专题05 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理）（几何模型讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

专题05 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 4 10 “瓜豆原理”的名称源自中国传统文化，其数学模型则源于现代几何学对动点轨迹规律的总结，“瓜豆原理”直接借用了中国古代农谚“种瓜得瓜，种豆得豆”的因果关联意象，强调从动点（豆）轨迹与主动点（瓜）轨迹的相似性：即主动点沿直线运动则从动点轨迹亦为直线；主动点沿圆周运动则从动点轨迹亦为圆。 21世纪初中数学教育者将此类主从联动轨迹问题命名为“瓜豆原理”，借农谚的通俗性帮助学生理解几何变换（旋转、位似）的抽象规律。典型案例包括动点最值、路径相似性证明等。如今瓜豆原理成为解决动点最值、路径证明等中考几何问题的核心工具，典型案例如求线段最小值、轨迹长度比例关系等。 （2025·广西南宁·三模）如图，正方形的边长为2，点E在边上运动，连接并绕点D逆时针旋转得到，点E运动过程中，的最小值为 ． （2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下方法进行确定： ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；②某动点所在与某直线所成夹角为定值时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；⑤若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1（2025·江苏苏州·二模）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例2（24-25九年级下·海南海口·阶段练习）如图，是等腰直角三角形，，，为中点，点在直线上运动，以为边，向的右侧作正方形，连接，则在点的运动过程中， ，线段的最小值为 ． 例3（25-26·福建·八年级期末）如图，在中，，，，D为AB上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是（ ） A． B．6 C． D．9 例4（2025九年级下·江苏·专题练习）如图，矩形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为 ． 例5（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，菱形中，，；点是的中点，点是上一动点，连接．分别是的中点，连接，则的最小值是 ． 例6（24-25·江苏苏州·八年级期末）如图，菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O．点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为_________． 1.（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点D为x轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 2.（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（   ） A．4 B．8 C． D． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在正方形中，为边上一动点（点不重合），是等腰直角三角形，，连接．若时，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东泰安·校考二模）如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 5．（25-26上·福建厦门·九年级校考期中）如图，长方形中，，，E为上一点．且，F为边上的一个动点．连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，其中点B、点F的对应点分别为点H、点G，连接和，则的最小值为（    ）．    A． B．3 C． D． 6．（24-25九年级上·河南焦作·期末）如图，菱形的边长为，，对角线与相交于点，点为线段上一动点（不与点重合）．连接，将线段绕点逆时针旋转得到，则线段的最小值为 ，最大值为 ．    7．（2025·辽宁营口·二模）如图，在矩形中，，，点为对角线上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，则的最小值为 ． 8．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，，点是线段上一动点，且，若是以为底边的等腰三角形，则的最小值是 ． 9．（2025·陕西师大附中三模）如图，正方形中，，点E为边上一动点，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，则的最小值为__________． 10．（2025·江苏扬州·校考二模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为_____． 11．（2025·广东梅州·统考模拟预测）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为__． 12．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为边上的动点，以为一边在的右上方作等边三角形，的最小值为 . 13．（25-26·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转60°至线段，连接，则线段长的最小值为 .    14．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值为 。    15．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）【问题背景】（材料原题）已知：如图①，在菱形中，，点、分别在边、上． 【问题探究】（1）①，②，从上面两个条件中选择一个说明是等边三角形； 【问题拓展】（2）如图②，在（1）的条件下，与交于点，若，求的长； 【问题延伸】（3）如图③，在（1）的条件下，点在延长线上，若，取的中点，连接，求的最小值． 16．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）是等腰直角三角形，，在外有一点D，连接、． (1)如图1，与相交于点P， ，，，求的长度． (2)如图2，将线段绕点A逆时针旋转得线段，且点E恰好在的延长线上，过点A作交于点F、交于点G，连接，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，，，点H是直线上的一动点，连接．将绕点G顺时针旋转到，连接．点N是内部的一动点，请直接写出的最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 4 10 “瓜豆原理”的名称源自中国传统文化，其数学模型则源于现代几何学对动点轨迹规律的总结，“瓜豆原理”直接借用了中国古代农谚“种瓜得瓜，种豆得豆”的因果关联意象，强调从动点（豆）轨迹与主动点（瓜）轨迹的相似性：即主动点沿直线运动则从动点轨迹亦为直线；主动点沿圆周运动则从动点轨迹亦为圆。 21世纪初中数学教育者将此类主从联动轨迹问题命名为“瓜豆原理”，借农谚的通俗性帮助学生理解几何变换（旋转、位似）的抽象规律。典型案例包括动点最值、路径相似性证明等。如今瓜豆原理成为解决动点最值、路径证明等中考几何问题的核心工具，典型案例如求线段最小值、轨迹长度比例关系等。 （2025·广西南宁·三模）如图，正方形的边长为2，点E在边上运动，连接并绕点D逆时针旋转得到，点E运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：延长到，使，连接， ∵绕点D逆时针旋转得到，∴,， ∵四边形是正方形，∴∴， ∴，∴点在直线上运动，当时，最小， ∵四边形是正方形，∴，， ∴，∴，∴， ∵∴当时，是等腰直角三角形， ∴．故答案为： （2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 【答案】B 【详解】解：过点作，交于，过点作垂足为， ∵矩形，∴，∴， ∴四边形和都是矩形，∴， 由旋转的性质得，，∴， ∴，∴，∴点在平行于，且与的距离为5的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为，∵，，∴，故选：B． 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下方法进行确定： ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；②某动点所在与某直线所成夹角为定值时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；⑤若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1（2025·江苏苏州·二模）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、， 由旋转的性质得到，，，， ，即，，， 菱形的边长为4，，，， E是的中点，，，， ，， 点在过点且与夹角为的直线上运动， 当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，则， 的最小值为，即的最小值为．故选：A． 例2（24-25九年级下·海南海口·阶段练习）如图，是等腰直角三角形，，，为中点，点在直线上运动，以为边，向的右侧作正方形，连接，则在点的运动过程中， ，线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：是等腰直角三角形，，，， ，；连接，如图所示， ， ，为中点，，四边形是正方形，， ，，且，， ，，， ，点在过点C且垂直的直线上， 当时，的值最小，的最小值．故答案为：；． 例3（25-26·福建·八年级期末）如图，在中，，，，D为AB上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是（ ） A． B．6 C． D．9 【答案】B 【详解】解：如图，连接，，设交于点， ，为的中点，，点在线段的垂直平分线上， 为等边三角形，，点在线段的垂直平分线上， 为线段的垂直平分线，，， 点在射线上，当时，的值最小，如图所示，设点为垂足， ，，，， 则在和中，，．， ∵，，，∴，， ∴，解得：，∴故选：B． 例4（2025九年级下·江苏·专题练习）如图，矩形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于，过点作， 四边形是矩形，，，，，，，， ，，，， 在和中，，，， 点在平行且到距离为的直线上运动， 当与重合时，有最小值，此时， 的最小值，故答案为：． 例5（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，菱形中，，；点是的中点，点是上一动点，连接．分别是的中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接， ， ∵四边形为菱形，∴，∴， ∵是的中点，∴，∵，∴，∴， ∵分别是，的中点，∴，∴要使有最小值，即最小， ∴当时，最小，过点作于点，此时点和点重合， 在菱形中，，， ∵点是的中点，∴，∴，∴， ∴．∴的最小值是．故答案为：． 例6（24-25·江苏苏州·八年级期末）如图，菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O．点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为_________． 【答案】3 【详解】解：连接BE，作BH⊥AD交DA的延长线于H， 菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴∠BCD=120°． ∵∠ECF=120°，∴∠BCD=∠ECF，∴∠BCE=∠DCF 由旋转可得：EC=FC， 在△BEC和△DFC中，，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE， 即求DF的最小值转化为求BE的最小值．∵在Rt△AHB中，∠BAH=60°，AB=，∴BH==3， 当E与H重合时，BE最小值是3，∴DF的最小值是3．故答案为：3． 1.（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点D为x轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】解：如图，作轴于H，连接． ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴， ∴点在的角平分线所在直线上运动，作于M，则是等腰直角三角形， ∵正方形，，∴，∴，即的最小值为，故选：B． 注意：该题也可以先设出点D的坐标，再在平面直角坐标中表示出点E的坐标，从而证明点E在定直线上运动，最后运用点到线的距离求出最值。 2.（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【详解】解：如图：当点与点重合时，点在处，，此时为中点， 当点与点重合时，点在处，，此时为中点， ∴是中位线，且， 当点在上除点、的位置时，为中点，∴是中位线，是中位线， ，，∴点在线段上， 点的运动轨迹是线段，当时，取得最小值， 矩形中，，，为的中点，为中点， ∴，， 、、为等腰直角三角形，，， ∵，，， ，即，的最小值为的长， 在等腰直角中，，的最小值是．故选：D． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在正方形中，为边上一动点（点不重合），是等腰直角三角形，，连接．若时，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，在上取一点使得，连接，， 四边形是正方形，，， ，，， ，，，，， 又，，，，点在直线上运动， 如图所示，作点关于直线的对称点，连接，，， ，，，即， ，即、、三点共线， 的周长， 当、、三点共线时，的周长有最小值，最小值为， 在中，由勾股定理得， 的周长最小值为，故选：A． 4．（2025·山东泰安·校考二模）如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3， ∵AE＝1，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°， ∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA， 又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1， ∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动， ∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3， ∴CG的最小值＝，故选B． 5．（25-26上·福建厦门·九年级校考期中）如图，长方形中，，，E为上一点．且，F为边上的一个动点．连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，其中点B、点F的对应点分别为点H、点G，连接和，则的最小值为（    ）．    A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于J．    ∵四边形是矩形，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴点G的在射线上运动，∴当时，的值最小， ∵，∴，∴， ∴，∴四边形是矩形， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴的最小值为．故选：C． 6．（24-25九年级上·河南焦作·期末）如图，菱形的边长为，，对角线与相交于点，点为线段上一动点（不与点重合）．连接，将线段绕点逆时针旋转得到，则线段的最小值为 ，最大值为 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接，      ∵四边形是菱形，∴，，， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∴，同理可证：是等边三角形， 由旋转性质可知：，，∴， ∴，∴，∴， ∴点在等边中平分线上运动，∴当时，最小，如图， ∵，∴， 当与点重合时，最大，如图，过作于点，设与交于点，连接，  由上可知，∴， ∵是等边三角形，，∴， ∴，，∴，∴，∵四边形是菱形，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴， 综上可知：的最小值为，最大值为，故答案为：，． 7．（2025·辽宁营口·二模）如图，在矩形中，，，点为对角线上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：连接交于点，连接并延长交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，，∴， ∴，∴为等边三角形， ∴，∴， ∵是等边三角形，∴，， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∴当点在对角线上运动时，点在射线上运动， ∵，即平分， 又∵，∴，且是边上的中线，此时为的最小值， ∵，∴的最小值为．故答案为：． 8．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，，点是线段上一动点，且，若是以为底边的等腰三角形，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示：作， 由题意得：，∴点在直线上运动 ∵，，∴ ∴当，即时，有最小值 此时，∴是等腰直角三角形∴ ∵，∴解得：故答案为： 9．（2025·陕西师大附中三模）如图，正方形中，，点E为边上一动点，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】如图，上截取，过点作交的延长线于点， 正方形中，，将点A绕点E顺时针旋转得到点F， 是等腰直角三角形, 在射线上运动， 则是等腰直角三角形，与点重合时，取得最小值，等于 即的最小值为故答案为： 10．（2025·江苏扬州·校考二模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为_____． 【答案】 【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形，∴，∵都是等边三角形， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， ∵，，∴点Q在射线上运动， ∵，∴， ∵，∴． 根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为．故答案为：． 11．（2025·广东梅州·统考模拟预测）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为__． 【答案】 【详解】解：在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．，，是等边三角形，，， ，，是等边三角形，，， ，，在和中，， ，，，点在射线上运动， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，，，，， ，∴GT//AB∵BG//AT四边形是平行四边形， ，，∴ ； 在中， ∴ ， 的最小值为，故答案为：． 12．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为边上的动点，以为一边在的右上方作等边三角形，的最小值为 . 【答案】6 【详解】解：以为一边在正方形内作等边，连接，过点作于点，如图所示： 四边形为正方形，且边长为，点为的中点，， 和均为等边三角形，， ，，由勾股定理得：， ，，即：， 在和中，，，， 根据“垂线段最短”得：当时，为最短，即为最短，如图所示： ，四边形为矩形， ，的最小值为6，故答案为： 13．（25-26·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转60°至线段，连接，则线段长的最小值为 .    【答案】 【详解】解：在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．，，是等边三角形，，， ，，是等边三角形，，， ，，，， ，点在射线上运动，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，    ，，，，，，， 四边形是平行四边形，，，， ，，的最小值为，故答案为：． 14．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值为 。    【答案】 【详解】解：如图，连接，在上截取，使得，连接，过点D作于点H．    ∵四边形是正方形，∴， ∴，∴， ∵，∴， 在和中，∴，∴， ∴点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小， ∵∴，∴的最小值为，故选：B． 15．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）【问题背景】（材料原题）已知：如图①，在菱形中，，点、分别在边、上． 【问题探究】（1）①，②，从上面两个条件中选择一个说明是等边三角形； 【问题拓展】（2）如图②，在（1）的条件下，与交于点，若，求的长； 【问题延伸】（3）如图③，在（1）的条件下，点在延长线上，若，取的中点，连接，求的最小值． 【答案】（1）选①，说明见解析；选②，说明见解析；（2）；（3）最小值为 【详解】（1）选①证明：菱形，， ，， ，，， ，是等边三角形． 选②证明：菱形，， ，， 又，，，，是等边三角形． （2）解：作垂直于延长线，垂足为，作，垂足分别为， 由题得，，， 平分，，，． （3）解：取中点中点，作，交于点，连接，，取中点， ，，， ，，，，，， 又，，为中点， 又为中点，与重合，共线，点在线段上运动， 当时，值最小，，， ，，， ，最小值． 16．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）是等腰直角三角形，，在外有一点D，连接、． (1)如图1，与相交于点P， ，，，求的长度． (2)如图2，将线段绕点A逆时针旋转得线段，且点E恰好在的延长线上，过点A作交于点F、交于点G，连接，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，，，点H是直线上的一动点，连接．将绕点G顺时针旋转到，连接．点N是内部的一动点，请直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，，，， ， ，， ，在中， ，， ，； （2）证明：∵线段绕点A逆时针旋转得线段， ，，， ，，，， ，，，， ，，，，， ，，，是的中位线，， ，，，，∴，； （3）解：如图， 以为边，在上方作等边三角形，作平分，并延长至W，使，连接，，作于T，连接，，，， 绕点G顺时针旋转到，，， ，， ，，， ∴点M在与成的直线上运动，由（2）知，是的中位线， ，，， ，，∴点W、M、E共线， 是的垂直平分线，，，， 设，则，，， 在中，由勾股定理得，，∴， （舍去），， ∴当M在T处时，最小． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $