期中复习4大类型36个题型（前3章）（举一反三期中专项训练）七年级数学下学期新教材沪科版

期中复习4大类型36个题型（前3章） 【新教材沪科版】 【核心概念建构】 2 【题型1 实数的相关概念】 2 【题型2 不等式的定义和解集】 3 【题型3 不等式的性质】 4 【题型4 幂的乘除】 6 【题型5 零整数指数幂】 7 【题型6 负整数指数幂】 7 【题型7 整式的乘除】 8 【题型8 乘法公式】 9 【题型9 因式分解的定义】 10 【题型10 公因式的概念】 12 【能力层级提升】 13 【题型11 平方根与算术平方根】 13 【题型12 立方根】 15 【题型13 实数】 17 【题型14 求一元一次不等式（组）的解集】 19 【题型15 求一元一次不等式（组）的整数解】 20 【题型16 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解】 22 【题型17 由一元一次不等式（组）的解集求参数】 23 【题型18 不等式组和方程组的结合】 25 【题型19 列一元一次不等式（组）】 29 【题型20 一元一次不等式（组）的应用】 30 【题型21 逆用幂的运算】 34 【题型22 整式的乘法】 37 【题型23 整式的除法】 39 【题型24 完全平方公式】 40 【题型25 平方差公式】 43 【题型26 判断能否用公式法分解因式】 45 【题型27 利用因式分解求参数】 47 【运算素养强化】 48 【题型28 实数的运算】 48 【题型29 一元一次不等式（组）的解法】 52 【题型30 幂的运算】 54 【题型31 整式的乘除】 58 【题型32 因式分解】 62 【综合思维突破】 65 【题型33 根据不等式的基本性质求最值】 65 【题型34 不等式中的新定义问题求参数取值范围】 66 【题型35 乘法公式在几何图形中的应用】 70 【题型36 因式分解的应用】 76 【核心概念建构】 【题型1 实数的相关概念】 1．下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·广东江门·月考）将下列各数填入相应的集合内．（用序号填空） ①，②，③，④0，⑤    ⑥，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨3.14． （1）整数集合：{____________…}； （2）分数集合：{____________…}； （3）无理数集合：{____________…}． 【答案】 ③④⑥ ①⑤⑨ ②⑦⑧ 【分析】此题考查了实数的分类，化简需要化简的各数后，根据实数的分类方法分类即可． 【详解】解：， （1）整数为：③，④0，⑥； 故答案为；③④⑥ （2）分数为：①，⑤，⑨3.14． 故答案为；①⑤⑨ （3）无理数为：②，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0）， 故答案为：②⑦⑧ 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）下列判断正确的是（　　） A．是整数，是有理数 B．是无限小数，是无理数 C．是分数，是有理数 D．3.1415926是小数，是无理数 【答案】A 【分析】本题考查有理数与无理数的定义，根据定义逐一判断每个选项的正误即可得到答案． 【详解】解：A选项，∵，2是整数，整数属于有理数， ∴该判断正确． B选项，∵是分数，分数属于有理数， ∴该判断错误． C选项，∵是无理数， ∴仍是无理数，不是有理数， ∴该判断错误． D选项，∵3.1415926是有限小数，有限小数属于有理数， ∴该判断错误． 故选：A． 【题型2 不等式的定义和解集】 1．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）在①；②；③；④；⑤；⑥中，属于不等式的有（   ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的定义，掌握含有不等号（如＞、＜、≠、≥、≤）的式子是不等式成为解题的关键． 根据不等式的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：①，含“＞”号，属于不等式； ②，含“＞”号，属于不等式； ③，含“=”号，属于等式，不是不等式； ④是代数式，不属于不等式； ⑤，含“≠”号，属于不等式； ⑥，含“＞”号，属于不等式． 综上，属于不等式的有①、②、⑤、⑥，共4个． 故选C． 2．（24-25八年级下·甘肃张掖·阶段练习）关于不等式的解和解集，下列说法正确的是（　　） A．是的解 B．是的解集 C．是的解集 D．是的解集 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解集，解一元一次不等式和不等式的性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据不等式的解集，解一元一次不等式和不等式的性质的知识，逐项判断，进行作答，即可求解； 【详解】解：A、是的解集，所以不是此不等式的解，选项A错误； B、是的解集，选项B错误； C、是的解集， 选项C错误； D、是的解集，选项D正确，符合题意； 故选：D. 【题型3 不等式的性质】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列不等式的变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：A、若，则，故不符合题意； B、若，则，故不符合题意； C、若，则，故不符合题意； D、若，则， 若，则，与矛盾， 故，所以，符合题意． 故选：D． 2．如果不等式的解集为，那么（　　） A．为任意有理数 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴，解得， 故选：． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若实数、、满足，．若，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，根据已知条件，利用含的代数式分别表示出，，从而得到关于的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：， ，， ， ， 整理得：，， ，， ， 解得：， 故答案为：． 【题型4 幂的乘除】 1．（2026·福建漳州·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘除法运算法则，幂的乘方、积的乘方运算法则分别计算判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误； B、，原计算错误； C、，计算正确； D、，原计算错误． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）计算：______． 【答案】a6 【分析】先根据积的乘方法则化简，再利用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 3．（25-26九年级下·陕西西安·期中）下列运算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘除法的运算法则判断选项即可． 【详解】解：A选项，，A选项不满足题意； B选项，，B选项不满足题意； C选项，，C选项不满足题意； D选项，，D选项满足题意 ． 【题型5 零整数指数幂】 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了零指数幂的运算，根据任何非零数的零次幂都等于可得结果. 【详解】解：， . 故答案为：. 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）若有意义，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零指数幂的底数不能为，求解即可. 【详解】解：∵有意义， ∴ ，解得 3．（24-25七年级下·江苏镇江·月考）已知：，，，则，，大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出，，的值；然后根据实数大小比较的方法，判断出，，大小关系即可． 【详解】 ，，， ． 【题型6 负整数指数幂】 1．（25-26八年级上·陕西延安·期末）计算：（　　） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】解：∵ ， ∴ ． 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 3．已知：，则，，大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据幂运算的相关法则，分别计算出a、b、c的具体数值，再比较三个数的大小，即可得到结果． 【详解】解：∵根据负整数指数幂运算法则，，根据乘方运算法则，，根据零指数幂运算法则，底数不等于0，即成立，， 又， ． 【题型7 整式的乘除】 1．（25-26七年级下·湖南邵阳·月考）化简，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用单项式乘多项式法则求解判断即可． 【详解】解：． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若的结果中不含x的一次项，则m的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，需先展开式子，根据结果不含x的一次项即一次项系数为0，建立方程求解m的值． 【详解】解：∵ 又∵结果中不含x的一次项 ∴ 解得 故选：D． 3．若，，，则___________． 【答案】 【分析】先将和表达出来，最后代入求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ， ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式求值和整式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 【题型8 乘法公式】 1．（25-26七年级下·重庆·开学考试）下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平方差公式要求两个二项式相乘，且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，满足该条件才能用平方差公式计算，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； B、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； C、，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式的使用条件，不能用平方差公式计算； D、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键．根据，，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式计算正确，不符合题意； B、，原式计算正确，不符合题意； C、，原式计算正确，不符合题意； D、，原式计算错误，符合题意； 故选：D． 3．（25-26七年级下·山东青岛·月考）是完全平方式，则的值是_____． 【答案】17或 【分析】根据完全平方公式，确定一次项系数满足的等量关系，计算求解即可． 【详解】解：是完全平方式，，， 即或， 解得或． 【题型9 因式分解的定义】 1．（24-25七年级下·山东聊城·月考）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A．右边不是几个整式乘积的形式，不属于因式分解，故该选项不符合题意， B．左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解，故该选项不符合题意， C．左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故该选项符合题意， D．右边的不是整式，因此右边不是几个整式乘积的形式，不属于因式分解，故该选项不符合题意． 2．根据下边图形写一个关于因式分解的等式________．    【答案】 【分析】根据图形的面积大长方形的面积，又等于各部分的面积之和，即可得到等式． 【详解】解：图形的面积， 又图形的面积， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，用两种方法求出大长方形的面积是解题的关键． 3．观察下列从左到右的变形： （1）； （2）； （3）； （4）； 其中是因式分解的有______（填序号）． 【答案】（3） 【分析】根据因式分解的定义判断即可． 【详解】解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把一个多项式分解因式（或因式分解） （1）不是因式分解，不符合题意； （2）不是因式分解，不符合题意； （3）是因式分解，符合题意； （4）是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； 故答案为：（3）. 【点睛】本题考查了整式的因式分解，正确理解整式的因式分解是解本题的关键． 【题型10 公因式的概念】 1．（25-26八年级上·山东烟台·期末）多项式中，各项的公因式是___________． 【答案】3xy/ 【分析】本题考查了公因式，解题关键是能利用公因式的概念确定公因式．本题可以找出多项式各项系数的最大公约数和字母部分的最低次幂，取它们的积即可求解． 【详解】解：多项式中，各项系数分别为9、3、，其最大公约数为3； 各项均含有和，且的最低指数为1，的最低指数为1， 因此公因式为， 故答案为： 2．（25-26八年级上·河北衡水·期末）多项式与的公因式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解和公因式的概念，平方差和完全平方公式．先对每个多项式进行因式分解，即可找出公有的因式． 【详解】解：∵，， ∴ 公因式为． 故选：B 3．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查多项式的公因式判断，通过因式分解检查各组是否有公因式即可． 【详解】解：A：∵，， ∴公因式为，故此选项不符合题意； B：∵，， ∴公因式为，故此选项不符合题意； C：∵，， ∴公因式为，故此选项不符合题意； D：∵，，且与无公因式， ∴没有公因式，故此选项符合题意． 故选：D． 【能力层级提升】 【题型11 平方根与算术平方根】 1．若，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求平方根．根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即的平方根是． 故答案为： 2．（25-26八年级上·福建泉州·阶段练习）代数式的值最大时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，熟练掌握二次根式的非负性是解本题的关键．利用二次根式大于等于，则时，代数式的值最大，即可得解． 【详解】解：，， ，且当时，取最小值0， 当时，代数式的值最大，最大值为． 故答案为：． 3．已知：满足关系，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：由题意可得： 解得：， 所以，， 所以，， 故的立方根为， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江西九江·阶段练习）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 5．已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（    ） A．5 B．7 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小、算术平方根等知识，正确得出x，y的值是解题的关键．直接利用算术平方根的定义得出x的值，再利用估算无理数的方法得出y的值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴，解得； ∵y是的整数部分，， ∴， ∴， 故选：C． 6．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段练习）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（   ） A．1 B．3 C．9 D．25 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数得出a的值，进而得出答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， 故， 则这个正数是：． 故选：C． 7．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根等知识点，掌握算术平方根和平方根的区别与联系成为解题的关键． 根据算术平方根、平方根的定义及性质逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题题意； B．表示算术平方根，结果应为非负数，即，故该选项错误，不符合题题意； C． ，故 ，故该选项错误，不符合题题意； D．，则 ，正确，符合题意． 故选D． 【题型12 立方根】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法中，不正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．0的立方根是0 D．的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题利用立方根的性质对选项逐一判断，即可求解． 【详解】解：A．的立方根是，故选项正确； B．的立方根是，故选项正确； C．0的立方根是0，故选项正确； D．∵，∴的立方根等于5，故选项错误． 故选：D 2．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若，则b等于（    ） A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 【答案】A 【分析】本题考查立方根的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据立方根的性质，由已知条件得到、的值，即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∴， 故选：A． 3．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）已知   则 （精确到百分位） 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的求解，立方根的运算，解题的关键是掌握立方根的运算法则． 对立方根进行变式，然后根据给出的值进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江西赣州·期末）若是的算术平方根，是的立方根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查​算术平方根和立方根的概念与计算​，​准确理解算术平方根（非负实数的非负平方根）和立方根（实数的唯一立方根）的定义是解题的关键​． 根据算术平方根和立方根的概念求值计算即可​． 【详解】∵是的算术平方根，是的立方根， ∴，， ∴． 故答案为：． 【题型13 实数】 1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 【答案】，， 【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数和无理数的定义，求一个数的算术平方根等知识点，熟练掌握实数的分类及有理数和无理数的定义是解题的关键． 根据有理数和无理数统称实数，分数和整数统称有理数，无限不循环小数是无理数进行分类即可． 【详解】解：， 由题意可得， 整数有：， 分数有：， 无理数有：， 故答案为：，，． 2．如图，已知数轴上的点分别表示数、、1、2，则表示的点应落在线段（   ） A．上 B．上 C．上 D．上 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴上点的关系．关键是根据的取值范围来确定的取值范围．估算出的取值范围，即可确定点P在数轴上应落在的线段． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即表示的点P落在线段上． 故选：A． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）若的整数部分是，小数部分是，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与无理数的整数部分有关的计算，实数的运算，夹逼法求出的值，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故选B． 4．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）对于的叙述，下列说法正确的是（    ） A．它不能用数轴上的点表示出来 B．它是一个无理数 C．它比大 D．它的相反数为 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，实数的大小比较，无理数的定义，相反数的定义，数轴的意义，实数的计算，无理数的定义，相反数的定义判断即可，掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：、数轴上的点与实数一一对应，是实数，可以用数轴上的点表示，原选项说法错误； 、是有理数，是无理数，有理数与无理数的和为无理数，故是无理数，原选项说法正确； 、∵， ∴，原选项说法错误； 、 的相反数为，原选项说法错误； 故选：． 5．（24-25七年级下·山东德州·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的大小比较，先利用夹逼法估算a，b的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴，， 又， ∴， 故选：C． 【题型14 求一元一次不等式（组）的解集】 1．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式， 按照移项，合并同类项的步骤求解即可． 【详解】解：， ， ∴， 故答案为：． 2．不等式组的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 故选：C． 3．已知，当时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键．先通过已知方程用含的式子表示，再将的表达式代入中得到关于的不等式，最后解不等式求出的取值范围． 【详解】 ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 【题型15 求一元一次不等式（组）的整数解】 1．不等式的负整数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式和负整数的定义，解题的关键是掌握解一元一次不等式．解出不等式的解集，即可得到不等式的负整数解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴不等式的负整数解是. 故答案为：． 2．已知关于x的不等式只有2个正整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的解法，正确求解不等式是解题关键，注意解不等式时，不等式两边同时除以一个负数时，不等号的方向需要改变．首先解不等式，不等式的解可以利用m表示，根据不等式只有2个正整数解，即可得到关于m的不等式组，即可求得m的范围． 【详解】解：由不等式得：， ∵关于的不等式只有2个正整数解， ∴， 解得：． 故选：B． 3．不等式组的所有整数解的和为（    ） A．3 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而确定不等式组的整数解，再把整数解相加，即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为， ∴原不等式组的所有整数解的和为， 故选：A． 4．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）若关于的不等式组至少有2个整数解．则的最大整数值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据题意确定是解题的关键． 根据题意解不等式组得，又至少有2个整数解，则，接着求解即可． 【详解】解不等式， ， ， 解不等式， ， ， ， 所以不等式组的解为， 又至少有2个整数解， 所以，解得， 则的最大整数值为8． 故答案为：8． 【题型16 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解】 1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）将不等式组的解集在数轴上表示，下面表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集、在数轴上表示解集等知识点，正确求得不等式组的解集是解题的关键． 先分别求出各不等式的解集，再确定不等式组的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以，该不等式组的解集为． 解集在数轴上表示为： ． 故选：D． 2．（24-25七年级下·青海玉树·期末）若关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，则 ． 【答案】1 【分析】直接利用已知不等式的解集得出关于a的等式，进而得出答案． 此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，正确得出关于a的等式是解题的关键． 【详解】解：，解集在数轴上为， ， 解得： 故答案为： 3．关于的不等式组的解集在数轴上如图表示，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确得出关于a的等式是解题关键．根据数轴解第二个方程，利用已知不等式组的解集得出关于a的等式，进而得出答案． 【详解】解：， 解②得， 由数轴可知， 解得． 故答案为：3． 【题型17 由一元一次不等式（组）的解集求参数】 1．不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能求出不等式组的解集是解此题的关键．求出不等式的解集，根据已知不等式组的解集，推出即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵不等式组的解集是， ∴， 故答案为：． 2．若关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次不等式， 先求出一元一次方程的解，再根据其解是非负数得出不等式，然后求出不等式的解集即可. 【详解】解：方程， 解得. ∵方程的解是非负数， ∴， 解得. 故答案为：. 3．关于的不等式组有解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数． 先分别解两个不等式，进而求出不等式组的解集，再根据不等式组有解判断即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组有解， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·河南新乡·期末）已知关于的不等式组． （1）若该不等式组无解，则的取值范围是 ； （2）若该不等式组的解集中，每一个值均不在的范围中，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，熟练掌握由一元一次不等式组的解集求参数是解题的关键． （1）先分别求出两个不等式的解，再根据不等式无解的含义列不等式求解即可； （2）首先根据不等式组有解求得 ，再根据题意得到或，分别求解即可． 【详解】解：（1）， 解①，得， 解②，得， 若该不等式组无解，则， 解得． 故答案为：． （2）若该不等式组的解集中，每一个值均不在的范围中， 则首先要满足不等式有解， ， 解得， 其次要满足或， 解得或， 的取值范围是或． 故答案为：或． 【题型18 不等式组和方程组的结合】 1．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求解方程得出的表达式，再根据解是负数这一条件列不等式，进而求出的取值范围．本题主要考查一元一次方程的求解与一元一次不等式的应用，熟练掌握方程的解法和根据条件列不等式求解是解题的关键． 【详解】解：解方程得， 因为方程的解是负数，即， 所以， ， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）若不等式组的解集是，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、有理数的乘方等知识点，根据不等式的解集确定a、b的值是解本题的关键． 先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集求出a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由不等式组， 解得∶，即． ∵， ，． ，． ． 故选A． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式的解集问题． 求出，根据计算即可． 【详解】解： 得：， 即， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为 ． 【答案】4或1或0 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组．根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数，列式计算，据此求解即可． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组只有3个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入④得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， 或或或或或， 或或或或， 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，是整数，符合题意； 所有满足条件的整数的值为4或1或0， 故答案为：4或1或0． 5．已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）． （1）若该方程组的解x，y满足，则k的取值范围为 ． （2）若该方程组的解x，y均为正整数，且，则该方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组，解题的关键是得出关于k的不等式． （1）将方程组中的两个方程相加，即可得到用含k的代数式表示出，然后根据，即可求得k的取值范围 (2)先用含k的式子表示出方程组的解，再根据x，y均为正整数，且，即可得到该方程组的解． 【详解】解：（1） ①+②，得 ， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由解得 ， ∵均为正整数，且， ∴当时，； 当时，，不合题意，舍去； 当时，，不符合题意，都舍去， 由上可得，该方程组的解为． 故答案为：． 【题型19 列一元一次不等式（组）】 1．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为棵，根据“每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵”列一元一次不等式组即可． 【详解】解：若每人平均植树 9 棵，则位同学植树棵数为， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为棵， ∴可列不等式组为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键． 2．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素含量及购买这两种原料的价格如表：现配制这种饮料，要求至少含有单位的维生素，若所需甲种原料的质量为，则x应满足的不等式为（    ） 甲种原料 乙种原料 维生素C含量（单位/kg） 600 100 原料价格（元/kg） 8 4 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，理解表格，会把文字语言转换为数学语言是解决问题的关键． 首先由甲种原料所需的质量和饮料的总质量，表示出乙种原料的质量，再结合表格中的数据，根据“至少含有4200单位的维生素C”这一不等关系列不等式． 【详解】解：若所需甲种原料的质量为，则需乙种原料． 根据题意，得． 故选：D． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）为保证学生有充足睡眠时间，我校严格按照双减要求学生早上8：00前要到达班级，小明出家门时7：40，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明同学跑步时间为，则剩余的路程为，则走路的时间为，到校时间应小于分钟列出不等式即可． 【详解】解：设小明同学跑步时间为，则剩余的路程为，则走路的时间为 ， 故答案为：． 4．若干名学生住宿舍，每间住人，人无处住；每间住人，空一间还有一间不空也不满，问多少学生多少宿舍？设有间宿舍，则可列不等式组为 【答案】 【分析】先根据“每间住人，人无处住”可得学生人数，再根据“每间住人，空一间还有一间不空也不满”建立不等式组即可得． 【详解】设有间宿舍，则学生有人， 由题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键． 【题型20 一元一次不等式（组）的应用】 1．（2025·辽宁·模拟预测）随着技术的高速发展，无人配送车在快递领域迅速普及，某快递运营区有若干揽投员，无人车3辆．若每位揽投员的日均投递量是每辆无人车的，若2位揽投员和3辆无人车每天可配送快递4810件． (1)求1辆无人车的日均投递量； (2)旺季期间，该运营区有揽投员50人，要求日均投递总量不低于40000件，求至少需要增加无人车多少辆． 【答案】(1)1辆无人车的日均投递量为1300件 (2)至少需要增加11辆无人车 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设1辆无人车的日均投递量为件，则每位揽投员的日均投递量是件，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）设需要增加无人车辆，根据题意列出不等式，求出的范围，结合题意得到的最小值即可解答． 【详解】（1）解：设1辆无人车的日均投递量为件，则每位揽投员的日均投递量是件， 由题意得，， 解得， 答：1辆无人车的日均投递量为1300件； （2）解：设需要增加无人车辆， 由题意得，， 解得， ∵是整数， ∴的最小值为11， 答：至少需要增加无人车11辆． 2．（24-25八年级下·陕西安康·阶段练习）2025年4月23日是第30个世界读书日．某网上图书销售平台计划在世界读书日前购进甲、乙两类图书共1200册，这两类图书的进价、售价如下表： 进价/（元/册） 售价/（元/册） 甲类 25 30 乙类 45 60 (1)分别购进甲、乙两类图书多少册时，进货款恰好为40000元？ (2)分别购进甲、乙两类图书多少册时，该平台获得的利润最多且利润不超过进货款的（假设甲、乙两类图书全部售完）？此时利润为多少元？ 【答案】(1)购进甲类图书700册，乙类图书500册 (2)当购进甲类图书450册，乙类图书750册时，该平台获得的利润最多且利润不超过进货款的，此时利润为13500元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用和一元一次不等式组的应用，正确建立方程组，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）设购进甲类图书册，乙类图书册，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设购进甲类图书册时，利润为元，则购进乙类图书册，求出，再根据利润不超过进货款的求出的取值范围，然后利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设购进甲类图书册，乙类图书册， 由题意得：， 解得，符合题意， 答：购进甲类图书700册，乙类图书500册． （2）解：设购进甲类图书册时，利润为元，则购进乙类图书册， 由题意得：， ∵利润不超过进货款的， ∴， 解得， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， 则当时，的值最大，最大值为， 此时， 答：当购进甲类图书450册，乙类图书750册时，该平台获得的利润最多且利润不超过进货款的，此时利润为13500元． 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解锁新能源汽车，驶向未来的科技引擎．在科技飞速发展的今天，新能源汽车如雨后春笋般出现在大街小巷，其具有能耗成本低，驾驶体验舒适，环保性能良好等优点，深受广大消费者的喜爱．某品牌汽车销售公司8月共售出16台插混式汽车和10台纯电式汽车，销售额为392万元，9月共售出20台插混式汽车和15台纯电式汽车，销售额为540万元． (1)求插混式汽车和纯电式汽车每台的售价各是多少万元？ (2)受惠民政策影响，该汽车厂家为让利消费者，对所有车辆每台补贴2万元，销售公司在“十一”黄金周共售出两种新能源汽车25辆，销售额不少于330万元，求该公司在黄金周至少售出多少台纯电式汽车？ 【答案】(1)插混式汽车每台售价12万元，纯电式汽车每台20万元 (2)10台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确列方程． （1）设插混式汽车每台售价万元，纯电式汽车每台的售价万元，根据题意列方程组求解即可； （2）设该公司在黄金周售出a台纯电式汽车，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设插混式汽车每台售价万元，纯电式汽车每台的售价万元， 由题意得，， 解得． 答：插混式汽车每台售价12万元，纯电式汽车每台20万元． （2）解：设该公司在黄金周售出a台纯电式汽车， 由题意得，， 解得． 答：该公司在黄金周至少售出10台纯电式汽车． 4．（24-25七年级下·河南商丘·期末）“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．商丘某商家连续两周销售“滨滨和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示． 销售个数（个） 销售额（元） 滨滨 妮妮 第1周 20 15 3080 第2周 30 10 3520 (1)分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格； (2)根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件共100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，至少需要购买多少个“滨滨”摆件？ (3)在题（2）的条件下，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，商店售完这100个摆件能否实现利润超过2310元的目标？若能，给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)“滨滨”“妮妮”摆件的零售价都为88元/件 (2)至少需要购买67个“滨滨”摆件 (3)能，可以购买67个“滨滨”摆件，33个“妮妮”摆件或者购买68个“滨滨”摆件，32个“妮妮”摆件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用． （1）设“滨滨”摆件的零售价格为元/件，“妮妮”摆件的零售价格为元/件，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）设购进“滨滨”摆件个，则购进“妮妮”摆件个，根据题意确定的取值范围，即可确定答案； （3）根据题意求出，进而作答即可. 【详解】（1）解：设“滨滨”摆件的零售价为x元/件，“妮妮”摆件的零售价为y元/件，依题意，列得方程组得， 解得 答：“滨滨”“妮妮”摆件的零售价都为88元/件； （2）解：设购进“滨滨”摆件m个，则购进“妮妮”摆件个， ∵“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件的数量的2倍， ， 解得：． ∵m应为正整数， ∴可得m至少为67． 答：至少需要购买67个“滨滨”摆件； （3）解：商店售完这100个摆件能实现利润超过2310元的目标． 根据题意，得：， 解得： ， ∵m应为正整数， ∴m可以取67，68． 当时，；当时，． 答：可以购买67个“滨滨”摆件，33个“妮妮”摆件或者购买68个“滨滨”摆件，32个“妮妮”摆件． 【题型21 逆用幂的运算】 1．若，，则的值是（    ）． A．0.5 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的运算．熟练掌握幂乘方运算法则，同底数幂除法法则，是解题的关键． 由，，代入计算即得． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 2．已知，则的值是 ． 【答案】4 【分析】利用幂的运算将转化为：，再将整体代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式=． 故答案为：． 【点睛】此题考查了幂的运算，掌握幂的混合运算法则是解题的关键． 3．（24-25八年级上·云南保山·期末）的计算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数乘方运算，积的乘方逆运算，同底数幂乘法的逆用．根据有理数乘方运算的意义可得，再利用积的乘方逆运算法则计算即可． 【详解】解： 故选：D 4．设，，，下列m，n，p三者之间的三个关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用，完全平方公式的应用．根据同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用可得，，，，再进一步分析即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，故A符合题意； ∵，，， ∴，， ∴， ∴，故B不符合题意； ∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， 故C不符合题意，D不符合题意. 故选：A． 5．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了逆用同底数幂的除法、幂的乘方法则等知识点，灵活逆用运算法则对所求代数式变形成为解题的关键． 先逆用同底数幂的除法和幂的乘方法则得到，然后将整体代入计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【题型22 整式的乘法】 1．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 2．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式以及代数式的求值，积的乘方的逆应用，掌握相关法则及概念是关键．利用单项式乘以多项式法则计算，再化为，将代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式 ． 故答案为： 3．若关于x的二次三项式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，多项式相等的条件，代数式求值． 按照运算法则计算，根据对应项系数相等，可得和，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值是． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）A，B两张长方形纸片如图所示，设纸片A，B的面积分别为，比较 的大小关系为： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式与多项式乘法在几何图形中的应用，根据多项式乘以多项式的计算法则求出，，再利用作差法求出，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·福建漳州·期末）若，则有理数的末尾四位数是（    ） A．1131 B．2431 C．3131 D．4131 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．设，则，计算多项式乘以多项式可得，判断出的末尾四位数是0，由此即可得． 【详解】解：设， 则 ， ∵和的末尾四位数都是0，且， ∴的末尾四位数是0， ∴的末尾四位数是， 即有理数的末尾四位数是， 故选：A． 【题型23 整式的除法】 1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．若关于x的多项式除以，所得商恰好为，则 ． 【答案】 【分析】利用可求出，进一步可得：，，，进一步可求出，，，相加即可求出． 【详解】解：由题意可知： ， ∴， ∴，，， 解之得：，，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查多项式系数中的字母求值，单项式乘多项式，解题的关键是理解题意，找出，令其系数对应相等即可解答． 3．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是 ． 账号：shulishijie 密码：前四位：SLSJ 后四位：？ 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，单项式乘以单项式及单项式除以单项式，先化简各式，得出密码与指数的关系即可得答案．熟练掌握运算法则，正确得出密码与指数的关系是解题关键． 【详解】解：，， ∴密码是x、y、z的指数按顺序拼接而成的数字， ∴， ∴密码是． 故答案为：． 【题型24 完全平方公式】 1．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查乘法公式的应用，包括平方差公式和完全平方公式，需判断各选项是否符合公式结构． 【详解】A、， 两括号中的项分别为和，既无相同项也无相反项，无法直接应用乘法公式，需逐项展开； B、， 将第二个括号提取负号，得：， 符合完全平方公式，可用乘法公式计算； C、， 第二个括号可整理为，但两括号中的项与无相同或相反项，无法直接应用乘法公式； D、 两括号中的项分别为和，无相同项或相反项，需逐项展开，无法直接应用乘法公式． 故选：B． 2．已知，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练运用公式变形是解题的关键．把两个等式两边同时平方，再相加即可得解． 【详解】解：， ， ，， 由得， 故， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·期中）设，若，则（   ） A．1014 B．1013 C．1012 D．1011 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式．熟练掌握完全平方公式，利用换元思想进行代数式求值是解题的关键． 写出a、b、c的关系式代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴， 解得：． 故选：D． 4．（25-26八年级上·全国·期末）已知，则的值是（   ） A．36 B．49 C．54 D．64 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的灵活运用，解题的关键是通过设未知数将原式转化为含相同变量的平方形式，再利用完全平方公式展开求解． 设，则；将其代入已知等式，利用完全平方公式展开得到关于的方程；解方程求出的值，即的值． 【详解】解：设，则． 已知，代入得：． 展开得：， 合并同类项得：， 化简得：，即． 所以． 故选：B． 5．若是一个完全平方式，则a的值为 ． 【答案】11或 【分析】本题考查了完全平方式，掌握是解题的关键． 首末两项是x和4的平方，所以中间项为加上或减去x和4的乘积的2倍，故，解方程即可得答案． 【详解】解：是完全平方式， 解方程得：或， 故答案为：11或． 6．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴． 故答案为：． 【题型25 平方差公式】 1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 把变成利用平方差公式运算求解即可． 【详解】解： 原式 ； 故答案为：． 2．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了平方差和完全平方公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．原式把看作一个整体，符合平方差公式，展开后再利用完全平方公式计算即可得到结果． 【详解】解： ． 故答案为： 3．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据左边的操作，得到剩余的面积为；根据右边的操作，得到长方形的面积为，根据面积相等，解答即可． 本题考查了平方差公式，熟练掌握公式的几何意义是解题的关键． 【详解】解：根据左边的操作，得到剩余的面积为；根据右边的操作，得到长方形的面积为，根据面积相等，得． 故选：D． 4．（24-25七年级下·山东青岛·期末）某校组织了《“徽”聚梦想引领班风》的班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，先设计了一个正方形的班徽图形（如图），准备进一步优化改造，加一些文字，需要将原正方形的一组对边各增加，另一组对边各减少，改造以后的图形面积与原来的面积相比（   ） A．不变 B．减少 C．增加 D．增加 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式和整式加减的应用，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 用代数式分别表示改造前后图形的面积，再列式求前后的面积差即可． 【详解】解：设原正方形的边长为， 因此面积为， 改造后的图形是长为，宽为的长方形， 因此面积为， 所以改造前后的面积差为， 因此改造以后的图形面积与原来的面积相比减少了． 故选：B． 【题型26 判断能否用公式法分解因式】 1．下列多项式中，能用平方差公式分解的因式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先明确能用平方差公式分解因式的条件：多项式为两项，两项符号相反，且每一项都可化为平方的形式，再逐一判断即可得出符合条件的个数． 【详解】解：①，两项同号，不符合，不能分解； ②，符合条件，能分解； ③，符合条件，能分解； ④不是多项式，无法进行因式分解； ⑤，符合条件，能分解； 综上符合条件的共有3个． 2．（25-26八年级上·福建厦门·期末）下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式分解因式的应用，需依据完全平方公式的结构特征（）逐一分析选项． 【详解】解：完全平方公式的结构为 A、，缺少中间的项，不符合完全平方公式结构，不能用其分解因式； B、，中间项应为，而非，不符合结构，不能用其分解因式； C、，符合平方差公式结构，可用平方差公式分解，而非完全平方公式； D、，符合完全平方公式结构，能用其分解因式； ∴故选D 3．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】D 【分析】甲：利用完全平方公式进行因式分解即可；乙：利用平方差公式进行因式分解即可；丙：利用提取公因式法进行因式分解即可；丁：不能进行因式分解． 【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，故此选项不符合题意； D、丁：，不能因式分解，故此选项符合题意． 【题型27 利用因式分解求参数】 1．（25-26八年级上·山东·期末）若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解， 通过展开因式分解形式并与原多项式比较系数，求出a和b的值，再求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得， ∴． 故选：B． 2．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知多项式可分解因式为，则为_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 计算，进而根据“多项式可分解因式为”即可得出的值． 【详解】解：， ∵多项式可分解因式为， ∴． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江西南昌·期末）若多项式因式分解的结果是，则___________． 【答案】13 【分析】此题考查了已知因式分解的结果求参数，代数式求值，将因式分解的结果展开，与原多项式比较系数，求出a和b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：， 根据题意得， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：13． 【运算素养强化】 【题型28 实数的运算】 1．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的运算，熟练掌握求一个数的算术平方根和立方根是解答本题的关键． （1）原式分别计算算术平方根和立方根，然后再进行加减运算即可； （2）原式分别计算乘方和算术平方根，然后再进行加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 2．已知的平方根为，是的立方根． (1)求，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根和立方根，掌握算术平方根，平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义即可求解； （2）先将（1）中的，代入中，再求它的算术平方根． 【详解】（1）解：的平方根为，是的立方根， ，， 解得，； （2）解：将，代入中得： ， 的算术平方根， 即的算术平方根． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了实数的混合运算和有理数的混合运算． （1）根据绝对值的定义可知：，根据立方根的定义可知：，所以可得：原式，再根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据乘方的定义可知：，根据乘方的定义可知：，再根据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）求满足下列各式的未知数的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程． （1）先化简，再两边都除以2，然后利用平方根的定义求解即可； （2）先把125移项， 然后利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1） （2） 5．（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 【答案】(1)； (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或 （3）若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值均为或． 【题型29 一元一次不等式（组）的解法】 1．解下列不等式和不等式组，并将解集表示在数轴上． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，在数轴上表示时需要注意空心，实心． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）先分别解出两个不等式的解集，再求公共解集即可． 【详解】（1）解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 解集在数轴上可表示为： （2）解： 解不等式①得： 解不等式②得： 不等式组的解集为： 解集在数轴上可表示为： 2．按要求解不等式组 (1)求的所有整数解． (2)求的非负整数解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解． （1）分别求两不等式的解集，进而求出不等式组的解集，然后求其整数解； （2）分别求两不等式的解集，进而求出不等式组的解集，然后求其非负整数解． 【详解】（1）解不等式得： 解不等式得： ∴ 整数解为； （2）解不等式得： 解不等式得： ∴ 非负整数解为 3．已知关于x、y的方程组． (1)若此方程组的解满足，求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，若关于的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值． 【答案】(1) (2)、0 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式； （1）根据列出关于的不等式，可解得的范围； （2）结合（1），由为整数，可得的值． 【详解】（1）， ①②得：， ， ， ， 解得； （2）关于的不等式的解集为， ， ， ， ， 满足条件的的整数值是、0． 【题型30 幂的运算】 1．计算： 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据积的乘方，幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 2．计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法运算、积的乘方、幂的乘方等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 根据整式的乘法运算及积的乘方、幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解： ． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，指数的相关运算，先将已知的等式转化成以相同的底数3的指数形式，然后通过指数的运算找到a，b与指数的关系，进而求出求出代数式的值． 【详解】解： ， 即 4．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 【答案】(1)64 (2)56 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用幂的乘方，同底数幂的乘法法则，整理，再将整体代入运算即可； （2）利用积的乘方，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】（1）解： 当， 则原式． （2）解： 当， 则原式． 5．（1）先化简，再求值：其中，． （2）下面是小明完成的一道作业，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业计算： 解： ； ②； ③若，直接写出n的值． 【答案】（1），；（2）；②； 【分析】此题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，整式的混合运算，解题的关键是熟悉同底数幂的乘法． （1）先展开，再去括号，合并同类项，化简后将a，b的值代入计算即可； （2）①逆用积的乘方法则可得答案； ②逆用积的乘方法则； ③利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则把左边变形，可得关于n的方程，即可解得答案． 【详解】解：（1） ， 当，时， 原式 ； （2） ； ② ； ， ． ． ， 解得， 的值为3． 6．（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，据此可得答案； （2）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，， ，据此可得答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则和积的乘方的逆运算法则可得，，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，， ，且， ∴， ∴； （3）解：，， 又∵， ∴． 【题型31 整式的乘除】 1．（25-26八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的四则混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先计算单项式乘多项式，再计算多项式除以单项式即可； （2）分别按照多项式乘多项式、单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．（24-25七年级下·山东青岛·期中）先化简，再求值： ，其中 【答案】，9 【分析】根据去括号，合并同类项，多项式除以单项式，正确化简，后转化为代数式的值计算即可． 本题考查了整式的化简求值，正确化简是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 3．（24-25七年级下·河北保定·期中）阅读材料 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算．可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式＋余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． ∵余式为0，∴可以整除． 解决问题 (1)请在竖式的两个方框内分别填入正确的数或式子； (2)用竖式计算求的除式和商； (3)若多项式，则______． 【答案】(1)， (2)除式是，商是7 (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是读懂题意，能用竖式计算多项式除以多项式． （1）用竖式计算即可得到答案； （2）用竖式计算即可得到答案； （3）由，得，用竖式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题可得： 故答案为：，； （2）解：竖式如下： 即除式是，商是7； （3）解：∵， ∴， 竖式如下： ∴． 4．（24-25七年级下·江西九江·期中）（1）若的结果中不含项，求的值； （2）已知单项式，是多项式，小明计算时，看成了，结果得，求正确的结果． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式的加减，解题的关键是理解题干意思，列出正确的算式计算． （1）利用多项式乘多项式法则展开，根据结果不含项，求出n的值即可； （2）根据求出B，再代入中计算即可． 【详解】解：（1）原式， 不含有项， ， ； （2），， ， ， 故正确的结果 5．试说明多项式的值与x的取值无关． 【答案】见解析 【分析】根据单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式的法则将原式化简，即可作出判断． 【详解】解： ； 所以原多项式的值与x的取值无关． 【点睛】本题考查了整式的运算，涉及单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式，熟练掌握多项式的乘法法则是解题的关键． 【题型32 因式分解】 1．分解因式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）利用完全平方公式分解因式即可； （3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （4）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分解因式，能熟练掌握因式分解的方法是解此题的关键，分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组法等． （1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可； （2）先分组，再根据完全平方公式分解因式，最后根据平方差公式分解因式即可； （3）根据十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．（25-26八年级上·全国·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了因式分解，熟知各因式分解技巧是解题的关键． （1）先提公因式，再用公式法因式分解即可； （2）先去括号，再利用分组分解法即可解答． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 4．阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式再将“A”还原， ∴原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：． (2)因式分解： (3)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1)； (2)； (3)证明过程见解析． 【分析】本题考查换元法，完全平方公式，平方差公式． （1）用换元法设，将原式化为，由完全平方公式得出，再将还原即可； （2） 设，将原式化为，由平方差公式去括号，合并同类项，再将还原，用完全平方公式进一步分解因式即可； （3）先计算，把看成整体，根据完全平方公式分解因式，结合已知即可证得结论． 【详解】（1）解：设， ∴ ， ∴． （2）解：设， ∴ ， ∴． （3）证明： ， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴代数式的值一定是某个整数的平方． 【综合思维突破】 【题型33 根据不等式的基本性质求最值】 1．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知，且，求的最大值． 【答案】17 【分析】本题主要考查了代数式的运算、解三元一次方程组、不等式等知识点，根据已知代数式将所求代数式转换成关于b的代数式成为解题的关键． 通过解方程组用b表示出a、c、d，然后代入得到只含b的代数式，最后结合b的范围即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ①+②得：④， ①+③得：⑤，即， ④+⑤得：，即， 将、代入得：， ∴ ， ∵， ∴当时，的最大值为17． 2．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）已知、、是非负实数，且，，求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的解法，正确的理解题意是解题的关键． 解方程组，用含的式子表示出、的值，根据，求得的取值范围而求得的最小值． 【详解】解：由得， ∵、、是非负实数， ∴， 解得． ∴． ∵， ， ∴， ∴的最小值为． 【题型34 不等式中的新定义问题求参数取值范围】 1．阅读材料： 矩阵的定义：由个数排成的行列的数表，称为行列的矩阵，简称矩阵． 记作：，其中表示第行第列的数字．如表示矩阵． 矩阵的性质：若有两个矩阵相等，则相应位置的数字相等． 例如，若，即，则有． 矩阵的运算：对于矩阵，有着自己的运算方法：，比如矩阵： 例如：． (1)求中的值． (2)请将方程组改写成矩阵的运算形式． (3)关于的不等式组只有3个整数解，的取值范围是_____． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，一元一次不等式组的求解，读懂题意根据题目中给出的新定义列出不等式组为解题关键． （1）根据题目中给出的定义列出不等式组，利用加减消元法求解即可； （2）根据题目中给出的定义将不等式组改为矩阵的运算形式即可； （3）根据题目中给出的定义列出不等式组再根据整数解求出结果即可． 【详解】（1）解： ， ， 得：，解得：， 将代入②得：，解得：， ，； （2），， （3）， ，， 即，解得： 不等式组只有3个整数解，即为0,1,2 ， 解得：． 2．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”、例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立：方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中_______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于，方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“偏解方程”，求的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组，解二元一次方程组等知识点，难度较大，解题的关键在于分类讨论． （1）先解一元一次方程，再根据“偏解方程”的定义判断即可； （2）先求出二元一次方程组的解，再将解代入得到关于的一元一次不等式，再求解即可； （3）先解不等式组得，由新定义得到，解得：，设5个整数解为，则，求出的范围，再根据有解，得到关于k的不等式组，求出k的取值范围，再分类讨论求解． 【详解】（1）解：解方程得， ①不成立，故不符合题意； ②成立，故符合题意； ③成立，符合题意， ∴方程是下列不等式（组）中②③的“偏解方程”， 故答案为：②③； （2）解：解方程组得：， ∵方程组是不等式的“偏解方程组”， ∴， 解得：； （3）解：解不等式组得， ∵关于的方程是它的“偏解方程”， ∴， 解得：， ∴设5个整数解为， 则由题意得：， ∴， 解得：， ∵有解， ∴， 解得：， ∴的整数解为或， ①当时，， ∴； ②当时，， ∴， ∴由①②得：， 又∵， ∴． 【题型35 乘法公式在几何图形中的应用】 1．如图①，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）． (1)图②中画有阴影的小正方形的边长为 （用含的式子表示）； (2)观察图②，写出代数式与之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系解决下面的问题： ①若，求的值； ②若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键： （1）直接根据图形列出代数式即可； （2）两种方法表示出阴影部分的面积，即可得出结果； （3）利用（2）中结论进行作答即可． 【详解】（1）解：由图②可知：小正方形的边长为； 故答案为：； （2）由图②可知，小正方形的面积可以表示为和； 故； （3）①由（2）得：， ， ； ②， ． 2．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题． ①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，则　　　　； ②用4个长和宽分别为的长方形拼成如图2的正方形，则　　　　； 【阅读理解】“若满足，求的值” 解：设，， 则， 【解决问题】 （1）若满足，则的值为　　　　； （2）如图3，正方形的边长为，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值） 【答案】①，②；（1）；（2） 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握公式及整体思想是解题的关键． ①根据等面积法即可得到答案. ②根据等面积法即可得到答案. （1）运用题干所给的方法进行计算即可. （2）根据题意易得、的长，然后结合图形、运用题干所给的方法求解即可． 【详解】解：①由图1的面积可得：. ②由图2正方形的面积可得：. （1）设，， 则， ， . （2）矩形的面积， 设，， 则 ∴阴影部分的面积 ． 答：阴影部分的面积为1056． 3．颖颖同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且． (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为　　　； (2)若每块小长方形的面积为10，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式的变形运用． （1）利用数形结合的思想，表示大长方形的面积，根据大长方形的面积等于长乘以宽，即可得出结论； （2）由题意，得到，，利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：表示大长方形的面积， 大长方形的边长分别为：， ∴； 故答案为：； （2）解：由题意，得：，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 4．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均裁成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．    (1)图2中的阴影部分正方形的边长是 （用含a，b的代数式表示）； (2)观察图1，图2，能验证的等式是： （请选择正确的一个）； A． B． C． (3)如图3，C是线段上的一点，以为边向上分别作正方形和正方形，连接．若，求的面积． 【答案】(1) (2)C (3) 【分析】（1）根据图2中的信息即可得出阴影部分正方形的边长； （2）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，进行求解即可； （3）设正方形的边长为x，正方形的边长为y，根据图形中的关系得出，再求解，最后利用三角形面积公式即可得出答案； 另解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y，根据图形中的关系得出，利用（2）的结论直接代入即可，最后根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）图2中的阴影部分正方形的边长是； 故答案为： （2）之间的等量关系是：， 故选：C. （3）设正方形的边长为x，正方形的边长为y ∴， 解得， ；                 另解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y， ∴，               ∴， ∴， ∴，                    ∴． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 5．若x满足，求的值． 解：设，则． 所以． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若x满足，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是24，分别以为边作正方形．    ①正方形的边长为a，正方形的边长为b，则________； _______； ②利用你学过的平方差公式和完全平方公式求图中阴影部分面积． 【答案】(1)5 (2)①2；24；②20 【分析】（1）设，则，根据代入计算即可解答； （2）①根据正方形ABCD的边长为x，即可表示出MF与DF，正方形的边长为a，正方形的边长为b，表示出和即可；②根据矩形的面积公式、正方形的面积公式以及完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：设，则． 所以． （2）解：①由题意得，． ∵正方形的边长为a，正方形的边长为b ∴，， ∴， ∵长方形的面积是24， ∴,即． 故答案为2，24． ②由图形可知：阴影部分的面积为： ∵， ∴，即 ∴ ． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的几何背景、平方差公式等知识点，熟练掌握完全平方公式与平方差公式是解答本题的关键． 6．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如，，，…，因此12，20，28这三个数都是奇巧数． (1)设两个连续偶数为，（其中n为正整数），由这两个连续偶数构造的奇巧数是8的倍数吗？为什么？ (2)研究发现：任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，请给出验证． 【答案】(1)这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）先根据平方差公式对两个连续偶数的平方差进行化简，再分析结果是否为8的倍数； （2）通过对两个连续“奇巧数”作差，化简后看结果是否为固定值． 【详解】（1）解：这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数，理由如下： 因为， 所以这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数． （2）证明：因为 ， 所以任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数． 【题型36 因式分解的应用】 1．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：； ②拆项法：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了分组分解法分解因式及其应用，等腰三角形的定义，正确理解新方法，灵活运用新方法解题是解题的关键． （1）①将变形为，再由平方差公式因式分解；②将变形为，再由完全平方公式和平方差公式分解； （2）将利用分组分解法因式分解为，即可求解． 【详解】（1）解：①； ② （2）解：为等腰三角形，理由如下： ， ， ∴或（舍）， ∴， ∴为等腰三角形． 2．（24-25八年级下·四川达州·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：因式分解：． 例2：求代数式的最小值．由，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)，最小值为16 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）根据题干提供的方法因式分解即可； （2）先根据，得出，从而得出，，最后再代入求值即可； （3）先变形，然后根据，，求出最小值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ，， ． （3）解：∵ ， 又∵，， ∴当，原式有最小值， 即时，有最小值为16． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习4大类型36个题型（前3章） 【新教材沪科版】 【核心概念建构】 2 【题型1 实数的相关概念】 2 【题型2 不等式的定义和解集】 2 【题型3 不等式的性质】 3 【题型4 幂的乘除】 3 【题型5 零整数指数幂】 3 【题型6 负整数指数幂】 3 【题型7 整式的乘除】 4 【题型8 乘法公式】 4 【题型9 因式分解的定义】 4 【题型10 公因式的概念】 5 【能力层级提升】 5 【题型11 平方根与算术平方根】 5 【题型12 立方根】 6 【题型13 实数】 6 【题型14 求一元一次不等式（组）的解集】 6 【题型15 求一元一次不等式（组）的整数解】 7 【题型16 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解】 7 【题型17 由一元一次不等式（组）的解集求参数】 7 【题型18 不等式组和方程组的结合】 8 【题型19 列一元一次不等式（组）】 8 【题型20 一元一次不等式（组）的应用】 9 【题型21 逆用幂的运算】 10 【题型22 整式的乘法】 11 【题型23 整式的除法】 11 【题型24 完全平方公式】 11 【题型25 平方差公式】 12 【题型26 判断能否用公式法分解因式】 13 【题型27 利用因式分解求参数】 13 【运算素养强化】 13 【题型28 实数的运算】 13 【题型29 一元一次不等式（组）的解法】 14 【题型30 幂的运算】 15 【题型31 整式的乘除】 16 【题型32 因式分解】 17 【综合思维突破】 18 【题型33 根据不等式的基本性质求最值】 18 【题型34 不等式中的新定义问题求参数取值范围】 18 【题型35 乘法公式在几何图形中的应用】 19 【题型36 因式分解的应用】 21 【核心概念建构】 【题型1 实数的相关概念】 1．下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 2．（24-25七年级下·广东江门·月考）将下列各数填入相应的集合内．（用序号填空） ①，②，③，④0，⑤    ⑥，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨3.14． （1）整数集合：{____________…}； （2）分数集合：{____________…}； （3）无理数集合：{____________…}． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）下列判断正确的是（　　） A．是整数，是有理数 B．是无限小数，是无理数 C．是分数，是有理数 D．3.1415926是小数，是无理数 【题型2 不等式的定义和解集】 1．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）在①；②；③；④；⑤；⑥中，属于不等式的有（   ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级下·甘肃张掖·阶段练习）关于不等式的解和解集，下列说法正确的是（　　） A．是的解 B．是的解集 C．是的解集 D．是的解集 【题型3 不等式的性质】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列不等式的变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．如果不等式的解集为，那么（　　） A．为任意有理数 B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若实数、、满足，．若，，则的取值范围是 ． 【题型4 幂的乘除】 1．（2026·福建漳州·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）计算：______． 3．（25-26九年级下·陕西西安·期中）下列运算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【题型5 零整数指数幂】 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）_____． 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）若有意义，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏镇江·月考）已知：，，，则，，大小关系是（ ） A． B． C． D． 【题型6 负整数指数幂】 1．（25-26八年级上·陕西延安·期末）计算：（　　） A． B． C．3 D． 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．已知：，则，，大小关系是（　　） A． B． C． D． 【题型7 整式的乘除】 1．（25-26七年级下·湖南邵阳·月考）化简，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若的结果中不含x的一次项，则m的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．若，，，则___________． 【题型8 乘法公式】 1．（25-26七年级下·重庆·开学考试）下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东青岛·月考）是完全平方式，则的值是_____． 【题型9 因式分解的定义】 1．（24-25七年级下·山东聊城·月考）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．根据下边图形写一个关于因式分解的等式________．    3．观察下列从左到右的变形： （1）； （2）； （3）； （4）； 其中是因式分解的有______（填序号）． 【题型10 公因式的概念】 1．（25-26八年级上·山东烟台·期末）多项式中，各项的公因式是___________． 2．（25-26八年级上·河北衡水·期末）多项式与的公因式是（  ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【能力层级提升】 【题型11 平方根与算术平方根】 1．若，则的平方根是 ． 2．（25-26八年级上·福建泉州·阶段练习）代数式的值最大时，的值为 ． 3．已知：满足关系，则的立方根是 ． 4．（25-26八年级上·江西九江·阶段练习）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（    ） A．5 B．7 C．11 D．12 6．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段练习）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（   ） A．1 B．3 C．9 D．25 7．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型12 立方根】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法中，不正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．0的立方根是0 D．的立方根是 2．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若，则b等于（    ） A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 3．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）已知   则 （精确到百分位） 4．（24-25七年级下·江西赣州·期末）若是的算术平方根，是的立方根，则的值为 ． 【题型13 实数】 1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 2．如图，已知数轴上的点分别表示数、、1、2，则表示的点应落在线段（   ） A．上 B．上 C．上 D．上 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）若的整数部分是，小数部分是，则为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）对于的叙述，下列说法正确的是（    ） A．它不能用数轴上的点表示出来 B．它是一个无理数 C．它比大 D．它的相反数为 5．（24-25七年级下·山东德州·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【题型14 求一元一次不等式（组）的解集】 1．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）的解集是 ． 2．不等式组的解集为（ ） A． B． C． D． 3．已知，当时，的取值范围为 ． 【题型15 求一元一次不等式（组）的整数解】 1．不等式的负整数解为 ． 2．已知关于x的不等式只有2个正整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．不等式组的所有整数解的和为（    ） A．3 B．2 C．0 D． 4．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）若关于的不等式组至少有2个整数解．则的最大整数值为 ． 【题型16 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解】 1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）将不等式组的解集在数轴上表示，下面表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·青海玉树·期末）若关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，则 ． 3．关于的不等式组的解集在数轴上如图表示，则的值为 ． 【题型17 由一元一次不等式（组）的解集求参数】 1．不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 2．若关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围是 ． 3．关于的不等式组有解，则的取值范围为 ． 4．（24-25七年级下·河南新乡·期末）已知关于的不等式组． （1）若该不等式组无解，则的取值范围是 ； （2）若该不等式组的解集中，每一个值均不在的范围中，则的取值范围是 ． 【题型18 不等式组和方程组的结合】 1．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围是 ． 2．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）若不等式组的解集是，则（    ） A． B．1 C． D．0 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是 ． 4．若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为 ． 5．已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）． （1）若该方程组的解x，y满足，则k的取值范围为 ． （2）若该方程组的解x，y均为正整数，且，则该方程组的解为 ． 【题型19 列一元一次不等式（组）】 1．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 2．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素含量及购买这两种原料的价格如表：现配制这种饮料，要求至少含有单位的维生素，若所需甲种原料的质量为，则x应满足的不等式为（    ） 甲种原料 乙种原料 维生素C含量（单位/kg） 600 100 原料价格（元/kg） 8 4 A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）为保证学生有充足睡眠时间，我校严格按照双减要求学生早上8：00前要到达班级，小明出家门时7：40，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式 ． 4．若干名学生住宿舍，每间住人，人无处住；每间住人，空一间还有一间不空也不满，问多少学生多少宿舍？设有间宿舍，则可列不等式组为 【题型20 一元一次不等式（组）的应用】 1．（2025·辽宁·模拟预测）随着技术的高速发展，无人配送车在快递领域迅速普及，某快递运营区有若干揽投员，无人车3辆．若每位揽投员的日均投递量是每辆无人车的，若2位揽投员和3辆无人车每天可配送快递4810件． (1)求1辆无人车的日均投递量； (2)旺季期间，该运营区有揽投员50人，要求日均投递总量不低于40000件，求至少需要增加无人车多少辆． 2．（24-25八年级下·陕西安康·阶段练习）2025年4月23日是第30个世界读书日．某网上图书销售平台计划在世界读书日前购进甲、乙两类图书共1200册，这两类图书的进价、售价如下表： 进价/（元/册） 售价/（元/册） 甲类 25 30 乙类 45 60 (1)分别购进甲、乙两类图书多少册时，进货款恰好为40000元？ (2)分别购进甲、乙两类图书多少册时，该平台获得的利润最多且利润不超过进货款的（假设甲、乙两类图书全部售完）？此时利润为多少元？ 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解锁新能源汽车，驶向未来的科技引擎．在科技飞速发展的今天，新能源汽车如雨后春笋般出现在大街小巷，其具有能耗成本低，驾驶体验舒适，环保性能良好等优点，深受广大消费者的喜爱．某品牌汽车销售公司8月共售出16台插混式汽车和10台纯电式汽车，销售额为392万元，9月共售出20台插混式汽车和15台纯电式汽车，销售额为540万元． (1)求插混式汽车和纯电式汽车每台的售价各是多少万元？ (2)受惠民政策影响，该汽车厂家为让利消费者，对所有车辆每台补贴2万元，销售公司在“十一”黄金周共售出两种新能源汽车25辆，销售额不少于330万元，求该公司在黄金周至少售出多少台纯电式汽车？ 4．（24-25七年级下·河南商丘·期末）“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．商丘某商家连续两周销售“滨滨和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示． 销售个数（个） 销售额（元） 滨滨 妮妮 第1周 20 15 3080 第2周 30 10 3520 (1)分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格； (2)根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件共100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，至少需要购买多少个“滨滨”摆件？ (3)在题（2）的条件下，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，商店售完这100个摆件能否实现利润超过2310元的目标？若能，给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【题型21 逆用幂的运算】 1．若，，则的值是（    ）． A．0.5 B．2 C．4 D．5 2．已知，则的值是 ． 3．（24-25八年级上·云南保山·期末）的计算结果是（   ） A． B． C． D． 4．设，，，下列m，n，p三者之间的三个关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）已知，则 ． 【题型22 整式的乘法】 1．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知，则的值为 ． 3．若关于x的二次三项式，则的值是 ． 4．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）A，B两张长方形纸片如图所示，设纸片A，B的面积分别为，比较 的大小关系为： （填“”、“”或“”）． 5．（24-25七年级下·福建漳州·期末）若，则有理数的末尾四位数是（    ） A．1131 B．2431 C．3131 D．4131 【题型23 整式的除法】 1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）计算 ． 2．若关于x的多项式除以，所得商恰好为，则 ． 3．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是 ． 账号：shulishijie 密码：前四位：SLSJ 后四位：？ 【题型24 完全平方公式】 1．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 2．已知，且，则 ． 3．（25-26八年级上·全国·期中）设，若，则（   ） A．1014 B．1013 C．1012 D．1011 4．（25-26八年级上·全国·期末）已知，则的值是（   ） A．36 B．49 C．54 D．64 5．若是一个完全平方式，则a的值为 ． 6．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则 ． 【题型25 平方差公式】 1．计算： ． 2．计算： ． 3．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山东青岛·期末）某校组织了《“徽”聚梦想引领班风》的班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，先设计了一个正方形的班徽图形（如图），准备进一步优化改造，加一些文字，需要将原正方形的一组对边各增加，另一组对边各减少，改造以后的图形面积与原来的面积相比（   ） A．不变 B．减少 C．增加 D．增加 【题型26 判断能否用公式法分解因式】 1．下列多项式中，能用平方差公式分解的因式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26八年级上·福建厦门·期末）下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【题型27 利用因式分解求参数】 1．（25-26八年级上·山东·期末）若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 2．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知多项式可分解因式为，则为_____． 3．（25-26八年级上·江西南昌·期末）若多项式因式分解的结果是，则___________． 【运算素养强化】 【题型28 实数的运算】 1．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段练习）计算： (1) (2) 2．已知的平方根为，是的立方根． (1)求，的值； (2)求的算术平方根． 3．计算： (1)； (2)． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）求满足下列各式的未知数的值． (1) (2) 5．（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 【题型29 一元一次不等式（组）的解法】 1．解下列不等式和不等式组，并将解集表示在数轴上． (1) (2) 2．按要求解不等式组 (1)求的所有整数解． (2)求的非负整数解． 3．已知关于x、y的方程组． (1)若此方程组的解满足，求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，若关于的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值． 【题型30 幂的运算】 1．计算： 2．计算： 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知，求的值． 4．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 5．（1）先化简，再求值：其中，． （2）下面是小明完成的一道作业，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业计算： 解： ； ②； ③若，直接写出n的值． 6．（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【题型31 整式的乘除】 1．（25-26八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 2．（24-25七年级下·山东青岛·期中）先化简，再求值： ，其中 3．（24-25七年级下·河北保定·期中）阅读材料 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算．可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式＋余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． ∵余式为0，∴可以整除． 解决问题 (1)请在竖式的两个方框内分别填入正确的数或式子； (2)用竖式计算求的除式和商； (3)若多项式，则______． 4．（24-25七年级下·江西九江·期中）（1）若的结果中不含项，求的值； （2）已知单项式，是多项式，小明计算时，看成了，结果得，求正确的结果． 5．试说明多项式的值与x的取值无关． 【题型32 因式分解】 1．分解因式 (1) (2) (3) (4) 2．分解因式： (1) (2) (3) 3．（25-26八年级上·全国·期中）分解因式： (1)； (2)． 4．阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式再将“A”还原， ∴原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：． (2)因式分解： (3)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【综合思维突破】 【题型33 根据不等式的基本性质求最值】 1．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知，且，求的最大值． 2．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）已知、、是非负实数，且，，求的最小值． 【题型34 不等式中的新定义问题求参数取值范围】 1．阅读材料： 矩阵的定义：由个数排成的行列的数表，称为行列的矩阵，简称矩阵． 记作：，其中表示第行第列的数字．如表示矩阵． 矩阵的性质：若有两个矩阵相等，则相应位置的数字相等． 例如，若，即，则有． 矩阵的运算：对于矩阵，有着自己的运算方法：，比如矩阵： 例如：． (1)求中的值． (2)请将方程组改写成矩阵的运算形式． (3)关于的不等式组只有3个整数解，的取值范围是_____． 2．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”、例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立：方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中_______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于，方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“偏解方程”，求的取值范围． 【题型35 乘法公式在几何图形中的应用】 1．如图①，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）． (1)图②中画有阴影的小正方形的边长为 （用含的式子表示）； (2)观察图②，写出代数式与之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系解决下面的问题： ①若，求的值； ②若，求的值． 2．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题． ①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，则　　　　； ②用4个长和宽分别为的长方形拼成如图2的正方形，则　　　　； 【阅读理解】“若满足，求的值” 解：设，， 则， 【解决问题】 （1）若满足，则的值为　　　　； （2）如图3，正方形的边长为，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值） 3．颖颖同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且． (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为　　　； (2)若每块小长方形的面积为10，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58，试求的值． 4．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均裁成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．    (1)图2中的阴影部分正方形的边长是 （用含a，b的代数式表示）； (2)观察图1，图2，能验证的等式是： （请选择正确的一个）； A． B． C． (3)如图3，C是线段上的一点，以为边向上分别作正方形和正方形，连接．若，求的面积． 5．若x满足，求的值． 解：设，则． 所以． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若x满足，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是24，分别以为边作正方形．    ①正方形的边长为a，正方形的边长为b，则________； _______； ②利用你学过的平方差公式和完全平方公式求图中阴影部分面积． 6．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如，，，…，因此12，20，28这三个数都是奇巧数． (1)设两个连续偶数为，（其中n为正整数），由这两个连续偶数构造的奇巧数是8的倍数吗？为什么？ (2)研究发现：任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，请给出验证． 【题型36 因式分解的应用】 1．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：； ②拆项法：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 2．（24-25八年级下·四川达州·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：因式分解：． 例2：求代数式的最小值．由，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $