高二数学下学期期中模拟卷01（苏教版，范围：选择性必修第二册第6～8章，举一反三）

2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷01 【苏教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：苏教版选择性必修第二册第6章~第8章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（5分）设随机变量，，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 3．（5分）若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（   ） A．840 B． C． D．210 4．（5分）已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（5分）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 6．（5分）志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（5分）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）已知空间四点，，，，则下列四个结论中正确的是（   ） A． B．向量共线的单位向量为 C．向量在向量上的投影向量为 D．点A到直线BC的距离为 10．（6分）已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（6分）已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则（   ） A． B．当或3时，最大 C． D．两种方案中第三次抽到次品的概率均为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）现有5名教师带领3个兴趣小组（生物、人文、经济）外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至少一人至多两人，张老师是年轻教师，学校要求他不能单独带队，不同的教师带队方案有________种.（用数字作答） 13．（5分）如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为__________． 14．（5分）一个不透明的袋子中装有3个黑球，个白球（），这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设为取出白球的个数，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）在二项展开式中，所有项的二项式系数之和为. (1)求展开式中的系数； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 16．（15分）已知向量，，． (1)若，求； (2)若三个向量，，不能构成空间的一个基底，求实数的值． 17．（15分）现有7名师生站成一排照相，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，2名女学生相邻； (2)4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)2名女学生之间只有2名男学生． 18．（17分）某地2025年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为. (1)求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率； (2)该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确； (3)记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望. 19．（17分）如图，在三棱柱中，平面，且，，，分别为，，，的中点，．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷01 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量线性运算的坐标表示求解即可. 【解答过程】， 故选：C. 2．（5分）设随机变量，，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】B 【解题思路】根据正态分布的对称性计算可得，即可得B正确. 【解答过程】根据可知正态曲线关于对称， 易知， 因此可得. 故选：B. 3．（5分）若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（   ） A．840 B． C． D．210 【答案】A 【解题思路】利用二项式的性质得，再利用二项展开式的通项公式，即可求解. 【解答过程】因为二项式系数只有第6项最大，故， 又二项展开式的通项公式为， 令，则， 故， 故选：A. 4．（5分）已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意作图，根据空间向量的共面定理，求得参数，结合数量积的运算律，可得答案. 【解答过程】由题意可作图如下： 由，则， 由共面，则，解得， 所以 . 故选：B. 5．（5分）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 【答案】C 【解题思路】因语言类节目不能第一个出场，考虑用间接法，用只考虑2个歌曲节目插空的方法数减去语言类节目在第一个出场对应的方法数即可. 【解答过程】依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法： 即先将1个语言类与3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在留下的5个空中插空，有种方法， 减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在除去第一个节目前的空留下的4个空中插空， 有种方法，故不同的出场方式共有种. 故选：C. 6．（5分）志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据全概率公式及条件概率公式直接求解. 【解答过程】设事件表示“甲乘地铁”，事件表示“甲乘公交车”，事件表示“甲骑共享单车”，事件表示“甲按时到达文博会”， 则，，，，，， 则 ， ， 所以若某一天甲按时到达文博会， 则他骑共享单车的概率为． 故选：C. 7．（5分）若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据数学期望及方差定义计算，再结合数学期望及方差的性质计算即可. 【解答过程】因为随机变量的分布列可得，所以， 所以，所以，A选项正确；C选项正确； ， 所以，B选项正确，D选项错误. 故选：D. 8．（5分）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据面面垂直的性质定理，可得平面，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后利用向量法直接求解面面角的余弦值即可． 【解答过程】如图，连接， 因为为中点， 所以， 又平面底面，平面底面平面， 所以平面，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，由， 可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，得， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）已知空间四点，，，，则下列四个结论中正确的是（   ） A． B．向量共线的单位向量为 C．向量在向量上的投影向量为 D．点A到直线BC的距离为 【答案】AC 【解题思路】根据数量积为零判断向量垂直，判断选项A；根据向量除以模长求单位向量，判断选项B；根据投影向量公式：判断选项C；根据向量夹角公式，计算点A到直线BC的距离，判断选项D. 【解答过程】，， ，故，故A正确； ， ， 所求单位向量为：或，故B错误； ，， ，， ，故C正确； 由，可得， 所以点A到的距离为，故D错. 故选：AC. 10．（6分）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解题思路】A选项，令可求；B选项令可求；C选项，令可求；D选项，把和时的展开式相加可求. 【解答过程】令，得，故A错误； 令，得，故B正确； 令，得，故C正确； 将与这两式的左右两边分别相加， 得，解得，故D错误. 故选：BC. 11．（6分）已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则（   ） A． B．当或3时，最大 C． D．两种方案中第三次抽到次品的概率均为 【答案】BCD 【解题思路】先得到，Y服从超几何分布，A选项，计算出，，A错误；B选项，，得到B正确；C选项，根据二项分布和超几何分布求期望公式得到C正确；D选项，方案一中，每次抽到次品的概率均为，方案二中，第三次抽到次品的情况有四种，“正正次”、“正次次”、“次正次”、“次次次”，求出每种情况下的概率，相加得到概率，得到D正确. 【解答过程】方案一中，有放回地抽样，则取得次品个数， ，， 方案二中，不放回地抽样，则取得次品个数Y服从超几何分布， 则，. 选项A，，，，A错误； 选项B， ，由于，故或3时，最大，B正确； 选项C，由二项分布及超几何分布期望公式，，C正确； 选项D，方案一中，每次抽到次品的概率均为， 方案二，第三次抽到次品的情况有四种，“正正次”、“正次次”、“次正次”、“次次次”， 其中“正正次”的概率为，“正次次”的概率为， “次正次”的概率为，“次次次”的概率为， 故第三次抽到次品的概率为，D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）现有5名教师带领3个兴趣小组（生物、人文、经济）外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至少一人至多两人，张老师是年轻教师，学校要求他不能单独带队，不同的教师带队方案有________种.（用数字作答） 【答案】72 【解题思路】教师人数的安排为2,2,1，先安排张老师，选择1人和张老师为一组，并安排一个兴趣小组，然后再考虑其他3人，结合排列组合知识进行求解. 【解答过程】教师人数的安排为2,2,1， 先从除张老师剩余的4名教师中选择1人和张老师为一组，有种， 再从3个兴趣小组中选择1个安排给张老师这组，有种， 再将剩余3人分为2组，安排到另外2个兴趣小组，有种， 综上，不同的教师带队方案有种. 故答案为：72. 13．（5分）如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为__________． 【答案】 【解题思路】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值. 【解答过程】因为 ， 所以， 因为，，， 所以， 因为四点共面， 所以，所以， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14．（5分）一个不透明的袋子中装有3个黑球，个白球（），这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设为取出白球的个数，则___________. 【答案】 【解题思路】根据取出2个黑球，1个白球的概率为求出n的值，再求出X的分布列，根据数学期望的定义即可计算. 【解答过程】由题可知，，即，解得， 则X的可能取值为， ，， ，， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）在二项展开式中，所有项的二项式系数之和为. (1)求展开式中的系数； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1) (2)， 【解题思路】（1）由二项式系数和为可求得的值，然后写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解； （2）易知展开式中第三项和第四项二项式系数最大，结合二项展开式通项可求出展开式中二项式系数最大的项. 【解答过程】（1）由题意可得，二项式系数为解得，所以该二项式为. 则通项公式为， 令，解得，所以该二项式的展开式中的的系数为. （2）因为，易知展开式中第三项和第四项二项式系数最大， 即，， 所以展开式中二项式系数最大的项是，. 16．（15分）已知向量，，． (1)若，求； (2)若三个向量，，不能构成空间的一个基底，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先根据向量数量积的坐标运算求出的值，再求出的坐标，最后根据向量模的计算公式求出； （2）根据三个向量不能构成空间的一个基底可知这三个向量共面，利用向量共面的性质列出方程求解的值. 【解答过程】（1）已知，，可得,解得. 所以，则. 根据向量模的计算公式可得. （2）已知，，, 先求出. 因为三个向量不能构成空间的一个基底，所以这三个向量共面. 即存在实数，使得，则. 由此可得方程组.由可得，将其代入中，得到，解得. 把代入，可得. 再把，代入， 可得，解得. 17．（15分）现有7名师生站成一排照相，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，2名女学生相邻； (2)4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)2名女学生之间只有2名男学生． 【答案】(1)192 (2)72 (3)576 【解题思路】（1）元素相邻运用捆绑法，借助于排列组合公式即得； （2）元素互不相邻运用插空法，特殊元素优先法处理即可； （3）要使2名女生之间只有2名男生，应先选出2名男生再进行捆绑，考虑女生和男生内部顺序，再考虑这个整体与另外三人共四人全排即得. 【解答过程】（1）因老师站在最中间，2名女生相邻，可先考虑从4个男生中选1人与女生在同侧有种， 这三个人与另外三个男生在老师两侧有种，女生与同侧的男生排序有种， 女生内部排序有种，另一边的三个男生排序有种， 由分步乘法计数原理，不同的排法有种； （2）先排老师和女生共有种站法，再排男生甲有种站法，最后排剩余的3名男生有种站法， 所以共有种不同的站法； （3）先任选2名男生站两名女生中间，有种站法， 再将这两名男生和两名女生进行捆绑与剩余的3个人进行全排有种， 由分步乘法计数原理，共有种不同的站法． 18．（17分）某地2025年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为. (1)求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率； (2)该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确； (3)记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)不正确 (3)分布列见解析， 【解题思路】（1）设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试，结合独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解； （2）根据题意，分别求得三人都未进入面试和三人都进入了面试的概率，比较大小，即可求解； （3）根据题意，分别求得甲、乙、丙被录取的概率，得到随机变量的可能取值，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【解答过程】（1）解：设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试， 则， 则甲乙丙三人中恰有一人笔试合格的概率为. （2）解：若这三名同学获得180元的总奖金，则说明三人都未进入面试， 所以对应概率为， 若这三名同学获得总奖金为480元，则三人都进入了面试， 所以对应概率为， 因，所以丁同学的说法错误. （3）解：由题意得，甲被录取的概率为， 乙被录取的概率为， 丙被录取的概率为， 根据题意，随机变量的可能取值为， 则， , 故的分布列如下所示： 0 1 2 3 所以数学期望. 19．（17分）如图，在三棱柱中，平面，且，，，分别为，，，的中点，．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）由，且为的中点，得到，再由平面，证得，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由为的中点，得到，再由（2）平面的法向量为，结合向量的距离公式，即可求解. 【解答过程】（1）证明：在中，因为，且为的中点，所以， 在矩形中，因为和分别为和的中点，可得， 因为平面，且平面，可得，所以， 又因为，且平面，所以平面. （2）解：以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，可得， 设平面的法向量为，则 取，可得，所以； 因为平面，且平面，可得， 又因为，且，平面， 所以平面，即平面， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值. （3）解：因为为的中点，可得，所以， 由（2）知，平面的法向量为， 设点到平面的距离为，则. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $