专题03 特殊的平行四边形（期中复习专项训练）八年级数学下学期人教版五四制

专题03 特殊的平行四边形 题型1 利用矩形性质求解（常考点） 题型10 菱形的性质与判定综合应用 （难点） 题型2 利用矩形性质与判定证明（重点） 题型11 利用正方形的性质求解（常考点） 题型3 矩形与折叠问题（难点） 题型12 正方形折叠问题（难点） 题型4 斜边的中线等于斜边的一半 题型13 利用正方形性质与判定证明 （难点） 题型5 矩形的判定辨析与补充条件（常考点） 题型14 正方形的判定辨析与补充条件（常考点） 题型6 矩形的性质与判定综合应用（难点） 题型15 正方形的性质与判定综合应用（难点） 题型7 利用菱形的性质求解（常考点） 题型16 中点四边形 （重点） 题型8 利用菱形性质与判定证明 （重点） 题型17 （特殊）平行四边形的动态与最值问题（难点） 题型9 添一个条件使四边形是菱形 （常考点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用矩形性质求解（共9小题） 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点O，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】矩形性质理解 【分析】本题考查了矩形的性质，由矩形的性质分析每个选项，从而可得答案． 【详解】解：A、根据矩形的性质可知不一定成立，故A选项不符合题意； B、根据矩形的性质可知，不一定成立，故B选项不符合题意； C、根据矩形的性质可知不一定成立，故C选项不符合题意； D、根据矩形的性质可知一定成立，故D选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，矩形的周长为，对角线相交于点O，若比的周长多2，则该矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，由题意得：，根据比的周长多2，得；根据矩形的周长为，得；即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∵比的周长多2， ∴，即； ∵矩形的周长为， ∴； ∴， ∴该矩形的面积为：， 故选：A 3．（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点F， 若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用矩形的性质求角度、等边对等角 【分析】本题考查了矩形的性质，根据题意可得，再通过矩形的性质可得，即可解答，熟练运用矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点O作的垂线交于点F， ， ， 四边形是矩形， ，， 即， ， 故选：A． 4．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，矩形的对角线，交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积公式的运用，首先结合矩形的性质可得，证明，进而可得与的面积相等；接下来即可将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故． B故选：b故选：B． 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则________． 【答案】＃＃50度 【知识点】等边对等角、利用矩形的性质求角度 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．首先需要确定矩形的性质，包括对角线的长度和角度，然后通过比较线段长度来确定角度关系，最后通过计算来确定所求的角度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴, ∴, ∵, ∴， ∴． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·广西防城港·期中）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为 _____ ． 【答案】5 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查的是最短路径问题，矩形的性质，轴对称的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 连接，在BA的延长线上截取，连接则的最小值转化为的最小值，则，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：如图，连接， 在矩形中，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则，即的最小值转化为的最小值， 在的延长线上截取，连接， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 连接，则， ∵， ∴． ∴的最小值为5． 故答案为：5． 7．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，求与的长． 【答案】的长是8，的长是10 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理．根据矩形的对角线相等且互相平分可求出，进而根据勾股定理在中，求出． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，． ∴在中，， ∴的长是8，的长是10． 8．（24-25八年级下·重庆巫山·期中）小明家装修剩有一块损坏的如图四边形方砖，他想从中取一块长方形方砖作为二次使用，于是在方砖的D点向边，作垂线，垂足为M，N，沿着垂线割出长方形砖，其余部分视为损耗部分，他想通过测量一些数据了解该损坏方砖的损耗面积，于是测得如下数据：，，，，请问小明根据以上数据能否计算出这块损坏方砖的损耗面积，若能，请求出损耗面积；若不能，请说明理由． 【答案】能，损耗面积为． 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据矩形的性质得到，得到，根据勾股定理得到，求得．根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：能，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴损耗面积． 9．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，线段的两端点、都在格点上 ． (1)在图1中画一个以为边、面积为12的矩形；（要求：另外两个顶点也在格点上） (2)在图2中画一个以为对角线、面积为12的平行四边形．（要求：另外两个顶点也在格点上） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】矩形性质理解、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据矩形的性质结合面积为12画出图形即可； （2）根据平行四边形的性质结合面积为12画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，矩形即为所求， （2）解：如图，平行四边即为所求， 题型二 利用矩形性质与判定证明 （共6小题） 10．（23-24八年级下·广西·期中）在八下书本53页中，我们得到了一个直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请你证明此性质．即已知：如图，在中，，O为的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、利用矩形的性质证明、证明四边形是矩形 【分析】本题考查矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．延长至点，使得，连接，根据矩形的判定即可得到四边形是矩形，再利用矩形的性质即可得到对角线相等，最后利用对角线互相平分即可得到的长度． 【详解】证明：如图，延长至点，使得，连接， ， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形， ∴， ． 11．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在矩形中，点是边上的中点．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质，利用矩形的性质证得，，又为边上的中点，则，通过证明，最后通过全等三角形性质即可证得结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵为边上的中点， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，矩形中，，，点E是的中点，于点F，连接并延长与交于点G． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、根据等角对等边证明边相等、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等面积法，余角定理，等角对等边等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据矩形的性质得出直角和相等的边，然后利用勾股定理和等面积法求出线段的长度即可； （2）过F作于点M，过F作于点N，利用勾股定理和等面积法求出相关线段的长度，得出，，然后利用等角的余角相等得出，最后利用等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 由勾股定理得； ∵， ∴由等面积得，， ∴； （2）证明：过F作于点M，过F作于点N， 则四边形是矩形， ∴，， 在中，， 由等面积可得， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴（等角的余角相等）， 同理：， ∴， ∴． 13．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）已知点P是矩形边的中点，将矩形绕点P顺时针旋转得到矩形，使点D的对应点G落在线段的延长线上，连接． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】垂线的定义理解、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质求角度、证明四边形是矩形 【分析】（1）通过连接辅助线、，利用点是中点及旋转性质得出边的关系，先证四边形是平行四边形，再结合矩形性质证其为矩形，从而得到 ，实现的证明． （2）先根据已知条件求出相关线段长度和角度，如利用勾股定理求，结合角度关系得出，进而求出、，最后在中用勾股定理求 ． 【详解】（1）证明：连接， ∵点P是的中点 ∴， 由题可知： ∴四边形是平行四边形 又由题可知： ∴是矩形 ∴ ∴ （2）解：∵，，， ∴在中，， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴在中，． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定、旋转的性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，灵活运用旋转性质找等量关系是解题的关键． 14．（24-25八年级下·广西北海·期中）在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为 【知识点】利用平行四边形的性质证明、证明四边形是矩形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，而，则四边形是平行四边形，再由，可推四边形是矩形； （2）由，，，根据勾股定理可求得，则，再利用角平分线证明，根据等角对等边求出． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 于点，点在上， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）解：，，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 的长为5． 15．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，O为线段的中点，连接，延长交于点E，连接，且满足． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，则四边形的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2)13 【知识点】证明四边形是矩形、根据矩形的性质与判定求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质是解题的关键； （1）根据平行四边形的性质可证明，得到，即可推出四边形是平行四边形，再结合即可得到结论； （2）根据平行四边形和矩形的性质依次求出，，进而可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵O为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴四边形的周长； 故答案为：13. 题型三 矩形与折叠问题 （共5小题） 16．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题主要考查的是折叠图形的性质以及勾股定理的应用首先根据折叠图形和平行线的性质得出，然后设，则，根据勾股定理求出的值，最后根据即可求解． 【详解】解：根据折叠得：， 四边形是矩形， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即， 故选：B． 17．（24-25八年级下·北京·期中）如图，将一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与交于点．若，，则的长为（   ） A．9 B．12 C．13 D．15 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握折叠前后对应边、对应角相等是解题的关键． 由折叠的性质可得，，设，则，证明，推出，再用勾股定理解即可． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， 由折叠得，，， ，， 设，则， 在和中， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 的长为13， 故选C． 18．（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，折痕为，已知，，则的长为_________． 【答案】3 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质，勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵折叠长方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为：． 19．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）． (1) ， ； (2)求的长． 【答案】(1)6，4 (2) 【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题 【分析】（1）由矩形的性质及勾股定理可得出答案； （2）设，由勾股定理可得，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，，，是 折叠得到， ∴．， ∴在中，， ∴． （2）解：设， ∴，． 在中，， ∴， 解得：， ∴． 20．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在直角坐标系中，矩形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为． (1)求证：为等腰三角形； (2)求折痕的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质与折叠问题是解题的关键． （1）利用折叠的性质及平行线的性质推出即可； （2）过点E作于点H，利用勾股定理求出折痕的长． 【详解】（1）证明：由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：过点E作于点H， ∵，， ∴， ∴． 题型四 斜边的中线等于斜边的一半（共5小题） 21．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，为中点，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：，为中点， ， ， ， 故选：A ． 22．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图所示，O是矩形的对角线的中点，E为的中点．若，，则的周长为（　　） A．10 B． C． D．14 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】由点O是的中点，E为的中点可得，在中，利用勾股定理求得，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，即可得的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵点O是的中点，E为的中点， ∴，， 在中，，， 根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得，． ∵四边形是矩形， ∴， ∵点O是的中点， ∴． ∴的周长为． 23．（24-25八年级下·青海海西·期中）已知一直角三角形的两条直角边分别是，，则斜边上的中线与高分别是______． 【答案】， 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据勾股定理可求得斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得斜边上的中线，根据两直角边可求得三角形的面积，根据面积公式即可求得高线的长． 此题主要考查勾股定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的综合运用． 【详解】解：直角三角形的两条直角边分别是，， 斜边，面积， 斜边上的中线，斜边上的高． 故答案为：，． 24．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为______． 【答案】 【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，根据直角三角形斜边中线的性质，，则有，，再通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，分别是斜边，上的中线， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 故答案为： 25．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，，是底边上的高，E为的中点，求的长． 【答案】4 【知识点】三线合一、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，由三角形的高的定义得到，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：∵在中，是底边上的高， ∴，即， ∵E为的中点， ∴． 题型五 矩形的判定辨析与补充条件（共4小题） 26．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，在下列条件中，能够判定平行四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定方法：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形． 根据矩形的判定方法逐一判断即可． 【详解】A． ∵，∴，即，平行四边形不是矩形 B． ，无法判定平行四边形是矩形 C． ，无法判定平行四边形是矩形 D． ∵，∴，平行四边形是矩形 故选：D． 27．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致.这种检查方法用到的数学依据是（   ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．三个角都是直角的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形 【答案】C 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】本题考查矩形的判定和矩形的性质．判断平行四边形为矩形是解题的关键．根据矩形的判定方法和性质即可得出答案． 【详解】解：∵书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等， ∴书架是平行四边形， ∵书架的对角线相等， ∴书架是矩形， ∴书架是四个角都是直角， 这种检查方法用到的数学依据是：对角线相等的平行四边形是矩形， 故选：C． 28．（24-25八年级下·全国·期中）在平行四边形中，与相交于点O，要使在平行四边形是矩形，需添加的条件是_______（填序号） ①；②；③；④ 【答案】②③④ 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查矩形的判定，涉及到平行四边形的性质、菱形的判定、等腰三角形的判定等知识，熟知矩形的判定是解答的关键．根据矩形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：如图所示， ①∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意； ②∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴平行四边形是矩形，符合题意； ③∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，符合题意； ④∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，符合题意； 故答案为：②③④． 29．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，两个完全相同的三角尺和在直线上滑动，要使四边形为矩形，还需添加的一个条件是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查添加条件使四边形为矩形，先根据题意，推出，得到四边形为平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形，添加条件即可． 【详解】解：∵两个完全相同的三角尺和， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为矩形； 故答案为：（答案不唯一） 题型六 矩形的性质与判定综合应用（共4小题） 30．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，，，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点，于点，连接，则线段长的最小值为_____． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理等知识，垂线段最短；利用矩形的性质转化为求的最小值是解题的关键．连接，证明四边形是矩形，则，当取得最小值时，取得最小值，此时，利用面积相等即可求得的最小值，从而求解． 【详解】解：连接，如图所示； ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 当取得最小值时，取得最小值，此时； ∵，，， ∴由勾股定理得：； ∵， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为； 故答案为：． 31．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在平行四边形中，对角线和交于点，且．，求的度数． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质等知识. 首先证明四边形是矩形，利用矩形的性质即可解决问题. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 32．（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，在中，，D是的中点，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、三线合一 【分析】（1）由等腰三角形三线合一的性质得出，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由已知条件可得出，由勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出． 【详解】（1）证明：∵， D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）可知四边形是矩形． ∴，，， ∵D是的中点，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ 即， ∴． 33．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：点、、、在同一直线上，，，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，与三角形的高有关的计算： （1）证明，得到，进而求出即可； （2）证明四边形为矩形，根据同底三角形的面积比等于底边比，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上：满足条件的三角形有，，，． 题型七 利用菱形的性质求解（共8小题） 34．（24-25八年级下·广西北海·期中）已知菱形的两对角线长分别为和，则菱形的面积为（    ） A．8 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质求面积 【详解】∵菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，已知该菱形两对角线长分别为和， ∴菱形的面积． 35．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在菱形中，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．16 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的性质并推出等边三角形是解题的关键．根据菱形的性质，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ． 故选：． 36．（24-25八年级下·广东佛山·期中）把一个长方形的纸片按图甲、图乙对折两次，然后剪下图丙中的①部分，为了得到一个锐角为的菱形，剪口与第一次折痕所成的角的度数应为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】利用菱形的性质求角度、折叠问题 【分析】本题考查了剪纸问题，翻折的性质，菱形的性质．根据翻折的性质和菱形的性质可得答案． 【详解】解：为了得到一个锐角为的菱形， 菱形的内角度数为或， 根据菱形的对角线平分每一组对角得，或， 故选：D． 37．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，用4根长度相等的木棒拼成的四边形，，则该四边形的周长为________． 【答案】20 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．根据四边相等的四边形是菱形可得四边形是菱形，再由菱形的两条对角线互相垂直平分和勾股定理求出边长，求出菱形的周长即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴ ∴该四边形的周长为：． 故答案为：20． 38．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，在菱形中，，，则________． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求角度、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，根据菱形对边平行结合平行线的性质可得的度数，再根据菱形对角线平分一组对角可得的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 39．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的面积为_______． 【答案】24 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查菱形的性质，关键是掌握菱形的面积公式：菱形面积、b是两条对角线的长度 由菱形的面积公式，即可计算． 【详解】解：，， 菱形的面积 故答案为：． 40．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在菱形中，，且，试求的度数． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求角度、等边对等角 【分析】本题主要考查了菱形的性质及等边对等角，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键． 由菱形的性质可知，结合，得，即可求解． 【详解】解：在菱形中，， ． 又， ． ． 41．（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，已知菱形的对角线，的长分别为、，于点，求的长． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积 【分析】利用菱形对角线性质求边长，再通过面积法列方程求高． 【详解】解：∵四边形是菱形， ，，， ， ， ，即， 解得． 题型八 利用菱形性质与判定证明（共5小题） 42．（22-23八年级下·陕西西安·期中）如图，点、分别是菱形的边与延长线上的点，且，连接、，求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质．连接，证明，推出，再利用证明，即可证明． 【详解】证明：连接， ∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 43．（24-25八年级下·云南文山·期中）已知：如图，矩形中，对角线与相交于点E，作，与相交于点F．求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【知识点】利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】先证明四边形是平行四边形，由矩形的性质得出，即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形，对角线与相交于点E， ， 四边形为菱形． 44．（24-25八年级下·广东江门·期中）已知：如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与、分别交于点E、O、F．求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【知识点】证明四边形是平行四边形、证明四边形是菱形、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，菱形的判定等知识点，证明简单的线段相等，一般是通过全等三角形来证明的．由四边形是平行四边形，即可得, 易证得, 可得, 即可证得四边形是平行四边形，又由, 即可证得四边形是菱形. 【详解】证明：四边形是平行四边形， , , , , 又, 四边形是平行四边形， , 是菱形. 45．（23-24八年级下·河南新乡·期中）如图，在中，点E，F分别在，上，且平分．若，连结．求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【知识点】根据等角对等边证明边相等、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、角平分线的定义、等角对等边，由平行四边形的性质可得，证明四边形是平行四边形，由角平分线的定义结合平行线的性质得出，推出，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ， 又， ， ∴四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， ∴平行四边形是菱形． 46．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点C、D作，，和交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、证明四边形是矩形、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理等知识， （1）先证四边形是平行四边形，根据菱形的对角线互相垂直，得到，即可判定四边形是矩形； （2）由勾股定理可求的长，可得的长，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 题型九 添一个条件使四边形是菱形（共5小题） 47．（23-24八年级下·广东云浮·期中）如图，要使成为菱形，需要添加的条件可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查菱形的判定，平行四边形的性质等知识．根据菱形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：根据对角线垂直的平行四边形是菱形，可知选项B正确， 故选：B． 48．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，两个完全相同的三角尺和在直线l上滑动，可以添加一个条件，使四边形为菱形，下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】添一个条件使四边形是菱形、斜边的中线等于斜边的一半、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查菱形的判定，含30度角的直角三角形，斜边上的中线，根据题意，易得四边形为平行四边形，，根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形结合斜边上的中线，进行判断即可． 【详解】解：由图和题意可知：，， ∴， ∴四边形为平行四边形， A、当时，无法得到四边形为菱形，不符合题意； B、当时，则：为的中点， ∴， ∴四边形为菱形，符合题意； C、当时，无法得到四边形为菱形，不符合题意； D、当时，无法得到四边形为菱形，不符合题意； 故选：B． 49．（24-25八年级下·青海海西·期中）______的平行四边形是菱形．填一个合适的条件 【答案】对角线互相垂直或一组邻边相等 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】根据菱形的判定定理解答即可． 本题考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形或一组邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：对角线互相垂直或一组邻边相等 50．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在中，对角线相交于点，添加一个条件判定是菱形，所添加的条件为____________（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定，在四边形是平行四边形的前提下，可添加邻边相等、对角线相互垂直等；根据菱形的判定条件添加即可． 【详解】解：添加，则是菱形； 故答案为：（答案不唯一）． 51．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在四边形中， 对角线， 相交于点， 过点作交于点．已知，若再添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是__________． 【答案】 (答案不唯一) 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定，熟悉掌握菱形的判定方法是解题的关键． 先判定出四边形为平行四边形，再根据菱形的判定添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴只需要添加一组邻边相等或对角线垂直即可证明是菱形， 故答案为：(答案不唯一) ． 题型十 菱形的性质与判定综合应用（共7小题） 52．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】作线段(尺规作图)、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】本题考查了尺规作图、菱形的判定与性质，由作图可知：，根据四条边都相等的四边形是菱形，可知四边形是菱形，根据菱形的对角相等可得：． 【详解】解：由作图可知：， 四边形是菱形， ． 故选：B． 53．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图，将一张矩形纸片对折，使边与，与分别重合，展开后得四边形．若，，则四边形的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、矩形与折叠问题 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质可得，由此可得，则四边形是菱形，进而可得，，根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可得到答案． 本题主要考查了举矩形的性质、菱形的判定和性质、以及菱形的面积．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】∵四边形 是矩形， ，，， 由折叠的性质可得，，，， ，， ， ， ∴四边形是菱形， ，，， ， 故选：A． 54．（24-25八年级下·贵州黔南·期中）如图，以的顶点A为圆心，a的长为半径画弧，两弧分别交，于点B，C，再分别以点B，C为圆心，a的长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，．若，，则四边形的周长是（    ） A．8 B．12 C． D． 【答案】D 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了菱形的判定及性质，勾股定理；由作法得，，，由勾股定理得，即可求解；掌握菱形的判定及性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：与交于， 由作法得：， 四边形是菱形， ， ， ， ， 四边形的周长是； 故选：D． 55．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，分别以、两点为圆心，5为半径画弧，两弧交于、两点，则四边形的面积是______． 【答案】24 【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理；首先根据题意得到四边形是菱形，进而得到，，然后利用勾股定理得到，最后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得， 四边形是菱形， 如图，设和交于点O， ，， ， ， 四边形的面积是， 故答案为：24． 56．（24-25八年级下·福建·期中）如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、根据菱形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由平行四边形的性质得，由，推导出，则，而，所以，因为，所以四边形是平行四边形，再根据菱形的定义证明四边形是菱形即可； （2）连接，由菱形的性质得，因为，所以，则，求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分交于点为边上的点，， ， ， ， ∵， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． （2）解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ， ， ， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的长是． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理及其逆定理等知识，推导出及是解题的关键． 57．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，，，E为的中点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据三角形中线求面积、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形中线平分三角形面积等知识，证明菱形的关键． （1）由直角三角形斜边中线的性质结合，得，再由得四边形是平行四边形，再由即可证明四边形是菱形； （2）连接，由菱形的性质结合，得；由E是的中点及菱形性质得四边形的面积等于直角三角形的面积，由勾股定理求得即可求解． 【详解】（1）证明：∵，E为的中点， ∴； ∵，即， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：连接，如图； ∵四边形是菱形， ∴； ∵， ∴； ∵点E是的中点， ∴； ∵， ∴四边形的面积等于直角三角形的面积； 在中，由勾股定理得， ∴四边形的面积为． 58．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在中，平分交于点交于点F．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理； （1）根据平行四边形的性质得出结合，得出四边形是平行四边形，进而根据角平分线以及平行线的性质得出则，即可得证； （2）根据菱形的性质，勾股定理，求得菱形的面积，进而根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ， 平分交于点交于点F ， ∴四边形为平行四边形， ， ， ． ∴四边形是菱形； （2）解：连接交于点H，    ∵四边形是菱形，，， ，，，， ， ， ， ， ， ， 的长为． 题型十一 利用正方形的性质求解（共7小题） 59．（24-25八年级下·全国·期中）若正方形的一条对角线的长为，则正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据正方形的性质求面积 【分析】本题考查了正方形的性质．根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：∵正方形的一条对角线长为， ∴这个正方形的面积， 故选：B． 60．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）如图，在正方形中有一点，连接，，.若为等边三角形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、等边三角形的性质、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 求得，，根据三角形内角定理和等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 61．（24-25八年级下·北京·期中）我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．如图．四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接．若正方形的面积为10，，则的长为（   ） A．5 B． C．10 D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，证明得出，再结合正方形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：依题意，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵正方形的面积为10， ∴， 故选：D 62．（24-25八年级下·江苏南京·期中）将对角线分别为和的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为______ ． 【答案】5 【知识点】正方形性质理解、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了菱形的面积和正方形的面积计算的方法，已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积，进一步开方求得正方形的边长即可． 【详解】解：菱形的对角线分别为和， 菱形的面积， 正方形的边长是． 故答案为：5． 63．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方形中，以为边在平面内作等边三角形，连接，则的度数为_____． 【答案】或 【知识点】等边对等角、等边三角形的性质、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握分类讨论．分两种情况：点在正方形内和点在正方形外两种情况讨论即可． 【详解】解：点在正方形内： 正方形中，，，等边中， 所以． ． 在等腰中，． 点在正方形外： 同理，． 在等腰中，． 综上，为或． 故答案为：或． 64．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，和是两个不等的正方形，连接交于，如果面积为10，则面积为____________． 【答案】10 【知识点】根据正方形的性质求面积 【分析】本题考查了正方形的性质，等底等高的三角形面积相等等知识，掌握这些知识是解题的关键；连接，由正方形的性质得，；而，且，则可得，从而问题求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形和是两个正方形， ∴，， ∴，； ∵， ， ∴； ∵， ∴； 故答案为：10． 65．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在正方形中，F是对角线上一点，连接，延长交于点E．若，求的度数． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质求角度 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，根据题意得到，证明，求出，再由三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形，是对角线上一点， ． 又， ． ． ． 题型十二 正方形折叠问题 （共5小题） 66．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，将一张边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，点落在点处，折痕为，则线段长的平方为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题、正方形折叠问题 【分析】本题考查折叠问题，正方形的性质，勾股定理，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．连接，作交于点，根据折叠的性质，在中，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出的长．在中，有，在中，有，根据这两个式子可求得，得到，，在中，运用勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接，作交于点， 由四边形是正方形及折叠性知， ，，，， 在中，， ∵，为的中点， ∴， ∴， 解得， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， 在中， ， 故选：B． 67．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，M为边上一点，将沿翻折到，点B折到点N，连，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【知识点】垂线段最短、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一、正方形折叠问题 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的构造，以及用垂线段最短解决几何最值问题．利用三垂直全等模型构造全等三角形，利用轴对称及等腰三角形三线合一得比值，利用垂线段最短解决最小值问题． 【详解】解：如图： ∵正方形， ∴，， 分别作于E，于F，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 由轴对称可得：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，根据垂线段最短可得：， ∴， 故的最小值为， 故选：A． 68．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，正方形的边长为8，点E、F分别在边上．将该纸片沿折叠，使点A的对应点G落在边上，折痕与交于点Q，点K为的中点，则随着折痕位置的变化，周长的最小值为______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、最值问题．取的中点M，连接，，证明，，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：取的中点M，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ∵点K为的中点， ， 由折叠得关于对称， ， ，， ， 的周长 又， ， 的周长的最小值为， 故答案为： 69．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知：如图，在边长的正方形中，点在边上， ，将沿折叠至，延长交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据正方形的折叠证明，则得到，而折叠得到，再由即可求解； （2）由，可设，则，，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由折叠得,， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴在和中， ， ， ， 又 ， ， ． （2）解：∵， 设， , ， 在中， ， ∴． 70．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，正方形的边长为8，点E在边上（不与端点重合），将沿翻折，得到，连接，． (1)当平分时，求点F到的距离． (2)求的周长的最小值，并求出此时的长． (3)若为直角三角形，求的长． 【答案】(1) (2)周长最小值为； (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】（1）如图，过作于，证明，从而可得答案； （2）如图，连接，求解，由，（当共线时取等号），结合，可得当最小，则最小，再进一步求解即可； （3）如图，为直角三角形，只有，延长交于，证明，可得，再证明，设，则，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过作于， ∵正方形的边长为8，将沿翻折，得到， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴点F到的距离为； （2）解：如图，连接， ∵正方形的边长为8，将沿翻折，得到， ∴，，， ∴， ∵，（当共线时取等号） ∵， ∴当最小，则最小， ∴当共线时，的最小值为：， ∴最小值为； 如图，设，则， ∵四边形为正方形， ∴，而， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：如图，为直角三角形，只有，延长交于， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，正方形的性质，二次根式运算，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 题型十三 利用正方形性质与判定证明 （共6小题） 71．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在矩形中，点E，F分别在，上，且，于点G． (1)求证：矩形是正方形； (2)延长到点H，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)是等腰三角形，理由见解析． 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、利用矩形的性质证明、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定及性质，等腰三角形的判定． （）证明，得到，即可求证； （）证明可得，进而得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：是等腰三角形． 理由：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 72．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，四边形中，，，，，作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是正方形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)144 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求面积、垂线的定义理解、证明四边形是正方形 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，垂直的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得出直角，证明四边形为矩形，利用证明，得出，即可得出结论； （2）借助（1）的结论得出四边形的面积等于正方形的面积，求出，即可求出面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：由（1）得四边形是正方形，且， ∴四边形的面积等于正方形的面积，， ∵，， ∴， ∴正方形的面积为， 即四边形的面积为144． 73．（23-24八年级下·广西防城港·期中）已知：如图，在矩形中，M、N分别是边的中点，E、F分别是线段的中点，设． (1)求证：； (2)当a为何值时，四边形是正方形？ 【答案】(1)证明见解析； (2)当时，四边形是正方形． 【知识点】线段中点的有关计算、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据矩形的性质求线段长、证明四边形是正方形 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，再根据线段的中点定义可得，然后利用证明，即可解答； （2）根据已知可得，从而可得，，进而可得，再利用（1）的结论可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，，从而可得，进而可得四边形是菱形，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：当时，四边形是正方形，理由如下： ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ∵点是的中点， ， ∵分别是线段的中点， ，， ， ∴四边形是菱形， ， ∴四边形是正方形． 74．（22-23八年级下·广东东莞·期中）如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明 【分析】本题主要运用正方形的性质、全等三角形的判定定理（）以及全等三角形的性质来证明． （1）通过证明三角形全等得到对应边相等和对应角相等； （2）在（1）的基础上，利用角的关系证明垂直． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）设与交于点G， ∵， ． 又∵， ， ， ． 75．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连接，且． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、证明四边形是正方形 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，四边形内角和定理，勾股定理． （1）证明，可得，则矩形是正方形； （2）由已知得，则，再根据得； （3）分两种情况讨论：当与的夹角为时，点F在边上，，由四边形内角和定理得：；②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，可得． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：分以下两种情况讨论： ①当与的夹角为时，点F在边上，， ∴， 在四边形中，由四边形内角和定理得： ； ②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示： ∵，， ∴． 综上所述，的度数为或． 76．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与相交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，直接写出与的数量关系 ． (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）根据矩形的性质和题意得，再根据矩形的判定证得四边形是矩形，由角平分线的定义得，再由等角对等边得，最后根据正方形的判定求证即可； （2）由角平分线的定义得，再由垂线的定义和矩形的性质得，根据等腰直角三角形的判定和勾股定理得，，即可求证； （3）由（2）得、是等腰直角三角形，，利用勾股定理求得，进而求得，再根据正方形的性质得，再根据等腰直角三角形的判定得，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：∵平分， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴， ∴、是等腰直角三角形， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）得、是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义，熟练掌握矩形的判定与性质、正方形的判定与性质是解题的关键． 题型十四 正方形的判定辨析与补充条件（共5小题） 77．（24-25八年级下·北京·期中）在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（    ） A．①，对角相等 B．②，对角线互相垂直 C．③，有一组邻边相等 D．④，有一个角是直角 【答案】A 【知识点】证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解、矩形的判定定理理解 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果． 【详解】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意； B、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； C、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； 故选：A． 78．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在菱形中对角线，交于点，要使该菱形成为正方形，则应添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】添一个条件使四边形是正方形、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查正方形的判定，根据对角线相等的菱形是正方形，即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴菱形是正方形． 故选：A． 79．（23-24八年级下·广东广州·期中）在四边形中，，如果添加一个条件，即可得出四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查了正方形的判定，菱形的判定与性质，根据正方形的判定可得出结论． 【详解】解：∵， ∴四边形是菱形， 若添加，则该四边形是正方形． 故选：A． 80．（24-25八年级下·云南昭通·期中）下列说法不正确的是（    ） A．对角线互相垂直的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．邻边相等的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 【知识点】正方形的判定定理理解 【分析】此题考查了正方形的判定，根据正方形的判定条件逐一分析选项．正方形需同时满足矩形（四角为直角，对角线相等）和菱形（四边相等，对角线垂直）的特征． 【详解】A．矩形对角线相等，若还互相垂直，则符合菱形特征，故为正方形，正确． B．菱形对角线垂直，若相等则符合矩形特征，故为正方形，正确． C．邻边相等的矩形即为菱形，同时是矩形，故为正方形，正确． D．有一个直角的平行四边形是矩形，但未说明四边相等，不一定是正方形，错误． 故选D． 81．（24-25八年级下·河南濮阳·期中）四边形中，，要使四边形是正方形，则添个条件是_______． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】此题考查了正方形的判定定理，解题的关键是掌握有一个角是直角的菱形是正方形．根据正方形的判定定理即可解答． 【详解】添加条件为： ∵四边形中，， ∴四边形是菱形 ∵添加条件 ∴四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 题型十五 正方形的性质与判定综合应用（共6小题） 82．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，，且，过点E作于点H，过点F作于点G，，交于点O，连接，，． 设． 给出下面三个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①②④ 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、三角形三边关系的应用 【分析】①先证明四边形是正方形，且边长为a，四边形是正方形且边长为b，四边形和四边形是矩形，长为b，宽为a，在中，由勾股定理得，根据三角形三边之间的关系得，由此可对结论①进行判断； ②在中，由勾股定理得，在中，根据三角形三边之间的关系得，则，由此可对结论②正确； ③在中，由勾股定理得：，则，由此可对结论③进行判断； ④根据即可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴，， ∵，，，，， ∴四边形是正方形，且边长为a，四边形是正方形且边长为b，四边形和四边形是矩形，长为b，宽为a， 在中，，， 由勾股定理得：， 根据三角形三边之间的关系得：， ∴， 故结论①正确； ②在中，，， 由勾股定理得：， 在中，根据三角形三边之间的关系得：， ， ， 故结论②正确； ③在中，，， 由勾股定理得：， ， 故结论③不正确； ④由③可知：， 故结论④不正确， 综上所述：正确结论的序号是 ①②． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，三角形三边之间的关系，熟练掌握正方形的判定和性质，勾股定理及三角形三边之间的关系是解题的关键． 83．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）已知：（1）如图，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且．线段与有什么关系？并证明你的结论． （2）将图中的正方形沿线段、剪开，再把得到的个四边形按图所示拼成一个四边形．若图中，，则图中的阴影部分的面积为 ． 【答案】（1）和垂直平分且相等，理由见解析；（2）1 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）连接、、、；先证明，可得出四边形是菱形，再根据全等三角形角之间的关系，又可得出菱形的一个角是直角，那么就可得出四边形是正方形，即可作答． （2）再根据已知条件，可以知道重新拼成的四边形是正方形，利用勾股定理求出和、的长，所求的面积是10减去4个四边形的面积就是阴影部分的面积． 本题考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线和利用全等三角形的性质． 【详解】解：（1）和垂直平分且相等，证明如下： 连接、、、； ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴四边形是菱形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，即和垂直平分且相等． （2）∵， ∴，， ∴ ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：1． 84．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的每一个顶点都在格点上． (1)求的度数； (2)仅用无刻度的直尺作出（不写作法），并求格点四边形的面积． 【答案】(1) (2)图见解析， 【知识点】根据正方形的性质与判定求角度、利用平行四边形的性质求解、在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查网格与勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形、正方形的性质等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）如图：连接，由勾股定理逆定理得到是直角三角形，即可求解； （2）根据平行四边形的性质，正方形的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图：连接， 根据勾股定理得，，， ∴，， ∴， 是直角三角形， ． （2）解：如图所示，取格点四边形或四边形， 或 四边形：根据格点可得四边形是平行四边形， ∴对角线相互平分，交点为点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴即为所求； 四边形，连接， ∵， ∴， ∴即为所求； 根据格点图示，可得点到的高为， ∴ ． 85．（24-25八年级下·山西大同·期中）如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)边形是正方形，理由见解析 (2) 【知识点】根据正方形的性质与判定求面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握对称性，正方形的判定和性质，勾股定理，是解题的关键． （1）对称性得到，，，，，进而推出，得到四边形是矩形，再根据，即可得证； （2）设，推出，在中，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形．理由如下： ∵于点D， ∴． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 又∵， ∴矩形是正方形． （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，． 设，则． ∴． ∵， ∴，． ∴． 在中，，即． 解得． ∴． ∵， ∴． 86．（23-24八年级下·四川广安·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图（在每个图中分别画一个符合要求的图形即可）． (1)在图①中，画一个三角形，使它的三边长分别为4，，； (2)在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数； (3)在图③中，画一个平行四边形，使它的周长为整数，且不是特殊的平行四边形； (4)在图④中，画一个正方形，使它的面积是10． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题、根据正方形的性质与判定求面积、证明四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，平行四边形的判定： （1）根据勾股定理和网格的特点画图即可； （2）画一个三边长分别为的三角形即可； （3）根据网格的特点，让一组对边在网格线上，另一组对边为5即可； （4）根据网格利用勾股定理和正方形的面积，画一个边长为的正方形即可； 【详解】（1） （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：如图所示，即为所求； 87．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）如图1，已知矩形，点是上一点，点是延长线上一点，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，若点是上一点，且，求的长； (3)如图3，若点是的中点，连结交于点，则________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】全等三角形综合问题、根据平行线判定与性质证明、根据正方形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了正方形的性质和判定，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明即可解答； （2）连接，证明，设，则，在中，利用勾股定理列方程即可解答； （3）取的中点，连接，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，再证明即可求得，即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 矩形是正方形； （2）解：如图，连接， ， ， 根据（1）中可得， ，， ， ， ， ， 设，则， ， ，， 则， 在中，， 即可得， 解得， 故； （3）解：如图，取的中点，连接， 点是的中点， ，， 四边形为平行四边形， ， 在中，， ， ， 根据（1）中可得， ， ， ． 题型十六 中点四边形 （共6小题） 88．（24-25八年级下·山东泰安·期中）若顺次连接某四边形的各边中点得到一个平行四边形，那么这个四边形一定是（     ） A．平行四边形 B．矩形 C．对角线相等的四边形 D．任意四边形 【答案】D 【知识点】中点四边形 【分析】本题考查中点四边形，根据中点四边形的性质，无论原四边形的形状如何，顺次连接各边中点得到的四边形一定是平行四边形，进行判断即可． 【详解】解：如图，四边形为，各边中点依次为、、、， ∴是的中位线， 故且； 同理：且； ∴且， ∴四边形为平行四边形， 故选D． 89．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①：再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2025个图形中直角三角形的个数有（   ） A．4052个 B．2025个 C．1013个 D．8100个 【答案】A 【知识点】图形类规律探索、中点四边形 【分析】本题考查了图形规律探索，根据题意得出规律是解题的关键．先写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律，当为奇数时，直角三角形的个数是，当为偶数时，直角三角形的个数是，根据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形，有4个直角三角形， 第2个图形，有4个直角三角形， 第3个图形，有8个直角三角形， 第4个图形，有8个直角三角形， …， 依此类推，第个图形，当为奇数时，直角三角形的个数是，当为偶数时，直角三角形的个数是， 第2025个图形中直角三角形的个数是． 故选：A． 90．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）我们把任意一个四边形各边中点顺次连接所得的四边形叫做中点四边形．当原四边形的对角线____________时，它的中点四边形一定是菱形． 【答案】相等 【知识点】证明四边形是菱形、中点四边形、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了四边形中点四边形的性质．连接四边形各边中点形成的中点四边形的各边，根据中位线定理，中点四边形的边平行于原四边形的对角线，且长度为对角线长度的一半，所以中点四边形的形状和原四边形的对角线性质有关． 【详解】解：四边形的中点四边形为平行四边形．若其是菱形，则四边相等，由于中点四边形的边长度为原四边形对角线长度的一半，因此原四边形的对角线和必须相等，才能使中点四边形的邻边相等，即邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：相等． 91．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，在中，点E，F，G，H分别是各边的中点，若四边形是矩形． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的周长为12，面积为7，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明四边形是菱形、中点四边形、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了中点四边形，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）连接，相交于点O，利用中位线的性质和菱形的判定证明即可； （2）根据矩形的面积和周长求出，，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接相交于点O， 点分别是四边形各边的中点， ， 四边形是矩形， ， ， 平行四边形是菱形； （2）点分别是四边形各边的中点， ， 矩形的周长为12，面积为7， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ． 92．（24-25八年级下·河南新乡·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 (2)如图，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点． ①试探索与的数量关系，并说明理由； ②若线段的长度为，则的最小值是______．（不需要解答过程） 【答案】(1)D (2)①，见解析；② 【知识点】根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、中点四边形 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． （1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）①如图，记、的中点分别为、，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． ②令与的交点为，连接、，当点在上(即、、共线)时，最小，最小值为的长，得到，，再根据①可知，从而计算的最小值，进而求解； 【详解】（1）解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，正方形的对角线相等且互相垂直， ∴一定是“中方四边形”的是正方形； 故选：D； （2）解：①如图，记、的中点分别为、，连接，，， ∵四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ，， ， ，分别是，的中点， ， ； ②令与的交点为，连接、； 由①可知，； 当点在上(即、、共线)时，最小，最小值为的长， 的最小值， 由题意可知；为正方形； ， ，， ， ，分别是，的中点， ，， ， 的最小值， 即时，最小，即最小； 线段的长度为， 则； 故； 故答案为： 93．（24-25八年级下·广东东莞·期中）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 数量关系、位置关系 特殊四边形 不相等、不垂直 平行四边形 【探究一】 （1）如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形．（请写出完整的证明过程） 【探究二】 （2）由图2，从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究三】 （3）由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究四】 （4）结合图2、图3，得出猜想Ⅲ：原四边形对角线________时，中点四边形是正方形． 【答案】（1）见解析（2）相等，菱形（3）垂直，矩形（4）相等且垂直 【知识点】中点四边形 【分析】本题考查中点四边形，平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理，是解题的关键： （1）根据三角形的中位线定理，推出，即可得证； （2）根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，作答即可； （3）根据有一个角为直角的平行四边形为矩形，作答即可； （4）根据有一个角为直角的菱形是正方形，作答即可． 【详解】解：（1）∵在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∴， ∴中点四边形是平行四边形． （2）当原四边形对角线相等时，中点四边形是菱形； 由（1）知：中点四边形是平行四边形，， ∵在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴中点四边形是菱形； （3）当原四边形对角线垂直时，中点四边形是矩形； 由（1）（2）可知：，中点四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴中点四边形是矩形； （4）当原四边形对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形； 由（2）可知：中点四边形是菱形； 由（3）可知：， ∴中点四边形是正方形． 题型十七 （特殊）平行四边形的动态与最值问题（共11小题） 94．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【答案】C 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可得，分两种情况讨论：当点在上时；当点在延长线上时，表示出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， 当点在上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：， 综上可知，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为或秒， 故选：C 95．（24-25八年级下·四川南充·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点E在边OA上，点D在边OC上，且AE＝DE，已知点B(8，6)，点D(0，4)． (1)求点E的坐标； (2)若动点P、Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位的速度向点O运动，点Q以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动．当点P运动到点O停止，Q点也同时停止运动．设PQE的面积为S．点P、Q的运动时间为t，用含t的代数式表示S； (3)在（2）的条件下，点M是射线CB上的一点，点N为平面内一点，当以P、Q、M、N为顶点的四边形是正方形时，请求出此时的t值与对应的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当时， 【知识点】用勾股定理解三角形、求点到坐标轴的距离、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】（1）结合点，点，四边形为矩形，可得，，；设，则，在中，由勾股定理可得，代入求解可知，即可求得点的坐标； （2）分两种情况讨论：当点在点右侧和点在点左侧时，利用三角形面积公式即可获得答案； （3）若四边形是正方形时，则点三点围成的三角形为等腰直角三角形，分情况讨论即可获得答案． 【详解】（1）解：∵点，点，四边形为矩形， ∴，，，， 设，则， ∴在中，由勾股定理可得， 即，解得， ∴， ∴点的坐标为； （2）①如下图，当点在点右侧时， 根据题意，，， ∴， ∴； ②如下图，当点在点左侧时， 根据题意，，， ∴， ∴． 综上所述，； （3）若四边形是正方形时，则点三点围成的三角形为等腰直角三角形， 可分情况讨论： ①如下图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如下图，过点作于点， ∴四边形、均为矩形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， 解得； ③如下图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，若满足四边形是正方形，当时，；当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质等知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 96．（24-25八年级下·广东·期中）如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、． (1)当，时， ①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______； ②若，求此时的长； (2)当，求的最小值． 【答案】(1)①作图见解析，；② (2) 【知识点】与三角形中位线有关的证明、四边形中的线段最值问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）①，先证明是的中位线，是的中位线，推出；再证明，得到，，即可推出，再证明，即可得到；②②由①知：，利用勾股定理得到，求出，，即可求解； （2）如图，分别取、、、的中点、、、，连接同理（1）①可得；当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，同理（1）①得，，，，利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵点、、分别是、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴； ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②由①知：， ∴， ∴， ∴， ∵四边形和四边形都是正方形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即（负值舍去）； （2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接 同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴； ∴ ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长， 同理（1）①得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 【点睛】本题考查了四边形中点问题的综合，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 97．（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）如图，在中，，，，点为上一个动点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点． (1)若，求的长； (2)当长为何值时，平行四边形是菱形？为什么？ (3)在点P的运动过程中，线段的长度是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3 (2)当时平行四边形是菱形，理由见解析 (3)存在最小值 【知识点】含30度角的直角三角形、（特殊）平行四边形的动点问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）当时，平行四边形是矩形，此时，据此求出即可； （2）当时，，此时平行四边形是菱形； （3）设与交于点，作于．首先求出，当与重合时，的值最小，的最小值． 【详解】（1）当时，平行四边形是矩形，则， ，， ， ，， ； （2），当时， ∴，此时平行四边形是菱形， ，，， ， ； （3）如图，设与交于点，作于．    在中，， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 当与重合时，的值最小，则的值最小， 的最小值． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，垂线段最短，30度直角三角形性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 98．（24-25八年级下·河北唐山·期中）在四边形中，，，，，，点从点以的速度向点运动，点从点以的速度同时向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)求为何值时，四边形是平行四边形？ (2)求为何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中，_________（答“存在”或“不存在”）t值，使得四边形是菱形； (4)若只改变线段的长度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，请你求出的值和线段的长度． 【答案】(1) (2) (3)不存在 (4)， 【知识点】用勾股定理解三角形、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】（1）根据时，四边形是平行四边形，列出方程进行求解即可； （2）根据，，得到当时四边形是矩形，列出方程进行求解即可； （3）根据菱形的性质可得，结合（1）的结论，分别求得的长，即可得出结论； （4）当四边形是正方形时，，进而求得，，根据，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得：，，秒， ∴，， ∵，则 当时，四边形是平行四边形； ∴ 解得： （2）解：∵，， ∴当时，四边形是矩形； ∵，， ∴ 解得： （3）解：不存在，理由如下， 由（1）可得，当时，四边形是平行四边形； ∴若此时，则四边形是菱形， 如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 而， ∴， ∴四边形不是菱形， 故答案为：不存在． （4）解：当四边形是正方形时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当四边形是正方形时，，． 【点睛】本题考查四边形中的动点问题．解题的关键是掌握矩形的判定和性质，正方形，平行四边形，矩形，菱形的性质与判定，及勾股定理解三角形，熟练掌握特殊四边形的性质是解题的关键． 99．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在平行四边形中，，，，点为中点，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当在上运动时，用含的式子表示出线段的长 ； (2)当点落在平行四边形的某边中点上时，求的值（用含t的代数式表示）； (3)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和平行四边形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【知识点】利用平行四边形的性质求解、（特殊）平行四边形的动点问题、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了几何中的动点问题，涉及平行四边形的性质、轴对称，勾股定理等知识点，根据题意画出几何图是解题关键． （1）根据即可求解； （2）分两种情况，分别构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． （3）根据题意画出满足条件的两种情况，即可求解； 【详解】（1）解：∵点E为中点，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：当点Q落在的中点时，如图所示作，延长，作，交点为K． ∵，， ∴， 当点Q落在的中点时，如图所示作，延长，作，交点为F． ∵，可得， ∴ ∵，， ∴ ， ∴， 综上：的值为或 （3）解：∵，，， ∴， 当点在线段上运动时，点与点重合，如图所示： 若点落在上， ∵点E、点F关于直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴此时， 故当时，满足题意； 当点与点重合时， ， 解得：， 综上所述：或． 100．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是和，连接，以线段为边向右侧作菱形，且，点在轴上． (1)填空：点的坐标为 ， 度． (2)连接，点是线段上一动点，点在轴上，且．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． ①如图2，当时，求的长度； ②求证：四边形是菱形． 【答案】(1)， (2)① ②见解析 【知识点】利用菱形的性质证明、证明四边形是菱形、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题是四边形的综合题，考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并数形结合分类讨论是解题的关键． （1）利用勾股定理，可求得的长度，从而知道菱形的边长，再利用菱形的性质，等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，即可求得点的坐标和的度数； （2）①利用等腰三角形“三线合一”的性质，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半计算，即可得出答案； ②连接，设交于点，先利用菱形的性质，求得，接着利用外角得，从而推出，接着证明，得到，，接着证明，推出，从而知道，，借助，，可得到四边形是平行四边形，加上邻边相等，即可得证． 【详解】（1）解：∵点，的坐标分别是和， ∴，． ∵°， ∴， ∵以线段为边向右侧作菱形， ∴，， ∴，． ∴． 故答案为：，． （2）①解：当时，点在上时，作交于，如图， 由（1）可知，，，， ∴， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ②证明：连接，设交于点，如图所示， 由（1）可知，四边形是菱形，，，， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ， ∴． ∵， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴四边形是平行四边形，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 101．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）在正方形中，点在对角线上运动，以为边作正方形，连接． (1)初步探究：如图1，则与的数量关系是___________，与的位置关系为___________． (2)探索发现：如图1、2，点在线段及其延长线上运动时，探究线段、和三者之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：如图3，连接，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2)图1中，；图2中，；证明见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，利用全等三角形的性质是解题的关键． （1）利用正方形的性质，可证出，得与数量关系，再根据角度关系得与的位置关系； （2）由（1）中的全等，结合正方形对角线与边长的数量关系即可证出线段、和三者之间的数量关系； （3）利用，，证出关键信息，由此可求的长度，再将四边形分为与，利用全等可得，可用公式求得． 【详解】（1）∵四边形与四边形均为正方形， ∴，即， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：；． （2）解：在图1中，∵， ∴， 为正方形的对角线，为正方形的边长， 故，即； 在图2中，同理可证， ∵， ∴， 为正方形的对角线，为正方形的边长， 故，即； （3）解：∵， 由，得，结合与形成的对顶角， 得， ∴， 在中，由勾股定理，得，解得， ， 连接交于，则，如图3， ， ， ∴四边形的面积为． 102．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点P从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间是t秒，过点P作于点E，连接，． (1)______，______（用含t的代数式表示）； (2)试说明：无论t为何值，四边形总是平行四边形； (3)连接，与能垂直吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (4)直接写出当t为何值时，为直角三角形． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)与能垂直， (4)或时，是直角三角形 【知识点】含30度角的直角三角形、利用菱形的性质证明、证明四边形是平行四边形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的动点问题，掌握在直角三角形中所对的边是斜边的一半和平行四边形的判定及菱形和矩形的性质运用是解题的关键． （1）根据题意，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，得，，再由，求解即可； （2）根据，得，再根据（1）得即可证明； （3）根据（2）所证四边形是平行四边形，利用时，四边形是菱形，菱形对角线垂直，可得，建立方程求解即可； （4）分别从与两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ， ， 点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）证明：四边形是矩形， ， ， ， ． 由（1）可知，． ， ， 四边形是平行四边形． 无论为何值，四边形总是平行四边形； （3）解：与能垂直，理由如下： 由（2）可知， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 根据菱形的对角线互相垂直，可得， ． 解得， 当时，； （4）解：当时，．如图1， ， ， ，， ， 解得：； 当时，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 解得：， 综上所述，当或时，是直角三角形． 103．（24-25八年级下·四川泸州·期中）已知点是第二象限的一点，点是轴上一动点，以为边作正方形． (1)如图，当点的坐标为，点的坐标为时，求点的坐标． (2)如图，若点与原点重合，与轴交于点，连接，点是线段上一点，连接，若， ①求证； ②设的面积为的面积为，若，求的值（用表示）． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【知识点】利用矩形的性质证明、证明四边形是矩形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（）过点作轴于点，过点作轴于点，可证得，得到，，进而得到，即可求解； （）①过点作于点，延长交于点，可证得，得到，进而得到，即可得为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质即可求证；②设正方形的边长为，可得，，由四边形为矩形， 得到，由为等腰直角三角形得到，即得，由得到，故，即可得，， 得到，，即得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：①证明：如图，过点作于点，延长交于点， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ， ， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； ②解：设正方形的边长为， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴同理可证明为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴， 即． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 104．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）在数学实践课上，学习兴趣小组对正方形展开探究： (1)【操作发现】 如图， 在正方形中，， 连接、， 易得， 将向下平移到，则与的数量关系为 ，位置关系为 ； (2)【问题探究】 如图，将正方形纸片沿折叠，点A落在边上的点处，连接交折痕于点 P， 若，． 求此时的长； (3)【拓展延伸】 如图，若正方形的边长为a，将正方形纸片沿折叠，点A落在边上的点处，连接与交于点P，取的中点Q，连接，，当最小时，求折痕的长（用含a的式子表示）． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】全等三角形综合问题、正方形折叠问题、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）先证明，得出，，求出，根据平移得出，，得出，根据平行线的性质得出，即可得出结论； （2）过点M作于点G，证明四边形为矩形，得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，得出，最后求出结果即可； （3）根据折叠可知：，，根据直角三角形的性质得出，得出，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当Q、P、在同一直线上时，且时，最小，即最小，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 根据平移可知：，， ∴，， ∴； （2）解：过点M作于点G，如图所示： 则， 根据折叠可知：，，，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当Q、P、在同一直线上时，且时，最小，即最小， 如图，连接， ∵点Q为的中点， ∴， ∵此时， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 根据解析（2）可知：， ∴当最小时，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，垂线段最短，折叠的性质，平移的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质. $专题03 特殊的平行四边形 题型1 利用矩形性质求解（常考点） 题型10 菱形的性质与判定综合应用 （难点） 题型2 利用矩形性质与判定证明（重点） 题型11 利用正方形的性质求解（常考点） 题型3 矩形与折叠问题（难点） 题型12 正方形折叠问题（难点） 题型4 斜边的中线等于斜边的一半 题型13 利用正方形性质与判定证明 （难点） 题型5 矩形的判定辨析与补充条件（常考点） 题型14 正方形的判定辨析与补充条件（常考点） 题型6 矩形的性质与判定综合应用（难点） 题型15 正方形的性质与判定综合应用（难点） 题型7 利用菱形的性质求解（常考点） 题型16 中点四边形 （重点） 题型8 利用菱形性质与判定证明 （重点） 题型17 （特殊）平行四边形的动态与最值问题（难点） 题型9 添一个条件使四边形是菱形 （常考点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用矩形性质求解（共9小题） 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点O，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，矩形的周长为，对角线相交于点O，若比的周长多2，则该矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点F， 若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，矩形的对角线，交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则________． 6．（24-25八年级下·广西防城港·期中）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为 _____ ． 7．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，求与的长． 8．（24-25八年级下·重庆巫山·期中）小明家装修剩有一块损坏的如图四边形方砖，他想从中取一块长方形方砖作为二次使用，于是在方砖的D点向边，作垂线，垂足为M，N，沿着垂线割出长方形砖，其余部分视为损耗部分，他想通过测量一些数据了解该损坏方砖的损耗面积，于是测得如下数据：，，，，请问小明根据以上数据能否计算出这块损坏方砖的损耗面积，若能，请求出损耗面积；若不能，请说明理由． 9．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，线段的两端点、都在格点上 ． (1)在图1中画一个以为边、面积为12的矩形；（要求：另外两个顶点也在格点上） (2)在图2中画一个以为对角线、面积为12的平行四边形．（要求：另外两个顶点也在格点上） 题型二 利用矩形性质与判定证明 （共6小题） 10．（23-24八年级下·广西·期中）在八下书本53页中，我们得到了一个直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请你证明此性质．即已知：如图，在中，，O为的中点．求证：． 11．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在矩形中，点是边上的中点．求证：． 12．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，矩形中，，，点E是的中点，于点F，连接并延长与交于点G． (1)求的长； (2)求证：． 13．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）已知点P是矩形边的中点，将矩形绕点P顺时针旋转得到矩形，使点D的对应点G落在线段的延长线上，连接． (1)求证：． (2)若，，求的长． 14．（24-25八年级下·广西北海·期中）在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的长． 15．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，O为线段的中点，连接，延长交于点E，连接，且满足． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，则四边形的周长为______． 题型三 矩形与折叠问题 （共5小题） 16．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，是( ) A． B． C． D． 17．（24-25八年级下·北京·期中）如图，将一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与交于点．若，，则的长为（   ） A．9 B．12 C．13 D．15 18．（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，折痕为，已知，，则的长为_________． 19．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）． (1) ， ； (2)求的长． 20．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在直角坐标系中，矩形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为． (1)求证：为等腰三角形； (2)求折痕的长． 题型四 斜边的中线等于斜边的一半（共5小题） 21．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，为中点，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图所示，O是矩形的对角线的中点，E为的中点．若，，则的周长为（　　） A．10 B． C． D．14 23．（24-25八年级下·青海海西·期中）已知一直角三角形的两条直角边分别是，，则斜边上的中线与高分别是______． 24．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为______． 25．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，，是底边上的高，E为的中点，求的长． 题型五 矩形的判定辨析与补充条件（共4小题） 26．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，在下列条件中，能够判定平行四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致.这种检查方法用到的数学依据是（   ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．三个角都是直角的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形 28．（24-25八年级下·全国·期中）在平行四边形中，与相交于点O，要使在平行四边形是矩形，需添加的条件是_______（填序号） ①；②；③；④ 29．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，两个完全相同的三角尺和在直线上滑动，要使四边形为矩形，还需添加的一个条件是______（写出一个即可）． 题型六 矩形的性质与判定综合应用（共4小题） 30．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，，，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点，于点，连接，则线段长的最小值为_____． 31．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在平行四边形中，对角线和交于点，且．，求的度数． 32．（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，在中，，D是的中点，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 33．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：点、、、在同一直线上，，，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 题型七 利用菱形的性质求解（共8小题） 34．（24-25八年级下·广西北海·期中）已知菱形的两对角线长分别为和，则菱形的面积为（    ） A．8 B．12 C．24 D．48 35．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在菱形中，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．16 36．（24-25八年级下·广东佛山·期中）把一个长方形的纸片按图甲、图乙对折两次，然后剪下图丙中的①部分，为了得到一个锐角为的菱形，剪口与第一次折痕所成的角的度数应为（   ） A． B． C．或 D．或 37．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，用4根长度相等的木棒拼成的四边形，，则该四边形的周长为________． 38．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，在菱形中，，，则________． 39．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的面积为_______． 40．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在菱形中，，且，试求的度数． 41．（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，已知菱形的对角线，的长分别为、，于点，求的长． 题型八 利用菱形性质与判定证明（共5小题） 42．（22-23八年级下·陕西西安·期中）如图，点、分别是菱形的边与延长线上的点，且，连接、，求证：． 43．（24-25八年级下·云南文山·期中）已知：如图，矩形中，对角线与相交于点E，作，与相交于点F．求证：四边形为菱形． 44．（24-25八年级下·广东江门·期中）已知：如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与、分别交于点E、O、F．求证：四边形是菱形． 45．（23-24八年级下·河南新乡·期中）如图，在中，点E，F分别在，上，且平分．若，连结．求证：四边形是菱形． 46．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点C、D作，，和交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)当，时，求的长． 题型九 添一个条件使四边形是菱形（共5小题） 47．（23-24八年级下·广东云浮·期中）如图，要使成为菱形，需要添加的条件可以是（　　） A． B． C． D． 48．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，两个完全相同的三角尺和在直线l上滑动，可以添加一个条件，使四边形为菱形，下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 49．（24-25八年级下·青海海西·期中）______的平行四边形是菱形．填一个合适的条件 50．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在中，对角线相交于点，添加一个条件判定是菱形，所添加的条件为____________（写出一个即可） 51．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在四边形中， 对角线， 相交于点， 过点作交于点．已知，若再添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是__________． 题型十 菱形的性质与判定综合应用（共7小题） 52．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 53．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图，将一张矩形纸片对折，使边与，与分别重合，展开后得四边形．若，，则四边形的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 54．（24-25八年级下·贵州黔南·期中）如图，以的顶点A为圆心，a的长为半径画弧，两弧分别交，于点B，C，再分别以点B，C为圆心，a的长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，．若，，则四边形的周长是（    ） A．8 B．12 C． D． 55．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，分别以、两点为圆心，5为半径画弧，两弧交于、两点，则四边形的面积是______． 56．（24-25八年级下·福建·期中）如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 57．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，，，E为的中点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求四边形的面积． 58．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在中，平分交于点交于点F．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 题型十一 利用正方形的性质求解（共7小题） 59．（24-25八年级下·全国·期中）若正方形的一条对角线的长为，则正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 60．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）如图，在正方形中有一点，连接，，.若为等边三角形，则（   ） A． B． C． D． 61．（24-25八年级下·北京·期中）我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．如图．四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接．若正方形的面积为10，，则的长为（   ） A．5 B． C．10 D． 62．（24-25八年级下·江苏南京·期中）将对角线分别为和的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为______ ． 63．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方形中，以为边在平面内作等边三角形，连接，则的度数为_____． 64．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，和是两个不等的正方形，连接交于，如果面积为10，则面积为____________． 65．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在正方形中，F是对角线上一点，连接，延长交于点E．若，求的度数． 题型十二 正方形折叠问题 （共5小题） 66．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，将一张边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，点落在点处，折痕为，则线段长的平方为（　　） A． B． C． D． 67．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，M为边上一点，将沿翻折到，点B折到点N，连，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．以上都不对 68．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，正方形的边长为8，点E、F分别在边上．将该纸片沿折叠，使点A的对应点G落在边上，折痕与交于点Q，点K为的中点，则随着折痕位置的变化，周长的最小值为______． 69．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知：如图，在边长的正方形中，点在边上， ，将沿折叠至，延长交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长度． 70．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，正方形的边长为8，点E在边上（不与端点重合），将沿翻折，得到，连接，． (1)当平分时，求点F到的距离． (2)求的周长的最小值，并求出此时的长． (3)若为直角三角形，求的长． 题型十三 利用正方形性质与判定证明 （共6小题） 71．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在矩形中，点E，F分别在，上，且，于点G． (1)求证：矩形是正方形； (2)延长到点H，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 72．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，四边形中，，，，，作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是正方形； (2)求四边形的面积． 73．（23-24八年级下·广西防城港·期中）已知：如图，在矩形中，M、N分别是边的中点，E、F分别是线段的中点，设． (1)求证：； (2)当a为何值时，四边形是正方形？ 74．（22-23八年级下·广东东莞·期中）如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，求证： (1)； (2)． 75．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连接，且． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 76．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与相交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，直接写出与的数量关系 ． (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 题型十四 正方形的判定辨析与补充条件（共5小题） 77．（24-25八年级下·北京·期中）在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（    ） A．①，对角相等 B．②，对角线互相垂直 C．③，有一组邻边相等 D．④，有一个角是直角 78．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在菱形中对角线，交于点，要使该菱形成为正方形，则应添加的条件是（    ） A． B． C． D． 79．（23-24八年级下·广东广州·期中）在四边形中，，如果添加一个条件，即可得出四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 80．（24-25八年级下·云南昭通·期中）下列说法不正确的是（    ） A．对角线互相垂直的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．邻边相等的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 81．（24-25八年级下·河南濮阳·期中）四边形中，，要使四边形是正方形，则添个条件是_______． 题型十五 正方形的性质与判定综合应用（共6小题） 82．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，，且，过点E作于点H，过点F作于点G，，交于点O，连接，，． 设． 给出下面三个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①②④ 83．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）已知：（1）如图，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且．线段与有什么关系？并证明你的结论． （2）将图中的正方形沿线段、剪开，再把得到的个四边形按图所示拼成一个四边形．若图中，，则图中的阴影部分的面积为 ． 84．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的每一个顶点都在格点上． (1)求的度数； (2)仅用无刻度的直尺作出（不写作法），并求格点四边形的面积． 85．（24-25八年级下·山西大同·期中）如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求的面积． 86．（23-24八年级下·四川广安·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图（在每个图中分别画一个符合要求的图形即可）． (1)在图①中，画一个三角形，使它的三边长分别为4，，； (2)在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数； (3)在图③中，画一个平行四边形，使它的周长为整数，且不是特殊的平行四边形； (4)在图④中，画一个正方形，使它的面积是10． 87．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）如图1，已知矩形，点是上一点，点是延长线上一点，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，若点是上一点，且，求的长； (3)如图3，若点是的中点，连结交于点，则________． 题型十六 中点四边形 （共6小题） 88．（24-25八年级下·山东泰安·期中）若顺次连接某四边形的各边中点得到一个平行四边形，那么这个四边形一定是（     ） A．平行四边形 B．矩形 C．对角线相等的四边形 D．任意四边形 89．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①：再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2025个图形中直角三角形的个数有（   ） A．4052个 B．2025个 C．1013个 D．8100个 90．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）我们把任意一个四边形各边中点顺次连接所得的四边形叫做中点四边形．当原四边形的对角线____________时，它的中点四边形一定是菱形． 91．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，在中，点E，F，G，H分别是各边的中点，若四边形是矩形． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的周长为12，面积为7，求的长． 92．（24-25八年级下·河南新乡·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 (2)如图，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点． ①试探索与的数量关系，并说明理由； ②若线段的长度为，则的最小值是______．（不需要解答过程） 93．（24-25八年级下·广东东莞·期中）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 数量关系、位置关系 特殊四边形 不相等、不垂直 平行四边形 【探究一】 （1）如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形．（请写出完整的证明过程） 【探究二】 （2）由图2，从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究三】 （3）由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究四】 （4）结合图2、图3，得出猜想Ⅲ：原四边形对角线________时，中点四边形是正方形． 题型十七 （特殊）平行四边形的动态与最值问题（共11小题） 94．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 95．（24-25八年级下·四川南充·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点E在边OA上，点D在边OC上，且AE＝DE，已知点B(8，6)，点D(0，4)． (1)求点E的坐标； (2)若动点P、Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位的速度向点O运动，点Q以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动．当点P运动到点O停止，Q点也同时停止运动．设PQE的面积为S．点P、Q的运动时间为t，用含t的代数式表示S； (3)在（2）的条件下，点M是射线CB上的一点，点N为平面内一点，当以P、Q、M、N为顶点的四边形是正方形时，请求出此时的t值与对应的点M的坐标． 96．（24-25八年级下·广东·期中）如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、． (1)当，时， ①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______； ②若，求此时的长； (2)当，求的最小值． 97．（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）如图，在中，，，，点为上一个动点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点． (1)若，求的长； (2)当长为何值时，平行四边形是菱形？为什么？ (3)在点P的运动过程中，线段的长度是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由． 98．（24-25八年级下·河北唐山·期中）在四边形中，，，，，，点从点以的速度向点运动，点从点以的速度同时向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)求为何值时，四边形是平行四边形？ (2)求为何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中，_________（答“存在”或“不存在”）t值，使得四边形是菱形； (4)若只改变线段的长度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，请你求出的值和线段的长度． 99．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在平行四边形中，，，，点为中点，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当在上运动时，用含的式子表示出线段的长 ； (2)当点落在平行四边形的某边中点上时，求的值（用含t的代数式表示）； (3)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和平行四边形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围． 100．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是和，连接，以线段为边向右侧作菱形，且，点在轴上． (1)填空：点的坐标为 ， 度． (2)连接，点是线段上一动点，点在轴上，且．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． ①如图2，当时，求的长度； ②求证：四边形是菱形． 101．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）在正方形中，点在对角线上运动，以为边作正方形，连接． (1)初步探究：如图1，则与的数量关系是___________，与的位置关系为___________． (2)探索发现：如图1、2，点在线段及其延长线上运动时，探究线段、和三者之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：如图3，连接，若，，求四边形的面积． 102．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点P从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间是t秒，过点P作于点E，连接，． (1)______，______（用含t的代数式表示）； (2)试说明：无论t为何值，四边形总是平行四边形； (3)连接，与能垂直吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (4)直接写出当t为何值时，为直角三角形． 103．（24-25八年级下·四川泸州·期中）已知点是第二象限的一点，点是轴上一动点，以为边作正方形． (1)如图，当点的坐标为，点的坐标为时，求点的坐标． (2)如图，若点与原点重合，与轴交于点，连接，点是线段上一点，连接，若， ①求证； ②设的面积为的面积为，若，求的值（用表示）． 104．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）在数学实践课上，学习兴趣小组对正方形展开探究： (1)【操作发现】 如图， 在正方形中，， 连接、， 易得， 将向下平移到，则与的数量关系为 ，位置关系为 ； (2)【问题探究】 如图，将正方形纸片沿折叠，点A落在边上的点处，连接交折痕于点 P， 若，． 求此时的长； (3)【拓展延伸】 如图，若正方形的边长为a，将正方形纸片沿折叠，点A落在边上的点处，连接与交于点P，取的中点Q，连接，，当最小时，求折痕的长（用含a的式子表示）． $