专题06分式专项训练(21大题型+题型突破+压轴专练)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题06分式专项训练 题型01.分式基础概念综合 题型02.分式正负性取值范围 题型03.分式性质辨析与应用 题型04.分式系数与符号变形 题型05.约分.最简分式与求值 题型06.分式整数解求解 题型07.分式乘除运算 题型08.分式乘方与混合运算 题型09.通分与最简公分母 题型10.分式加减法 题型11.分式加减混合运算 题型12.分式综合运算与化简求值 题型13.分式加减实际应用 题型14.分式恒等式求解 题型15.分式方程的概念与解法 题型16.分式方程解的求值问题 题型17.分式方程的列法 题型18.分式方程的工程问题 题型19.分式方程的行程问题 题型20.分式方程的经济问题 题型21.分式方程的和差倍分问题 解答题7题 题型01.分式基础概念综合 1．在，，，，，中，分式的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据分式的定义（分母中含有字母的代数式），逐一判断各表达式是否为分式． 【详解】解：分式需满足分母中含有字母， 分析各表达式： ：分母为常数，不是分式； ：分母x为字母，是分式； ；分母3为常数，不是分式； ：无分母，不是分式； ：分母y为字母，是分式； ：分母含字母，是分式， 故选：B． 2．已知某个分式，当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则该分式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式无意义，分式求值，解题的关键掌握分式代值的计算方法．先根据当时，分式无意义，排除选项C、D，然后把代入A、B选项计算即可判断． 【详解】解：当时，，则分式，无意义；，则分式，有意义，故排除选项C、D， 当时，，，故选项A符合题意，选项B不符合题意， 故选：A． 3．若分式有意义，则应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件（分母不能为零）是解题的关键． 根据分式有意义的条件列不等式求解． 【详解】解：分式有意义， ， 解得：， 故选：D 4．若分式的值为0，则a满足的条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由分式的值为0的条件可得：，再解方程与不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为0， 由①得： 由②得：且 ∴ 故选B 【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，掌握“分式的值为0，则分子为0，而分母不为0”是解本题的关键． 题型02.分式正负性取值范围 5．若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A．x>-2 B．x<1 C．x>-2且x≠1 D．x>1 【答案】C 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0和两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除即可得出答案． 【详解】解：原式=， 当x≠1时，（x-1）2＞0， 当x+2＞0时，分式的值为正数， ∴x＞-2且x≠1． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的值，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键． 6．若使分式的值为负数，则可以取的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查偶次幂的非负性，根据分数的值的正负判断未知数的取值范围，先根据偶次幂的非负性，可得分子为正数，结合分式的值为负数，可得分子分母异号，即可得到答案． 【详解】解：，的值为负数， ， 解得：， 只有A选项符合题意， 故选：A． 7．若分式的值大于零，则x的取值范围是 ______． 【答案】且 【分析】由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x﹣1≠0，进而求出x的取值． 【详解】解：∵分式的值大于零， ∴x+2＞0， ∴x＞﹣2， ∵x﹣1≠0， ∴x≠1， 故答案为x＞﹣2且x≠1． 【点睛】本题考查分式的值；熟练掌握分式求值的特点，特别注意分式的分母不等于零这个隐含条件是解题的关键． 题型03.分式性质辨析与应用 8．不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质及平方差公式的应用，依据分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于0的整式，分式的值不变这一性质，对各选项逐一分析即可． 【详解】解：分式的基本性质为分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变 选项分子、分母同时加1，不符合分式基本性质，变形错误； B选项分子、分母同时平方，不符合分式基本性质，变形错误； C选项中，， 分式有意义时， ，变形正确； D选项中，由平方差公式得， 分式有意义时， ，变形错误． 故选：C． 9．如果分式中的都扩大为原来的2倍，那么所得分式的值（） A．缩小为原来的倍 B．扩大为原来的2倍 C．不变 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子分母变化后的值的判断方法是解题的关键．先将、替换为扩大后的、，代入原分式并化简，再与原分式的值对比，判断其变化情况． 【详解】解：∵、都扩大为原来的2倍， ∴替换后所得分式为， ∵， ∴所得分式的值扩大为原来的2倍， 故选：B． 10．若分式的值为6，当x、y都扩大2倍后，所得分式的值是______． 【答案】12 【分析】将原分式中的x、y用、代替，化简，再与原分式进行比较即可． 【详解】将分式中x、y都扩大2倍后所得式子为 ， 若分式的值为6， 则所得分式的值是． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子，分母变化的倍数．解此类题目首先把字母变化后的值带入式子中，然后约分，再与原式比较最终得出结论． 11．下列代数式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分式的基本性质逐个变形得结论． 【详解】解：A、 分式的分子分母都减去1，不符合分式的基本性质，变形不正确； B、，符合分式的基本性质，变形正确； C、分式的分子分母都乘以10得，变形错误； D、 分式乘方得，不符合分式的基本性质，变形错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的性质，掌握分式的基本性质是解决本题的关键． 题型04.分式系数与符号变形 12．不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解： ， 故选：A. 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 13．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 14．不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得_______． 【答案】 【分析】根据题意可知，为了把各项系数化成整数，分子分母分别乘以10，可得到答案． 【详解】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分子分母同乘以10， 即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的概念与性质，分子分母共同乘以相同的数，分式值不变． 15．（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 【答案】（1）；（2）；（3）①，② 【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案； （2）根据分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变，可得答案； （3）根据解分式方程，可得答案；根据解不等式，可得答案． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）①∵， ∴由得， 解得：； ②，得， 解得：． 题型05.约分.最简分式与求值 16．下列分式的约分中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的约分，在约分时要注意约掉的是分子分母的公因式． 分别根据分式的基本性质进行化简得出即可． 【详解】解：A、，原选项约分错误，不符合题意； B、，不能约分，不符合题意； C、，约分正确，符合题意； D、，原选项约分错误，不符合题意； 故选：C． 17．下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题关键． 直接利用分式的基本性质结合最简分式的定义，分式的分子与分母没有公因式，进而判断即可． 【详解】解：A．，是最简分式，符合题意； B． ，故原式不是最简分式，不合题意； C． ，故原式不是最简分式，不合题意； D．，故原式不是最简分式，不合题意； 故选：A． 18．对于代数式，当分别取下列各组中两个数值时，所得的值相等的是（      ） A．1与2 B．1与 C．2与 D．1与 【答案】C 【分析】本题考查了求代数式的值，正确代入数据求值是解题的关键，将两个不同的值代入代数式，求得相应的值比较即可得解． 【详解】解：当时，，当时，，故A不符合题意； 当时，，当时，，故B不符合题意； 当时，，当时，，故符合题意； 当时，，当时，故不符合题意； 故选：C． 19．写出公因式： （1）中分子、分母的公因式是_______； （2）中分子、分母的公因式是_______； （3）中分子、分母的公因式是_______． 【答案】 / / / 【分析】本题主要考查了求公因式，掌握公因式的定义是解答本题的关键． 公因式是指：数字的最大公约数，相同字母的最低次幂组成的式子，据此求解即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：． 20．琪琪在化简分式时得到的结果为，则？部分的代数式应该是___________． 【答案】 【分析】根据分式的性质解答即可，本题考查了分式的性质，熟练掌握分式化简的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， ∴， 故答案为：． 21．已知，，，则的值为______． 【答案】 【分析】先把所给的三个条件式相加求出，再将所求式子变形为，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，正确求出是解题的关键． 题型06.分式整数解求解 22．使分式的值为整数的所有整数x的和为（    ） A．8 B．4 C．0 D． 【答案】B 【分析】由整除的性质可知，是7的因数，即可分别得出符合题意的值，再求和即可． 【详解】解：的值为整数， 为7的因数， ，或． 又为整数， ，或，或，或， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的值，掌握整除的性质是解题的关键．本题是基础知识的考查，比较简单． 23．若表示一个整数，则整数a可取的值共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据3的约数有±1，±3，分别建立等式计算即可． 【详解】解：由题意可知：a﹣1＝±1或±3， ∴a＝0或2或﹣2或4， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的值，整数的性质，整数的约数，熟练掌握一个数的约数是解题的关键． 24．若分式的值为整数，的值也为整数，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据分式的值为整数，的值也为整数，可得或或，求出的值，即可确定出的最小值． 【详解】解：分式的值为整数，的值也为整数， 或或， 或或或或或， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值，正确理解题意是解答本题的关键． 题型07.分式乘除运算 25．化简 的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘法运算，根据乘法法则，约分化简即可． 【详解】解：原式； 故选C． 26．化简的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，把除法变成乘法后进行约分即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 27．计算，下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的乘除混合计算，先把除法变成乘法，再根分式乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 28．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的乘除与乘方运算，需依据分式相关运算法则逐一计算各选项并判断正误． 【详解】分式乘法法则为分子相乘作分子、分母相乘作分母，再约分， 选项A：，运算正确； 分式乘方需分子、分母分别乘方， 选项B：，运算错误； ， 选项C：，运算错误； 分式除法需转化为乘法，即除以一个分式等于乘它的倒数， 选项D：，运算错误； 综上，正确答案为A． 29．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式分简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： 接力中，自己负责的一步没有出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．乙和丁 【答案】B 【分析】运用分式的乘除运算法则逐项排查即可． 【详解】解：，即甲正确； ，即乙错误； ，即丙正确． 故选B． 【点睛】本题主要考查了分式乘除的运算法则，掌握并灵活运用分式乘除的运算法则成为解答本题的关键． 题型08.分式乘方与混合运算 30．下列各式中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的化简，掌握相关运算法则是解题关键． 化简后与选项对照即可． 【详解】解：， 故选：C． 31．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（   ）      1  1          1  2  1        1  3  3  1    1  4  6  4  1   A． B．2021 C．4042 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题． 首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题． 【详解】解：由可知， 展开式中第二项为， ∴展开式中含项的系数是4042． 故选：C． 32．的结果是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先计算分式的乘方，再把除法转换为乘法，约分后即可得解． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 题型09.通分与最简公分母 33．把与通分后，的分母为，则的分子变为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用已知进行通分运算，进而得出答案． 【详解】解∶， 故的分子为． 故选∶B． 【点睛】此题主要考查了通分，正确进行通分运算是解题关键． 34．分式的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简公分母，解题的关键在于能够熟记最简公分母的定义． 根据最简公分母的定义：各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的乘积，进行求解即可 【详解】解：根据题意可得：分式的最简公分母是， 故选：B． 35．分式与的最简公分母是________． 【答案】 【分析】根据确定最简公分母的步骤找出最简公分母即可． 【详解】解：2、1的最小公倍数为2， 的最高次幂为2，的最高次幂为3， 所以最简公分母为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是关键． 36．若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的通分，关键是确定最简公分母，根据分式的基本性质将分子同乘相应式子得到结果即可． 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和， ∴最简公分母为， ∵要将通分，需给分子分母同乘， ∴分子变为， 故选：A． 题型10.分式加减法 37．计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减运算．熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．利用分母与 互为相反数的关系，将分式变形后合并计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵ ， ∴原式 = ， 故选：D． 38．设，，，有以下2个结论：①当时，；②当时，．下列判断正确的是（    ） A．①错②对 B．①对②错 C．①②都错 D．①②都对 【答案】A 【分析】本题考查分式的减法运算，计算出的值，进行分类讨论即可． 【详解】解：， 当时，， ∴， ∴， 当时，，， 当时，，则：， ∴， 当时，，则：， ∴， 故①错②对； 故选A． 39．某校举办了“学习二十大精神，争做五育标兵”系列活动，其中一项数学活动是计算接力赛，规则是：每一个人只能看到前一个人给的式子，然后只计算一步，再把结果传给下一个人，最后完成计算，某组同学计算过程如下，出现错误的是（    ） A．只有甲 B．乙和丁 C．丙和丁 D．甲和丙 【答案】D 【分析】根据分式的加减进行计算即可求解． 【详解】解： ， ∴甲和丙出现错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式与整式的加减运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 40．已知 ，则 的值等于__________． 【答案】 【分析】本题考查分式的减法，分式的化简求值． 由得到，代入式子化简即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 41．已知，比较、、的大小并用“”连接：______． 【答案】 【分析】根据已知的范围，利用求差法比较三个代数式的大小即可得到结果． 【详解】解：， ∵， ∴，， ∴，即； ， ∵， ∴，，， ∴，即， ∴． 42．定义：如果一个分式能够化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和美分式”， 如： (1)下列分式中，属于“和美分式”的是 （填序号）； ①②③④ (2)请将“和美分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)若为整数，且“和美分式”的值也为整数，求符合条件的整数x的所有取值． 【答案】(1)①②③ (2) (3)，，， 【分析】本题考查了分式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据和美分式的定义，进行计算即可解答； （2）根据和美分式的定义，进行计算即可解答； （3）先把化为，根据为整数，也为整数，可得，或，即可求出答案． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 上列分式中，属于“和美分式”的是①②③， 故答案为：①②③； （2） ； （3） 为整数，也为整数， ，或， 或或或． 题型11.分式加减混合运算 43．已知 ，则的值为__________ ． 【答案】8 【分析】等式两边同时乘以(a-4)(b-4)，去分母整理即可求解． 【详解】解：等式两边同时乘以(a-4)(b-4)，得 ， 即， 即， 即， 即， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 44．如果，，是正数，且满足，，那么的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先根据题意得出a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，再代入原式进行计算即可． 【详解】解：∵a，b，c是正数，且满足a+b+c=1， ∴a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b， ∴ = = = =2 故选：C 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 45．计算：下面是某同学的解答过程： 解：原式…第一步 …第二步 (1)第一步的依据是_____，运用的方法是____________； 分式的基本性质；分式的加减法则；分式的通分；分式的约分法则． (2)计算：． 【答案】(1)；； (2)1． 【分析】本题主要考查分式加减运算，先通分，然后计算加减法即可，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据分式的基本性质，通分即可得出结果； （2）先把分子分母因式分解，约分，再计算加减即可． 【详解】（1）解：解：第一步的依据是分式的基本性质，运用的方法是分式的通分， 故答案为：；； （2）解： ． 题型12.分式综合运算与化简求值 46．计算：＝_______． 【答案】 【分析】首先把分式变形为，再根据同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减进行计算即可． 【详解】解： 【点睛】此题主要考查了分式的加减，关键是把异分母分式转变为同分母分式． 47．已知，则代数式的值为（） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值知识点，解题的关键是对已知条件进行变形，然后将变形后的式子整体代入所求分式． 先对进行通分变形得到与的关系，再将其代入化简求值． 【详解】因为，通分可得，即， 所以，那么． 将代入可得： 故选B． 48．已知，则的值为__________． 【答案】9 【分析】该题考查了分式的混合运算，代数式求值，首先利用分式乘方和乘除法法则简化已知方程，得到，然后通过平方运算求的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：9． 49．对于正数x，规定，则的值为_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，分式的加减计算，正确理解题意得到是解题的关键．根据已知规定，可得，进而可以解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 题型13.分式加减实际应用 50．八年级某班同学原来计划租一俩大巴车去研学，大巴车的租价为800元，实际又增加了3名同学，租车价不变，若设原来计划参加研学的同学共有x人，实际每个同学比原来少分摊车费______元． 【答案】 【分析】根据题意列出分式，然后进行运算即可． 【详解】解：实际每个同学比原来少分摊车费： （元）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式加减的应用，解题的关键是根据题意列出分式，熟练掌握分式加减运算法则，准确计算． 51．小强上山和下山的路程都是s千米，上山的速度为千米/时，下山的速度为千米/时， 则小强上山和下山的平均速度为（    ） A．千米/时 B．千米/时 C．千米/时 D．千米/时 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，分式的加减运算，根据题意列出代数式是解题的关键． 先表示出上山时间与下山时间，然后根据总路程除以总时间，即可求解． 【详解】解：依题意，上山所用时间为：，下山所用时间为：， ∴小强上山和下山的平均速度为， 故选：D． 52．甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买，乙每次用去600元．设两次购买的面粉单价分别为元/和元/（，是正数，且），那么甲所购面粉的平均单价是__________元/，乙所购面粉的平均单价是__________元/；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为__________元/．（结果用含，的代数式表示，需化为最简形式） 【答案】；； 【分析】本题考查了列代数式，分式的减法运算．根据题意可用含，的代数式表示出平均单价，根据总价除以总重量即可求得，进而根据甲的单价减去乙的单价进而求得其差值． 【详解】解：由题意可得，甲购买面粉的平均单价是：（元/）， 乙购买面粉的平均单价是：（元/）， 在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为：（元/）， 故答案为：；；． 题型14.分式恒等式求解 53．为常数，如果，那么_____， 【答案】6 【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，列方程组求出的值，即可求解代数式的值． 【详解】解：， ∴。 ∴， ， 解得 故， 故答案为：． 54．我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是互逆的变化过程．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是互逆的变化过程．例如，将分式分解：，若可以分式分解为（其中、、是常数）．则____，____． 【答案】 1 3 【分析】本题主要考查整式的乘法、二元一次方程组的解法及分式的运算，熟练掌握整式的乘法、二元一次方程组的解法及分式的运算是解题的关键；通过将分式分解后的形式通分，比较分子系数，建立方程组求解即可． 【详解】解：原分式分母为，分解后分母为，故， 设，通分得分子为， 与分子比较系数，得方程组：， 解得 ，； 故答案为1，3． 55．已知，其中，，，为常数，则______． 【答案】6 【分析】由于，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于、、、的方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：，且， 当时，① 当时，②   当时，③ ∵, 即 ∴④ 联立解之得 、、， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于、、、的方程组即可解决问题． 题型15.分式方程的概念与解法 56．下列方程中，哪些是分式方程（    ） ①；②；③；④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的定义．分母里含有字母的方程叫做分式方程．根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：①，符合分式方程的定义，是分式方程； ②，符合分式方程的定义，是分式方程； ③，分母里不含有字母，不符合分式方程的定义，不是分式方程； ④，符合分式方程的定义，是分式方程； 故选：B． 57．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0，表示出分式方程的解是解本题的关键． 先求解分式方程，得到解，根据解为负数且分母不为零的条件，列出不等式和排除条件即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴分母， ∴， ∵解为负数， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∴且． 故选：B． 58．我们定义一种新运算：记，如果设A为代数式，若，则A=_____________（用含x，y的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，理解新运算，熟练掌握分式的计算是解题的关键． 利用新运算将方程变形为，然后化简即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故填：． 题型16.分式方程解的求值问题 59．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C．1或 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，分式方程无解即方程有增根，分母为零的情况，化简方程后，解出x关于m的表达式，当解为增根时方程无解即可求出m的值． 【详解】解：∵原方程：， 两边同乘（假设）： ， ∴， 即， 由于分母，当时方程有增根，无解， ∴， 解得， 故当时方程无解， 故选D． 60．如果关于的方程无解，则______． 【答案】或0/或 【分析】此题考查分式方程的解，解题关键在于利用方程无解进行解答，分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程无解或解为增根时原方程无解，确定m的值． 【详解】解：原方程为， 两边同乘（），得， 即， 整理得， 当即时，方程变为，无解； 当时，解为， 若此解为增根（即分母为零），则，解得，此时原方程无解； 综上，或 故答案为：或 61．如果关于的方程无解，那么的值是_____． 【答案】1 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，分式方程无解的可能情况是整式方程无解或整式方程的解为增根．本题中整式方程恒有解，因此只需令解为增根即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：去分母可得：， 整理可得：， ∴， ∴， 当时，原方程无解， 故， 解得：， 故答案为：． 题型17.分式方程的列法 62．甲做240个娃娃与乙做320个娃娃所用的时间相同，已知两人每天共做100个娃娃，若设甲每天做x个娃娃，则可列方程______． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程．设甲每天做个娃娃，则乙每天做个娃娃，根据“甲做240个娃娃与乙做320个娃娃所用的时间相同”列出方程，即可作答． 【详解】解：设甲每天做个娃娃，则乙每天做个娃娃， 根据题意得：． 故答案为：． 63．一个圆柱形容器的容积为，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器的一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程用时，设小水管注水速度为．那么可列出关于的分式方程为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，根据大水管的直径是小水管的2倍，得出大水管的横截面积是小水管的4倍，从而大水管的注水速度为小水管的4倍；注水过程分为两个阶段：第一阶段用小水管注水一半容积，时间；第二阶段用大水管注水剩余一半容积，时间；总时间等于两阶段时间之和． 【详解】解：设小水管注水速度为， 则注水一半容积为， 大水管的直径是小水管的2倍，因此横截面积是小水管的4倍，注水速度也为小水管的4倍，即， 第一阶段注水时间：， 第二阶段注水时间：， 总时间， 故答案为：． 64．“竹下忘言对紫茶，全胜羽客醉流霞．”茶，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，现改进技术，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的倍，由快车间单独生产可以提前10天完成，设慢车间每天生产茶具套，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意，快车间每天生产量是慢车间的倍，即快车间每天生产套，原计划慢车间单独生产所需时间为天，快车间单独生产时间为天，快车间比慢车间提前10天完成，因此原计划时间减去快车间时间等于10天． 【详解】解：设慢车间每天生产茶具套，则慢车间单独生产时间：天，快车间单独生产时间：天， 由快车间比慢车间提前10天可得： ， 故选：B． 题型18.分式方程的工程问题 65．甲、乙两队学生绿化校园，两队合作6天可以完成，若单独工作，甲队比乙队少用5天，两队单独工作，各需多少天？如果设甲队单独工作需要天，那么根据题意列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意是解决本题的关键． 由题意得乙队需天，根据工作总量为1，甲效率为，乙效率为，则合作效率之和为，合作6天完成，列方程即可． 【详解】解：由题意得，甲效率为， ∵甲比乙少用5天， ∴乙队单独工作需天， ∴乙效率为， ∴两队合作效率为， 由题意可得，． 故选：C． 66．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成任务．求原计划每天绿化的面积． 【答案】 0.6万平方米 【分析】本题主要考查分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解题的关键． 设原计划每天绿化的面积为x万平方米，根据题意列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为 万平方米， ∴依题意得： 解得． 经检验是原方程的解，且符合题意． 答：原计划每天绿化的面积是0.6万平方米． 67．某单位需要完成一项工程，单位派遣甲施工队进场施工，计划用45天时间完成整个工程．当甲施工队工作24天后，单位又派遣乙工程队协助进行施工，最终比计划提前7天完成施工． (1)若乙施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ (2)若单位一开始派遣甲、乙两支队伍合作施工，能否在25天内完成工程，并说明理由． 【答案】(1)乙施工队单独施工，完成整个工程需要天； (2)不能，理由见解析． 【分析】本题考查分式方程在工程问题的实际应用，核心是将总工作量看作单位“1”，利用“工作效率×工作时间=工作量”的数量关系建立方程或进行计算． （1）先根据计划工期和提前天数确定实际总工期，进而得到甲、乙的工作时间，设乙单独完成的天数为未知数，根据总工作量为1列方程求解； （2）先计算甲、乙合作的工作效率，再求出合作完成工程的总时间，与天比较大小即可判断． 【详解】（1）解：设乙施工队单独施工完成整个工程需要天，将整个工程的工作量看作单位“1”， 则甲施工队的工作效率为，乙施工队的工作效率为． 根据题意，工程实际完成时间为（天），所以甲队总共工作了天，乙队工作了（天）． 根据总工作量为1，可列方程：， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合实际意义； 答：乙施工队单独施工，完成整个工程需要天； （2）解：若甲、乙两支队伍一开始合作施工， 则两队合作的工作效率为， 完成整个工程所需的时间为（天）． ∵， ∴不能在天内完成工程； 答：不能在天内完成工程． 题型19.分式方程的行程问题 68．《九章算术》中的驿站送信问题：一份文件，若用慢马送到里的城市，所需时间比规定时间多用1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少用3天，已知快马的速度是慢马速度的2倍．设规定时间是x天，则可列方程为（    ） A． B．. C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键。设规定时间为天，则慢马用时天，快马用时天，根据快马速度是慢马速度的2倍列方程即可. 【详解】解：慢马速度，快马速度，且快马速度慢马速度， ∴ ， 故选：A. 69．一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小时的行驶速度． 【答案】前一小时的行驶速度为60千米/小时 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设前一小时的行驶速度为千米/小时，则一小时后的行驶速度为千米/小时，根据实际比计划提前40分钟到达目的地建立方程求解即可． 【详解】解：设前一小时的行驶速度为千米/小时， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：前一小时的行驶速度为60千米/小时． 70．2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 【答案】(1)“朝阳号”的行驶速度是米/秒； (2)不能同时到达，理由见解析 (3)调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一） 【分析】本题主要考查列分式方程解应用题、有理数的混合运算的应用等知识点，根据题意确定等量关系、列出方程是解题的关键． （1）根据“天元号”行全程的与 “朝阳号”行全程的所用时间相等作为等量关系列分式方程求解即可； （2）分别利用“时间=路程÷速度”求出二者时间，然后比较时间即可解答； （3）根据“朝阳号”行30米与“天元号”行36米所用时间相等作为等量关系、列分方程求解即可． 【详解】（1）解：设“朝阳号”的平均速度为米/秒，则“天元号”的平均速度为米/秒， 由题意得：， 解得：，经检验是原方程的解． 答：“朝阳号”的行驶速度是米/秒． （2）解：不能同时到达，理由如下： 设调整后“天元号”的行驶路程为（米）， “天元号”到达终点所用的时间为（秒）， “朝阳号”到达终点所用的时间为（秒）， 两车不能同时到达． （3）解：设调整后“天元号”的平均速度为米/秒． ，解得：． 经检验是原方程的解． 答：调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一）． 题型20.分式方程的经济问题 71．咖啡与咖啡以之比（以质量计）混合，的原价为元/，的原价为元/若的价格增加，而的价格减少，且混合咖啡每千克的价格不变，则： ______ ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，根据混合咖啡每千克的价格不变，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 化简得：， ， ∴． 故答案为：． 72．为助力“美丽家园”建设，某社区便民商铺购进A、B两种便民商品用于销售．已知购进A商品的总费用为2000元，购进B商品的总费用为1800元，A商品的进货单价比B商品的进货单价高，且购进A商品的数量比B商品少10件．求A、B两种商品的进货单价各是多少元？ 【答案】A商品的进货单价为25元，B商品的进货单价为20元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设B商品的进货单价为元．根据“购进A商品的数量比B商品少10件”列出分式方程，解方程即可得出结果，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 【详解】解：设B商品的进货单价为元． ， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意 A商品的进货单价为元， 答：A商品的进货单价为25元，B商品的进货单价为20元． 73．景区有一片蔬果采摘园，小美一家决定采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆两种蔬菜的价格分别是每千克元和每千克元，采摘这两种蔬菜一共支付了元，其中西红柿比土豆少千克． (1)求西红柿和土豆各采摘了多少千克？ (2)为了让小美去体验生活，他们将采摘的蔬菜拿去售卖，已知西红柿和土豆的销售额分别是元和元，土豆的售价是西红柿售价的，土豆比西红柿多卖出千克，求土豆和西红柿的售价． 【答案】(1)西红柿采摘了，土豆采摘了 (2)土豆的售价是元，西红柿的售价是元 【分析】本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，找准等量关系正确列出相应方程是解题的关键． （1）设西红柿采摘了，土豆采摘了，根据题意列出二元一次方程组，解答即可． （2）根据题意可设土豆的售价是元，西红柿的售价是元，根据题意列出分式方程，解答即可． 【详解】（1）解：设西红柿采摘了，土豆采摘了． 根据题意得， 解得． 答：西红柿采摘了，土豆采摘了． （2）解：根据题意可设土豆的售价是元，西红柿的售价是元． 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：土豆的售价是元，西红柿的售价是元． 题型21.分式方程的和差倍分问题 74．某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（　　） A．1600元 B．1800元 C．2000元 D．2400元 【答案】C 【分析】设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x，根据“实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元”列出方程求解即可． 【详解】解：设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x， 根据题意得：， 解得：x＝2000， 经检验：x＝2000是原方程的解， 答：每间直播教室的建设费用是2000元， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大． 75．有甲、乙两个兴趣班，原来甲兴趣班人数是乙兴趣班的，如果从乙兴趣班调人到甲兴趣班，甲、乙兴趣班的人数比是，甲兴趣班原来有多少人？ 【答案】人 【分析】本题主要考查了分式方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设原来乙兴趣班有人，则原来甲兴趣班有人，根据题意可列分式方程，求解即可． 【详解】解：设原来乙兴趣班有人，则原来甲兴趣班有人， 根据题意，得， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原来甲兴趣班人数为：（人）． 76．某手工材料厂生产甲、乙两种手工材料包，已知该厂每天生产甲、乙两种材料包的总数为60个，且乙每天生产材料包的数量是甲的两倍． (1)求该厂每天生产甲、乙两种材料包的数量分别是多少个？ (2)为满足订单需求，该厂进行技术升级提升生产效率．升级后，每天只生产一种材料包，且每天生产材料包的数量有所增加．每天生产乙材料包的增加数量是每天生产甲材料包增加数量的2倍．若需用升级后的设备生产甲，乙两种材料包各120个，生产这两种材料包共用6天，求每天生产甲材料包的增加数量． 【答案】(1)每天生产甲材料包20个，乙材料包40个； (2)10个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用． （1）设每天生产甲材料包x个，则每天生产乙材料包个，根据甲、乙数量之和及倍数关系列一元一次方程求解； （2）设每天生产甲材料包的增加数量为a个，则每天生产乙材料包的增加数量为个，设生产甲材料包的天数为m天，生产乙材料包的天数为n天，根据生产各120个和总天数6天列分式方程求解． 【详解】（1）解：设每天生产甲材料包x个，则每天生产乙材料包个． 根据题意，， 解得， 所以， 答：每天生产甲材料包20个，乙材料包40个； （2）解：设每天生产甲材料包的增加数量为a个，则每天生产乙材料包的增加数量为个， 升级后每天生产甲材料包个，每天生产乙材料包个， 设生产甲材料包的天数为m天，生产乙材料包的天数为n天，则， 生产甲材料包总数：个，生产乙材料包总数：个， 由，得， 由，得， 代入，得， 即， 解得：． 经检验，是原分式方程的解， 答：每天生产甲材料包的增加数量为10个． 解答题 77．已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】根据相反数的性质得到两个非负数的式子的和为零，则它们均为零，据此求出a和b的值，代入原式进行化简，利用进行分数的“裂项”，进而可以求出式子的值． 本题考查相反数的性质、平方和绝对值的非负性、分数裂项等知识． 【详解】解：由题可知， 则，且， 即， 即． ∴原式 ． 78．计算： (1). (2). 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了异分母分式加法，同分母分式加法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据同分母分式加法法则进行计算，化简，即可作答． （2）先通分，再根据同分母分式加法法则进行计算，化简，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 79．化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是掌握分式的除法运算法则．先将分式的分子和分母分别因式分解，再根据分式的除法运算法则计算即可． 【详解】解： 80．一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是，宽是，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积． (1)请用的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积； (2)若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每50元钱可漆的面积为，则油漆这个铁盒需要多少钱（用的代数式表示）？ (3)是否存在一个正整数，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)元； (3)存在，或7或5或1． 【分析】此题考查整式的混合运算，掌握长方体的全面积与底面积的计算方法是解决问题的关键． （1）根据图形表示出原长方形铁皮的面积即可； （2）根据原长方形铁皮的面积剪去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，乘以单价即可得到结果； （3）假设存在，列出铁盒的全面积和底面积的公式，求整数倍数即可． 【详解】（1）解：原铁皮的面积是； （2）油漆这个铁盒的表面积是：， 则油漆这个铁盒需要的钱数是： 元； （3）铁盒的全面积是， 底面积是， 假设存在正整数n，使， 则， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时或7或5或1． 81．如果一个自然数M各个数位均不为0，且能分解成，其中A和B都是两位数，且A十位比B的十位数字大1，A和B的个位数字之和为9，则称M为“九九归一数”，把M分解成的过程称为“九九归一分解”． 例如：∵，，，∴368是“九九归一数”； ∵，，，∴1632不是“九九归一数”． (1)判断378和297是否是“九九归一数”？并说明理由； (2)把一个“九九归一数”M进行“九九归一数分解”，即为，A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差记．且能被5整除，求出所有满足条件的自然数M． 【答案】(1)378是“九九归一数”，297不是“九九归一数”，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据“九九归一数”的定义，进行判断即可； （2）设，则：，进而求出和，利用能被5整除，进行求解即可． 【详解】（1）解：378是“九九归一数”； 297不是“九九归一数”；理由如下： ∵，，， ∴378是“九九归一数”； ∵，，， ∴297不是“九九归一数”； （2）解：设，则：， ∴，， ∴， ∵能被5整除， ∴是5的倍数， ∵为小于的正整数， ∴当，时，，符合题意；此时：，； 当，时：，符合题意；此时：，； 当，时：，符合题意；此时：，； 当，时：，符合题意；此时：，； 综上，满足题意的条件的自然数为：． 【点睛】本题考查有理数的运算，整式的运算以及分式的运算．理解并掌握“九九归一数”，以及“九九归一分解”是解题的关键． 82．求当为何值时，关于的方程无解． 【答案】或 【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程后，分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：原方程去分母，得：， 整理，得：， 当整式方程无解时：； 当分式方程有增根时：或， ∴， 当时，， 当时，， 综上：或． 83．定义新运算“”：，如果，那么的值为多少？ 【答案】或． 【分析】本题考查了分式方程的应用，新定义运算，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握解分式方程，根据题意利用分类讨论分两种情况，当或时，列出分式方程进行解答即可. 【详解】解：由题意得：当时， ， 解得：， 检验，是原分式方程的解， 当时，， 解得：， 检验，是原分式方程的解， 综上，x的值为：或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06分式专项训练 题型01.分式基础概念综合 题型02.分式正负性取值范围 题型03.分式性质辨析与应用 题型04.分式系数与符号变形 题型05.约分.最简分式与求值 题型06.分式整数解求解 题型07.分式乘除运算 题型08.分式乘方与混合运算 题型09.通分与最简公分母 题型10.分式加减法 题型11.分式加减混合运算 题型12.分式综合运算与化简求值 题型13.分式加减实际应用 题型14.分式恒等式求解 题型15.分式方程的概念与解法 题型16.分式方程解的求值问题 题型17.分式方程的列法 题型18.分式方程的工程问题 题型19.分式方程的行程问题 题型20.分式方程的经济问题 题型21.分式方程的和差倍分问题 解答题7题 题型01.分式基础概念综合 1．在，，，，，中，分式的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知某个分式，当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则该分式可能是（    ） A． B． C． D． 3．若分式有意义，则应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 4．若分式的值为0，则a满足的条件是（    ） A． B． C． D．或 题型02.分式正负性取值范围 5．若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A．x>-2 B．x<1 C．x>-2且x≠1 D．x>1 6．若使分式的值为负数，则可以取的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若分式的值大于零，则x的取值范围是 ______． 题型03.分式性质辨析与应用 8．不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（   ） A． B． C． D． 9．如果分式中的都扩大为原来的2倍，那么所得分式的值（） A．缩小为原来的倍 B．扩大为原来的2倍 C．不变 D．不确定 10．若分式的值为6，当x、y都扩大2倍后，所得分式的值是______． 11．下列代数式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 题型04.分式系数与符号变形 12．不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为（    ） A． B． C． D． 13．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 14．不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得_______． 15．（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 题型05.约分.最简分式与求值 16．下列分式的约分中，正确的是（    ） A． B． C． D． 17．下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 18．对于代数式，当分别取下列各组中两个数值时，所得的值相等的是（      ） A．1与2 B．1与 C．2与 D．1与 19．写出公因式： （1）中分子、分母的公因式是_______； （2）中分子、分母的公因式是_______； （3）中分子、分母的公因式是_______． 20．琪琪在化简分式时得到的结果为，则？部分的代数式应该是___________． 21．已知，，，则的值为______． 题型06.分式整数解求解 22．使分式的值为整数的所有整数x的和为（    ） A．8 B．4 C．0 D． 23．若表示一个整数，则整数a可取的值共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 24．若分式的值为整数，的值也为整数，则的最小值为______． 题型07.分式乘除运算 25．化简 的结果为（   ） A． B． C． D． 26．化简的结果是（   ） A．2 B． C． D． 27．计算，下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 28．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 29．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式分简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： 接力中，自己负责的一步没有出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．乙和丁 题型08.分式乘方与混合运算 30．下列各式中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 31．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（   ）      1  1          1  2  1        1  3  3  1    1  4  6  4  1   A． B．2021 C．4042 D． 32．的结果是（    ） A． B． C． D．1 题型09.通分与最简公分母 33．把与通分后，的分母为，则的分子变为（） A． B． C． D． 34．分式的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 35．分式与的最简公分母是________． 36．若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 题型10.分式加减法 37．计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 38．设，，，有以下2个结论：①当时，；②当时，．下列判断正确的是（    ） A．①错②对 B．①对②错 C．①②都错 D．①②都对 39．某校举办了“学习二十大精神，争做五育标兵”系列活动，其中一项数学活动是计算接力赛，规则是：每一个人只能看到前一个人给的式子，然后只计算一步，再把结果传给下一个人，最后完成计算，某组同学计算过程如下，出现错误的是（    ） A．只有甲 B．乙和丁 C．丙和丁 D．甲和丙 40．已知 ，则 的值等于__________． 41．已知，比较、、的大小并用“”连接：______． 42．定义：如果一个分式能够化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和美分式”， 如： (1)下列分式中，属于“和美分式”的是 （填序号）； ①②③④ (2)请将“和美分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)若为整数，且“和美分式”的值也为整数，求符合条件的整数x的所有取值． 题型11.分式加减混合运算 43．已知 ，则的值为__________ ． 44．如果，，是正数，且满足，，那么的值为（    ） A． B． C．2 D． 45．计算：下面是某同学的解答过程： 解：原式…第一步 …第二步 (1)第一步的依据是_____，运用的方法是____________； 分式的基本性质；分式的加减法则；分式的通分；分式的约分法则． (2)计算：． 题型12.分式综合运算与化简求值 46．计算：＝_______． 47．已知，则代数式的值为（） A．3 B． C．2 D． 48．已知，则的值为__________． 49．对于正数x，规定，则的值为_________． 题型13.分式加减实际应用 50．八年级某班同学原来计划租一俩大巴车去研学，大巴车的租价为800元，实际又增加了3名同学，租车价不变，若设原来计划参加研学的同学共有x人，实际每个同学比原来少分摊车费______元． 51．小强上山和下山的路程都是s千米，上山的速度为千米/时，下山的速度为千米/时， 则小强上山和下山的平均速度为（    ） A．千米/时 B．千米/时 C．千米/时 D．千米/时 52．甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买，乙每次用去600元．设两次购买的面粉单价分别为元/和元/（，是正数，且），那么甲所购面粉的平均单价是__________元/，乙所购面粉的平均单价是__________元/；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为__________元/．（结果用含，的代数式表示，需化为最简形式） 题型14.分式恒等式求解 53．为常数，如果，那么_____， 54．我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是互逆的变化过程．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是互逆的变化过程．例如，将分式分解：，若可以分式分解为（其中、、是常数）．则____，____． 55．已知，其中，，，为常数，则______． 题型15.分式方程的概念与解法 56．下列方程中，哪些是分式方程（    ） ①；②；③；④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 57．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 58．我们定义一种新运算：记，如果设A为代数式，若，则A=_____________（用含x，y的代数式表示）． 题型16.分式方程解的求值问题 59．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C．1或 D．5 60．如果关于的方程无解，则______． 61．如果关于的方程无解，那么的值是_____． 题型17.分式方程的列法 62．甲做240个娃娃与乙做320个娃娃所用的时间相同，已知两人每天共做100个娃娃，若设甲每天做x个娃娃，则可列方程______． 63．一个圆柱形容器的容积为，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器的一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程用时，设小水管注水速度为．那么可列出关于的分式方程为_____． 64．“竹下忘言对紫茶，全胜羽客醉流霞．”茶，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，现改进技术，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的倍，由快车间单独生产可以提前10天完成，设慢车间每天生产茶具套，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 题型18.分式方程的工程问题 65．甲、乙两队学生绿化校园，两队合作6天可以完成，若单独工作，甲队比乙队少用5天，两队单独工作，各需多少天？如果设甲队单独工作需要天，那么根据题意列出方程（    ） A． B． C． D． 66．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成任务．求原计划每天绿化的面积． 67．某单位需要完成一项工程，单位派遣甲施工队进场施工，计划用45天时间完成整个工程．当甲施工队工作24天后，单位又派遣乙工程队协助进行施工，最终比计划提前7天完成施工． (1)若乙施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ (2)若单位一开始派遣甲、乙两支队伍合作施工，能否在25天内完成工程，并说明理由． 题型19.分式方程的行程问题 68．《九章算术》中的驿站送信问题：一份文件，若用慢马送到里的城市，所需时间比规定时间多用1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少用3天，已知快马的速度是慢马速度的2倍．设规定时间是x天，则可列方程为（    ） A． B．. C． D． 69．一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小时的行驶速度． 70．2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 题型20.分式方程的经济问题 71．咖啡与咖啡以之比（以质量计）混合，的原价为元/，的原价为元/若的价格增加，而的价格减少，且混合咖啡每千克的价格不变，则： ______ ． 72．为助力“美丽家园”建设，某社区便民商铺购进A、B两种便民商品用于销售．已知购进A商品的总费用为2000元，购进B商品的总费用为1800元，A商品的进货单价比B商品的进货单价高，且购进A商品的数量比B商品少10件．求A、B两种商品的进货单价各是多少元？ 73．景区有一片蔬果采摘园，小美一家决定采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆两种蔬菜的价格分别是每千克元和每千克元，采摘这两种蔬菜一共支付了元，其中西红柿比土豆少千克． (1)求西红柿和土豆各采摘了多少千克？ (2)为了让小美去体验生活，他们将采摘的蔬菜拿去售卖，已知西红柿和土豆的销售额分别是元和元，土豆的售价是西红柿售价的，土豆比西红柿多卖出千克，求土豆和西红柿的售价． 题型21.分式方程的和差倍分问题 74．某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（　　） A．1600元 B．1800元 C．2000元 D．2400元 75．有甲、乙两个兴趣班，原来甲兴趣班人数是乙兴趣班的，如果从乙兴趣班调人到甲兴趣班，甲、乙兴趣班的人数比是，甲兴趣班原来有多少人？ 76．某手工材料厂生产甲、乙两种手工材料包，已知该厂每天生产甲、乙两种材料包的总数为60个，且乙每天生产材料包的数量是甲的两倍． (1)求该厂每天生产甲、乙两种材料包的数量分别是多少个？ (2)为满足订单需求，该厂进行技术升级提升生产效率．升级后，每天只生产一种材料包，且每天生产材料包的数量有所增加．每天生产乙材料包的增加数量是每天生产甲材料包增加数量的2倍．若需用升级后的设备生产甲，乙两种材料包各120个，生产这两种材料包共用6天，求每天生产甲材料包的增加数量． 解答题 77．已知与互为相反数，求的值． 78．计算： (1). (2). 79．化简： 80．一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是，宽是，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积． (1)请用的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积； (2)若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每50元钱可漆的面积为，则油漆这个铁盒需要多少钱（用的代数式表示）？ (3)是否存在一个正整数，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个，若不存在，请说明理由． 81．如果一个自然数M各个数位均不为0，且能分解成，其中A和B都是两位数，且A十位比B的十位数字大1，A和B的个位数字之和为9，则称M为“九九归一数”，把M分解成的过程称为“九九归一分解”． 例如：∵，，，∴368是“九九归一数”； ∵，，，∴1632不是“九九归一数”． (1)判断378和297是否是“九九归一数”？并说明理由； (2)把一个“九九归一数”M进行“九九归一数分解”，即为，A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差记．且能被5整除，求出所有满足条件的自然数M． 82．求当为何值时，关于的方程无解． 83．定义新运算“”：，如果，那么的值为多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $