第2章 §4 4.2 导数的乘法与除法法则（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（北师大版2019）

4.2　导数的乘法与除法法则 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 知识点　导数的乘法与除法法则 预习教材，思考问题 已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x. (1)你能判断出f(x)·g(x)的导数与f′(x)，g′(x)有什么关系吗？ [提示]　(1)f(x)·g(x)＝x3，[f(x)·g(x)]′＝(x3)′＝3x2，而[f(x)·g(x)]′＝(x2·x)′＝(x2)′·x＋x2·x′＝3x2，f′(x)＝(x2)′＝2x，g′(x)＝x′＝1，所以[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 1．积的导数 [f(x)·g(x)]′＝ ． 特别地，[kf(x)]′＝kf′(x)，k∈R. f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 [解]　(1)y′＝(x4－2x2－3x＋3)′＝4x3－4x－3. 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 (3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(4)y＝xtan x. [解]　(3)法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋[(x＋1)(x＋2)](x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)·(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11. 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 　应用导数四则运算法则求函数的导数的技巧 (1)求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错． (2)利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导． (3)在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 　求下列函数的导数： (1)y＝x5－3x3－5x2＋6； 解：(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′ ＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′ ＝5x4－9x2－10x. 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 (2)y＝(2x2＋3)(3x－2)； 解：(2)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3)＝18x2－8x＋9. 法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9. 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 　乘法、除法法则的简单应用 例1　若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为________． [解析]　设P(x0，y0)，则y＝xln x在x＝x0处的导数为ln x0＋1＝2，所以x0＝e， 则y0＝e，则P点坐标为(e，e)． (e，e) 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 　利用导数运算法则解决与切线相关问题的两个方法 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系． (2)准确求出已知函数式的导数、切线方程是解决此类问题的关键． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 课时作业 巩固提升 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 $