专题06 几何最值模型之费马点模型（旋转）（几何模型讲义）数学新教材北师大版八年级下册

专题06 几何最值模型之费马点模型(旋转) 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.费马点模型 4 模型2.加权费马点模型 9 14 费马点最早由法国数学家‌皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）‌ 在17世纪提出。他研究了一个经典问题：‌如何在三角形内找一点P，使PA + PB + PC的值最小？ 费马最初提出该问题时未给出完整证明，后由其他数学家完善并把该问题命名为费马点问题（模型）。费马点模型通过几何变换将分散线段转化为共线路径，是解决最值问题的核心思想之一，需熟练掌握旋转构造法及角度分析技巧。其本质是‌优化理论在几何中的体现‌，也是变分法的早期雏形。现代应用包括网络基站选址、物流中心优化等实际场景。‌ （2025·陕西西安·模拟预测）（1）问题背景：如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决:如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用:如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 【答案】（1）等边；两点之间线段最短（2）5（3） 【详解】（1），，为等边三角形， 由几何公理：两点之间线段最短可得：， 当，，，在同一条直线上时，取最小值．故答案为：等边，两点之间线段最短． （2）如图4，将绕点顺时针旋转得到△，连接， 由（1）可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ，， 又，，根据旋转的性质可知：， ，即的最小值为5； （3）总铺设成本万元， 当最小时，总铺设成本最低， 将绕点顺时针旋转得到△，连接，，过点作于，过点作于，如图：由旋转性质可知：，，，， 在中，，， 当、、、在同一条直线上时，取最小值，即取最小值，其最小值为的长度，，，，， ， ，的最小值为， 总铺设成本最小值为：（元． 1.费马点模型 结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。（费马点：三角形内的一点到三个顶点距离之和最小的点。） 图1 图2 图3 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图2，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 法2（费马点的作法）：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1） 2.加权费马点模型 结论：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点） 证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。 如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。 模型1.费马点模型 例1（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值． (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出___________．知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点，请同学们探索以下问题． (2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点． (3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接AP、BP、CP，求的值． 【答案】(1)(2)答案见解析(3) 【详解】（1）解：如图2中，连接．点到顶点、、的距离分别为3、4、5， ，，，由旋转的性质得：， ，，，， ，即， 是等边三角形，，， 是等边三角形，，， ，，△是直角三角形，， ，，故答案为：； （2）证明：在上取点，使．连接，再在上截取，连接． ，，为正三角形，，，． 为正三角形，，，， △，，， ，为的费马点．过的费马点； （3）解：将绕点顺时针旋转至△处，连接，如图4所示： 则，，，，，， 是等边三角形，，， 点为直角三角形的费马点，，， ，、、、四点共线， ，，，，， 在中，由勾股定理得：，，， 在△中，由勾股定理得：， ． 例2（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，内一动点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为2，的长为（   ）． A． B．4 C． D．8 【答案】A 【详解】解：如图，把绕点逆时针旋转得到，连接，，过点作， ，，为等边三角形，， 点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长． 当、、、四点在同一直线上时，最小．， 把绕点逆时针旋转得到，， ，， ，，， 设，则，，， 中，，， ，，故选：A 例3（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图1 ，等边内有一点 P ，若点 P 到顶点A、B、C的距离分别为， 求的度数．为了解决本题，我们可以以为一边在右侧做等边三角形，连接，此时可证，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请你写出完整的解题过程；请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题． （2）基本运用：如图 2 ，点P为等边外一点，，求长． （3）能力提升：如图 3 ，在中，，点P为内一点， 连接，则的最小值是 ． 【答案】（1），见解析；（2）2；（3） 【详解】（1）解：和都是等边三角形， ，，， ，，，， ，，，，，； （2）如图，将绕点顺时针旋转60度，得到，连接，， ，，，是等边三角形，，， ，，，； （3）解：将绕点C顺时针旋转至，连接，将绕点C顺时针旋转至，连接，，过点F作交延长线于点G， 在中，，∴，∴， 由旋转得，， ∴，均为等边三角形， ∴，，∴，∴， 当点共线时，取得最小值，即为， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴， ∴的最小值为，故答案为：． 例4（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，若三个村庄、、构成，其中，，．现选取一点打水井，使点到三个村庄、、铺设的输水管总长度最小，输水管总长度的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，∴，∴ ∴是等边三角形，∴，∴， ∴当四点共线时，取得最小值，最小值为的长， 如图，过点作交的延长线于点，∵，∴， ∵，，∴，∴， 又∵，∴，在中，， 即的最小值为：，故答案为：． 例5（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图，中，，，为内一点，，则的最小值为 ．    【答案】5 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到△，连接，      由旋转的性质，得，，，， ，，为等边三角形，，， ，点，，共线， ，点，，共线，点，，，共线， 过点作于点，，， ，，， ，，延长交于点， ，， ，，，， ，，， ，， ，， 最小，的最小值为5．故答案为：5．    模型2.加权费马点模型 例1（24-25八年级下·重庆·专题练习）如图，在中，，，为其内部一点，连接、、，其中，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．则． 由旋转的性质，得，．， 连接，当且仅当，，，四点共线时，取得最小值．过点作的延长线于点．，，， ，．，． ，．，， 即的最小值为．故答案为：． 例2（24-25八年级下·重庆·期中）在中，，E为平面内一点，连接． (1)如图1，若点E在线段上，，，，求线段的长； (2)如图2，若点E在内部，，，求证：； (3)如图3，若点E在内部，连接BE，，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)5(2)见解析(3) 【详解】（1）解：如图1，过作的延长线于， ∴，∴，设，则， 由勾股定理得，，解得，，∴， 由勾股定理得，，即，解得，，∴的长为5； （2）证明：如图2，过作交的延长线于，在上截取，使， ∴，∴，由勾股定理得，， ∵，，，∴， ∴，，∴，∵，∴， ∵，，∴， ∴，∵，， ∴，∴， ∵，∴； （3）解：如图3，将绕着点顺时针旋转到，连接，  图3 ∴，，∴， 由勾股定理得，，∵， ∴，∴，∴， ∴当四点共线时，最小，即最小，为， 如图3，过作的延长线于，∵，，∴， ∴，，∴，∴， 由勾股定理得，，， 解得，，∴，由勾股定理得，， ∴的最小值为． 例3（2025九年级下·广东·专题练习）在等边三角形中，边长为，为三角形内部一点，求的最小值． 【答案】 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转，并缩小到倍，得到，连接，， 则，，，， 在中，，∴， ∴当点共线时，的值最小，最小值为的长， 过点作的延长线于点，则，∵为等边三角形，∴， ∴，∴， ∴，∴， ∴，∴的最小值为， ∴的最小值，故答案为：． 1．（2025·四川·校联考模拟预测）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（    ） A． B．36 C． D． 【答案】A 【详解】分别以、为边在下方构造等边三角形、，分别取、中点，连接，如图所示， ∵取、中点，∴，∵等边三角形，∴， ∵等边三角形，∴，， ∴，∴，∴， ∴，∴， ∴当三点共线时最小， ∵∴， ∵，∴，∴， ∴，∴的最小值为，故选：A． 2．（24-25八年级下·江苏·阶段练习）如图，在直角三角形内部有一动点P，，连接，若，求的最小值 ． 【答案】 【详解】解：如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于H． ∵旋转，∴，，，， ∴，均为等边三角形，∴，，， ∴，当且仅当四点共线时，，值最小， ∵，∴，，∴， ∵，∴，， ∴，∴， ∴的最小值为；故答案为：． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是内的动点，连接，，，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：过点作于点，如图， ，，， ，， 在中，， 把绕点顺时针旋转得到，如图，连接，， ，，，， 为等边三角形，，， 当且仅当、、、共线时取等号 的最小值为，即的最小值为，过点作于点，如图， ， ，， 在中，， 的最小值为．故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，P为三角形内一点，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，      ，，，， ∴是等边三角形，，∴∴， ∵，． 在中，，，，， 即的最小值为．故答案为：． 5.（辽宁丹东·中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则 ；若，P为的费马点，则 ． 【答案】 5 【详解】①如图,过作，垂足为,过分别作, 则, P为的费马点 5 ②如图：.；； ；；将绕点逆时针旋转60 由旋转可得：； 是等边三角形， P为的费马点；即四点共线时候， =；故答案为：①5，② 6．（25-26上·浙江台州·九年级校考期中）如图，在直角坐标系中，，，P为内任意一点，求的最小值 ． 【答案】 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接， 则：， ∴为等边三角形，∴， ∴，当四点共线时，的值最小，为的长， ∵，∴，过点作轴，则：， ∴，∴，∴，即点在轴上； 过点作轴于点，∵，∴，，∴， ∴，即：的最小值为．故答案为：． 7．（25-26九年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，点为内部一点，则点到三个顶点之和的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：将绕着点A顺时针旋转，得到，连接，过点C作，交的延长线于N， ∴，，，，， ∴，∴是等边三角形，∴， ∴，∴当点H、E、P、C共线时，有最小值． ∵，， ∴，∴，∴ ． 在中，， 即点P到三个顶点之和的最小值是．故答案为：． 8．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，中，，，，点O为内一点，连结．①边的长为 ．②的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：①中，，，， ，，故答案为：； ②如图，将绕B点顺时针旋转60度，得到， 由旋转知，，，，， ，，是等边三角形，， ，当O，C，E，D四点共线时，等号成立， ，，， ，的最小值为，故答案为：． 9.（2025九年级下·广东·专题练习）在边长为的正中有一点，连接，求的最小值． 【答案】 【详解】解：如图所示，绕点逆时针旋转得到，取的中点，连接， ∴，， 在中，，，∴， 在中，点是的中点，∴，且， ∴，∴， 当点共线时，取得最小，最小为的值， 如图所示，过点作延长线于点，∵点是的中点，∴， ∵是等边三角形，绕点逆时针旋转得到， ∴，∴， ∴，，∴， 在中，， ∴的最小值为． 10．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）（1）【操作发现】如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形． （2）【类比探究】如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】如图3，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． （4）【拓展应用】如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，为内的一个动点，连接，，．求当的最小时的度数． 【答案】（1）等边（2）（3）（4） 【详解】（1）解：等边，理由如下：将绕点顺时针旋转，得到 ，是等边三角形 （2）解：如图，将绕点逆时针方向旋转，得，连接，那么有， 是等边三角形， 在中， （3）解：如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到， 是等边三角形，，， ；，即 即 （4）解：将绕点顺时针旋转，得到，连接、，如图所示： ，，，是等边三角形 ， 当、、、在一条直线上时，最小；当最小时， 11．（2025·广东·校考二模）平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连．(1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度； (2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：； (3)如图3，已知，若，直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：∵，如图1， ∴，E为的中点，，∴， ∵，∴，在中，，∴； （2）证明：如图2，设射线与射线交于点M，由题可设， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，延长交于N， ∴，过E作于P，则， 在与中，  ，∴，∴， 过E作于Q，∴，∴四边形为矩形， ∵，∴，∴， ∴矩形为正方形，∴，∴， 在与中，，  ∴，∴， ∵，∴； （3）解：如图3，把绕点A逆时针旋转得到，得到等边，同理以为边构造等边， ∴，， ∴，∴， 在与中，，∴， ∴，∴， 当B，F，M，N四点共线时，最小，即为线段BN的长度，如图4， 过N作交其延长线于T，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∵， ∴，在中， ， ∴，∴，∴， ∴的最小值为 ． 12．（2025.江苏校考一模）（1）【操作发现】如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD＝　 　度． （2）【解决问题】①如图2，在边长为的等边三角形ABC内有一点P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．②如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，若PB＝1，PA＝3，∠BPC＝135°，则PC＝　 　． （3）【拓展应用】如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AB＝4，BC＝3，∠ABC＝75°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值． 【答案】（1）65；（2）①；②2；（3）PA+PB+PC的最小值为． 【详解】（1）【操作发现】解：如图1中， ∵△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，∴AD＝AB，∠DAB＝50°， ∴＝65°，故答案为：65． （2）【解决问题】①解：如图2中，∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′， ∴△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°， ∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，∴PP′＝PC，即AP＝PC， ∵∠APC＝90°，∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝（）2， ∴PC＝2，∴AP＝，∴S△APC＝AP•PC＝××2＝． ②如图3，将△CBP绕着点C按顺时针方向旋转90°，得到△CAP′， 图4 ∵CP′＝CP，∠P′CP＝∠ACB＝90°，∴△P′CP为等腰直角三角形，∴∠CP'P＝45°， ∵∠BPC＝135°＝∠AP'C，∴∠AP′P＝90°，∵PA＝3，PB＝1，∴AP′＝1， ∴PP′＝＝＝2，∴PC＝＝＝2．故答案为：2． （3）【拓展应用】解：如图4中，将△APB绕B顺时针旋转60°，得到△EDB，连接PD、CE． ∵将△APB绕B顺时针旋转60°，得到△EDB， ∴∠ABP＝∠EBD，AB＝EB＝4，∠PBD＝60°，△BPD为等边三角形，AP=DE ∴∠ABP+∠PBC＝∠EBD+∠PBC，PB=PD ∴∠EBD+∠PBC＝∠ABC＝75°，根据两点之间线段最短可得PA+PB+PC=DE＋PD＋PC≤CE，即PA+PB+PC的最小值为CE的长∴∠CBE＝135°，过点E作EF⊥CB交CB的延长线于点F， ∴∠EBF＝45°，∴，在Rt△CFE中，∵∠CFE＝90°，BC＝3，EF＝2， ∴＝即PA+PB+PC的最小值为． 13．（24-25九年级下·河南周口·阶段练习）【问题背景】在已知所在平面内求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下：如图2，把绕A点逆时针旋转得到（点P，C的对应点分别为点，），连接，则，． ∵______，∴为等边三角形，∴，∴， ∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． 任务：（1）横线处填写的条件是______；（2）当点P是的“费马点”时，______； （3）如图3，△ABC中，，，E，F为BC上的点，且，判断之间的数量关系并说明理由； 【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，，，AC＝4km，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则的最小值是______． 【答案】问题背景：（1）见解析；（2）；（3） ，理由见解析；实际应用； 【详解】解：问题背景：（1）如图2，把绕A点逆时针旋转得到（点P，C的对应点分别为点，），连接，则，． ∵，∴为等边三角形，∴，∴， ∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． （2）如图2所示，设交于O， 由（1）可得当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小， 由旋转的性质可得，， 又∵，∴∵为等边三角形，∴， ∴，，∴， ∴，故答案为：；    （3） ，理由如下：∵，，∴， 如图所示，将绕点逆时针旋转，得到，连接， 则：， ∴，∴， ∵，∴，∴， 又∵，，∴，∴，∴； 实际应用：如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接， 由问题背景（1）可得当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，最小值为， 过点作交延长线于D，由旋转的性质可得，， ∵，∴， ∴是等腰直角三角形，∴， ∴，∴， ∴得最小值为，故答案为：． 14．（24-25八年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图1，在中，，点A在x轴上，以为一边，在外作等边三角形，D是的中点，连接并延长交于E． (1)①求点B的坐标；②求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，将图1中的四边形折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长； (3)如图1，连接，在线段上有一动点M，连接，直接写出的最小值为______． 【答案】(1)①；②证明见解析(2)(3) 【详解】（1）解：①在中，， ，∴点的坐标为； ②证明：∵，∴轴，∵轴轴，∴轴，即， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴， ∵是等边三角形，∴，∴，即，∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，设， ∵是等边三角形，∴，，由折叠得， 在中，，即，解得：，∴的长为； （3）解：如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接， 则， ∴是等边三角形，，， 当、、、在同一条直线上时，为最小值， ∵是的中点，，∴，∴是等边三角形，， ，∴是等边三角形，，∴点是的中点， ，， ∴、、三点在同一条直线上，， ，故答案为：； 15．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，平行四边形的顶点、在轴上，点在轴，，，．若实数、、满足． (1)求点，，，的坐标．(2)如图2，连接，将绕点顺时针旋转，旋转得，轴正半轴上是否存在一点，能使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图3，，为内一点，连接、、，直接写出的最小值为________． 【答案】(1)(2)存在，，理由见详解(3) 【详解】（1）解：，∴， ∴，∴，∴，， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴； （2）解：存在，点，理由如下，如图所示， 在中，，∴， ∵点在的正半轴上，∴当轴时，四边形是平行四边形，设与交于点， ∴，轴，∴， ∵，∴， ∴，∴； （3）解：，，， ∴，，， ∵，即，∴是直角三角形，， 如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，延长到，使得，延长到，使得，连接，∴，∴， ∵点分别是的中点，∴，即，∴， ∵，，∴是等边三角形，， ∴，， ∴，∴， ∴，∴，在中，， 当点在线段上时，的值最小， ∵，∴，且，，， ∵，∴，∴，即点三点共线， 在中，，，∴的最小值为，故答案为：． 16．（25-26·江苏苏州·八年级期中）已知为等边三角形，边长为4，点D、E分别是、边上一点，连接、．． (1)如图1，若，求的长度；(2)如图2，点F为延长线上一点，连接、，、相交于点G，连接，已知，求证：；(3)如图3，点P是内部一动点，顺次连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：∵为等边三角形，边长为4，AE=2，∴E为AC中点，∴EB⊥AC，即∠BEA=90°， 由勾股定理得：． （2）证明：延长BF交AC延长线于H， ∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°， ∵AE=CD，∴△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD， 由三角形外角性质知，∠BGF=∠ABE+∠BAG=∠CAD+∠BAG=60°， ∵∠GBF=60°，∴△BGF为等边三角形，∴BF=GF=BG，∴BF+GE=BG+GE=BE， ∴∠ABG=60°－∠DBG，∠CBF=60°－∠DBG，∴∠ABG=∠CBF， ∴△ABG≌△CBF，∴∠BFC=∠AGB=120°，∴∠CFH=60°=∠GBF，∠GFC=60°， ∴CF∥BE，∴∠FCH=∠CEG，∠EGC=∠GCF， ∵CE=CG，∴∠CEG=∠CGE，∴∠GCF=∠FCH， ∴△GCF≌△HCF，∴CG=CH=CE，GF=FH=BF， 即C是EH中点，F是BH中点，∴BE=2CF，故． （3）解：原式变形为，将三角形BPC绕B顺时针旋转60°得三角形BDE，延长BD至F，使DF=BD，延长BE至G，使EG=BE，连接PF，GF，如图所示， 由旋转性质知，△BPD为等边三角形，∴∠PDB=60°， ∵BD=DF=PD，∴∠PFB=30°，∴∠FBP=90°，∴PF=， 由辅助线知：DE为三角形BFG的中位线，∴FG=2DE=2PC， ∴=， 故当A、P、F、G共线时，取最小值，最小值为， 过G作GH⊥AH于H，在直角三角形BGH中，BG=2BC=8，∠GBH=60°， ∴BH=4，GH=，∴AG=，∴=， 即的最小值为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 几何最值模型之费马点模型(旋转) 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.费马点模型 4 模型2.加权费马点模型 9 14 费马点最早由法国数学家‌皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）‌ 在17世纪提出。他研究了一个经典问题：‌如何在三角形内找一点P，使PA + PB + PC的值最小？ 费马最初提出该问题时未给出完整证明，后由其他数学家完善并把该问题命名为费马点问题（模型）。费马点模型通过几何变换将分散线段转化为共线路径，是解决最值问题的核心思想之一，需熟练掌握旋转构造法及角度分析技巧。其本质是‌优化理论在几何中的体现‌，也是变分法的早期雏形。现代应用包括网络基站选址、物流中心优化等实际场景。‌ （2025·陕西西安·模拟预测）（1）问题背景：如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决:如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用:如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 1.费马点模型 结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。（费马点：三角形内的一点到三个顶点距离之和最小的点。） 图1 图2 图3 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图2，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 法2（费马点的作法）：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1） 2.加权费马点模型 结论：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点） 证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。 如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。 模型1.费马点模型 例1（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值． (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出___________．知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点，请同学们探索以下问题． (2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点． (3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接AP、BP、CP，求的值． 例2（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，内一动点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为2，的长为（   ）． A． B．4 C． D．8 例3（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图1 ，等边内有一点 P ，若点 P 到顶点A、B、C的距离分别为， 求的度数．为了解决本题，我们可以以为一边在右侧做等边三角形，连接，此时可证，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请你写出完整的解题过程；请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题． （2）基本运用：如图 2 ，点P为等边外一点，，求长． （3）能力提升：如图 3 ，在中，，点P为内一点， 连接，则的最小值是 ． 例4（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，若三个村庄、、构成，其中，，．现选取一点打水井，使点到三个村庄、、铺设的输水管总长度最小，输水管总长度的最小值为 ． 例5（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图，中，，，为内一点，，则的最小值为 ．    模型2.加权费马点模型 例1（24-25八年级下·重庆·专题练习）如图，在中，，，为其内部一点，连接、、，其中，则的最小值为 ． 例2（24-25八年级下·重庆·期中）在中，，E为平面内一点，连接． (1)如图1，若点E在线段上，，，，求线段的长； (2)如图2，若点E在内部，，，求证：； (3)如图3，若点E在内部，连接BE，，，请直接写出的最小值． 例3（2025九年级下·广东·专题练习）在等边三角形中，边长为，为三角形内部一点，求的最小值． 1．（2025·四川·校联考模拟预测）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（    ） A． B．36 C． D． 2．（24-25八年级下·江苏·阶段练习）如图，在直角三角形内部有一动点P，，连接，若，求的最小值 ． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是内的动点，连接，，，则的最小值是 ． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，P为三角形内一点，则的最小值为 ．    5.（辽宁丹东·中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则 ；若，P为的费马点，则 ． 6．（25-26上·浙江台州·九年级校考期中）如图，在直角坐标系中，，，P为内任意一点，求的最小值 ． 7．（25-26九年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，点为内部一点，则点到三个顶点之和的最小值是 ． 8．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，中，，，，点O为内一点，连结．①边的长为 ．②的最小值为 ． 9.（2025九年级下·广东·专题练习）在边长为的正中有一点，连接，求的最小值． 10．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）（1）【操作发现】如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形． （2）【类比探究】如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】如图3，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． （4）【拓展应用】如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，为内的一个动点，连接，，．求当的最小时的度数． 11．（2025·广东·校考二模）平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连．(1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度； (2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：； (3)如图3，已知，若，直接写出的最小值． 12．（2025.江苏校考一模）（1）【操作发现】如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD＝　 　度． （2）【解决问题】①如图2，在边长为的等边三角形ABC内有一点P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．②如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，若PB＝1，PA＝3，∠BPC＝135°，则PC＝　 　． （3）【拓展应用】如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AB＝4，BC＝3，∠ABC＝75°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值． 13．（24-25九年级下·河南周口·阶段练习）【问题背景】在已知所在平面内求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下：如图2，把绕A点逆时针旋转得到（点P，C的对应点分别为点，），连接，则，． ∵______，∴为等边三角形，∴，∴， ∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． 任务：（1）横线处填写的条件是______；（2）当点P是的“费马点”时，______； （3）如图3，△ABC中，，，E，F为BC上的点，且，判断之间的数量关系并说明理由； 【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，，，AC＝4km，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则的最小值是______． 14．（24-25八年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图1，在中，，点A在x轴上，以为一边，在外作等边三角形，D是的中点，连接并延长交于E． (1)①求点B的坐标；②求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，将图1中的四边形折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长； (3)如图1，连接，在线段上有一动点M，连接，直接写出的最小值为______． 15．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，平行四边形的顶点、在轴上，点在轴，，，．若实数、、满足． (1)求点，，，的坐标．(2)如图2，连接，将绕点顺时针旋转，旋转得，轴正半轴上是否存在一点，能使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图3，，为内一点，连接、、，直接写出的最小值为________． 16．（25-26·江苏苏州·八年级期中）已知为等边三角形，边长为4，点D、E分别是、边上一点，连接、．． (1)如图1，若，求的长度；(2)如图2，点F为延长线上一点，连接、，、相交于点G，连接，已知，求证：；(3)如图3，点P是内部一动点，顺次连接，请直接写出的最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $