2.4导数的四则运算 课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

作课人：廉文杰 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第二章 导数及其应用 第4节 导数的四则运算法则 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、熟记基本初等函数的导数公式． 2、掌握导数的和、差、积、商的求导法则. 3、会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题. 1、掌握导数的和、差、积、商的求导法则. 1、会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题. 2 新 知 引 入 函 数 导 数 函 数 导 数 y=c(c是常数） y=sinx y=xα(α是常数） y=cosx y=ax(a＞0,a≠1) y=tanx y=logax(a＞0,a≠1) y＇=0 y＇=αxα-1 y＇=axlnx 特别的（ex)＇=ex y＇= 特别的（lnx)＇= y＇=cosx y＇=-sinx y＇= 1、基本初等函数的导数： 新 知 引 入 2、函数 y=f(x)=x 的导数是__________________________. 3、函数 y=g(x)=x2的导数是__________________________. y＇= f＇(x) = 1 y＇= g＇(x) = 2x 4、函数 y=h1(x)=f(x)+g(x)=x+x2 的导数是什么呢？ 函数 y=h2(x)=f(x)-g(x)=x-x2 的导数是什么呢？ 解：h1＇(x) = (f(x)+g(x))＇ = = = (1+2x+△x) = 1+2x = f＇(x) +g＇(x) 解：h2＇(x) = (f(x) - g(x))＇ = = = (1-2x+△x) = 1 - 2x = f＇(x) - g＇(x) 学 习 新 知 两个函数和（或差）的导数等于这两个函数导数的和（或差），即 [ ]＇ = ， [ ]＇ = 导数的加法与减法法则 法则可以推广为 注意：1、 典 例 引 路 例1、求下列函数的导数： （1）y = x2+2x （2） y =-lnx 解：函数 y =x2+ 2x是函数f(x)=x2与g(x)= 2x的和, 根据导数公式表分别得出f＇(x)=2x，g＇(x)=2xln2. 根据求导的加法法则，可得 (x2+2x)＇=f＇(x)+g＇(x)= 2x+2xln2. 解：函数y=-lnx是函数f(x)=与g(x) = lnx的差， 根据导数公式表分别得出f＇(x)=()＇=()＇= ,g＇(x)= . 根据求导的减法法则，可得 (-lnx)＇= f＇(x)-g＇(x) = - . 同 步 练 习 练1、求下列函数的导数： （1）y=sinx+cosx （2） y=log2x-x2 解：y＇=(sinx+cosx)＇ =(sinx)＇+(cosx)＇ =cosx-sinx 解：y＇=(log2x-x2)＇ =(log2x)＇- (x2)＇ = - 2x 典 例 引 路 例2、求下列函数的导数.   (1) f(x)=x3-x²+x-2 （2）f(x)=ex+lnx-sinx 解： = 解：f＇(x)=(ex+lnx-sinx)＇ =(ex)＇+(lnx)＇-(sinx)＇ = ex + - cosx 同 步 练 习 练2、求下列函数的导数.   (1) f(x)=x2+x - （2）f(x)=2x - + 解：f＇(x)= ( x2 + x - )＇ = (x2)＇+(x)＇-( )＇ = 2x + 1 + 解：f＇(x) = (2x - lgx + )＇ = (2x)＇- (lgx)＇+()＇ = 2xln2 - + 新 知 引 入 5、函数 y=h3(x)=f(x)·g(x)=x·x2 的导数是什么呢？ 解：(f(x)·g(x))＇=h3＇(x) = = = = =[(x+△x)2+f(x)] =[(x+△x)2 ]+[ f(x) ] =[(x+△x)2]·+[]·f(x) =x2f＇(x)+2xf(x)=g(x)f＇(x)+g＇(x)f(x)=f＇(x)g(x)+f(x)g＇(x) 学 习 新 知 导数的乘法与除法法则 已知f(x)，g(x)是可导的，则 特别的: [kf(x)]＇=kf＇(x) ,(k∈Z) 特别的： 注意：1、 2、 乘法法则可记为“前导后不导加上后导前不导” 除法法则可记为“分母平方，上导下不导减去下导上不导” 谨防两种错误的记忆： , 典 例 引 路 例3、求下列函数的导数： （1）y=x2ex (2)y=·sinx 解：y＇= (x2ex)＇ = (x2)＇ex+(ex)＇x2 = 2xex+x2ex = (x2+x)ex 解：y＇= (·sinx)＇ = ()＇·sinx+(sinx)＇· = ·sinx+·cosx 同 步 练 习 (1)y=x·lnx 练3、求下列函数的导数： 解：y＇= (x·lnx)＇= (x)＇·lnx+(lnx)＇·x = lnx + ·x = 1+lnx (2)y=x3·sinx 解：y＇= (x3·sinx)＇ = (x3)＇·sinx+(sinx)＇·x3 = 3x2·sinx+cosx·x3 = 3x2·sinx+x3cosx 典 例 引 路 例4、求下列函数的导数: (1) y= (2) y = 解：y＇= = = 解：y＇= = = . 同 步 练 习 练4、求下列函数的导数: (1) y= (2) y = 解：y＇= = 解：y＇= = = 典 例 引 路 例5、求下列函数的导数: (1) y= (2)y= 解：y＇=[x2(lnx+sinx)]＇ = 2x(lnx+sinx) +x2( +cosx) = x+2xlnx+2xsinx+x2cosx. 解：y＇= = = - = -. 同 步 练 习 练5、求下列函数的导数: (1) y= + (2) y= 解：y＇= + = + 解：y＇= = = 典 例 引 路 例6、求曲线f(x)=在点（1,0）处的切线的方程. 解：f＇(x)= +(2x)＇lnx+2x(lnx)＇ = + (2xln2)lnx + = - 2xln2ln2+ . 将x=l代入f′(x)，得所求切线的斜率为f′(1)= . 所以曲线f(x)= 2xlnx在点（1,0）处的切线的方程为 y = (x-1) 即y= x - 同 步 练 习 练6、已知f(x)=lnx - ,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为______. 解：依题意得 f(1)=0 ∵ f＇(x)= - = - ∴ f＇(1)= ∴ 切线方程为y-0 = (x-1)即x-2y-1=0 典 例 引 路 例7、记函数f(x)的导数为f＇(x)，若f(x)=x3+2xf＇(1),则f＇(3)=________. 解：∵ f＇(x) = x2 + 2f＇(1) ∴ f＇(1) = 1 + 2f＇(1) ∴ f＇(1) = - ∴ f＇(x) = x2-2 ∴ f＇(3) = 9-2 = 7 同 步 练 习 练7、已知函数f(x)满足f(x)=f＇()cosx-sinx,则f＇()=_____ 解：∵ f＇(x) = -f＇()sinx - cosx ∴ f＇() = -f＇()sin - cos ∴ f＇() = -f＇()× - ∴ f＇()= - 同 步 练 习 全 课 总 结 一、导数的加法法则：[ ]＇ = ， 二、导数的减法法则：[ ]＇ = 三、导数的乘法法则： 特别的: [kf(x)]＇=kf＇(x) ,(k∈Z) 四、导数的除法法则： 特别的： THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 23 $