2.4 导数的四则运算法则 课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

第二章 导数及其应用 2.4.1 导数的加法与减法法则 函数类型 原函数 f (x) 导函数 f ´(x) 常函数 ① f (x) = C (C 为常数) f ´(x) = 0 幂函数 ② f (x) = xα (α∈Q 且 α ≠ 0) f ´(x) = αxα – 1 三角函数 ③ f (x) = sin x f ´(x) = cos x ④ f (x) = cos x f ´(x) = – sin x 指数函数 ⑤ f (x) = ax (a > 0，且 a ≠ 1) f ´(x) = axln a (a > 0，且 a ≠ 1) ⑥ f (x) = ex f ´(x) = ex 对数函数 ⑦ f (x) = logax (a > 0，且 a ≠ 1) f ´(x) = (a > 0，且 a ≠ 1) ⑧ f (x) = ln x f ´(x) = 回顾：常用基本初等函数的导数公式表. 问题 1：设 f (x) = x2，g(x) = x，计算 [f (x) + g(x)]´，[f (x) – g(x)]´，观察计算结果，说说它们与 f ´(x) 和 g´(x) 有什么关系？ 因为 = = = Δx + 2x + 1， 所以 [f (x) + g(x)]´ = y´= =(Δx + 2x + 1) = 2x + 1. 设 y = f (x) + g(x) = x2 + x， 而 f ´(x) = (x2)´ = 2x，g´(x) = x´ = 1， 所以 [f (x) + g(x)]´ = f ´(x) + g´(x)； 同理可得： [f (x) – g(x)]´ = f ´(x) – g´(x). 思考：上述关系对任意函数都成立吗？再取几组函数试试. 导数的加、减运算法则 [f (x) ± g(x)]´ = f ´(x) ± g´(x) 一般地，对于两个函数 f (x) 和 g(x) 的和 (或差) 的导数，有如下法则： 例 1：求下列函数的导数. （1）y = x3 – x + 3； （2）y = 2x + cos x. 解：（1）y´ = (x3 – x + 3)´ = (x3)´ – (x)´ + (3)´ = 3x2 – 1； （2）y´ = (2x + cos x)´ = (2x)´ + (cos x)´ = 2xln 2 – sin x. 练一练1：求下列函数的导数. （1）y = 2x3 – 3x2 – 4； （2）y = 3cos x + 2x . 解：（1）y´ = (2x3 – 3x2 – 4)´ = (2x3)´ – (3x2)´ + (4)´ = 6x2 – 6x； （2）y´ = (3cos x + 2x)´ = (3cos x)´ + (2x)´ = – 3sin x + 2xln 2. 例 2：求曲线 在点（1，0）处的切线的方程. 解：首先求出函数 在 x = 1 处的导数， 函数 是函数 f (x) = x3 与 g (x) = 的差， 由导数公式表分别得出 f ʹ (x) = 3x2，gʹ(x) = . 根据求导的减法法则，可得 将 x = 1代入导数，得 即曲线 在点 (1，0) 处的切线斜率为 4， 从而其切线的方程为 y - 0 = 4(x - 1)，即 y = 4x - 4. 练一练2：求曲线 y = 2x - x3 在点 (1，1) 处的切线方程. 解：因为函数 y = 2x - x3 是函数 f (x) = 2x 与 g (x) = x3 的差， 由导数公式表分别得出 f ʹ (x) = 2，gʹ(x) = 3x2. 根据求导的减法法则，可得 (2x - x3)ʹ = (2x)ʹ - (x3)ʹ = 2 - 3x2， 将 x = 1 代入导数，得 2 - 3×12 = -1， 即曲线 y = 2x - x3 在点 (1，1) 处的切线斜率为 -1，从而其切线的方程为 y - 1 = -1(x - 1)，即 x + y - 2 = 0. 2.4.2 导数的乘法与除法法则 回顾：导数的加、减运算法则 [f (x) ± g(x)]´ = f ´(x) ± g´(x) 一般地，对于两个函数 f (x) 和 g(x) 的和 (或差) 的导数，有如下法则： 问题1：设 f (x) = x2，g(x) = x，计算 [f (x)·g(x)]´，f ´(x)·g´(x)，观察计算结果，说说它们有什么关系？ 所以 [f (x)·g(x)]´ = y´= 3x2，f ´(x)·g´(x) = (x2)´· (x)´ = 2x·1 = 2x； 设 y = f (x)·g(x) = x3， 所以 [f (x)·g(x)]´ ≠ f ´(x)·g´(x). 思考：f (x) 与 g(x) 商的导数是否等于它们导数的商？ 设 y = = x，所以[]´ = y´= 1， = = 2x； 所以 []´≠ . 导数的乘、除运算法则 [f (x) · g(x)]´ = f ´(x)·g(x) + f (x)·g´(x). []´ = ( g(x) ≠ 0 ) 对于两个函数 f (x) 和 g(x) 的乘积 (或商) 的导数，有如下法则： 问题2：设 f (x) = c ( c 为常数)，g(x) = x，运用法则计算 [f (x)·g(x)]´，观察计算结果，说说你发现了什么？ 因为 [f (x)·g(x)]´ = c´· g(x) + c · g´(x) = c · g´(x) ； 所以 [c · g(x)]´ = c · g´(x)， 即常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积. 小结：[c f (x)]´ = c f ´(x) 例 1：求下列函数的导数. （1）y = x3ex； （2）y = ； （3） y = 3x2. 解：（1）y´ = (x3ex)´ = (x3)´ex + x3(ex)´ = 3x2ex + x3ex ； （2）y´ = ()´ = = = ； （3）y´ = (3x2)´ = 3(x2)´ = 3×2x = 6x . 练一练1：求下列函数的导数. （1）y = exln x； （2）y = . 解：（1）y´ = (exln x)´ = (ex)´ln x + ex(ln x)´ = exln x + ex· = ex(ln x + )； （2）y´ = ()´ = = = . 解：（1）函数 y = x2(ln x + sin x)是函数 f (x) = x2与g (x) = ln x + sin x 的积，根据导数公式表及求导的加法法则分别得出 根据求导的乘法法则，可得： 例 2：求下列函数的导数： （1）y = x2(ln x+sin x)； （2） . （2）函数 是函数 f (x) = cos x - x 与 g(x) = x2 的商，根据导数公式表及求导的减法法则分别得出 f ʹ(x) = -sin x - 1 与 g (x) = 2x. 根据求导的除法法则，可得 求导的注意事项： 1.先区分函数的结构特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的四则运算法则求导数； 2.对于较复杂的函数式，应先进行适当的变形，化为较简单的函数式再求导，可简化求导过程. 例 3：求曲线 在点 (1，0) 处的切线的方程 . 根据导数公式表及导数的四则运算法则，可得 解：先求出函数 的导数. 将 x = 1代入f ʹ(x)，则所求切线的斜率为 即 所以曲线 在点 (1，0) 处的切线的方程为 练一练2：求曲线 在点 (1，1) 处的切线的方程. 解：先求出函数 的导数， 将 x = 1代入 yʹ，则所求切线的斜率为 0， ∴曲线 在点 (1，1) 处的切线的方程为 y - 1 = 0. $