2.5简单复合函数的求导法则课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

作课人：廉文杰 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第二章 导数及其应用 第5节 简单复合函数的求导法则 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、了解复合函数的概念． 2、掌握复合函数的求导法则． 3、能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数． 1、掌握复合函数的求导法则． 2、能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数． 1、能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数． 2 新 知 引 入 加法法则：[ ]＇ = ______________________， 减法法则：[ ]＇ = ______________________ 乘法法则：__________________________ 特别的: [kf(x)]＇=______________ ,(k∈Z) 除法法则： 特别的：______________ 1、导数的四则运算法则： kf＇(x) 新 知 引 入 2、u=g(x)=sinx是___________函数。 3、y=f(u)=log2u是__________函数。 正弦 对数 3、那么y=log2sinx是什么函数？ 复合函数 学 习 新 知 复合函数 一般地，对于两个函数 y=f（u）和u=g（x）,如果给定x的一个值，就得到了g(x)的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y=f（u）和u=g（x）的复合函数，记作y=f(g(x)）,其中u为中间变量. 判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构的，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次运算而得到的函数． 注意：1、 2、 复合函数不同于函数的加减乘除。 典 例 引 路 例1、指出下列函数是怎样复合而成的。 （1）y=(3+5x)2 (2)y=log3(x2-2x+5) (3)y=cos3x 解：y=(3+5x)2 是由函数 y=u2 , u=3+5x 复合而成的。 解：y=log3(x2-2x+5)是由函数 y=log3u , u=x2-2x+5复合而成的。 解：y=cos3x是由函数 y=cosu , u=3x 复合而成的。 同 步 练 习 练1、指出下列函数是怎样复合而成的。 （1）y=ln (2) y=esinx (3)y=cos( 解：y=ln 是由函数 y=lnu , u= 复合而成的。 解：y=esinx 是由函数 y=eu , u=sinx 复合而成的。 解：y=cos(是由函数 y=cosu ,u=x+1复合而成的。 新 知 引 入 上一节课我们学习了导数的四则运算法则，那么，如何求复合函数的导数呢？ 引例：海上一艘油轮发生了泄漏事故.泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S(单位： 与油膜的半径r(单位：m)的函数关系为   油膜的半径r随着时间t(单位：s)的增加而扩大，假设r关于t的函数解析式为    油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少? 新 知 引 入 由题意知，时间t决定油膜的半径r，进而决定油膜的面积S，所以可得S关于的函数解析式为   _______________=__________________________ 油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率就是函数 的导数. 根据导数公式表和导数的四则运算法则， 可得 __________________  所以油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率为   ， 另外， 我们可以观察到 ____________________________ ∴ _____________________ 2 学 习 新 知 复合函数的求导法则 复合函数y=f((x))对x的导数为 ,其中μ= 注意：1、 2、 3、 4、 计算中的每一步，都要明确是对哪个变量求导. 表示y对x的导数. 最终计算结果要将中间变量代回到自变量(如对x)的函数． 此法则可 扩展：[f(g(h(x)))]＇=f＇(u)·g＇(v)·h＇(x),其中u=g(h(x)),v=h(x),这种求导方法称为链式求导法则。 典 例 引 路 例2、 求函数 y= 的导数. 解：引入中间变量μ=φ（x）=3x+1, 则函数y=是由函数f(μ）= = 与μ=φ（x）=3x+1 复合而成的. 由复合函数的求导法则，可得 = (3x+1) = 3 = 同 步 练 习 练2、求函数y＝lg(2x2＋3x＋1)的导数。 解：设y＝lgu，u＝2x2＋3x＋1， 则y′x＝y′u·u′x ＝(lgu)′·(2x2＋3x＋1)′ ＝ ·(4x＋3) ＝ 典 例 引 路 例3、求函数 y =（2x-1)30的导数. 解：引入中间变量μ=φ（x）= 2x-1, 则函数y=（2x-1）30是由函数f(μ）=μ30与u =φ（x）=2x-1 复合而成的. 由复合函数的求导法则，可得 = (2x-1) =2 = 同 步 练 习 练3、求函数y=sin3x+sinx3的导数。 解：y＇= (sin3x+sinx3)＇ = (sin3x)＇+(sinx3)＇ = 3sin2x·cosx+cosx3·3x2 典 例 引 路 例4、 一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度h（单位:cm）关于时间t（单位：S）的函数解析式为h=h(t)=，求函数在t = 3时的导数，并解释它的实际意义. 解：函数 h = 是由函数f(μ）= 和函数μ = φ（t）= 2t+1 复合而成的，其中u是中间变量. 由复合函数的求导法则，可得 =(2t+1) = 2 = 将t=3代入h＇(t),得 h＇(3) = - (cm/s) . 它表示当t=3时，水面高度下降的速度为 cm/s. 同 步 练 习 练4、某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)＝3sin(t＋)(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义． 解：函数s(t)＝3sin(t＋ )可以看作函数f(x)＝3sinx和 x＝φ(t)＝ t＋ 的复合函数，其中x是中间变量． ∵f′(x)＝3cosx，φ′(t)＝ . ∴s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cosx· ＝ cos(t＋ )． 将t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝ (m/h)． 它表示当t＝18时，潮水的高度上升的速度为 m/h. 典 例 引 路 例5、设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0,0)点相切．求a，b的值． 解：∵曲线y＝f(x)过(0,0)点，可得ln1＋1＋b＝0，故b＝－1. ∴f(x)＝ln(x＋1)＋ ＋ax - 1 ∴f′(x)＝＋＋a， 则f′(0)＝1＋＋a＝＋a， 此即为曲线y＝ f(x)在点(0,0)处的切线的斜率． 由题意，得＋a＝ ，故a＝0. 同 步 练 习 练5、曲线f(x)=e4x-x-2在点(0，f(0))处的切线方程是 ( 　　) A.3x+y+1=0 B.3x+y-1=0 C.3x-y+1=0 D.3x-y-1=0 解： ∵ f＇(x)=4e4x-1， ∴ k=f＇(0)=3. 又f(0)= -1， ∴切线方程为y+1=3x，即3x-y-1=0. D 典 例 引 路 例6、求函数f(x)=ln(e2x+1)的导数。 解：设 y=lnu , u=ev+1 , v=2x 则f(x)=ln(e2x+1)是由y=lnu, u=ev+1，v=2x复合而成。 ∴ f＇(x)= y＇·u＇·v＇ = ·ev·2 = ·e2x·2 = 同 步 练 习 练6、求函数 f(x)= 的导数。 解：设y=,u=lnv,v= 则函数 f(x)= 是由y= ,u=lnv,v= 复合而成。 ∴f＇(x) = y＇·u＇·v＇ = ·· = ·· = 同 步 练 习 全 课 总 结 一、复合函数的概念 二、复合函数的求导法则 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 22 $