专题02 多边形与平行四边形（期中复习专项训练）八年级数学下学期人教版五四制

专题02 多边形与平行四边形 题型1多边形及其内角和 （常考点） 题型6 平行四边形中的计数问题 （常考点） 题型2 利用平行四边形的性质求解 （重点） 题型7 证明四边形是平行四边形 （重点） 题型3 利用平行四边形的性质证明 （重点） 题型8 利用平行四边形的判定与性质求解 （难点） 题型4 平行线间的距离（常考点） 题型9 平行四边形性质和判定证明及应用 （难点） 题型5 平行四边形判定辨析与补充条件（重点） 题型10三角形的中位线 （重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 多边形及其内角和（共7小题） 1．（24-25八年级下·广西贵港·期中）一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知一个多边形的内角和为，则这个多边形是______边形． 3．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）一个多边形从一个顶点可引对角线7条，这个多边形内角和等于_________． 4．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，已知，正五边形的顶点、分别在射线、上，则_____ ． 5．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步，从点出发，前进10米后向右转，再前进10米后又向右转这样一直跑下去，直到他第一次回到出发点为止，则这个正多边形的周长为___________米． 6．（24-25八年级下·贵州铜仁·期中）（1）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，求这个多边形的边数． （2）直角三角形的三边长分别是6，8，x，求这个三角形的第三边长． 7．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【阅读理解】 【阅读】如图1，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面图形的镶嵌． 【解决问题】我们经常见到如图2那样的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面． (1)像这样铺地面，能否全用正五边形的材料？为什么？ (2)现有四种地砖，它们的形状分别是正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地砖密铺成平整、无空隙的地面，选择的方式有（   ） A．2种    B．3种    C．4种    D．5种 (3)【理解应用】用三块正多边形木板铺地面，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，若其中有两个正五边形，则第三个正多边形的边数是多少？ 题型二 利用平行四边形的性质求解 （共5小题） 8．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）在平行四边形中，，则度数为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·重庆·期中）在中，连接，过点作交于点．若且，则（    ）． A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·福建三明·期中）在中，若，则的度数为_______． 11．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，中，，，点D在边上，以，为邻边作，则长度的最小值是______． 12．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）如图，四边形是平行四边形，相交于点O，且．求的长及的面积． 题型三 利用平行四边形的性质证明 （共4小题） 13．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线折叠得到，交于点，连结，若，，，则的长是_________． 15．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，在中，E，F是对角线上的两点，且．求证：． 16．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，与交于点，交于，交于． (1)证明：． (2)若，，交于，当时，求线段和的长度． 题型四 平行线间的距离（共6小题） 17．（25-26八年级·江苏南通·期中）如图，平分，交边于点D，，垂足为点E，，．若，，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 18．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，若直线，下列关于直线，之间距离的说法正确的是（    ） A．的长是，之间的距离 B．的长是，之间的距离 C．和的长是，之间的距离 D．的长是，之间的距离 19．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期中）如图，A、B是直线m上两个定点，C是直线n上一个动点，且．以下说法：①的周长不变；②的面积不变；③中，AB边上的中线长不变．④的度数不变；⑤点C到直线m的距离不变．其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②⑤ 20．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在四边形中，，相交于点O，则与面积相等的三角形是______． 21．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，直线，点A，B在上，点C，D，E在上，且，在不添加线段情况下，用图中线段的长度表示到的距离，则该线段是__________． 22．（22-23八年级下·北京海淀·期中）已知四边形中，，为中点，且，，．    (1)求的值； (2)求直线与直线的距离． 题型五 平行四边形判定辨析与补充条件（共5小题） 23．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形的对角线，交于点，则添加下列条件，一定可使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B．， C． D．， 25．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，已知，那么添加一个条件___________后，可判定四边形是平行四边形． 26．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，点E、F分别在上，连接．要使四边形是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是________（只需写出一个）． 27．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，，是平行四边形的对角线，且对角线交点为，E，F是上两点，且，连接，，，，添加一个条件______，使四边形是矩形． 题型六 平行四边形中的计数问题 （共5小题） 28．（22-23八年级下·贵州黔东南·期中）以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 29．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点都是格点，以为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 30．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，将等腰三角形纸片沿底边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形能拼成平行四边形的个数是__________． 31．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是______个． 32．（22-23八年级下·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标_________． 题型七 证明四边形是平行四边形（共5小题） 33．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）下列给出的条件中，能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 34．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，作一个两条对角线互相平分的四边形．步骤如下： ①任意画两条相交直线m，n，记交点为O；②以点O为中心，分别在直线m，n上截取与、与，使，；③顺次连结所得的四点，则四边形是一个平行四边形．判定依据___________________________________． 35．（24-25八年级下·西藏林芝·期中）如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形． 36．（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，点E、A、C、F在同一条直线上，并且．求证：四边形是平行四边形． 37．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，和都是等边三角形，点D在边上，边上有一点F，且，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 题型八 利用平行四边形的判定与性质求解（共6小题） 38．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图给出了四边形的部分数据，则的值为（   ） A． B． C． D． 39．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 40．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在中，过对角线上一点作，，且，，则________． 41．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． (1)求证：； (2)若时，的面积为，求的面积． 42．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知的顶点，，对于点和，给出如下定义：如果三边上存在三个点，使得以点和这三个点为顶点的四边形是平行四边形，则称点是的“平行连接点”，例如，图1中，、两点的坐标分别为，，三边上存在，和三个点，使得四边形是平行四边形，故点是的“平行连接点”． (1)如图2，当点的坐标为时， ①点，，，中，是的“平行连接点”的是________； ②若是的“平行连接点”，请在图2中画出一个以点和三边上的三个点为顶点的平行四边形，这个平行四边形对角线交点的纵坐标为________，的取值范围为________； (2)如图3，当点的坐标为时，若是的“平行连接点”，在图3中画出所有满足条件的点组成的图形． 43．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示 ； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 题型九 平行四边形性质和判定证明及应用（共5小题） 44．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，，，，，点，为垂足，则下列说法中错误的是（    ） A． B．直线，之间的距离是线段的长 C． D．直线，之间的距离是线段的长 45．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，平分，则下列结论．①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 46．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在中，E，F分别在边，上，．求证：四边形是平行四边形．下面是打乱顺序的证明过程，则正确的步骤排序应为（    ） ①又∵； ②∵，∴，即； ③∴四边形是平行四边形； ④∴，； ⑤∵四边形是平行四边形． A．④①③⑤② B．②④⑤①③ C．⑤④①②③ D．⑤④②①③ 47．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为_____． 48．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，E，F分别为，上两点，且，连接，分别与对角线交于点G，H． (1)求证：四边形为平行四边形： (2)若，，求点G到的距离． 题型十 三角形的中位线（共6小题） 49．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在中，于点D，E，F，G，H分别是，，，的中点，若，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．5 50．（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，在中，为其中位线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D．条件不足，无法计算 51．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，平地上、两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点，并分别找到和的中点、，测量得米，则、两点间的距离为_____米． 52．（25-26八年级·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，点D是边上的中点，点E是边上的一个动点，连接，将沿翻折得到．当时，则长为______ 53．（24-25八年级下·江苏南京·期中）证明：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 已知：如图，是的中位线，是的中线，、交于点． 求证：_________________________． 证明： 54．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，点P在线段上，先画，再在上画点E，使得； (2)在图2中，在线段上找一点G，使得，垂足为点G，并在线段上找一点H，使. $专题02 多边形与平行四边形 题型1多边形及其内角和 （常考点） 题型6 平行四边形中的计数问题 （常考点） 题型2 利用平行四边形的性质求解 （重点） 题型7 证明四边形是平行四边形 （重点） 题型3 利用平行四边形的性质证明 （重点） 题型8 利用平行四边形的判定与性质求解 （难点） 题型4 平行线间的距离（常考点） 题型9 平行四边形性质和判定证明及应用 （难点） 题型5 平行四边形判定辨析与补充条件（重点） 题型10三角形的中位线 （重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 多边形及其内角和（共7小题） 1．（24-25八年级下·广西贵港·期中）一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】本题考查了多边形的外角和为周角，掌握这一性质是关键；由题意知，可求得多边形的每个外角的度数，再根据外角和为周角即可求解． 【详解】解：∵一个多边形的每个内角都等于， ∴此多边形的每个外角都等于； ∵多边形的外角和为， ∴此多边形的边数为：； 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知一个多边形的内角和为，则这个多边形是______边形． 【答案】十三 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和：，其中为多边形的边数，且为正整数，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．根据多边形的内角和公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 则， 解得， 所以这个多边形是十三边形， 故答案为：十三． 3．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）一个多边形从一个顶点可引对角线7条，这个多边形内角和等于_________． 【答案】/1440度 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题 【分析】此题考查了多边形的内角和以及对角线，解题的关键是求得多边形的边数． 求得多边形的边数，再根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：一个多边形从一个顶点可引对角线7条，则多边形的边数为10， 则内角和等于： 故答案为： 4．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，已知，正五边形的顶点、分别在射线、上，则_____ ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、正多边形的内角问题 【分析】根据正多边形的内角公式可得，则，利用三角形内角和定理计算出即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步，从点出发，前进10米后向右转，再前进10米后又向右转这样一直跑下去，直到他第一次回到出发点为止，则这个正多边形的周长为___________米． 【答案】120 【知识点】正多边形的外角问题、多边形外角和的实际应用 【分析】本题主要考查了正多边形的外角问题．运行轨迹是正多边形，且该正多边形外角和为，则正多边形边数为，运行距离正多边形的边数正多边形边长． 【详解】解：∵小明从O点开始，前进10米后向右转，再前进10米后又向右转，…， ∴运行轨迹是正多边形，且该正多边形外角和为， 设多边形的边数为n，则正多边形边数为， ∴行走距离正多边形的边数正多边形边长（米）， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·贵州铜仁·期中）（1）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，求这个多边形的边数． （2）直角三角形的三边长分别是6，8，x，求这个三角形的第三边长． 【答案】（1）边数为7；（2）或 【知识点】用勾股定理解三角形、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，勾股定理的应用，注意：任意多边形的外角和都是，与边数无关．掌握这几个定理或公式是解题的关键． （1）设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，求解即可． （2）分两种情况：斜边为8或斜边为x，再利用勾股定理求解边长即可． 【详解】解：（1）设这个多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得． 所以这个多边形的边数是7． （2）分两种情况： ①当斜边为8时，， ②当斜边为x时，． 综上所述：这个三角形的第三边长是或． 7．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【阅读理解】 【阅读】如图1，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面图形的镶嵌． 【解决问题】我们经常见到如图2那样的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面． (1)像这样铺地面，能否全用正五边形的材料？为什么？ (2)现有四种地砖，它们的形状分别是正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地砖密铺成平整、无空隙的地面，选择的方式有（   ） A．2种    B．3种    C．4种    D．5种 (3)【理解应用】用三块正多边形木板铺地面，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，若其中有两个正五边形，则第三个正多边形的边数是多少？ 【答案】(1)不能，见解析 (2)B (3)10 【知识点】正多边形的内角问题、平面镶嵌 【分析】本题考查平面图形镶嵌知识，解题关键是熟练掌握多边形内角和公式，结合拼接点处内角和为判断能否镶嵌 ． （1）先利用多边形内角和公式求出正五边形每个内角为，再依据平面镶嵌时拼接点处内角和需为，判断能否被整除，得出结论． （2）分别求出正三角形、正方形、正六边形、正八边形的内角度数，然后对四种地砖两两组合，计算在拼接点处内角和能否为，能则可密铺，统计可密铺的组合方式数量． （3）先根据正五边形内角和公式算出其内角为，由拼接点内角和求出第三个正多边形内角为，再通过内角与边数关系公式算出边数． 【详解】（1）解：不能，因为正五边形的每个内角均为，需进行平面镶嵌，内角拼接的度数之和为，而不能被整除．所以不能全用正五边形的材料地砖密铺地面． （2）解：①正三角形、正方形， ， 可以铺满； ②正三角形、正六边形， ， 可以铺满； ③正三角形、正八边形，不能构成的周角， 不能铺满； ④正方形、正六边形，不能构成的周角， 不能铺满； ⑤正方形、正八边形，每个内角的度数为 ， 可以铺满； ⑥正六边形、正八边形，不能构成的周角， 不能铺满． 选择的方式有种． 故选：B； （3）解：设第三个正多边形的内角为， 正五边形的内角为， ， ， 正多边形的边数为，即第三个正多边形的边数为10． 题型二 利用平行四边形的性质求解 （共5小题） 8．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）在平行四边形中，，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】根据平行四边形的对角相等求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 9．（24-25八年级下·重庆·期中）在中，连接，过点作交于点．若且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、三角形内角和定理的应用 【分析】根据于点，可证得，再根据求出，进而根据平行四边形的性质求出的度数． 【详解】解：∵于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 10．（24-25八年级下·福建三明·期中）在中，若，则的度数为_______． 【答案】/度 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形的性质，对角相等，因此与相等，据此作答即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，中，，，点D在边上，以，为邻边作，则长度的最小值是______． 【答案】 【知识点】垂线段最短、利用平行四边形的性质求解、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了平行四边形性质，垂线段最短，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，解题的关键在于根据题意找出长度最小时所在位置． 过点作于点，根据平行四边形性质和垂线段最短，推出当与重合时， 的长度最小，再利用勾股定理，以及直角三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：点D在边上，四边形为平行四边形， 为的中点，， ， 要使的长度最小，即的长度最小， 过点作于点， 当与重合时，据垂线段最短可知，此时的长度最小， ，， ， ， ， ， ， ， 长度的最小值是； 故答案为：． 12．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）如图，四边形是平行四边形，相交于点O，且．求的长及的面积． 【答案】，，． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及勾股定理， 等腰三角形的性质和判定，根据平行四边形的性质结合勾股定理进行解答是解题的关键． 根据平行四边形的性质，可以得到，结合，可以得到是等腰直角三角形，利用勾股定理可以得到与的长度，由此可得与的长度；根据平行四边形的面积公式，结合与的长度，即可得到面积． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴,, ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形, ∴, ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∴， ∴． ∴的长为，的长为，平行四边形的面积为16． 题型三 利用平行四边形的性质证明 （共4小题） 13．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握：平行四边形的对边互相平行且相等，对角相等，对角线互相平分．据此依次对各选项进行分析即可作出判断． 【详解】解：A．当四边形是平行四边形时，不能得出，故此选项不符合题意； B．∵四边形是平行四边形，对角线，交于点， ∴，故此选项符合题意； C．当四边形是平行四边形时，不能得出，故此选项不符合题意； D．当四边形是平行四边形时，不能得出，故此选选项不符合题意． 故选：B． 14．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线折叠得到，交于点，连结，若，，，则的长是_________． 【答案】 【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、含30度角的直角三角形 【分析】由平行四边形的性质得，，进而求出，由折叠的性质得，，，求出得，求出得，然后由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵将沿着所在的直线折叠得到， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质以及解直角三角形．熟练掌握平行四边形和折叠的性质，得到是解决本题的关键． 15．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，在中，E，F是对角线上的两点，且．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题关键是掌握以上性质． 根据平行四边形的性质得出相等的角和边，然后利用证明即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，. ∴. 在和中， ∴. ∴． 16．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，与交于点，交于，交于． (1)证明：． (2)若，，交于，当时，求线段和的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)线段为、的长为 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等积变换等知识点，掌握平行四边形的性质及勾股定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得，根据垂直的定义得，证明，由全等三角形的性质即可得证； （2）由已知得，根据勾股定理得，再根据推出，代入数据计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，与交于点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，线段为、的长为． 题型四 平行线间的距离（共6小题） 17．（25-26八年级·江苏南通·期中）如图，平分，交边于点D，，垂足为点E，，．若，，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【知识点】求平行线间的距离、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了平行的性质，全等三角形的判定和性质．延长交于点，作于点，证明四边形是矩形，得到，再利用证明，得到，，据此求解即可． 【详解】解：延长交于点，作于点，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 18．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，若直线，下列关于直线，之间距离的说法正确的是（    ） A．的长是，之间的距离 B．的长是，之间的距离 C．和的长是，之间的距离 D．的长是，之间的距离 【答案】C 【知识点】求平行线间的距离 【分析】本题考查了平行线间的距离．熟练掌握平行线间的距离是解题的关键．根据平行线间的距离定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，表示直线m，n之间距离的是线段和的长， 故选：C． 19．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期中）如图，A、B是直线m上两个定点，C是直线n上一个动点，且．以下说法：①的周长不变；②的面积不变；③中，AB边上的中线长不变．④的度数不变；⑤点C到直线m的距离不变．其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②⑤ 【答案】D 【知识点】利用平行线间距离解决问题 【分析】本题考查了两平行线间的公垂线段相等，三角形的中线，等底等高的三角形面积相等等知识；根据这些知识逐一判断即可． 【详解】解：∵A、B为定点， 则为定值， 随着点C的运动，的长度是变化的，即的周长变化的； 故①错误； 由于两平行线间的距离相等，即点C到底边的距离不变， 即的面积不变； 故②正确； ∵A、B为定点， ∴线段中点为定点，而点C为动点， ∴AB边上的中线为动线段； 故③错误； 随着点C的运动，的度数是变化的； 故④错误； ∵两平行线间的距离相等， 即点C到直线m的距离不变； 故⑤正确； 综上，正确的有②⑤； 故选：D． 20．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在四边形中，，相交于点O，则与面积相等的三角形是______． 【答案】 【知识点】利用平行线间距离解决问题 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线间间距相等即可得到的面积与的面积相等． 【详解】解：∵， ∴的面积与的面积相等（同底等高）， 故答案为：． 21．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，直线，点A，B在上，点C，D，E在上，且，在不添加线段情况下，用图中线段的长度表示到的距离，则该线段是__________． 【答案】 【知识点】求平行线间的距离 【分析】本题考查了平行线之间的距离，根据平行线之间的距离的定义即可判断求解，理解平行线之间的距离的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，点在上，点在上， ∴的长度是到的距离， 故答案为：． 22．（22-23八年级下·北京海淀·期中）已知四边形中，，为中点，且，，．    (1)求的值； (2)求直线与直线的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】求平行线间的距离、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）延长交的延长线于点，由平行线的性质可得，，再由中点可得，可判定，则有，，再由垂直可得，利用勾股定理即可求，从而可求解； （2）利用三角形的面积可求得点到的距离，即可求与的距离． 【详解】（1）解：延长交的延长线于点，如图，   ， ，， 为中点， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ； （2）过点作，如图，   ，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 题型五 平行四边形判定辨析与补充条件（共5小题） 23．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：A、 根据题意，得， 故，不平行，不是平行四边形，不符合题意； B、根据题意，只有一组平行的对边，故不是平行四边形，不符合题意； C、根据题意，得一组对边平行且相等，故一定是平行四边形，符合题意； D、根据题意，只有一组对边相等，无法判定是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 24．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形的对角线，交于点，则添加下列条件，一定可使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B．， C． D．， 【答案】D 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法逐一排除即可，灵活运用平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：、添加，四边形不一定是平行四边形，原选项不符合题意； 、添加，，四边形不一定是平行四边形，原选项不符合题意； 、添加，四边形不一定是平行四边形，原选项不符合题意； 、∵，， ∴四边形是平行四边形，原选项符合题意； 故选：． 25．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，已知，那么添加一个条件___________后，可判定四边形是平行四边形． 【答案】或 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定定理．解题关键在于熟悉各种平行四边形的判定方法，并结合已知条件，从判定定理中选择合适的方式来添加条件，使四边形满足平行四边形的判定要求．本题已知，要使四边形成为平行四边形，需依据平行四边形的判定定理添加合适条件．平行四边形有多种判定方法，如两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两组对角分别相等、对角线互相平分等，我们要结合已知条件来选择合适的判定方式添加条件． 【详解】解：已知，又添加了，根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”， ∵这里和这组对边既相等（ ）又平行（ ）， ∴四边形是平行四边形， 已知，再添加，此时四边形的两组对边分别相等，依据平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：或 26．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，点E、F分别在上，连接．要使四边形是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是________（只需写出一个）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，根据平行四边形的性质可得，再根据平行四边形的判定定理添加条件即可． 【详解】解：在中，，即， 则可添加，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 27．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，，是平行四边形的对角线，且对角线交点为，E，F是上两点，且，连接，，，，添加一个条件______，使四边形是矩形． 【答案】答案不唯一， 【知识点】证明四边形是矩形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】先证明四边形是平行四边形．结合，得证，即可证明四边形是矩形． 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是平行四边形的对角线，且对角线交点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵ ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 题型六 平行四边形中的计数问题 （共5小题） 28．（22-23八年级下·贵州黔东南·期中）以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【知识点】求与已知三点组成平行四边形的点的个数、由平移方式确定点的坐标 【分析】先根据题意画出图形，然后分为边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的判定和平移的性质即可解答． 【详解】解：如图：当为对角线时，点的坐标为，即； 当为边时，点的坐标为，即；点的坐标为，即． 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、平移的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 29．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点都是格点，以为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】数图形中平行四边形的个数 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据网格的特点和平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】如图所示， 根据网格的特点可得， 四边形，，，，，为平行四边形， 所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故选C． 30．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，将等腰三角形纸片沿底边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形能拼成平行四边形的个数是__________． 【答案】3个 【分析】本题考查了平行四边形的判定．把相等的边靠在一起即可得到答案，有三种拼法． 【详解】解：有三种拼法，如图1、2、3， 故答案为：3个． 31．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是______个． 【答案】4 【知识点】数图形中平行四边形的个数 【分析】本题考查了平行四边形的判定，先理解各点把线段四等分，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵线段相交于点，且图上各点把线段四等分， ∴ ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， 故答案为：4 32．（22-23八年级下·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标_________． 【答案】，， 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标、求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【分析】需要分类讨论：以为边的平行四边形和以为对角线的平行四边形． 【详解】解：①当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， 相应的点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， ， ； ②当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， 相应的点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， ， ； ③当为对角线时：如图    因为点、， 所以点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， 相应的点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， ， ； 故答案为：，， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及点的平移问题，解题关键是准确作出对应图形，利用数形结合思想解决． 题型七 证明四边形是平行四边形（共5小题） 33．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）下列给出的条件中，能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】此题是平行四边形的判定，解本题的关键是掌握和灵活运用平行四边形的判定方法． 直接根据平行四边形的判定定理进行逐项分析，判断即可． 【详解】解：∵ ∴四边形也可能是梯形， 故A选项不符合题意； ∵ ∴不能证明四边形是平行四边形 故B选项不符合题意； ∵， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 故C选项符合题意； ∵ ∴不能证明四边形是平行四边形 故D选项不符合题意； 故选C． 34．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，作一个两条对角线互相平分的四边形．步骤如下： ①任意画两条相交直线m，n，记交点为O；②以点O为中心，分别在直线m，n上截取与、与，使，；③顺次连结所得的四点，则四边形是一个平行四边形．判定依据___________________________________． 【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 35．（24-25八年级下·西藏林芝·期中）如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、证明四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，根据三角形内角和为可得，根据等式的性质可得，进而可得，根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可得结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 36．（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，点E、A、C、F在同一条直线上，并且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．先由四边形是平行四边形，证得，再根据补角的性质证得，从而证明，最后由全等三角形的性质证得，，从而证得四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 37．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，和都是等边三角形，点D在边上，边上有一点F，且，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证明四边形是平行四边形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，利用即可证明； （2）由全等三角形的性质和等边三角形的性质，结合，可推出，，即为等边三角形，进而得到，，推出，最后由对边相等且平行即可判定四边形为平行四边形． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ，即， ； （2）证明：， ，， 又， 是等边三角形， ， ， 为等边三角形． ， 是等边三角形， ， ， ，即， ，， ， 四边形是平行四边形． 题型八 利用平行四边形的判定与性质求解（共6小题） 38．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图给出了四边形的部分数据，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．由题意得，，，推出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 四边形是平行四边形， ， ． 故选：D． 39．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、三角形的面积公式与平行四边形的面积公式等知识正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，，根据平行四边形的性质可得的面积的面积，再利用平行四边形的性质可得作，从而可得，进而可得的面积的面积，然后再根据作，可证四边形是平行四边形，从而可得的面积的面积，进而可得的面积的面积，即可解答． 【详解】解：连接，， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的面积的面积， ， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 的面积的面积， ∵四边形面积为， 的面积为， 故选：B． 40．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在中，过对角线上一点作，，且，，则________． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，由条件可证明四边形、为平行四边形，再利用面积的和差可证明，最后由等高四边形的条件即可得出答案． 【详解】解：∵在中，， 又，， ∴四边形、、、为平行四边形， ∴， 同理可得，， ∴， 即． ∵，， ∴ ∴； 故答案为：． 41．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． (1)求证：； (2)若时，的面积为，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的判定与性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质及三角形中线的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）先利用证明，得出，，再利用即可证明； （2）根据等腰三角形的性质及角的和差关系得出，即可证明，根据全等三角形的性质得出，，即可证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质及三角形中线的性质即可得答案． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ∴，， 在和中，， ∴． （2）解：， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴， ∴． 42．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知的顶点，，对于点和，给出如下定义：如果三边上存在三个点，使得以点和这三个点为顶点的四边形是平行四边形，则称点是的“平行连接点”，例如，图1中，、两点的坐标分别为，，三边上存在，和三个点，使得四边形是平行四边形，故点是的“平行连接点”． (1)如图2，当点的坐标为时， ①点，，，中，是的“平行连接点”的是________； ②若是的“平行连接点”，请在图2中画出一个以点和三边上的三个点为顶点的平行四边形，这个平行四边形对角线交点的纵坐标为________，的取值范围为________； (2)如图3，当点的坐标为时，若是的“平行连接点”，在图3中画出所有满足条件的点组成的图形． 【答案】(1)①、；②图见解析；1； (2)图见解析 【分析】（1）①根据的“平行连接点”的定义，利用网格的特点画出相应图形即可判断；②找到一个合适的点，写出其对角线交点的纵坐标即可，延长交轴于点，延长交轴于点，则，，当时，且，满足题意；当时，上一定存在点，使得是平行四边形，满足条件；当时，上一定存在一点，使得是平行四边形，满足条件，从而得到的范围； （2）根据（1）②的方法，将延长交于点，延长交于点，过点直线于点，当点在（不包含）这一段运动时，过点过交于，过点过交于，此时四边形为平行四边形；当点在（不包含和）这一段运动时，过点过交于，过点过交于， 四边形为平行四边形，那么当点在（不包含和）这一段运动时，都能在三边上找到三个点，使得以点和这三个点为顶点的四边形是平行四边形，为所求． 【详解】（1）解：①将点，，，在图中画出 由图可知，，，，能组成平行四边形；，，，能组成平行四边形， 和是的“平行连接点”， 故答案为：、； ②根据题意，如下图即为所求（答案不唯一）， 由图像可知为该平行四边形的对角线，且点在上， ，， 这个平行四边形对角线交点的纵坐标为1， 延长交轴于点，延长交轴于点，如图所示： 则，， 当时，且，满足题意； 当时，上一定存在点，使得是平行四边形，满足条件； 当时，上一定存在一点，使得是平行四边形，满足条件； 的取值范围为：， 故答案为：1，； （2）解： 根据（1）②的方法，将延长交于点，延长交于点，过点作直线于点，如下图所示， 当点在（不包含）这一段运动时，过点过交于，过点过交于，如图所示： ，， 四边形为平行四边形 当点在（不包含和）这一段运动时，过点过交于，过点过交于，如图所示： ， ， 四边形为平行四边形． 那么当点在（不包含和）这一段运动时，都能在三边上找到三个点，使得以点和这三个点为顶点的四边形是平行四边形， 故如图所示即为所求： 【点睛】本题考查了“平行连接点”，平行四边形的判定与性质，网格作图，熟练掌握以上知识点，读懂题意，数形结合是解题的关键． 43．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示 ； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【知识点】含30度角的直角三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、列代数式 【分析】（1）根据路程=速度×时间，求解即可 ； （2）当时，过点A作于点F，则，，得到，根据题意，得，，构造等式求解即可； （3）当时，；当时，， 根据平行四边形的判定，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动， ∴； （2）解：当时，如图1，过点A作于点F，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴， ∴， 解得． （3）解：存在， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴当点P与点D重合时，， 故， 解得， ∴当点Q与点B重合时，， 故， 解得， ∴当时，； 当时，， ∵， ∴当时，A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形， 当时，如图2，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 当时，如图3，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或． 题型九 平行四边形性质和判定证明及应用（共5小题） 44．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，，，，，点，为垂足，则下列说法中错误的是（    ） A． B．直线，之间的距离是线段的长 C． D．直线，之间的距离是线段的长 【答案】B 【知识点】求平行线间的距离、平行四边形性质和判定的应用、点到直线的距离 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线间的距离，根据平行四边形的性质可判断A选项，根据点到直线的距离为垂线段的长度，平行线间的距离处处相等，可判断BCD选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴；故A选项正确，不符合题意； ∵，，， ∴A、B两点间的距离就是线段或的长，故选项B错误，符合题意； ∵，，， ∴；故选项C正确，不符合题意； ∵，，， ∴A、B两点间的距离就是线段或的长，故选项D正确，不符合题意； 故选：B．1 45．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，平分，则下列结论．①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形性质和判定证明、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，根据平行线性质求出，得出平行四边形，即可推出可判断①正确；根据等腰三角形性质求出，即可推出，故②正确；由三角形内角和定理易得，结合，可证明，故③错误．过点E作，则，根据平行线的性质即可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴，又， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论有①②④，共3个． 故选：C． 46．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在中，E，F分别在边，上，．求证：四边形是平行四边形．下面是打乱顺序的证明过程，则正确的步骤排序应为（    ） ①又∵； ②∵，∴，即； ③∴四边形是平行四边形； ④∴，； ⑤∵四边形是平行四边形． A．④①③⑤② B．②④⑤①③ C．⑤④①②③ D．⑤④②①③ 【答案】D 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，第一步根据平行四边形对边平行且相等得到，；再由可证明，再由平行四边形的判定定理即可证明结论，据此可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，； ∵， ∴，即； 又∵； ∴四边形是平行四边形； 故顺序为⑤④②①③， 故选：D． 47．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为_____． 【答案】 【知识点】根据等角对等边证明边相等、平行四边形性质和判定的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，关键是等腰三角形判定定理的应用．先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 【详解】由题意得，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 48．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，E，F分别为，上两点，且，连接，分别与对角线交于点G，H． (1)求证：四边形为平行四边形： (2)若，，求点G到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)2 【知识点】含30度角的直角三角形、平行四边形性质和判定的应用、点到直线的距离、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，而，则，所以，，则四边形 为平行四边形； （2）作于点，由，得，由，得，可根据“”证明，得，因为，所以，即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，分别为，上两点，且， ， ，， 四边形 为平行四边形． （2）解：作于点，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点到的距离是2． 题型十 三角形的中位线（共6小题） 49．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在中，于点D，E，F，G，H分别是，，，的中点，若，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形中位线定理． 根据中位线定理得到，，即． 【详解】解：∵E，F分别是，的中点， ∴是中位线， ∴， 同理可得， 即． 故选：D． 50．（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，在中，为其中位线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D．条件不足，无法计算 【答案】C 【知识点】两直线平行同位角相等、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查求角度，涉及三角形中位线的性质、平行线的性质等知识，先由中位线的性质得到，再由两直线平行同位角相等即可得到答案，熟记三角形中位线的性质、平行线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：在中，为其中位线， , , , 故选：C． 51．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，平地上、两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点，并分别找到和的中点、，测量得米，则、两点间的距离为_____米． 【答案】 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查三角形中位线定理．由三角形中位线定理得到，据此求解即可． 【详解】解：、分别是中点， 是的中位线， ， 米， 米， 、两点间的距离为16米， 故答案为：16． 52．（25-26八年级·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，点D是边上的中点，点E是边上的一个动点，连接，将沿翻折得到．当时，则长为______ 【答案】2.5 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、折叠问题 【分析】本题考查折叠问题，三角形中位线定理，勾股定理，关键是由勾股定理列出关于x的方程．由勾股定理求出，得到，由折叠的性质得到，，由平行线等分线段定理推出，由三角形中位线定理推出，求出，设，由勾股定理得到，求出，得到． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点D是边上的中点， ∴， 由折叠的性质得到：，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2.5． 53．（24-25八年级下·江苏南京·期中）证明：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 已知：如图，是的中位线，是的中线，、交于点． 求证：_________________________． 证明： 【答案】求证：，；证明见解析 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】此题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的判定与性质，利用文字说明转化为几何图形证明，结合平行四边形的判定与性质得出答案． 【详解】求证：，， 证明：连接、， ∵D、F分别是、的中点， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 即三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 54．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，点P在线段上，先画，再在上画点E，使得； (2)在图2中，在线段上找一点G，使得，垂足为点G，并在线段上找一点H，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用平行四边形的性质求解、三角形中位线的实际应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质是关键． （1）作平行四边形并利用平行四边形的性质进行作点E即可； （2）利用三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质进行作图即可． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）所作图形如图所示： $