专题05 直角三角形中的动态模型（几何模型讲义）数学新教材人教版八年级下册

专题05 直角三角形中的动态模型 特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分类讨论模型，是初中各类考试中几何压轴题的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在处理等腰三角形和直角三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰或直角三角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把直角三角形分类讨论情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 12 模型2.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型 14 17 特殊三角形中的分类讨论模型源于动态特殊三角形（等腰、直角三角形等）的不确定性，强调分类讨论的逻辑性，后由教育工作者将其系统归纳形成了特殊三角形中的分类讨论模型。 （2025·黑龙江绥化·中考真题）在边长为7的等边三角形中，点在上，．点是直线上的一个动点，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接，当为直角三角形时，则的长是 ． 1）斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。 2）直角三角形存在性模型 直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。 直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。 “两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。 问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形． 分三种情况，如图： ①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求； ②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求； ③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求． 代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。 几何法计算：若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解． 模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 例1（25-26·河南安阳·八年级校考期末）若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 ． 例2（25-26·河南郑州·八年级校考期中）如图，是的角平分线，是的高，，，点F为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为 ． 例3（2025·河南郑州·校考一模）在矩形中，，为的中点，取的中点，连接，当为直角三角形时，的长为 ． 模型2.直角三角形存在性模型 例1（24-25八年级上·山东枣庄·期中）在直角坐标系中，为坐标原点，已知点，在坐标轴上确定点，使得为直角三角形，则符合条件的点的个数共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例2（24-25·江苏·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，以为一边在外部作等腰直角．则点的坐标为 ．    例3（2025·河南郑州·二模）如图，在菱形中，，将边绕点A顺时针旋转 ()得到，连接，当为直角三角形时，的度数为 例4（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，正方形边长为，为边中点，连接，点为线段延长线上一点，若为直角三角形，则的长是 ． 例4（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图所示，在中，，点是射线上的一个动点．（1）当为直角三角形时，的长为 ． （2）若点在边的下方，当为直角三角形时，的长为 ． 例5（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为（    ） A．秒 B．3秒 C．或3秒 D．3或秒 例6（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，，且点的坐标为． (1)则______，______，______；(2)若函数的值大于函数的函数值，则的取值范围是______；(3)求四边形的面积；(4)在轴上存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点的坐标． 例7（24-25·辽宁锦州·八年级统考期末）【模型构建】如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】(1)如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，①则_________；②C，D是正比例函数图像上的两个动点，连接AD，BC，若，则AD的最小值是_______；(2)如图2，一次函数的图像与y轴，x轴分别交于A，B两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【模型拓展】(3)如图3，点A在x轴负半轴上，，过点A作轴交直线于点B，P是直线上的动点，Q是y轴上的动点，若是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．      1．（25-26江西吉安·八年级期末）如图，在的小正方形网格中，点A，B为格点，另取一格点C，使为直角三角形，则点C的个数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（25-26·广东佛山·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，．点E为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，则的长为（    ） A．2或18 B．3或18 C．3或2 D．2或8 3．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在中，，点是边上的一个动点（不与重合），过作交边于点，将沿直线翻折，点落在射线上的处，当为直角三角形时，的长为（    ） A．1或3 B．2或3 C．1或2 D．2或4 4．（25-26·浙江八年级期中）如图，在中，于点D，平分．若，F为线段上的任意一点，则当为直角三角形时，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 5．（25-26·重庆·八年级期末）已知三角形的两边分别为6和8，当第三边为 时，此三角形是直角三角形． 6．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，，．点是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点．当是直角三角形时，的长为 ． 7．（25-26·江西九江·八年级期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________． 8．（25-26·浙江绍兴·八年级校考期中）如图，在中，，，点是线段延长线上的一个动点，，则当为直角三角形时，的长为 ． 9．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，等边的边长为，点Q是的中点，若动点P以的速度从点A出发沿方向运动，设运动时间为t秒，连接，当是直角三角形时，则t的值为 秒． 10．（25-26·上海普陀·八年级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D为边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，点C的对应点为点E，联结BE，如果△BDE是以BD为直角边的等腰直角三角形，那么BC的长等于______． 11．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B在x轴上，若是直角三角形，则OB的长为 ． 12．（25-26九年级上·河南南阳·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2；当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为 ． 13．（25-26·浙江·八年级假期中）如图，已知，点是射线上一动点，当为直角三角形时， ． 14．（25-26·江西九江·八年级期末）如图，AD为△ABC的高，AE、BF为△ABC的角平分线，若，．(1)求∠DAE的度数；(2)若点M为线段BC上任意一点，当△BMF为直角三角形时，请直接写出∠CFM的度数． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点D为边上的动点，沿边往A运动，当运动到点A时停止，点D运动的速度为每秒1个单位长度． (1)当时，分别求和的长；(2)当t为何值时，是直角三角形？ (3)若是等腰三角形，请直接写出t的值． 16．（25-26·四川成都·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过A(-2，6)的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，直线AD交x轴负半轴于点D，若△ABD的面积为27． （1）求直线AD的解析式；（2）横坐标为m的点P在AB上（不与点A，B重合），过点P作x轴的平行线交AD于点E，设PE的长为y（y≠0），求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范围； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使△PEF为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标，若不存在，请说明理由． 17．（24-25八年级下·河南商丘·期末）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动．如图，四边形为矩形，将矩形沿着过点的直线翻折，交于点，点的对应点为点． (1)如图1，当点正好落在对角线和的交点处时，的度数是 ； 如图2，若点是的中点，点落在矩形的内部时，延长交边于点．若，请探究之间的数量关系，并说明理由； (2)已知，，直线与射线交于点，当是直角三角形时，请直接写出的长． 18．（25-26八年级上·山东济南·期中）阅读下列材料，回答问题 在一次函数中，x的系数k与其图象的倾斜方向与倾斜程度有关，我们把k叫做直线的斜率，关于斜率，有以下结论：①若，则直线的斜率； ②若直线：，直线：，则当，时，；当时，直线； 我们可以直接利用斜率来解决许多关于直线位置关系的问题： 若直线l经过点 (1)如图1，直线l的斜率 ；(2)如图2，过点作轴于C，若点D是y轴正半轴上的点且． ①连接，试探究直线与直线有何位置关系；②求的面积； (3)在y轴上是否存在一点M，使是以为直角边的直角三角形，若有，请直接写出所有符合要求的点M的坐标，若无，请说明理由． 19．（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中长方形AOBC的顶点A、B坐标分别为(0，8)、(10，0)，点D是BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折，使得点C落在OB上的点E处，点F是直线AD与x轴的交点，连接CF． (1)点C坐标为____________；(2)求直线AD的函数表达式_______________________； (3)点P是直线AD上的一点，当△CFP是直角三角形时，请你直接写出点P的坐标． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 直角三角形中的动态模型 特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分类讨论模型，是初中各类考试中几何压轴题的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在处理等腰三角形和直角三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰或直角三角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把直角三角形分类讨论情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 12 模型2.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型 14 17 特殊三角形中的分类讨论模型源于动态特殊三角形（等腰、直角三角形等）的不确定性，强调分类讨论的逻辑性，后由教育工作者将其系统归纳形成了特殊三角形中的分类讨论模型。 （2025·黑龙江绥化·中考真题）在边长为7的等边三角形中，点在上，．点是直线上的一个动点，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接，当为直角三角形时，则的长是 ． 【答案】6或8或9 【详解】解：过点D作交于点E， ①当时，如图（1），∵是等边三角形，， ∴，，即是等边三角形， ∴， ∴，∴，∴，， ∴，∴， ∴，即，∴． ②当时，如图（2）同理可得，， ∴，即， ∴，∴． ③当时，如图（3）同理可证， ∴∴．∴． ④当时，如图（4） 同理可证， ∴，∴，∴． 综上所述，的长是6或8或9．故答案为：6或8或9． 1）斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。 2）直角三角形存在性模型 直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。 直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。 “两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。 问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形． 分三种情况，如图： ①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求； ②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求； ③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求． 代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。 几何法计算：若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解． 模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 例1（25-26·河南安阳·八年级校考期末）若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 ． 【答案】3或 【详解】解：当较大的数5为斜边时，第三边， 当第三边为斜边时，第三边，故答案为：3或． 例2（25-26·河南郑州·八年级校考期中）如图，是的角平分线，是的高，，，点F为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：如图所示，当时， ∵是的角平分线，， ∴，∴中，； 如图，当时， 同理可得，∵，∴， ∴， 综上所述：的度数为或．故答案为：或． 例3（2025·河南郑州·校考一模）在矩形中，，为的中点，取的中点，连接，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，， ∵点为的中点，∴，∴， ∴，， 当时，如图，则，∴为等腰直角三角形，∴； ②当时，如图，则， ∵点为的中点，∴垂直平分，∴， ∵，∴，∴为等边三角形， ∴，∴，∴， ∴；综上，的长为或，故答案为：或． 模型2.直角三角形存在性模型 例1（24-25八年级上·山东枣庄·期中）在直角坐标系中，为坐标原点，已知点，在坐标轴上确定点，使得为直角三角形，则符合条件的点的个数共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：如图所示： ①当为斜边时，过分别作轴和轴的垂线，垂足即为点，符合条件的点有2个； ②当为斜边时，过作的垂线，与轴和轴的交点即为点，符合条件的点有2个； 符合条件的点的个数共有4个，故选：． 例2（24-25·江苏·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，以为一边在外部作等腰直角．则点的坐标为 ．    【答案】或或 【详解】解：如图，当时，作轴于，    ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 同法可得，当， 当是等腰直角三角形的斜边时，是的中点，， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或．故答案为：或或． 例3（2025·河南郑州·二模）如图，在菱形中，，将边绕点A顺时针旋转 ()得到，连接，当为直角三角形时，的度数为 【答案】或 【详解】解：∵为直角三角形，∴①当时，点在以为圆心，长为半径的圆上， ∴为的直径，∵菱形，，∴和是等边三角形， ∴，∴，∴旋转角的度数为：； ②当时，则为的直径，∵，∴， ∵，，∴，∴，∴旋转角的度数为：； ③当时，以为直径的圆与除外无交点，∴此种情况不存在， 综上所述：的度数为或． 例4（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，正方形边长为，为边中点，连接，点为线段延长线上一点，若为直角三角形，则的长是 ． 【答案】或 【详解】解：分种情况讨论：如图，当时， ∵是的中点，且，∴， ∵四边形是正方形，∴，， ∴，∴； 如图，当时，∵四边形是正方形，∴ ∴， ∵，，∴，∴，∴， 综上，的长是或．故答案为：或． 例4（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图所示，在中，，点是射线上的一个动点．（1）当为直角三角形时，的长为 ． （2）若点在边的下方，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】 或 【详解】（1）∵∴， 当为直角三角形时，即， ∵，∴，，故答案为：． （2）如图1所示，当时，， 为等边三角形，∴； 如图2所示，当时，， ∴,，， 又．．故答案为：或． 例5（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为（    ） A．秒 B．3秒 C．或3秒 D．3或秒 【答案】D 【详解】解：根据题意得：，， 为直角三角形，，当时，则， ，解得：， 当时，则，，解得：， 综上，当t的值为3秒或秒时，为直角三角形，故选：D． 例6（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，，且点的坐标为． (1)则______，______，______；(2)若函数的值大于函数的函数值，则的取值范围是______；(3)求四边形的面积；(4)在轴上存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)；；(2)(3)(4)的坐标为或 【详解】（1）解：对于直线，令，得到，即， 把代入中，得：，把代入得：，即， 把坐标代入中得：，即；故答案为： （2）解：一次函数与交于， 由图象得：函数的函数值大于函数的函数值时的取值范围是；故答案为： （3）解：过作轴，垂足为，如图所示， 一次函数的图象与轴交于点，，， ； （4）解：如图所示，设，，，， 分两种情况考虑：当时，， ，，； 当时，由横坐标为，得到横坐标为， 在轴上，的坐标为，综上，的坐标为或． 例7（24-25·辽宁锦州·八年级统考期末）【模型构建】如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】(1)如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，①则_________；②C，D是正比例函数图像上的两个动点，连接AD，BC，若，则AD的最小值是_______；(2)如图2，一次函数的图像与y轴，x轴分别交于A，B两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【模型拓展】(3)如图3，点A在x轴负半轴上，，过点A作轴交直线于点B，P是直线上的动点，Q是y轴上的动点，若是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．      【答案】(1)①；② (2) (3)或或或 【详解】（1）解：①∵与x轴，y轴交于A，B两点，∴，∴， 又∵，∴为等腰直角三角形，∴；故答案为； ②∵A是定点，∴如图：当时，有最小值；       ∵,∴， ∵，∴， 在和中， ∴，∴ 在中，由勾股定理得：， ∴，∴的最小值为．故答案为． （2）解：如图，过点B作交直线l于点C，过点C作轴．∴． ∵，∴．∴．∴． ∵，∴．∴． ∵，∴．∴． 当时，，∴． 当时，，∴．∴． 设直线l对应的函数表达式为，将和代入， 得     解得∴． （3）解：①当,,P在x轴的上方， 如图1：过P作轴，交于M，交y轴于N， ∵，∴， 又∵，∴，∴； ∵直线l：，∴设， ∴，∴， ∴，∴,即， ①②联立解得：，∴；       ②当,,P在x轴的下方， 如图2：同①易证： ，∴； ∵直线l：，∴设， ∴，∴， ∴,∴,即， ①②联立解得：，∴; ③当,,P在x轴的上方， 如图3：易证，∴； ∵直线l：，∴设， ∴，∴， ∵，∴， ①②联立解得：，∴；       ④当,,P在x轴的下方， 如图：易证，∴； ∵直线l：，∴设， ∴，∴，∵，∴， ①②联立解得：，∴． 综上，点P的坐标为或或或． 1．（25-26江西吉安·八年级期末）如图，在的小正方形网格中，点A，B为格点，另取一格点C，使为直角三角形，则点C的个数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：如图所示， 共有6个格点使为直角三角形，，故选：B． 2．（25-26·广东佛山·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，．点E为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，则的长为（    ） A．2或18 B．3或18 C．3或2 D．2或8 【答案】A 【详解】解：分两种情况讨论： ①当E点在线段DC上时，∵△AD'E≌△ADE，∴∠AD'E＝∠D＝90°， ∵∠AD'B＝90°，∴∠AD'B+∠AD'E＝180°，∴B、D'、E三点共线， ∵，AD'＝AD，∴BE＝AB＝10， ∵，∴DE＝D'E＝10﹣8＝2； ②当E点在线段DC的延长线上，且ED″经过点B时，满足条件，如下图， ∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，∴∠CBE＝∠BAD″， 在△ABD″和△BEC中，∵，∴△ABD″≌△BEC（ASA），∴BE＝AB＝10， ∵，∴DE＝D″E＝BD''+BE＝8+10＝18．综上所知，DE＝2或18．故选：A． 3．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在中，，点是边上的一个动点（不与重合），过作交边于点，将沿直线翻折，点落在射线上的处，当为直角三角形时，的长为（    ） A．1或3 B．2或3 C．1或2 D．2或4 【答案】C 【详解】解：∵在中，， ∴，，，即，∴， ①若点在线段上，时， 由折叠可得：，， ，即，，， ②若点在的延长线上，，如图， 由折叠可得：，∵，， 即，，，，故选：C． 4．（25-26·浙江八年级期中）如图，在中，于点D，平分．若，F为线段上的任意一点，则当为直角三角形时，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：∵平分，，∴， ∵，∴，， 当时，如图， ∴； 当时，如图， ∴，∴； 综上所述，的度数为或 ．故选：D 5．（25-26·重庆·八年级期末）已知三角形的两边分别为6和8，当第三边为 时，此三角形是直角三角形． 【答案】10或 【详解】解：当6和8都为直角边长时，则第三边长为=10； 当6为直角边长，8为斜边长时，则第三边长为， ∴当第三边为10或时，此三角形是直角三角形，故答案为：10或． 6．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，，．点是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【详解】解：分两种情况：①当时，如图： ，设， ，，， ，由折叠得：，， ，， 在中，，，解得：，； ②当，如图： 过点C作，垂足为H，， ，由（1）知，， 由折叠得：，，， ，，，， 是的一个外角，， ，，，， 综上所述：的长为或，故答案为: 或． 7．（25-26·江西九江·八年级期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________． 【答案】（0，0），（，0），（﹣2，0） 【详解】解：∵点P、A、B在x轴上，∴P、A、B三点不能构成三角形． 设点P的坐标为（m，0）．当△PAC为直角三角形时， ①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）； ②∠ACP＝90°时，如图，∵∠ACP＝90°∴AC2＋PC2＝AP2， ，解得，m＝，∴点P的坐标为（，0）； 当△PBC为直角三角形时，①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）； ②∠BCP＝90°时，∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，∴PO＝BO＝2，∴点P的坐标为（﹣2，0）． 综上所述点P的坐标为（0，0），（，0），（﹣2，0）． 8．（25-26·浙江绍兴·八年级校考期中）如图，在中，，，点是线段延长线上的一个动点，，则当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【详解】解：如图1，当∠AMB＝90°时， ∵O是AB的中点，AB＝2，∴OM＝OB＝1， 又∵∠AOC＝∠BOM＝60°，∴BOM是等边三角形，∴BM＝BO＝1， ∴RtABM中，AM＝＝； 如图2，当∠ABM＝90°时，∵∠BOM＝∠AOC＝60°，∴∠BMO＝30°，∴MO＝2BO＝AB＝2， ∴RtBOM中，BM＝＝，∴RtABM中，AM＝＝， 综上所述，当ABM为直角三角形时，AM的长为或．故答案为：或． 9．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，等边的边长为，点Q是的中点，若动点P以的速度从点A出发沿方向运动，设运动时间为t秒，连接，当是直角三角形时，则t的值为 秒． 【答案】或2或 【详解】解：连接，如图所示： ∵等边的边长为，点Q是的中点， ∴，， ，∴， 当时，，∴； ∴当P从时，，当P从时，； 当时，点P运动到点B，． 综上分析可知，t的值为或2或．故答案为：或2或． 10．（25-26·上海普陀·八年级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D为边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，点C的对应点为点E，联结BE，如果△BDE是以BD为直角边的等腰直角三角形，那么BC的长等于______． 【答案】12或 【详解】解：①当时，如图， 此时，四边形是正方形，则， 又是等腰直角三角形，则，所以； ②当时，如图， 设，则，，由折叠可知，， 由题意可知，，，， 即是等腰直角三角形，，， ，，解得， ．故答案为：12或． 11．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B在x轴上，若是直角三角形，则OB的长为 ． 【答案】4或 【详解】解：∵B在x轴上，∴设 ，∵ ，∴ ， ①当时，B点横坐标与A点横坐标相同，∴ ，∴ ，∴ ， ②当时， ， ∵点A坐标为，，∴ ，∴ ， 解得： ，∴ ，∴ ，故答案为：4或． 12．（25-26九年级上·河南南阳·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2；当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为 ． 【答案】或 【详解】解：①点恰好落在直角三角形纸片的边上时，如图， 由题意：≌，则，， ∴为等边三角形，． ②点恰好落在直角三角形纸片的边上时，如图， 由题意：，； 则，，，作于点，设， ∴，∴， ，．综上，线段的长为：或．故答案为：或． 13．（25-26·浙江·八年级假期中）如图，已知，点是射线上一动点，当为直角三角形时， ． 【答案】或 【详解】解：依题意， 为直角三角形时， 当，为直角三角形时， 当时，，故答案为：或． 14．（25-26·江西九江·八年级期末）如图，AD为△ABC的高，AE、BF为△ABC的角平分线，若，．(1)求∠DAE的度数；(2)若点M为线段BC上任意一点，当△BMF为直角三角形时，请直接写出∠CFM的度数． 【答案】(1)10°(2)20°或50° 【详解】（1）解：∵BF为△ABC的角平分线． ∴， ∵AD为△ABC的高∴∴ 在△ABF中 ∵AE为△ABC的角平分线∴∴ ． （2）解：（1）①当∠BFM=90°时 ∵∠AFB=70°，∴∠C=∠AFB-∠CBF=40° ∵∠BFM=90°，∴∠FMC=∠CBF+∠BFM=120° ∴∠CFM=180°-∠C-∠FMC =20°； ②当∠BMF=90°时∵∴∠BFM=90°-∠CBF=60°,∠AFB=70° ∵∠BFM+∠AFB+∠CFM=180°∴∠CFM=180°-∠AFB-∠BFM=50°． 综上，∠CFM的度数为20°或50°． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点D为边上的动点，沿边往A运动，当运动到点A时停止，点D运动的速度为每秒1个单位长度． (1)当时，分别求和的长；(2)当t为何值时，是直角三角形？ (3)若是等腰三角形，请直接写出t的值． 【答案】(1)，(2)或5(3)或3或 【详解】（1）解：时，， ∵，，，∴，∴； （2）①当时，， 即，解得，∴，∴； ②当时，点D和点A重合，∴，综上所述，或5； （3）①当是斜边中点时，，∴，∴； ②当时，； ③当时，如图，过B作于F， 由（2）得，∴，∴，∴； 综上所述，若是等腰三角形，t的值为或或． 16．（25-26·四川成都·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过A(-2，6)的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，直线AD交x轴负半轴于点D，若△ABD的面积为27． （1）求直线AD的解析式；（2）横坐标为m的点P在AB上（不与点A，B重合），过点P作x轴的平行线交AD于点E，设PE的长为y（y≠0），求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范围； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使△PEF为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=2x+10（2）y=m+3（-2＜m＜4）（3）存在，点F的坐标为(，0)或(-，0)或(-，0) 【详解】（1）∵OB=OC，∴设直线AB的解析式为y=-x+n， ∵直线AB经过A（-2，6），∴2+n=6，∴n=4， ∴直线AB的解析式为y=-x+4，∴B（4，0），∴OB=4， ∵△ABD的面积为27，A（-2，6），∴S△ABD=×BD×6=27， ∴BD=9，∴OD=5，∴D（-5，0），设直线AD的解析式为y=ax+b， ∴，解得．∴直线AD的解析式为y=2x+10； （2）∵点P在AB上，且横坐标为m，∴P（m，-m+4）， ∵PE∥x轴，∴E的纵坐标为-m+4，代入y=2x+10得，-m+4=2x+10， 解得x=，∴E（，-m+4），∴PE的长y=m-=m+3； 即y=m+3，（-2＜m＜4）， （3）在x轴上存在点F，使△PEF为等腰直角三角形， ①当∠FPE=90°时，如图①， 有PF=PE，PF=-m+4PE=m+3，∴-m+4=m+3，解得m=，此时F（，0）； ②当∠PEF=90°时，如图②，有EP=EF，EF的长等于点E的纵坐标， ∴EF=-m+4，∴-m+4=m+3，解得：m=．∴点E的横坐标为x==-，∴F（-，0）； ③当∠PFE=90°时，如图③，有 FP=FE，∴∠FPE=∠FEP． ∵∠FPE+∠EFP+∠FEP=180°，∴∠FPE=∠FEP=45°．作FR⊥PE，点R为垂足， ∴∠PFR=180°-∠FPE-∠PRF=45°，∴∠PFR=∠RPF，∴FR=PR．同理FR=ER，∴FR=PE． ∵点R与点E的纵坐标相同，∴FR=-m+4，∴-m+4=（m+3），解得：m=， ∴PR=FR=-m+4=-+4=，∴点F的横坐标为-=-，∴F（-，0）． 综上，在x轴上存在点F使△PEF为等腰直角三角形，点F的坐标为（，0）或（-，0）或（-，0）． 17．（24-25八年级下·河南商丘·期末）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动．如图，四边形为矩形，将矩形沿着过点的直线翻折，交于点，点的对应点为点． (1)如图1，当点正好落在对角线和的交点处时，的度数是 ； 如图2，若点是的中点，点落在矩形的内部时，延长交边于点．若，请探究之间的数量关系，并说明理由； (2)已知，，直线与射线交于点，当是直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2)2或18 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，由折叠的性质可得：，∴， ∴是等边三角形，∴，∴； ②如图，连接， ， ∵点是的中点，∴，由折叠的性质可得：，，， ∴，， ∵，∴，∴， 由折叠可得：，∴， ∴，∴， ∴，设，则， ∴，∴； （2）解：当直线与边交于点，点落在矩形内部，是直角三角形时，如图， ， ∵四边形是矩形，∴，，， 设，由折叠可得：，，， ∴，，∴，， 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得：，∴； 当直线与边交于点，点落在矩形外部，是直角三角形时，如图， ， 由折叠可得：，∵四边形是矩形，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴；综上所述，的长为或． 18．（25-26八年级上·山东济南·期中）阅读下列材料，回答问题 在一次函数中，x的系数k与其图象的倾斜方向与倾斜程度有关，我们把k叫做直线的斜率，关于斜率，有以下结论：①若，则直线的斜率； ②若直线：，直线：，则当，时，；当时，直线； 我们可以直接利用斜率来解决许多关于直线位置关系的问题： 若直线l经过点 (1)如图1，直线l的斜率 ；(2)如图2，过点作轴于C，若点D是y轴正半轴上的点且． ①连接，试探究直线与直线有何位置关系；②求的面积； (3)在y轴上是否存在一点M，使是以为直角边的直角三角形，若有，请直接写出所有符合要求的点M的坐标，若无，请说明理由． 【答案】(1)(2)①；②；(3)或 【详解】（1）解：∵，∴，故答案为：； （2）①∵点D是y轴正半轴上的点且，过点作轴于C， ∴，，∴，∴，∴； ②∵，∴，设直线的解析式为， 将点代入得：，∴，当时，，如图所示： ，∴的面积为：； （3）设点，∵是以为直角边的直角三角形，∴分两种情况：①当时， ∵，∴，根据题意得， ∴，解得：，∴； ②当时，∵，∴，根据题意得， ∴，解得：；∴；综上可得：或 ． 19．（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中长方形AOBC的顶点A、B坐标分别为(0，8)、(10，0)，点D是BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折，使得点C落在OB上的点E处，点F是直线AD与x轴的交点，连接CF． (1)点C坐标为____________；(2)求直线AD的函数表达式_______________________； (3)点P是直线AD上的一点，当△CFP是直角三角形时，请你直接写出点P的坐标． 【答案】(1)（10，）(2)(3)、 【详解】（1）解：∵点A、B坐标分别为(0，8)、(10，0)，∴OA=8，OB=10， ∵长方形AOBC，∴AC=OB=10，BC=OA=8， ∵点C在第一象限，∴点C（10，8），故答案为（10，8）； （2）解：∵将△ACD沿直线AD翻折，使得点C落在OB上的点E处，∴AE=AC=10，ED=CD， 在Rt△AOE中，OE=，∴EB=OB-OE=10-6=4，∴设BD=m，∴ED=CD=8-m， 在Rt△EBD中，，即，解方程得，∴点D（10，3）， 设AD解析式为：，代入坐标得： ，解得，∴AD解析式为：，故答案为：； （3）当CP1⊥AF时，△CP1F为直角三角形， ∵点C关于AF的对称点为E，∴直线CE与AF的交点为点P1， 设CE解析式为，代入坐标得 解得∴CE解析式为 ∴解得，∴点P1（8，4） 当CP2⊥CF时，△CFP2为直角三角形，连结P2E， ∵AF为对称轴，∴△FCP2≌△FEP2，∴CF=EF，P2E⊥OF， 当x=6时，，∴点P2（6，5）， ∴当△CFP是直角三角形时，点P的坐标为（8，4）或（6，5）． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $