第2章 第3～5节 导数的计算 导数的四则运算法则 简单复合函数的求导法则（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦导数及其应用，系统涵盖导函数概念、基本初等函数导数公式、四则运算法则及复合函数求导，通过知识辨析衔接前后内容，构建从概念到应用的学习支架，帮助学生逐步掌握导数计算逻辑。 其亮点在于以知识辨析深化概念理解，如对比f'(x₀)与[f(x₀)]'的区别，结合典例解析复合函数求导步骤，培养学生数学思维与推理能力。通过切线问题实例，引导学生用数学语言表达问题，既助学生夯实基础，也为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

　　一般地,如果一个函数y=f(x)在区间(a,b)内的每一点x处都有导数f'(x)=   ,那么f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为y=f(x)的导函数,也简称为导数. 知识点 1 导函数的概念 §3　导数的计算    §4　导数的四则运算法则     §5　简单复合函数的求导法则 必备知识 清单破 温馨提示 　    f'(x0)是函数f(x)在x=x0处的导数,是一个确定的数.f'(x)是函数f(x)的导函数,是关于x的函 数,f'(x0)是f'(x)在x=x0处的函数值. 第二章 导数及其应用 高中同步 知识点 2 基本初等函数的导数 函数 导数 y=c(c是常数) y'=0 y=xα(α是实数) y'=αxα-1 y=ax(a>0,a≠1) y'=axln a,特别地(ex)'=ex y=logax(a>0,a≠1) y'= ,特别地(ln x)'=  y=sin x y'=cos x y=cos x y'=-sin x y=tan x y'=  第二章 导数及其应用 高中同步 知识点 3 导数的四则运算法则 1.导数的加法与减法法则 　　两个函数和(或差)的导数等于这两个函数导数的和(或差),即[f(x)+g(x)]'=f '(x)+g'(x),[f(x)- g(x)]'=f '(x)-g'(x). 2.导数的乘法与除法法则 　　一般地,若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f'(x)和g'(x),则[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),  = ,g(x)≠0. 特别地,[kf(x)]'=kf '(x),k∈R. 第二章 导数及其应用 高中同步 知识点 4 复合函数的导数 1.复合函数的概念 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,如果给定x的一个值,就得到了u的值,进而确定了y 的值,那么y可以表示成x的函数,称这个函数为函数y=f(u)和u=φ(x)的复合函数,记作y=f(φ(x)), 其中u为中间变量. 2.复合函数的求导法则 复合函数y=f(φ(x))对x的导数为y'x=[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x),其中u=φ(x). 第二章 导数及其应用 高中同步 1.f'(x0)=[f(x0)]',对吗? 知识辨析 2.若f(x)=5x ,则f '(x)=5xlog5e成立吗? 3.若函数f(x)=ex +cos  ,则f '(x)=ex-sin  成立吗? 4. = =1,对吗? 5.函数f(x)=ln(1-x)的导数是f'(x)= 吗? 第二章 导数及其应用 高中同步 1.不对. f'(x0)是函数f(x)在x=x0处的导数,不一定为0,而[f(x0)]'是函数值f(x0)的导数,它一定为0. 一语破的 2.不成立. f '(x)=5xln 5. 3.不成立. f'(x)= '=ex. 4.不对. = = . 5.不是. f'(x)= (1-x)'=- . 第二章 导数及其应用 高中同步 定点 1 利用导数的四则运算法则求函数的导数 关键能力 定点破 利用导数的四则运算法则求函数的导数的策略 　　分析待求导的函数的结构特点,若符合导数公式表中的某一形式,则直接用导数公式和 运算法则求导;若不符合导数公式表中的任一形式,一般遵循“先化简,再求导”的原则,化简 时可把多个式子乘积的形式展开,化为和或差的形式,对于可分离常数的复杂分式,一般先分 离常数,再进行求导,根式化为分数指数幂的形式,含有三角函数时,可先进行恒等变形等. 第二章 导数及其应用 高中同步 已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=3xf'(2)-2ln x,则f(1)=　　    . 典例1 解析    由题意得f'(x)=3f'(2)- , ∴f'(2)=3f'(2)-1,解得f'(2)= , ∴f(x)= x-2ln x, ∴f(1)= . 第二章 导数及其应用 高中同步 求下列函数的导数. (1)y=x-2+x2; (2)y=3xex-2x+e; (3)y= ; (4)y=x2-sin  cos  . 典例2 解析    (1)y'=2x-2x-3. (2)y'=(ln 3+1)(3e)x-2xln 2. (3)y'= . (4)∵y=x2-sin cos =x2- sin x, ∴y'=2x- cos x. 第二章 导数及其应用 高中同步 定点 2 求复合函数的导数 1.复合函数求导的步骤   第二章 导数及其应用 高中同步 2.求复合函数的导数的注意点 (1)分解出的函数通常为基本初等函数. (2)求导时分清是对哪个变量求导. (3)使计算结果尽量简单. 第二章 导数及其应用 高中同步 求下列函数的导数. (1)y=e2x+1;(2)y= ; (3)y=5log2(1-x);(4)y=sin3x+sin 3x. 典例 第二章 导数及其应用 高中同步 解析    (1)函数y=e2x+1可看作函数y=eu和u=2x+1的复合函数, ∴y'x=y'u·u'x=(eu)'(2x+1)'=2eu=2e2x+1. (2)函数y= 可看作函数y=u-3和u=2x-1 的复合函数, ∴y'x=y'u·u'x=(u-3)'(2x-1)'=-6u-4 =-6(2x-1)-4=- . (3)函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=1-x(x<1)的复合函数, ∴y'x=y'u·u'x=(5log2u)'(1-x)' = = . (4)函数y=sin3x可看作函数y=u3和u=sin x的复合函数,函数y=sin 3x可看作函数y=sin v和v=3x的 复合函数, ∴y'x=(u3)'(sin x)'+(sin v)'(3x)' =3u2cos x+3cos v=3sin2xcos x+3cos 3x. 第二章 导数及其应用 高中同步 方法技巧 　　求复合函数导数的关键是正确分析函数的复合层次,一般是从最外层开始,由外及内,一 层一层地分析,把复合函数分解成若干个基本初等函数,逐步确定复合过程. 第二章 导数及其应用 高中同步 定点 3 利用导数的运算解决切线问题 切线问题的处理思路 (1)对函数进行求导; (2)若已知切点,则利用切点处的导数求出切线斜率,利用点斜式写出切线方程; (3)若切点未知,则先设出切点,用切点横坐标表示切线斜率,再根据条件求切点坐标. 在解决此类问题时,求函数的导数是基础,找切点是关键,题目中的关键信息主要有:①在切点 处的导数等于切线的斜率;②切点在曲线上;③切点在切线上. 第二章 导数及其应用 高中同步 (1)若直线y=ex+m(e是自然对数的底数)是曲线y=ln x的一条切线,则实数m的值是　    　    ; (2)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的距离的最小值是　　　    . 典例 -2     第二章 导数及其应用 高中同步 解析    (1)设切点的坐标为(x0,y0),由y=ln x得y'= , ∵直线y=ex+m(e是自然对数的底数)是曲线y=ln x的一条切线, ∴切线斜率k=e= ,因此x0= , ∴y0=ln x0=-1, 即切点的坐标为 , 又切点在直线y=ex+m上, ∴-1=e× +m,解得m=-2. (2)∵y=ln(2x-1), ∴y'= ,由题意知当曲线的切线与直线2x-y+3=0平行时,切点到直线2x-y+3=0的距离即为 第二章 导数及其应用 高中同步 所求,设该切线的方程为2x-y+m=0(m≠3),切点的坐标为(x1,y1), 则 =2,解得x1=1, ∴y1=ln(2x1-1)=0, ∴切点的坐标为(1,0), ∴切点(1,0)到直线2x-y+3=0的距离为 = , 即曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的距离的最小值是 . 第二章 导数及其应用 高中同步 导师点睛 (1)本题涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素,其他的条件可以转化为这三个 元素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导数是解决本题的关键,务必做到准确无误. 第二章 导数及其应用 高中同步 $