河北黄骅中学2025-2026学年第二学期高一第一次月考数学试卷

河北黄骅中学2025一2026学年度第二学期高一第一次月考 数学试卷 命题人：李桂英 审定人：王菲菲 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。共4页，共150分。考试时间120分钟。 第I卷（客观题共58分） 一、单选题（每题5分共40分） 1.已知i为虚数单位，a+3i=-4+bi(a,b∈R),则a+bi= A.5 B.7 .9 D.25 2.判断下列各命题的真假，其中假命题的个数为 (1)向量AB的长度与向量BA的长度相等： (2)a、是两非零向量，且a与平行，则与方向相同或相反： (3)如果表示两个向量的有向线段有共同的终点，则这两个向量一定是共线向量： (4)向量AB和向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上： (5)b为模为1的向量，则=±1. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.已知a=(2,-1),=(1,-1),则(a+2(a-3等于 A.10 B.-10 C.3 D.-3 4.已知，是两个不共线的单位向量，c=a+b(,u∈R),则“1<0且u<0” 是“.（a+)<0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.在△ABC中，角AB,C的对边分别为a,b,c,若，名=1 sinC sinA+simB,a=3,b=2√2， 则sinB的值为 A方 B号 C.3 D.V6 3 G 6.八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模 型图，其平面图形为图2所示的正八边 ABCDEFGH,其中OA=1给出下列结论，其中 正确的结论为 图1 图2 1 A.01与Oi的夹角为买 B.OA+OD=OB+OC C.|OA-OC=√2Di D.o在而上的投影响量为兰其中为与oD同向的单位向量] 7.己知△ABC中的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个命题中错误的命题是() A.在△ABC中，若sinA>sinB,则A>B B.若B=号，b=2,c=V3,△4BC则有唯一解 C.若acosA=bcosB,则△ABC是等腰三角形或直角三角形 D.若(a+c2-b'tanB=√3ac,则角B=号 8.已知平面向量、、c满足2-d=-2=1,则立-46与-2b所成夹角的最大值是() A君 B.3 C. D. 二、多选题（每题6分共18分） 9.下列关于向量的命题，正确的有 () A.若a≠0，ab=ac,则=d B.(a)·元=a(b·),对任意向量d,b,都成立 C.对任一向量a,有= D.对于任意两个向量a和方，有a+≤园+ 10.已知向量=(2,1)，b=(-3,x),则 A向量立方向上的单位向量为正=(，-25） B.当x=1时，向量立在向量6上的投影向量为-)石 C.当a与b的夹角为锐角时，x>6 D.当a⊥时，a-2=√19 11.对于△ABC有如下命题，其中正确的是 A.若sin2A+sinB+cos2C<1,则△ABC为钝角三角形 B.若B=,a=2W3,且△4BC有两解，则b的取值范围是(W5,2W C.在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立 D.在△ABC中，若B=60°，b2=aC,则△ABC必是等边三角形 2 第Ⅱ卷（主观题共92分） 三、填空题（每题5分共15分） 12.已知向量a=(2,x),i=(-1,3),若∥i,则a+= I3.已知△ABC是边长为6的等边三角形，M是△ABC的内切圆上一动点，则AB·M的最小值 为 14.若函数y=f(x)的图像上存在不同的两点M(x1,y)和N(x2,y2), 满足xx,十yy2≥√好十听·√x+,则称函数y=f(x)具有性质p.给出下列函数： ①f(x)=sinx,x∈R; ②f(x)=x2,x∈R ®fx)=x+↓，xe(0,+o):④fx)=ln,xe(0,+0). 其中具有性质卫的函数为（填上所有正确序号） 四、解答题(15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分，共77分) 15.已知复数z=(2-2m)+（2-3+2)i,求满足下列条件的实数m的值： (1)z为实数： (2)z为纯虚数； (3)z在复平面内对应的点位于第三象限， 16.已知团=4，=2，且a与的夹角为60°. (1)求(2a+·(2a-的值 (2)求2a-的值： (3)若向量2a-6与a-3b平行，求实数λ的值. 17.某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上A,B两点之间建一条观 光通道，如图所示.在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平 面)内距离点B处50米的点C处建一凉亭，距离点B处70米的点D处再建一凉亭， 测得∠ACB=∠ACD,coS∠ACB=√I0 5 (1)求sin∠BDC的值： (2)测得AC=AD,观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算 资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？ 3 18.已知△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,a=3, i=（sinA,b-3cosC),i=（√3，c),且i∥i. (1)求角A的大小： (2)求b2+c2的最大值： (3)若AD=2,D为BC边上靠近B点的三等分点，求△ABC的面积. 19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内 求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 △ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点：当 △ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题： 己知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点P为△ABC的费马点，且满足 (2b-c)cosA-acosC=0,a2-(b-c)=4. (1)求A: (2)求PP+PP元+P元，p的值： (3)求P·PC的取值范围. 4 《高一数下学期第一次月考考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 6 7 8 0 10 答案 A C B A D D D A CD BC 题号 11 答案 ACD 4.A 【详解】c.(a+<0→(a+b·(a+b)<0→证+(+u)a·b+ub2<0, 因为d,乃是两个不共线的单位向量，设d,的夹角为0，日∈(0，元)， 所以+(a+u):同cos0+u<0今1+(a+m)cos0+u<0, 即(1+u)cos0<-(1+u) 当1<0且<0时，1+4<0，由于cos0∈(-1,1)，故(1+m)cos0<-(1+)成立， 充分性成立， 不妨设0=5,1=0,4=-1，此时(1+c0s0=0,-(1+0=1, 满足(2+4)cos8<-(1+4),必要性不成立， 故“1<0且u<0是“：(a+)<0的充分不必要条件. 故选：A 6.由八卦图可知O与O丽的夹角为∠40H,而∠A0H=否=平，放A错 由BA≠DC→OA-Oi≠O元-OD→OA+OD≠O元+O厉，故B错： 易知ai-0C=|A,又L4oc=5,所以=V2aA, 而D丽=20⑦=20，所以0-0-号|D丽.即c错误： 因为∠A0D=3∠A0H=买，即46与O历的夹角为买 易知O1在0元上的投影向量为01o西 OD 1×1Xcos3π 40D OD OD 1 OD √2Od 2 OD ,即D正确， 2 故选：D 7.D 【详解】对于A,在△ABC中，由正弦定理知，sinA>sinB台a>b, 结合大边对大角可得A>B,故命题正确，A不符合题意： 对于B,因为B=号，b=2,c=V3, 5 由正孩定理品广点C得mC=2.V5x b =<9 2 =sinB, 由b>c知，C只有一解，所以△ABC△ABC有一个解，故命题正确，B不符合题意； 对于C,因为acosA=bcos B,由正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB,则sin2A=sin2B, 因为A,B∈(0，心，可知21=2B或24+2B=元，即A=B或A+B=受， 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故命题正确，C不符合题意； 对于D,因为(d2+c2-b2)tanB=√3ac, 由余弦定理得：2 accosBtan B=√3ac,即sinB=5 2 因为B∈(0，m,所以B=牙或？，故命题错误，D符合题意 故选：D 8.A 设a-2元与c-2b夹角为a,a-4b与c-2b所成夹角为B, :a-46=(a-2c)+2(-2b), 所以，a-46=a-2c+42-2+4a-2d·E-2 cosa=5+4cosa,① (a-46)·(-2b)=[(a-2)+2(c-2b)](e-2b =(d-2c)(E-2b）+2c-2=2+cosa>0,② 又：(a-46·(-26)=a-46·E-2 cos-=a-46cosp>0→cosB>0,③ ·.②与③联立可得a-4cosB=2+cosa→a-4·cosB=(2+cosa2,④ h00联立可作o8=+o-1+ =1+16c0sa=25+9 5+4cosa 16(5+4cosa) =专++装+15+o网>&3y5-8m 9 3 9 16 16 16(5+4cosa) 二4’ 当且仅当cosa=-号时，取等号，c0sB≥子→cosB≥气，：B∈[0，，则Be[0,] 故a-46与-2所成夹角的最大值是亚， 6 故选：A. 9.对于A,若a≠0，b=,则(-c=0,所以=或aL(⑦-)，故A错误： 对于B,设ai=t,方·c=1,所以(a·=td,(石)=a,当a与c共线时 (a·d=a(c)可能成立，故B错误： 对于C,对任一向量a,有衣=cos0=,故C正确： 对于D,对于任意两个向量a和i,有a+=+l+2a.方 ≤++2·同-（à+同， 所以a+≤方+，故D正确故选：CD, 6 10.对于A:因为a=(2,1),则=√22+1=5， 所以向量ā方向上的单位向量为=立三 ),故A错误； 对于B:当x=1时6=(-3,1)，所以·6=-3×2+1×1=-5,6=√-3+12=V10, 所以向量a在向量上的投影向量为 6.6=-号，故B正确： 对于C:当a与b的夹角为锐角，则a.b>0且a与b不同向， 「-3×2+x>0 故2x≠-3 ,解得x>6,故C正确； 对于D:当a1,则a=-6+x=0,解得x=6,所以万=(-3,6)， 所以a-26=(2,1)-2(-3,6)=(8,-11),所以a-2=√82+(-11=√185，故D错误. 故选：BC 11.选项A:△ABC中，若sin2A+sin2B+cos2C=sin2A+sin2B+1-sin2C<1, 即sin2A+sinB-sin2C<0,所以由正弦定理得d+b2-c2<0, 又由余弦定理得cosC-点C<0,所以C∈（受，△M8C为钝角三角形，4正确： 选项B:如图所示，若△ABC有两解，则asinB<b<a,解得3<b<2√3，B错误： 选项C:因为△4C是锐角三角形，所以C<受，所以A+B=元-C>受， 又A,B∈(0,5)，所以A>5-B,则5-B∈(0,5)， 又因为y=simx在(0，受)单调递增，所以sin4>sim(乃-B）=cosB,C正确： 选项D:若B=60°，b2=a心， asinB 由余弦定理，b2=+c2-2acc0s60°=+c2-ac=ac, 6 所以a=c,顶角为60°的等腰三角形为等边三角形，D正确： B A 故选：ACD 12.√10 13.18-63 【详解】以BC的中点D为坐标原点，BC所在直线为x轴，BC的中垂线AD所在直线为y轴，建立 平面直角坐标系， 因为等边△ABC的边长为6， 6X6x3 VA 所以△ABC的内切圆圆心0在AD上，半径I二6+6+6 2 =√3， 则B(-3,0),C(3,0),A(0,3√3)，O(0,3),√3+3sina), 所以AB=(-3,-3W3),AM=(W3cosa,√3sina-2W3), 所以A店.ad=-3W3cosa-9sina+18=-65im(a+g）+18, 7 所以当sm(a+若)=1时，A店-取得最小值18-6W5. 故答案为：18-6√3， 14.①②④ 【详解】Oi·ON=xx,+y=|OMON COSOM,O,OM=√好+好，|O=√好+， 所以kx2+yy2≥√x好+·Vx好+贤台CosOM,O≥1，即c0sO7,O=1, 即O,M,N三点共线，即过点O的直线与函数图象存在至少两个不同的交点， 由图可知，①②④满足，图象如下所示： V=X v=kx V=k v=lnx V=sInx 联立 =+得（伏-1=1，则当x>0时方程无解或只有一个解，放国不具有D性质 y-kx 故答案为：①②④， 15. (1)由题意，得2-3十2=0，解得m=1或=2.…3分 (2)由题意，得 [m2-2=0, m二3+2≠0解得m=0.………8分 3)由 -3m+2<0解得1<m<2.所以m∈(m11<m<2. 「2-2m<0 …13分 16 (1)因为=4,6=2， 所以(2+(2i-=4定-=4-=4×42-2=60.…5分 2)因为=4，同=2，且à与6的夹角为60， 所以a6=同，cos60°=4×2×号=4， 所以(2a-}2=4定-4à6+币=4×4-4×4+2=52， 所以2a-=√(2a-}'=52=213 10分 (3)因为向量2-乃与1a-36平行，所以2i-石=t(a-36, 南平向基木定理可符已 [=√6=-√6 解得 =或=- 3 所以1的值为士√6.… …15分 8 17. (1)解：由∠ACB=∠ACD,cos∠4CB= 5, 得cos∠BcD=2 LACB--1=2×号-1=号， 则sin∠BCD=V1-cos'ZBCD=2y6, 5 在△BCD中，由正弦定理得 BD sin∠BDc,即，70 BC 50 sin∠BCD- 2W6 sin∠BDC, 所以sin/BDC=2W6 7 6分 (2)在△BCD中，由余弦定理得702=CD2+50-2×50CD×(-号)， 整理得CD2+20CD-2400=0, 解得CD=40(CD=-60舍去). 在△ACD中，AC=AD, 所以cos∠ACD=cos∠ADC=cos∠4CB=Y0, 5 又10=20 5 AC' 解得AC=AD=10W10. 在△ABC中，AB2=AC2+BC-2AC·BCcos∠ACB =1000+502-2×10W10×50×10 5 =1500, 所以AB=1015<40. 14分 由于观光通道每米的造价为2000元， 所以总造价低于40×2000=80000元，故预算资金够用.…15分 18.(1)由i∥i得√3(b-3cosC)=csinA,而a=3, 所以√3(b-acosC)=csinA,即√3b-csinA=√3 acosC, 由正弦定理得√3sinB-sin CsinA=√3 sinAcos C. 故√3sin(A+C)-sin CsinA=√3 sinAcosC. 即√3 sinAcos C+√3 cos AsinC-sin CsinA=√3 sinAcosC, 即sinC(√3cosA-sinA)=0,而0<C<π，sinC≠0， 故√3cosA-sinA=0,即tanA=√3， 而0<A<π，故A=亚 3…5分 (2)由余弦定理得2=b2+c2-2 bccos A,即9=b2+c2-bc, 而c≤与，所以9=6+c-c≥+c2-￡-与 2 2 所以b2+c2≤18，当且仅当b=c时等号成立. 故b2十C2的最大值为18.… …10分 9 (3)因为D为BC边上靠近B点的三等分点，BD=1,CD=2, 有BD=}BC,即A币-A丽=子(4C-AB), 故而=？4C+号， 两边平方得MD=)AC+号A+号A·CcosA, 即4=号b:+号c2+号c,化简得+4c2+2c=36①， 在△4BD中，由余弦定理得c0s∠ADB=2+12-C 2×2×1日 在△ACD中，由余弦定理得cos∠ADC= 22+22-b2 2×2×2: 而cOS∠ADB+coS∠ADC=O, 版装景+2=0，即2+粉=18@， 2×2×2 由①和②得：b2+4c2+2bc=2(2c2+b2),解得b=2c,代入②得c2=3, 所以△ABC的面积为号besin4=c'sim4=3y3 2 …17分 19.(1)(2b-c)cosA-acosC=0,(2sinB-sinC)cosA-sinAcosC=0, 所以2 sin BcosA-sinCcosA-sinAcosC=0, 所以2 sinBcosA-sin(A+C)=0., 所以2 sin BcosA-sinB=0, 因为0°<B<180°，所以sinB>0, 可得c0SA三号，又0°<A<180,所以A=60:…4分 (2)由A=60°，可得△ABC的三个内角均小于120°， 又点P为△ABC的费马点， 则∠APB=∠BPC=∠CPA=120°， 由a2-(b-c)2=4可得=b2+c2-2bc+4, 由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccosA=b2+c2-bc, 所以bc=4,所以Saae=号sind=V3, 又SMARC=SAAPB十SABPC十SACA= 2(24-PB+PBl-lPc+PC-24snl20, (PCl+PC), 可得|PA·PB+PB·PC+PC·PA=4. 所以p·P店+P店.P元+P元.P =(2P2+pBpC+pC·24)cos120°=-2；…10分 (3)设∠ABP=0,则∠PAB=60°-0，∠PAC=0,∠ACP=60°-0， 其中0°<0<60°， 10