专题01勾股定理（期中复习专项训练）八年级数学下学期人教版五四制

专题01 勾股定理 题型1 用勾股定理解三角形（常考点） 题型6 勾股定理与折叠问题（难点） 题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型7 勾股定理的证明方法（重点） 题型3 已知两点坐标求两点距离（常考点） 题型8 勾股定理的应用（重点） 题型4 勾股数（易错点） 题型9 勾股定理的逆定理（重点） 题型5 勾股定理与网格问题（重点） 题型10 勾股定理逆定理的实际应用（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 用勾股定理解三角形（共4小题） 1．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置（如图），则水的深度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】设荷花入水部分长，则荷花的高，因荷花偏离原位置，那么水深与水平距离组成一个以为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设荷花入水部分长，则荷花的高， 根据题意得， 解得， 答：水的深度为． 2．（23-24八年级下·北京西城.期中）若一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则斜边上的高为______． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等面积法的应用，根据勾股定理求出斜边长，再利用面积法求斜边上的高． 【详解】解：设斜边长为，斜边上的高为， 由勾股定理得：， ∴． ∵直角三角形面积：， 同时：． ∴， 解得 ． 故答案为： 3．（24-25八年级下·四川绵阳·月考）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)8米 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米， （米， 答：风筝的垂直高度为 米； （2）解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）骑行小道的长为米 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积（共4小题） 5．（24-25八年级下·福建三明·期中）已知，都为正数，且，若以，为两条直角边长作一个直角三角形，则以这个直角三角形的斜边为边的正方形的面积为（） A．3 B．9 C．10 D．41 【答案】B 【知识点】绝对值非负性、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查非负数的性质和勾股定理的应用，由非负数的性质求出和的值，再根据勾股定理求出斜边的平方，即为正方形的面积． 【详解】解：∵且，且它们的和为零， ∴且， ∴且， ∴，． ∵均为正数， ∴，． 以为直角边作直角三角形，设斜边为， 则根据勾股定理，． 以斜边为边的正方形的面积等于． 故选：B． 6．（24-25八年级下·广西河池·期中）如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A，B的面积分别为18，10，则正方形C的面积是____________． 【答案】28 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查勾股定理，理解并掌握勾股定理是解题的关键． 根据正方形的面积与边长的关系，可知，由此即可求解． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知， ∴． 故答案为：28． 7．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正方形的边长为6，则四个正方形的面积之和为________． 【答案】 【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，设四个正方形的面积分别为：，由图可知：，即可求解； 【详解】解：设四个正方形的面积分别为：， 由图可知：， 故答案为： 8．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）探究一：如图1，P、Q、M均为正方形． （1）若图1中的为直角三角形，，正方形P的面积为3，正方形M的面积为，则正方形Q的面积为________； 探究二：图形变化： （2）如图2，为直角三角形，，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说明理由； （3）如图3，如果直角三角形两直角边长分别为5和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）能，面积为，过程见解析 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的应用，以直角三角形三边为边长的图形面积，圆的面积公式，三角形面积，正方形面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式结合勾股定理，可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和； （2）根据圆的面积公式结合勾股定理，可发现大半圆的面积是两个小半圆的面积和； （3）由（2）可得，阴影部分的面积等于直角三角形的面积，据此解答即可求解． 【详解】解：（1）为直角三角形，， ， 由题意得：，， ， 故答案为：； （2），理由如下： 是直角三角形，， ， ，，， ， ； （3）设以AC为直径的半圆面积为，以BC为直径的半圆面积为，以AB为直径的半圆面积为， 由（2）可知，，，， ． 题型三 已知两点坐标求两点距离（共4小题） 9．（24-25八年级下·广东江门·期中）若有点，点，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了勾股定理求两点坐标，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据平面直角坐标系中两点间距离公式，进行计算即可求解． 【详解】解：∵点，点， ∴ 故选：D． 10．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点，则线段的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【知识点】已知两点坐标求两点距离、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键，根据所给平移的方式，求出点的坐标，再结合两点之间的距离公式即可解求解． 【详解】解：由题知，将点向左平移个3单位长度，再向上平移4个单位长度后，所得点的坐标为， 所以． 故选：C． 11．（24-25八年级下·云南曲靖·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是______________ 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查的是两点间距离公式，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到原点的距离是： ． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·广东汕头·期中）阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点，，我们把叫做，两点间的距离，记作．如，，则． 请根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)若，，直接写出的值； (2)当，的距离时，求出的值； (3)若在平面内有一点，使式子有最小值，请求出这个最小值． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解材料中两点之间的距离公式是解决问题的关键． （1）由材料中两点之间的距离公式直接带点求值即可得到答案； （2）由材料中两点之间的距离公式直接带点列方程求解即可得到答案； （3）由材料中两点之间的距离公式，理解表示动点到定点的距离与动点到定点的距离之和，再由两点之间线段最短即可得到答案． 【详解】（1）解：， 由材料中两点之间的距离公式可知； （2）解：，， ，即， ，解得，即或； （3）解：由材料中两点之间的距离公式可知表示动点到定点的距离与动点到定点的距离之和， 根据两点之间线段最短，要使式子有最小值，则三点共线，且在两个定点之间， 则这个最小值为． 题型四 勾股数（共5小题） 13．（24-25八年级下·四川南充·月考）下列是勾股数的一组是（   ） A．3，5，9 B．4，6，8 C．1，，2 D．8，15，17 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题主要考查了勾股数，解题的关键是掌握勾股数的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么a、b、c叫做一组勾股数．先判断所给数据是否为正整数，再验证两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可． 【详解】解：A．，故不是勾股数，不符合题意； B．，故不是勾股数，不符合题意； C．存在无理数，故不是勾股数，不符合题意； D．，故是勾股数，符合题意． 故选：D． 14．（23-24八年级下·云南昭通·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（    ） A．6，8，10 B．5，12，11 C．7，8，9 D．2，3，5 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】A．，是勾股数； B．，不是勾股数； C．，不是勾股数； D． ，不是勾股数； 故选：A． 15．（24-25八年级下·福建厦门·期中）满足的三个正整数，，称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数______． 【答案】6，8，10（答案不唯一） 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数问题．根据题意写出符合的式子即可． 【详解】解：∵， ∴勾股数可以是：6，8，10（答案不唯一）， 故答案为：6，8，10（答案不唯一）． 16．（23-24八年级下·河北沧州·期中）清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”． (1)当时，写出这一组勾股数______． (2)证明“罗士琳法则”的正确性． 【答案】(1)14，48，50； (2)见解析． 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）根据勾股定理计算证明即可． 【详解】（1）解：当时， 根据题意得：， ∴这一组勾股数为14，48，50； 故答案为：14，48，50． （2）证明：∵ ． ， ∴当k大于2时，， ∴如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数． 17．（24-25八年级下·贵州黔南·月考）对于任意大于或等于4的偶数，存在下列勾股数： 组别 第1组 第2组 第3组 (1)根据以上规律，请你直接写出第7组勾股数． (2)请你猜想出第组（为正整数），并证明这是一组勾股数． 【答案】(1)16；63；65 (2)第n组勾股数为：，，；理由见解析 【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算、勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数的判断，数字规律探索，解题的关键是根据给出的数据得出一般规律． （1）根据给出的数据，得出一般规律，求出第7组勾股数即可； （2）根据一般规律写出第组，根据勾股数定义和整式混合运算法则进行证明即可． 【详解】（1）解：第1组，，，， 第2组，，，， 第3组，，，， ……， 第7组，，，； 即第7组勾股数为16；63；65； （2）解：第1组，，，， 第2组，，，， 第3组，，，， ……， 第7组，，，； 第n组，，，， 证明： ， ， ∴， ∴，，是勾股数． 题型五 勾股定理与网格问题（共3小题） 18．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与网格问题、勾股定理与无理数 【分析】本题考查勾股定理，求出的长是解答的关键．如图，连接，利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：如图，连接，则， ， ∴在中， 由勾股定理得：， ， 故选：B． 19．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它历史悠久，趣味浓厚；基本规则简明易懂．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“車”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为________． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．直接根据网格的特点及勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，“車”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为， 故答案为：． 20．（24-25八年级下·江西赣州·期中）在学习了勾股定理后，数学兴趣小组在老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动： (1)三边的长分别、、，求的面积．小明同学的做法是：由勾股定理得，，，于是画出线段，从而画出，如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________； (2)已知三边长分别为，，，在图2方格图（每个小方格边长为1）中画出格点，直接写出的面积为___________； (3)已知三边长分别为，，（，，且）请在图3的长方形网格中（设每个小长方形的宽为，长为）画出格点，并求其面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】勾股定理与无理数、勾股定理与网格问题 【分析】此题考查了三角形的面积，实数与勾股定理，解题的关键是学会利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考常见题， （1）用矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可求解； （2）利用构图法求出的面积，然后用矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可求解； （3）先画出三边长分别为、、的，然后用矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：的面积为； 故答案为：； （2）解：①∵，， 画出图形，如图： ∴； （3）解：∵，， 如图， ∴． 题型六 勾股定理与折叠问题（共6小题） 21．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）有一块直角三角形纸片，如图所示，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 设， 则， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：D． 22．（24-25八年级下·四川泸州·期中）已知直角三角形纸片的两直角边长分别是，，现将按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由勾股定理得到，再由折叠的性质得到，设，则，由勾股定理可得，解方程可得，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质可得，，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 23．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为______． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查的是折叠问题及勾股定理，由折叠性质可知，设，则，利用勾股定理可以求出最后结果． 【详解】解：为中点， ， 由折叠的性质可知：， 设，则， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 24．（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，中，，，，点D在边上，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的长为______． 【答案】1.5 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，掌握折叠的不变性是解题的关键． 先由勾股定理求出，由折叠得到，，然后设，在中，由勾股定理建立方程求解． 【详解】解：中，，，， ∴， 由翻折变换的性质可知，， ∴，， 设，则有， ∴， ∴． 故答案为：1.5． 25．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，有一块直角三角形纸片的两直角边，，现将沿直线AD折叠，使点C落在点E，求CD的长． 【答案】 【知识点】折叠问题、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查图形的折叠，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 根据勾股定理，求出，再由折叠，可得，在中，利用勾股定理，列出方程，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠，得 ， ∴， ∵， ∴， 解答， ∴． 答：CD的长为． 26．（24-25八年级下·西藏·期中）在中，，，，点D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是．如图，如果点和点A重合，求的长． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设，则，根据折叠的性质得到，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由折叠性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即的长为． 题型七 勾股定理的证明方法（共3小题） 27．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则，据此可判断A；小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则，据此可判断B；中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则，据此可判断C；D选项中的图形不能证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故A能证明勾股定理，不符合题意； B、小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则小正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故B能证明勾股定理，不符合题意； C、中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则中间等腰直角三角形的面积为， ∴， ∴， ∴，故C能证明勾股定理，不符合题意； D选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意； 故选：D． 28．（24-25八年级下·福建福州·期中）在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是__________．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【知识点】勾股定理的证明方法、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了列代数式及勾股定理与完全平方公式的验证，理解题意，结合图形求解是解题关键．根据图形列代数式即可得出结果． 【详解】解：甲出的结果为：，不符合题意； 乙得出的结果为：，即，符合题意； 故答案为：乙． 29．（24-25八年级下·河南许昌·期中）我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，小明也仿照赵爽的方法借助图形的拼接，证明勾股定理．他发现只需将两张全等的直角三角形纸片与一张满足一定要求的长方形纸片，如图（1）所示，拼成如图（2）所示的图形，利用面积的不变性也可证明勾股定理．下面是小明证明勾股定理的部分过程，请你帮助小明续写证明过程． 证明：如图，连接，由题意，得，， …… 【答案】见解析 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．利用两种不同的方法表示出四边形的面积，化简整理即可得到勾股定理表达式． 【详解】证明：如图，连接，由题意，得，， ， ， 化简得． 题型八 勾股定理的应用（共12小题） 30．（24-25八年级下·山东临沂·期中）一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，则A，C两港之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键．根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，根据题意，得，，，， ∵ ∴ ∴ ∴在中， 即，两港之间的距离为． 故选：C． 31．（24-25八年级下·云南文山·期中）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路线问题，利用勾股定理求出两棵树树顶之间的距离即可求解，掌握勾股定理是应用是解题的关键． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞， 故选：．    32．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是，水杯的内侧高度为，若勺子的长度为，则勺子漏出杯子的部分至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见解析），先找出当恰好是水杯的内径，时，勺子在水杯内的长度最长，勺子漏出杯子的部分最短，再利用勾股定理求出的长，则可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，当恰好是水杯的内径，时，勺子在水杯内的长度最长，勺子漏出杯子的部分最短． 由题意得：， ∴在中，， ∴， ∴勺子漏出杯子的部分至少为， 故选：A． 33．（23-24八年级下·广西河池·期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 当地毯铺满楼梯时，其长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯所需长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 故选：C． 34．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设竹子折断处离地面的高度尺．根据图形并结合勾股定理即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：设竹子折断处离地面的高度尺． 由题意可得：， 故选：C． 35．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，一架梯子斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处，保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点C处，，测得顶端A距离地面的高度为2米，为米，且顶端C距离地面的高度比多米，求的长． 【答案】2.2米 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意是解题的关键．先在中，根据勾股定理求出梯子的长度，然后在中根据勾股定理求出的长，进而可求解． 【详解】解：由题意可得：在中，，米，米， ∴（米）， ∴米， ∵米， ∴（米）， ∴（米）． 36．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】这辆小汽车超速了． 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理可得，求出小汽车的速度为，然后比较即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理可得：， ∴小汽车的速度为； ∵， ∴这辆小汽车超速行驶， 答：这辆小汽车超速了． 37．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 【答案】的长为 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理，比较简单，需要熟练掌握勾股定理的基础知识． 先设，则，再根据勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得： 在中，， 在中，， 由题意可知：， 所以， 解得： 即的长为． 38．（24-25八年级下·江西上饶·期中）如图，长方体的长为厘米，宽为厘米，高为厘米，点到点的距离是厘米，自至在长方体表面的连线距离最短是多少？ 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查平面展开图的最短距离，注意长方体展开图的不同情况，正确利用勾股定理解决问题．求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第个图： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第个图： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第个图： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ， 自至在长方体表面的连线距离最短是． 39．（24-25八年级·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，． (1)求支渠的长度．（结果保留根号） (2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？ 【答案】(1) (2)万元 【知识点】求河宽(勾股定理的应用)、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出，则，再由勾股定理求出的长即可； （2）由的面积求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意可知：， ， ，， ， ， ， 答：公路的长度为； （2）， ， ， ， ∴修建林荫小道需要的费用为万元． 40．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，公路和公路在点P处交汇，且． 点A处有一栋居民楼，． 假设一拖拉机在公路上沿方向行驶，周围以内（包括）会受到噪声的影响． (1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由． (2)若受影响，已知拖拉机的速度为，则居民楼受到影响的时间有多长？ 【答案】(1)该居民楼会受到噪声的影响，理由见解析 (2) 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、三线合一、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三线合一，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，是解题的关键： （1）作，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进行判断即可； （2）以为圆心，为半径画弧，交于点，三线合一结合勾股定理求出的长，再除以速度，求出时间即可． 【详解】（1）解：该居民楼会受到噪声的影响，理由如下： 作，则：， ∵，， ∴， ∵， ∴该居民楼会受到噪声的影响； （2）以为圆心，为半径画弧，交于点，则：， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； 答：居民楼受到影响的时间有． 41．（24-25八年级下·广西南宁·期中）实践与探究 八年级的同学学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量旗杆的高度的实践活动，他们设计了如下方案： 课题：测量风筝的高度．      工具：皮尺，计算器等．       测量示意图：如图1． 说明：如图1，表示地面水平线，表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且垂直于地面于点A，线段表示风筝牵引线（近似为线段），表示风筝到地面的垂直高度，于点E，于点D． 测量数值：点B到的距离米；风筝牵引线的长度：米；的长度：米； (1)求风筝的垂直高度； (2)如图2，如果风筝沿方向上升28米至点F（）， 求风筝牵引线的长． 【答案】(1)风筝的垂直高度为13.6米 (2)风筝的牵引线的长是41米 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理得米，再根据即可求解； （2）由勾股定理得米． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ， 答：风筝的垂直高度为13.6米； （2）解：在中，由勾股定理得：                                               ， 答：风筝的牵引线的长是41米． 题型九 勾股定理的逆定理（共10小题） 42．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、∵，∴，能构成直角三角形，不符合题意； B、∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意； C、∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意； D、∵，，∴，不能构成直角三角形，符合题意． 故答案为：D． 43．（24-25八年级下·广东东莞·期中）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．点到直线的距离是2 【答案】C 【知识点】勾股定理与网格问题、用勾股定理解三角形、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积计算及等面积法，掌握网格中用勾股定理求边长，用逆定理判断直角，用等面积法求高是解题的关键． 先利用勾股定理计算三边长度，再通过勾股定理逆定理判断直角，接着用直角三角形面积公式求面积，最后用等面积法求点到直线的距离，逐一验证选项． 【详解】解：∵，，， ， ，故A，B选项的结论正确，不符合题意； ，故C选项的结论错误，符合题意； 设点到直线的距离是，则， ，故D选项的结论正确，不符合题意． 故选：C． 44．（24-25八年级下·西藏·期中）如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键．连接，利用勾股定理求出，利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ，， ， ， ，， ， 为直角三角形，且， ， 故选：A． 45．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，，则的面积为_______． 【答案】6 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，且， ∴的面积为， 故答案为：6． 46．（24-25八年级下·广东清远·月考）在中，，，的对边分别是，，，若三边关系为，则______是直角． 【答案】 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 考查了勾股定理的逆定理，运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 【详解】解：在中，，，的对边分别是，，，三边关系为， 是直角． 故答案为：． 47．（24-25八年级下·甘肃定西·期中）已知三角形边长为，，，如果，试判断三角形的形状． 【答案】该三角形是直角三角形 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、判断三边能否构成直角三角形、绝对值非负性 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及非负数的性质．根据非负数的性质可得，，，再解出、、的值，利用勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形． 【详解】解：该三角形是直角三角形．理由如下： ∵， ∴，，． 解得，，． ∵， ∴， ∴该三角形是直角三角形． 48．（24-25八年级·贵州铜仁·期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，点都在格点处，连接，，并在图中标出了和，则____度． 【答案】135 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了网格与勾股定理及其逆定理的运用，平行线的性质，理解网格的特点，掌握勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键． 根据网格与勾股定理逆定理可得是等腰直角三角形，由即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵小正方形网格的边长为1， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据格点的性质可得，， ∴， 故答案为： ． 49．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且 (1)求证：； (2)若，，求CE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，根据定理以及线段垂直平分线的性质解题即可． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求证； （2）设，在（1）的结论上，利用勾股定理列出方程计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴； （2）∵，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得， ∴ 50．（24-25八年级·陕西西安·期中）如图，在中，，，D为边上的一点，，． (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)84 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据，，，得，证明； （2）根据勾股定理，得，求得，计算的面积即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴. （2）解：∵， ，， ∴， ∴， ∴的面积为：． 51．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； (3)在你所画的图中，求出斜边上的高（每个小正方形的边长为1）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、求一个数的算术平方根、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，准确的理解勾股定理和构造直角三角形是解题的关键． （1）画一个边长为3,4,5的三角形即可； （2）利用勾股定理，找长为、和4的线段，画三角形即可； （3）根据等积法求出斜边上的高即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形；（答案不唯一） ； （2）解：如图，即为所求作的三角形．（答案不唯一） ，； （3）解：设直角三角形斜边上的高为h，则， ∴． 题型十 勾股定理逆定理的实际应用（共6小题） 52．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，学校分给各班级一块地，让学生学习种菜．八年级三班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，，，则三角形菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．先根据勾股定理的逆定理证明三角形菜地为直角三角形，然后根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴三角形菜地为直角三角形， ∴三角形菜地的面积为． 故选：A． 53．（24-25八年级下·贵州贵阳·期末）如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长和，已知长的边线为南北向，则长的边线方向为（    ） A．东西向 B．东北向 C．东南向 D．西北向 【答案】A 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、方向角的表示 【分析】本题考查方向角，勾股定理逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解∶如图，，， ∴，， ∴， ∴， ∵长的边线为南北向， ∴长的边线方向为东西方向， 故选∶A． 54．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，某港口位于南北方向的海岸线上．甲，乙两舰艇同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲舰艇每小时航行16海里，乙舰艇每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后分别位于点P，Q处，且相距30海里．已知甲舰艇沿北偏东方向航行，则乙舰艇的航行方向是_______________． 【答案】南偏东 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用．直接得出海里，海里，海里，利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案． 【详解】解：由题意可得：海里，海里，海里， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∵甲舰艇沿北偏东方向航行， ∴， ∴乙舰艇的航行方向是南偏东． 故答案为：南偏东． 55．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图是某工厂的平面图经测量． （1）则___________度； （2）已知是在边上药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计划在点处安装一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离为，若，则直线上被摄像头监控的公路长度为___________米． 【答案】 160 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用，等腰三角形的性质与判定，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）连接，可得，利用勾股定理可得，则可证明，再根据勾股定理的逆定理可得，即可求解； （2）过点E作，交直线于点G．点M，N在直线上，且，即的长为直线上被摄像头监控到的公路长度．可证明，得到．求出，由勾股定理得，则，由勾股定理得，同理可得，则，据此可得答案． 【详解】解：（1）如图，连接． ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为；； （2）如图，过点E作，交直线于点G．点M，N在直线上，且，即的长为直线上被摄像头监控到的公路长度． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴ 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， 同理可得， ∴， 即直线上被摄像头监控到的公路长度为， 故答案为：160． 56．（24-25八年级下·云南昭通·期末）如图，某社区有一块四边形空地．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)连接，试判断的形状，并写出证明过程； (2)求这块空地的面积． 【答案】(1)是直角三角形；见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，线段垂直平分线的性质，掌握直角三角形的判定方法是关键． （1）根据题意，运用勾股定理逆定理判定直角三角形，即可求解； （2）由面积公式得到，由勾股定理得到，则，，由此即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 由题意得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴这块空地的面积为． 57．（23-24八年级下·河南洛阳·月考）2022年是第七届全国文明城市创建周期的第二年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，． (1)求的长度； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为50元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】(1)的长度为 (2)共需花费元 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的实际运用，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可知，在中，根据勾股定理即可求解； （2）运用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由此即可求解绿化空地的面积，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， ∴的长度为． （2）解：已知，，， ∴，，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，， ∴空地的绿化的面积为， ∵平均每平方米空地的绿化费用为元， ∴绿化这片空地共需花费（元）， ∴共需花费元． $专题01 勾股定理 题型1 用勾股定理解三角形（常考点） 题型6 勾股定理与折叠问题（难点） 题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型7 勾股定理的证明方法（重点） 题型3 已知两点坐标求两点距离（常考点） 题型8 勾股定理的应用（重点） 题型4 勾股数（易错点） 题型9 勾股定理的逆定理（重点） 题型5 勾股定理与网格问题（重点） 题型10 勾股定理逆定理的实际应用（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 用勾股定理解三角形（共4小题） 1．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置（如图），则水的深度为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·北京西城.期中）若一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则斜边上的高为______． 3．（24-25八年级下·四川绵阳·月考）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积（共4小题） 5．（24-25八年级下·福建三明·期中）已知，都为正数，且，若以，为两条直角边长作一个直角三角形，则以这个直角三角形的斜边为边的正方形的面积为（） A．3 B．9 C．10 D．41 6．（24-25八年级下·广西河池·期中）如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A，B的面积分别为18，10，则正方形C的面积是____________． 7．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正方形的边长为6，则四个正方形的面积之和为________． 8．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）探究一：如图1，P、Q、M均为正方形． （1）若图1中的为直角三角形，，正方形P的面积为3，正方形M的面积为，则正方形Q的面积为________； 探究二：图形变化： （2）如图2，为直角三角形，，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说明理由； （3）如图3，如果直角三角形两直角边长分别为5和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 题型三 已知两点坐标求两点距离（共4小题） 9．（24-25八年级下·广东江门·期中）若有点，点，则的长度为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点，则线段的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 11．（24-25八年级下·云南曲靖·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是______________ 12．（24-25八年级下·广东汕头·期中）阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点，，我们把叫做，两点间的距离，记作．如，，则． 请根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)若，，直接写出的值； (2)当，的距离时，求出的值； (3)若在平面内有一点，使式子有最小值，请求出这个最小值． 题型四 勾股数（共5小题） 13．（24-25八年级下·四川南充·月考）下列是勾股数的一组是（   ） A．3，5，9 B．4，6，8 C．1，，2 D．8，15，17 14．（23-24八年级下·云南昭通·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（    ） A．6，8，10 B．5，12，11 C．7，8，9 D．2，3，5 15．（24-25八年级下·福建厦门·期中）满足的三个正整数，，称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数______． 16．（23-24八年级下·河北沧州·期中）清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”． (1)当时，写出这一组勾股数______． (2)证明“罗士琳法则”的正确性． 17．（24-25八年级下·贵州黔南·月考）对于任意大于或等于4的偶数，存在下列勾股数： 组别 第1组 第2组 第3组 (1)根据以上规律，请你直接写出第7组勾股数． (2)请你猜想出第组（为正整数），并证明这是一组勾股数． 题型五 勾股定理与网格问题（共3小题） 18．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 19．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它历史悠久，趣味浓厚；基本规则简明易懂．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“車”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为________． 20．（24-25八年级下·江西赣州·期中）在学习了勾股定理后，数学兴趣小组在老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动： (1)三边的长分别、、，求的面积．小明同学的做法是：由勾股定理得，，，于是画出线段，从而画出，如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________； (2)已知三边长分别为，，，在图2方格图（每个小方格边长为1）中画出格点，直接写出的面积为___________； (3)已知三边长分别为，，（，，且）请在图3的长方形网格中（设每个小长方形的宽为，长为）画出格点，并求其面积． 题型六 勾股定理与折叠问题（共6小题） 21．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）有一块直角三角形纸片，如图所示，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（   ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级下·四川泸州·期中）已知直角三角形纸片的两直角边长分别是，，现将按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D． 23．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为______． 24．（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，中，，，，点D在边上，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的长为______． 25．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，有一块直角三角形纸片的两直角边，，现将沿直线AD折叠，使点C落在点E，求CD的长． 26．（24-25八年级下·西藏·期中）在中，，，，点D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是．如图，如果点和点A重合，求的长． 题型七 勾股定理的证明方法（共3小题） 27．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级下·福建福州·期中）在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是__________．（填“甲”或“乙”） 29．（24-25八年级下·河南许昌·期中）我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，小明也仿照赵爽的方法借助图形的拼接，证明勾股定理．他发现只需将两张全等的直角三角形纸片与一张满足一定要求的长方形纸片，如图（1）所示，拼成如图（2）所示的图形，利用面积的不变性也可证明勾股定理．下面是小明证明勾股定理的部分过程，请你帮助小明续写证明过程． 证明：如图，连接，由题意，得，， …… 题型八 勾股定理的应用（共12小题） 30．（24-25八年级下·山东临沂·期中）一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，则A，C两港之间的距离为（　　） A． B． C． D． 31．（24-25八年级下·云南文山·期中）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞（   ）    A． B． C． D． 32．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是，水杯的内侧高度为，若勺子的长度为，则勺子漏出杯子的部分至少为（   ） A． B． C． D． 33．（23-24八年级下·广西河池·期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 34．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 35．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，一架梯子斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处，保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点C处，，测得顶端A距离地面的高度为2米，为米，且顶端C距离地面的高度比多米，求的长． 36．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 37．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 38．（24-25八年级下·江西上饶·期中）如图，长方体的长为厘米，宽为厘米，高为厘米，点到点的距离是厘米，自至在长方体表面的连线距离最短是多少？ 39．（24-25八年级·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，． (1)求支渠的长度．（结果保留根号） (2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？ 40．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，公路和公路在点P处交汇，且． 点A处有一栋居民楼，． 假设一拖拉机在公路上沿方向行驶，周围以内（包括）会受到噪声的影响． (1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由． (2)若受影响，已知拖拉机的速度为，则居民楼受到影响的时间有多长？ 41．（24-25八年级下·广西南宁·期中）实践与探究 八年级的同学学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量旗杆的高度的实践活动，他们设计了如下方案： 课题：测量风筝的高度．      工具：皮尺，计算器等．       测量示意图：如图1． 说明：如图1，表示地面水平线，表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且垂直于地面于点A，线段表示风筝牵引线（近似为线段），表示风筝到地面的垂直高度，于点E，于点D． 测量数值：点B到的距离米；风筝牵引线的长度：米；的长度：米； (1)求风筝的垂直高度； (2)如图2，如果风筝沿方向上升28米至点F（）， 求风筝牵引线的长． 题型九 勾股定理的逆定理（共10小题） 42．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（    ） A． B． C． D． 43．（24-25八年级下·广东东莞·期中）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．点到直线的距离是2 44．（24-25八年级下·西藏·期中）如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积是(    ) A． B． C． D． 45．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，，则的面积为_______． 46．（24-25八年级下·广东清远·月考）在中，，，的对边分别是，，，若三边关系为，则______是直角． 47．（24-25八年级下·甘肃定西·期中）已知三角形边长为，，，如果，试判断三角形的形状． 48．（24-25八年级·贵州铜仁·期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，点都在格点处，连接，，并在图中标出了和，则____度． 49．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且 (1)求证：； (2)若，，求CE的长． 50．（24-25八年级·陕西西安·期中）如图，在中，，，D为边上的一点，，． (1)求证：； (2)求的面积． 51．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； (3)在你所画的图中，求出斜边上的高（每个小正方形的边长为1）． 题型十 勾股定理逆定理的实际应用（共6小题） 52．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，学校分给各班级一块地，让学生学习种菜．八年级三班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，，，则三角形菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 53．（24-25八年级下·贵州贵阳·期末）如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长和，已知长的边线为南北向，则长的边线方向为（    ） A．东西向 B．东北向 C．东南向 D．西北向 54．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，某港口位于南北方向的海岸线上．甲，乙两舰艇同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲舰艇每小时航行16海里，乙舰艇每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后分别位于点P，Q处，且相距30海里．已知甲舰艇沿北偏东方向航行，则乙舰艇的航行方向是_______________． 55．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图是某工厂的平面图经测量． （1）则___________度； （2）已知是在边上药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计划在点处安装一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离为，若，则直线上被摄像头监控的公路长度为___________米． 56．（24-25八年级下·云南昭通·期末）如图，某社区有一块四边形空地．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)连接，试判断的形状，并写出证明过程； (2)求这块空地的面积． 57．（23-24八年级下·河南洛阳·月考）2022年是第七届全国文明城市创建周期的第二年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，． (1)求的长度； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为50元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ $