巧数．
(1)设两个连续偶数为，（其中n为正整数），由这两个连续偶数构造的奇巧数是8的倍数吗？为什么？
(2)研究发现：任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，请给出验证．
【题型28 与整式乘除有关的化简求值】
1．（25-26八年级上·四川南充·期末）已知，，则（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
2．（25-26八年级上·山东烟台·期末）当或时，多项式的值为0，则把此时的值称为多项式的零点．若多项式，则多项式的零点是 ．
3．将多项式除以后得商式，余式为0，则的值为（ ）
A．3 B．23 C．25 D．29
4．已知，，．求的值为 ．
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