专题06 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型（几何模型讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

专题06 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.费马点模型 4 模型2.加权费马点模型 9 14 费马点最早由法国数学家‌皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）‌ 在17世纪提出。他研究了一个经典问题：‌如何在三角形内找一点P，使PA + PB + PC的值最小？ 费马最初提出该问题时未给出完整证明，后由其他数学家完善并把该问题命名为费马点问题（模型）。费马点模型通过几何变换将分散线段转化为共线路径，是解决最值问题的核心思想之一，需熟练掌握旋转构造法及角度分析技巧。其本质是‌优化理论在几何中的体现‌，也是变分法的早期雏形。现代应用包括网络基站选址、物流中心优化等实际场景。‌ （辽宁丹东·中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则 ；若，P为的费马点，则 ． （2024·山东东营·模拟预测）如图，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，则的最小值是 ． 1.费马点模型 结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。（费马点：三角形内的一点到三个顶点距离之和最小的点。） 图1 图2 图3 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图2，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 法2（费马点的作法）：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1） 2.加权费马点模型 结论：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点） 证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。 如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。 模型1.费马点模型 例1（2025·黑龙江大庆·一模）如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．20 例2（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是 ． 例3（24-25·陕西榆林·九年级校考期中）如图，点P是边长为4的菱形的对角线上一动点，若，则的最小值为 ．    例4（2025·江苏·校考三模）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，公里，公里，现在要设立两个车站E，F，则的最小值为 公里． 例5（2025·安徽黄山·模拟预测）如图①，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接． (1)连接是等边三角形吗？为什么？(2)求证：；(3)①当M点在何处时，的值最小；②如图②，当M点在何处时，的值最小，请你画出图形，并说明理由． 例6（2025·贵州遵义·三模）（1）【问题发现】如图①，在中，若将绕点O逆时针旋转得到，连接；求 ； （2）【问题探究】如图②，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边三角形，P为内一点，将线段绕点C逆时针旋转，点P的对应点为点Q．①求证：；②求的最小值；（3）【实际应用】如图③，在矩形中，，是矩形内一动点为内任意一点，是否存在点P和点Q，使得有最小值？若存在求其值；若不存在，请说明理由． 模型2.加权费马点模型 例1（2025九年级下·广东·专题练习）在边长为的正中有一点，连接，求的最小值． 例2（2025·陕西西安·模拟预测）（1）问题背景：如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决:如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用:如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 例3（24-25八年级下·重庆巴南·阶段练习）如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点恰好在线段上． (1)若的长度比少4，，求的面积；(2)求证：；(3)已知点是内一动点，且不与的顶点和边重合，在（1）的条件下，请直接写出的最小值． 1．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，矩形ABCD中，，BC＝3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA＋PB＋PC的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·成都·校联考模拟预测）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（    ） A． B．36 C． D． 3．（25-26·江苏·九年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． 4．（2025·广东深圳·校考二模）如图，是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，，（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为时，正方形的边长为______． 5．（25-26·浙江·八年级专题练习）如图，点P是矩形对角线上的一个动点，已知，则的最小值是__． 6．（25-26·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6,∠ABC＝150°，则AP+BP+PD的最小值为_____． 7．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，线段为一个通信公司，该公司与两个通信点恰好围成一个正方形的公司长度为米，公司准备在正方形内要建设一个通信中转站点，在通信公司的边上架设一个通讯中心点，在通信中转站点到两个通信点和通讯中心点之间铺设通信光缆，则铺设光缆的最短长度为 米． 8．（25-26·江苏·九年级阶段练习）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E，F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为　　 公里． 9．（25-26上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点是矩形内一点，且，，为边上一点，连接，则的最小值为 ．    10．（2025·河南·校考三模）【发现奥秘】(1)如图1，在等边三角形中，，点E是内一点，连接，分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接．当B，E，F，D四个点满足______时，的值最小，最小值为_______． 【解法探索】(2)如图2，在中，，点P是内一点，连接，请求出当的值最小时的度数，并直接写出此时的值．（提示：分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接） 【拓展应用】(3)在中，，点P是内一点，连接，直接写出当的值最小时，的值． 11．（2025·广东广州·校考二模）平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连．(1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度； (2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：； (3)如图3，已知，若，直接写出的最小值． 12．（25-26上·陕西西安·九年级统考期中）（1）如图1，是平面上一动点，线段的长是5，连接点与线段的两个端点，求的最小值． （2）如图2，曲江金地某社区内有一块矩形的空地，且，空地内有一个老年活动中心在点处，社区准备从点处分别向三处修建三条小路，分别是，求三条小路的长度之和的最小值．    13．（25-26春·江苏·八年级校考周测）如图①，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接． (1)求证：；(2)如图1，当M点在何处时，的值最小．(3)如图2，在中，，，．若点是内一点，直接写出的最小值． 14．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）（1）已知点E是正方形边上的一点，连接．如图1，把射线绕点B顺时针旋转交的延长线于点F，求证：；（2）边长把边沿翻折．①如图2，若点P落在对角线上，则 ；②如图3，点G在边上，，连接、，当点P落在内部时（不含边上），线段长度的取值范围为 ； （3）如图4，点M是正方形内一点，连接、，若，求最小值； （4）如图5，点M是矩形内一点，连接，若，，则最小值为 ． 15．（25-26·重庆綦江·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF．(1)如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝5，求DF的长； (2)如图3，若AB＝7，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、BP及CP，请直接写出当PA＋PB＋PC值最小时PB的长． 16．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点、、距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点逆时针旋转得到，连接， ，，为等边三角形，， 点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长． 当四点在同一直线上时，最小． （1）观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． （2）【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若．求的最小值； （3）【拓展应用】已知正方形内一动点到三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.费马点模型 4 模型2.加权费马点模型 9 14 费马点最早由法国数学家‌皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）‌ 在17世纪提出。他研究了一个经典问题：‌如何在三角形内找一点P，使PA + PB + PC的值最小？ 费马最初提出该问题时未给出完整证明，后由其他数学家完善并把该问题命名为费马点问题（模型）。费马点模型通过几何变换将分散线段转化为共线路径，是解决最值问题的核心思想之一，需熟练掌握旋转构造法及角度分析技巧。其本质是‌优化理论在几何中的体现‌，也是变分法的早期雏形。现代应用包括网络基站选址、物流中心优化等实际场景。‌ （辽宁丹东·中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则 ；若，P为的费马点，则 ． 【答案】 5 【详解】①如图,过作，垂足为,过分别作, 则, P为的费马点 5 ②如图：.；； ；；将绕点逆时针旋转60 由旋转可得：； 是等边三角形， P为的费马点；即四点共线时候， =；故答案为：①5，② （2024·山东东营·模拟预测）如图，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，则的最小值是 ． 【答案】cm 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，，，， 是等边三角形，是等边三角形，， 作于，交于．，，，， 当点，，，四点共线且垂直时，有最小值为， ，，的最小值(cm)．故答案为：cm． 1.费马点模型 结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。（费马点：三角形内的一点到三个顶点距离之和最小的点。） 图1 图2 图3 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图2，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 法2（费马点的作法）：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1） 2.加权费马点模型 结论：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点） 证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。 如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。 模型1.费马点模型 例1（2025·黑龙江大庆·一模）如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．20 【答案】C 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，则， ∴和均为等边三角形，， ∴，∴， ∴、、共线时最短，由于点E也为动点， ∴当时最短，而，∴，， ∵和均为等边三角形，∴，， ∴，，∴， ∴的最小值为 ．故选C． 例2（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，， ∴，∴，，∴是等边三角形，∴， ∴，当点四点共线且时，取得最小值， ∵四边形是正方形，边长为，绕点顺时针旋转得到， ∴，，∴，∴， ∴，∴的最小值是，故答案为： ． 例3（24-25·陕西榆林·九年级校考期中）如图，点P是边长为4的菱形的对角线上一动点，若，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】如图所示，将逆时针旋转得到，    ∴，，∴是等边三角形 ∴∴ ∴当点，，，四点共线时，的值最小，即为的长度， ∵菱形的边长为4∴ ∵，∴∴ ∴的最小值为．故答案为：． 例4（2025·江苏·校考三模）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，公里，公里，现在要设立两个车站E，F，则的最小值为 公里． 【答案】（15+10）/（） 【详解】解：如图1，将△AEB绕A顺时针旋转60°得△AGH，连接BH、EG，将△DFC绕点D逆时针旋转60°得到△DF'M，连接CM、FF'， 由旋转得：AB=AH，AE=AG，∠EAG=∠BAH=60°，BE=GH， ∴△AEG和△ABH是等边三角形，∴AE=EG， 同理得：△DFF'和△DCM是等边三角形，DF=FF'，FC=F'M， ∴当H、G、E、F、F'、M在同一条直线上时，EA+EB+EF+FC+FD有最小值，如图2， ∵AH=BH，DM=CM，∴HM是AB和CD的垂直平分线，∴HM⊥AB，HM⊥CD， ∵AB=10，∴△ABH的高为5， ∴EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF'+F'M=HM=15+5+5=15+10， 则EA+EB+EF+FC+FD的最小值是（15+10）公里．故答案为：（15+10）． 例5（2025·安徽黄山·模拟预测）如图①，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接． (1)连接是等边三角形吗？为什么？(2)求证：；(3)①当M点在何处时，的值最小；②如图②，当M点在何处时，的值最小，请你画出图形，并说明理由． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)见解析 (3)①点M为的中点；②点M为与的交点时，的值最小，图及理由见解析 【详解】（1）解：是等边三角形．理由如下：如图①，∵绕点B逆时针旋转60°得到， ∴，∴是等边三角形； （2））证明：∵和都是等边三角形，∴， ∴，即， 在和中，，∴； （3）解：①由两点之间线段最短可知A、M、C三点共线时，的值最小， ∵四边形是正方形，∴点M为的中点； ②当点M为与的交点时，的值最小，理由如下： 如图②，∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴， 由两点之间线段最短可知，点E、N、M、C在同一直线上时，， 故点M为与的交点时，的值最小． 例6（2025·贵州遵义·三模）（1）【问题发现】如图①，在中，若将绕点O逆时针旋转得到，连接；求 ； （2）【问题探究】如图②，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边三角形，P为内一点，将线段绕点C逆时针旋转，点P的对应点为点Q．①求证：；②求的最小值；（3）【实际应用】如图③，在矩形中，，是矩形内一动点为内任意一点，是否存在点P和点Q，使得有最小值？若存在求其值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①见解析；②12；（3）存在， 【详解】（1）解：∵将绕点O逆时针旋转得到， ∴，，∴，故答案为：； （2）①证明：∵是等边三角形，∴，， 由旋转得，，∴， 在和中，，∴； ②连接，∵，，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，∴， 由两点之间线段最短得，∴， ∴当点A、P、Q、D在同一条直线上时，取最小值，为的值， 延长，作，交的延长线于点E，∵是边长为的等边三角形， ∴，，∴， ∴，∴，∴，， ∴，即取最小值为12． （3）存在一点P和一点Q，使得有最小值，理由如下： 过点P作交于点E，交于点F，将绕点A逆时针旋转得，连接，设交于点G，如图所示： 由（2）知，当在同一直线上时，有最小值，最小值为， 在矩形中，，∴，，， ∵，∴，∴四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵点P在上，∴当时，有最小值， ∵，∴，∵是等边三角形，∴， ∴，∵， ∴四边形是矩形，∴，∴， ∴的最小值为． 模型2.加权费马点模型 例1（2025九年级下·广东·专题练习）在边长为的正中有一点，连接，求的最小值． 【答案】 【详解】解：如图所示，绕点逆时针旋转得到，取的中点，连接， ∴，， 在中，，，∴， 在中，点是的中点，∴，且， ∴，∴， 当点共线时，取得最小，最小为的值， 如图所示，过点作延长线于点，∵点是的中点，∴， ∵是等边三角形，绕点逆时针旋转得到， ∴，∴， ∴，，∴， 在中，， ∴的最小值为． 例2（2025·陕西西安·模拟预测）（1）问题背景：如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决:如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用:如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 【答案】（1）等边；两点之间线段最短（2）5（3） 【详解】（1），，为等边三角形， 由几何公理：两点之间线段最短可得：， 当，，，在同一条直线上时，取最小值．故答案为：等边，两点之间线段最短． （2）如图4，将绕点顺时针旋转得到△，连接， 由（1）可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ，， 又，，根据旋转的性质可知：， ，即的最小值为5； （3）总铺设成本万元， 当最小时，总铺设成本最低， 将绕点顺时针旋转得到△，连接，，过点作于，过点作于，如图：由旋转性质可知：，，，， 在中，，， 当、、、在同一条直线上时，取最小值，即取最小值，其最小值为的长度，，，，， ， ，的最小值为， 总铺设成本最小值为：（元． 例3（24-25八年级下·重庆巴南·阶段练习）如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点恰好在线段上． (1)若的长度比少4，，求的面积；(2)求证：；(3)已知点是内一动点，且不与的顶点和边重合，在（1）的条件下，请直接写出的最小值． 【答案】(1)24(2)见解析(3) 【详解】（1）解：设，则， ∵中，，∴，即解得（负值舍去） ∴，∴； （2）证明：过点E作交于H，如图所示： ∵，∴，即， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴，∴； （3）解：在（1）的条件下，，， 过点A作于点G，将绕点C顺时针旋转到，连接，延长，过点E作于点F，连接，如图所示：∵，∴， ∴，根据勾股定理得：， 根据旋转可知：，，，， ∴，∴， ∵两点之间线段最短，∴当B、P、D、E四点共线时，最小，则最小， ∴最小值为的长，∵， ∴，∴， ∵，∴，∴，，∴， ∴即的最小值为． 1．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，矩形ABCD中，，BC＝3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA＋PB＋PC的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求． 由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC=PF， ∵PB=EF，∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴， ∴AC=2AB，∴∠ACB=30°，， ∵∠BCE=60°，∴∠ACE=90°，∴，故选：D． 2．（2025·成都·校联考模拟预测）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（    ） A． B．36 C． D． 【答案】A 【详解】分别以、为边在下方构造等边三角形、，分别取、中点，连接，如图所示， ∵取、中点，∴，∵等边三角形，∴， ∵等边三角形，∴，， ∴，∴，∴， ∴，∴， ∴当三点共线时最小， ∵∴， ∵，∴，∴， ∴，∴的最小值为，故选：A． 3．（25-26·江苏·九年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． 【答案】 【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE． 当A、M、N、E四点共线时取最小值AE． ∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．故答案为． 4．（2025·广东深圳·校考二模）如图，是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，，（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为时，正方形的边长为______． 【答案】 【详解】∵为正三角形，∴，∴ ∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∴． 在和中，∴（SAS）∴ 在中，又∵，∴为等边三角形，∴． ∵AM+BM+CM最小值为．∴EN+MN+CM的最小值为即CE=． 过点E作交CB的延长线于F，可得． 设正方形的边长为x，则BF=，． 在，∵，∴ 解得（负值舍去）．∴正方形的边长为．故答案为：． 5．（25-26·浙江·八年级专题练习）如图，点P是矩形对角线上的一个动点，已知，则的最小值是__． 【答案】 【详解】解：将绕点C逆时针旋转，得到，连接，则是等边三角形，是等边三角形，∴，∴， ∴当共线时，值最小，即的值最小， 连接，作，延长使得，连接，则四边形是矩形，∴， ∵是等边三角形，∴，， ∴， ，∴ ， ∴的最小值为，故答案为：． 6．（25-26·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6,∠ABC＝150°，则AP+BP+PD的最小值为_____． 【答案】6 【详解】解：将△ADC逆时针旋转60°，得到△AD′C′，连接BD′交AC于P，交AC′于E，连接PD， ∵∠ABC＝150°∴∠BAD＝30°，∵∠DAD′＝60°，∴∠BAD′＝90°，又AB＝AD＝AD′＝BC＝6， ∴BD′＝，∠ABP＝45°， 又∠BAP＝15°，∴∠APE＝∠PAE＝60°，∴△EAP为等边三角形，∴PA＝PE＝AE， 又∵AD＝AD′，∠PAD＝∠EAD′，∴△APD≌△AED′，∴PD＝ED′， 根据两点之间线段最短可得AP＋BP＋PD的最小值＝PB＋PE＋ED′＝，故答案为：． 7．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，线段为一个通信公司，该公司与两个通信点恰好围成一个正方形的公司长度为米，公司准备在正方形内要建设一个通信中转站点，在通信公司的边上架设一个通讯中心点，在通信中转站点到两个通信点和通讯中心点之间铺设通信光缆，则铺设光缆的最短长度为 米． 【答案】 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到 则，和都是等边三角形， ，当三点共线时，最小为 是上的点，当时值最小，过作交于点， 为等边三角形，四边形是正方形， ，(米)， 则铺设光缆的最短长度为米，故答案为：． 8．（25-26·江苏·九年级阶段练习）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E，F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为　　 公里． 【答案】15+10 【详解】解：如图1，将△AEB绕A顺时针旋转60°得△AGH，连接BH、EG，将△DFC绕点D逆时针旋转60°得到△DF'M，连接CM、FF'， 由旋转得：AB=AH，AE=AG，∠EAG=∠BAH=60°，BE=GH， ∴△AEG和△ABH是等边三角形，∴AE=EG， 同理得：△DFF'和△DCM是等边三角形，DF=FF'，FC=F'M， ∴当H、G、E、F、F'、M在同一条直线上时，EA+EB+EF+FC+FD有最小值，如图2， ∵AH=BH，DM=CM，∴HM是AB和CD的垂直平分线，∴HM⊥AB，HM⊥CD， ∵AB=10，∴△ABH的高为5， ∴EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF'+F'M=HM=15+5+5=15+10， 则EA+EB+EF+FC+FD的最小值是（15+10）公里．故答案为：（15+10）． 9．（25-26上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点是矩形内一点，且，，为边上一点，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到△，连接、，      根据旋转的性质有：，，， 为等边三角形，同理为等边三角形， ，，， 当线段、、三条线段在同一直线上，且该直线与垂直时，的值最小， 即的值最小，如图，过点作于点，交于点， 即最小值为：，在矩形中，于点， 即可知四边形是矩形，，即， 为等边三角形，，， ，， 的最小值为，故答案为：． 10．（2025·河南·校考三模）【发现奥秘】(1)如图1，在等边三角形中，，点E是内一点，连接，分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接．当B，E，F，D四个点满足______时，的值最小，最小值为_______． 【解法探索】(2)如图2，在中，，点P是内一点，连接，请求出当的值最小时的度数，并直接写出此时的值．（提示：分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接） 【拓展应用】(3)在中，，点P是内一点，连接，直接写出当的值最小时，的值． 【答案】(1)四点共线，(2)的值最小时，此时 (3) 【详解】（1）解：由旋转的性质，可知， ，， ∴，∴，∴，且，∴， ∴当B，E，F，D四点共线时，的值最小为，如图所示： 连接AC，设AC与BD交于点O，∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵△ABC为等边三角形，∴∠OCB=60°， ∴，此时． （2）解：由旋转的性质，可知， ，， ∴，∴， ∴，且均为等边三角形，,∴， ∴当B，P，D，E四点共线时，的值最小，如图1所示． ∵均为等边三角形，∴， ∵，∴．∴，∴， ∴当B，P，D，E四点共线时，的值最小，此时； 过点C作于点F，如图1所示．∵，∴是线段的中垂线， ∴C，P，F三点共线，∴， 设，则．∴，∴． （3）解：分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接， 过点E作，交BC的延长线于点F，如图2所示： 由(2)可知，当B，P，D，E四点共线时，的值最小，此时， 由(2)知：，∴， ∵，∴，∴．∴， ∴在中由勾股定理得到， 过点C作，垂足为G，如图2所示． ∵，∴， ∴，∴， ∴在中由勾股定理得到， ∴， ∴，∴． 11．（2025·广东广州·校考二模）平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连．(1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度； (2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：； (3)如图3，已知，若，直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：∵，如图1， ∴，E为的中点，，∴， ∵，∴，在中，，∴； （2）证明：如图2，设射线与射线交于点M，由题可设， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，延长交于N， ∴，过E作于P，则， 在与中，  ，∴，∴， 过E作于Q，∴，∴四边形为矩形， ∵，∴，∴， ∴矩形为正方形，∴，∴， 在与中，，  ∴，∴， ∵，∴； （3）解：如图3，把绕点A逆时针旋转得到，得到等边，同理以为边构造等边， ∴，， ∴，∴， 在与中，，∴， ∴，∴， 当B，F，M，N四点共线时，最小，即为线段BN的长度，如图4， 过N作交其延长线于T，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∵， ∴，在中， ， ∴，∴，∴， ∴的最小值为 ． 12．（25-26上·陕西西安·九年级统考期中）（1）如图1，是平面上一动点，线段的长是5，连接点与线段的两个端点，求的最小值． （2）如图2，曲江金地某社区内有一块矩形的空地，且，空地内有一个老年活动中心在点处，社区准备从点处分别向三处修建三条小路，分别是，求三条小路的长度之和的最小值．    【答案】（1）的最小值是5；（2）三条小路的长度之和的最小值是 【详解】（1）解：由题意可得，∴，∴的最小值是5． （2）解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．    由旋转的性质可知，是等边三角形，∴， ∵，∴， 当四点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为的长． 四边形是矩形，∴，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴∴三条小路的长度之和的最小值是． 13．（25-26春·江苏·八年级校考周测）如图①，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接． (1)求证：；(2)如图1，当M点在何处时，的值最小．(3)如图2，在中，，，．若点是内一点，直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析(2)当E，N，M，C在同一直线上时(3) 【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴, ∵，∴，∴， ∵，∴； （2）连接,当M点位于与的交点处时，的值最小,连接， 由（1）得，∴，∴， ∴是等边三角形，∴，∴， 根据两点之间线段最短，当点在同一条直线上时，取最小值，最小值为． （3）以点为旋转中心，顺时针旋转到，旋转角是，连接、，如图所示， 则，，，是等边三角形，，， ，当，，，四点共线时，最小，最小值就是的值， ，，，，，， ，． 14．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）（1）已知点E是正方形边上的一点，连接．如图1，把射线绕点B顺时针旋转交的延长线于点F，求证：；（2）边长把边沿翻折．①如图2，若点P落在对角线上，则 ；②如图3，点G在边上，，连接、，当点P落在内部时（不含边上），线段长度的取值范围为 ； （3）如图4，点M是正方形内一点，连接、，若，求最小值； （4）如图5，点M是矩形内一点，连接，若，，则最小值为 ． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）（4） 【详解】解：（1）由旋转的性质可得，， ∵四边形是正方形，∴，， ∵，，∴，∴，∴； （2）①由折叠的性质可得，，，， ∵四边形是正方形，∴，，， ∴，，∴，故答案为：； ②如图，当点P落到上，由折叠的性质可得，垂直平分，∴， ∵，，∴， 又∵，，∴，∴， 当点P落到上，连接，由折叠的性质可得，，，， ∴，∵，∴， 在中，，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∵点P在的内部，不含边，∴，故答案为：； （3）①当A、M、C不共线时，， ②当点A、M、C三点共线时，的值最小为， ∵，，∴是等腰直角三角形， ∴即最小值为； （4）如图，将绕点B逆时针旋转得到，∴，， 又∵，∴是等边三角形，∴，∴， ∴当点、、M、C共线时，的值最小，最小值是， 过点作的延长线于点N，由旋转的性质得，，， ∴，∴，∴， ∴，∴, 即的最小值是，故答案为：． 15．（25-26·重庆綦江·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF．(1)如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝5，求DF的长； (2)如图3，若AB＝7，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、BP及CP，请直接写出当PA＋PB＋PC值最小时PB的长． 【答案】(1)(2 【解析】（1）解：法一：如图1，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于G， ∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60° ∴，∴ ∵AF⊥BC∴∠AFB＝90°，∴ ∴△BEF为等边三角形∴BF＝EF＝BC∴CF＝EF＝5 在中，∴CG＝CD＝5，DG＝CG＝5 ∵FG＝CF+CG＝10∴DF＝＝5 法二：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°∴， ∵AF⊥BC∴∠AFB＝90° 在中 ， ∵是的中点 ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∵EF＝5，EF＝BE＝AB ∴∴AF＝5 在中， DF＝＝5∴的值为． （2）解：如图a 在△ABC中，P为其中任意一点．连接AP，BP，得到△ABP． 以点B为旋转中心，将△ABP逆时针旋转 60°，得到△EBD ∴BD＝BP，∴△DBP 为一个等边三角形∴PB＝PD ∴PA+PB+PC＝DE+PD+PC∴当E、D、P、C 四点共线时，为PA+PB+PC最小． 如图3，当B、P、G、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD． ∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DGC，∴△APC≌△DGC，∴CP＝CG，∠PCG＝60°， ∴△PCG是等边三角形，∴PG＝CG＝CP，∠GPC＝∠CGP＝60°． ∵菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，∴∠PCB＝∠GPC﹣∠CBP＝60°﹣30°＝30°， ∴∠PCB＝∠CBP＝30°，∴BP＝CP，同理，DG＝CG，∴BP＝PG＝GD． 连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD．在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝7， ∴OC＝，∴BO=∴BD＝2BO＝， ∴BP＝BD＝即当PA+PB+PC值最小时PB的长为． 16．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点、、距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点逆时针旋转得到，连接， ，，为等边三角形，， 点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长． 当四点在同一直线上时，最小． （1）观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． （2）【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若．求的最小值； （3）【拓展应用】已知正方形内一动点到三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 【答案】（1），理由见详解（2）（3） 【详解】（1）解：；理由如下：是等边三角形，， 四点在同一直线上，，， 由旋转得：，，； （2）解：如图，由【问题解决】同理将绕点逆时针旋转得到， 当四点在同一直线上时，最小， 此时，由旋转得：，， 是等边三角形，，，，， ，，， 在中，故最小值为； （3）解：如图，绕点逆时针旋转得到，过作交的延长线于， 当四点在同一直线上时，最小， 此时，由旋转得：，， ，设正方形的边长为，则有，， ，， 在中，，，解得：，（舍去）， ，故正方形的边长为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $