6.1.3 基本初等函数的导数-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

@ (2):物体在t=1附近位移的平均变化率为 6.1.3基本初等函数的导数 △s=f1+△t)-f1) 课前案·自主学习 △ △ -29+3[1+△)-3]2-29-3×1-3)2 [教材梳理] △ 导学1 =3△t-12, [问题1门[提示]了)-im -(x0+4x)2+2-(-6+2) 当△1无限接近于0时，3△1一12无限接近于一12. △x ∴.物体在t=1时的瞬时速度为一12m/s. =lim(-2x0-△x)=-2z0, [例2][解析]，△f=f(2+△x-f(2)=(△x)2-3△x, ∴f1)=-20)=0f(-2）=1, 兰-a-3,当a0时8兰-3 △x f(a)=-2a. 故∫(2)=-3. [问题2][提示]f(x)=一2x,说明f(x)不是常量， 同理可得f(6)=5. 而是关于x的函数 ∫(2)=一3表示在第2h时，原油温度以3℃/h的速 O结论形成 度下降： 1.每一点x都可导一个函数导函数 f(6)=5表示在第6h时，原油温度以5℃/h的速度 limf(Ar)-f(z) 上升 Ar [触类旁通] 导学2 2.解析△y=3(1+△x)2-2(1+△x)-(3×12-2×1) [问题1][提示] Ay=fx+A)-f=x十△xx △x △x △x =3(△x)2+4△x, Ag=3A)2+4=3Ar十4， =1y-m2是-m1=1,即y/-1 △x △x [问题2][提示]y'=1表示函数y=x图象上每一点 f1)=一-四(3△x+)=4 处的切线的斜率都为1，如图.若y=x表示路程关于时 [例3][解析](1)将x=1代入曲线C的方程得y=1, 间的函数，则y=1可以解释为某物体作醉时速度为1 的匀速运动： .切点P(1,1) f=-是==4+2”1==3+3Ax+A △x =3.∴.k=f(1)=3. ∴.曲线在点P(1,1)处的切线方程为y一1=3(x一1)， 即3x-y-2=0. (2)设切点为Q(x0,yo),由(1)可知f(x0)=3x号，由题 意可知krQ=f(xo), 0-36,又%=，所以-1 即一1 ⊙结论形成 1.012x 3x2 11 即26-0-1=0，解得0=1或0=-之 x22√E 2.0axa-1 a'In a ef 1 1 ①当x0=1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为 xIn a cosx一sinx 3x-y-2=0. [基础自测] ②当0=一子时，切点坐标为（一合一言）相应的切 1.(1)×(2)√(3)√(4)/ 2.C因常数的导数等于0，故选C. 线方程为y叶日-(e+合)甲3江-+1=0 3.C:f(x)=10ln10,∴.f(1)=10ln10. [触类旁通] 4.解析∫(x)=cosx,所以∫(6π)=1. 答案1 3.解析设P(x0,yo)是满足条件的点， )(m (x0十△x)2-x 课堂案·互动探究 则了(x)=i四 △x △x [例1][解析]1)y-3ln3:(2)y=xn3 =2x0. (1)因为切线与直线y=4x-5平行，所以2x0=4,x0=2, （3)y=2c0s2号-1=c0sx,g=-sin y0=4,即P(2,4)是满足条件的点 (2)因为切线与直线2x一6y十5=0垂直， 0=(Fy=y=号xt=3 3 所以2。·日-1，得0=-2%=是 [触类旁通] 即P(一号，号)是满足条件的点。 1.解析（1)y=(1ogx)'-1 1 zIn 2' (3)因为切线的倾斜角为135°，所以其斜率为一1， 即2=-1，得0=-名0=子即P(名)是满 2y-d-y-子t 足条件的点 3y=[合)]=（号）fm=-(合)产a2 22 [例2习[解折]因为y-子所以当=e时=号 6.1.4求导法则及其应用 课前案·自主学习 即切线斜率为是，所以切线方程为y一1=。（红一e),即 [教材梳理] x-ey=0. 导学1 [母题变式] [问题1][提示]∫(x=1,g(x)=一 1.解析因为O(0,0)不在曲线上，所以设切点为Q(a,b), 到切线外奉k=女，又因为及-名二8且6=na,所以 [间题[提示]：ay=+a如)+一(+） a=e,b=l,所以切线方程为x-ey=0. -△x 2.解析问题可以转化为函数y=lnx与y=mx的图象 △x+x(x+A)' :=1-x(x+Am)' 1 有且仅有一个公共点.由图象易知m≤0满足条件，另 △x 外就是y=mx是y=lnx的切线时满足条件.因为y= 1 mx图象过(0,0)，所以设切点为Q(a,b),则切线斛率 m=】,又因为m=二9，且b=1ha,所以a=e,b=1, a01 同理He)-1+号 m=。,即m的取值范周为（一∞，0]U日}. [问题3][提示]Q(x)的导数等于(x),g(x)导数的 和，H(x)的导数等于f(x),g(x)导数的差. [触类旁通] [问题4][提示]不对，因为f(x)g(x)=1, 2.解析(1)y=e2.因为曲线y=e2在点A(xA,ya)处的 切线与直线x十ey一1=0垂直，所以函数y=e在x= )gr=0,而f）·g)=1x(-3）=-3 xA处的导数值为e,即ea=e,所以xA=l,则yA=e, ⊙结论形成 所以点A的坐标为(1，e).故选B. 1.f(x)土g'(x) (2):y=一sinx,心余弦曲线y=cosx在（受，0）处的 :2.1)f(x)g(x)+f(x)g'(x)(2)cf(x) 3.)f()-f(g'() 切线斜率=一5in受=一1， g2(x) 导学2 “所求切线方程为y=一（红-受），即y=一x+受故 :[问题1][提示]令u=g(x)=3x+2,y=f(u)=u2, 选A 则y=f(u)=f(g(x)=(3x+2)2. 答案(1)B(2)A [问题2][提示]y=(9x2+12x+4)'=18x十12， (u)=2u,g'(x)=3. [例3】[证明]设P(x%)为y=子上任意一点， [问题3][提示]y'=[f(g(x)]了=f(w)·g'(x). ⊙结论形成 则%=0.又y-(仔广=- 1.x u 双曲线在P(,)处的切线斜率k=y1=5 2.f(g(z))g'(x)yu [基础自测] 1.解析()f(x)=f1)·(nx)'=) 令=0，则y品令y0,则x=24 (2)由y=x2cosx,得y=2 rcos x-x2sinx. (3)由y=sin,得y=rcos sin 所以初线与工轴、3轴的交点分别为(20,0)，(0,2）。 (4)根据导数四则运算法则，y=(3x2)'一(e2x)'= 因光，所求三角移的西积为5专2小…层 =2(常数). 6x-2e2r. 答案(1)√(2)×(3)×(4)× 在双曲线y=上上任意一点处的切线与x轴y轴因 2.By'=(sinx·cosx)'=cosx·cosx+sinx· (-sin x)=cos2 x-sin2 r. 成的三角形的面积为常数 3.ACD由求导法则易知只有B正确. [触类旁通] 4.解析f(x)=4x2+4ax十a2,:f(x)=8x+4a, 3.解析由图形的直观性可知，当P到直线1x十y十2-0 ∴f(2)=16+4a=20,.a=1 的距离最小时，过点P的切线与直线L是互相平行的，那 答案1 么它们的斜率是相等的，即切线的斜率也等于一1， 课堂案·互动探究 设P(x0y%),则k=y1x=5,=20=-1小x0=-2: 1 [例1][解析](1)y'=(x)'sinx十x(sinx) P(合，)由点到直线的距离公式知点P到1的距 =sin x+xcos x. (2)方法-y=[(x十1)(x+2)(x+3)]Y 2++2 =[(x+1)(x+2)]'(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)/ 离为d= 72 =[(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)门(x+3)+(x+1)· 8 (x+2) 23第六章 导数及其应用· 6.1.3 基本初等函数的导数 学业标准 素养目标 1.理解导函数概念,会根据导数的定义求几个常见函 数的导数.(难点) 通过学习常用函数的导数和基本初等函数的导数 2.掌握基本初等函数的导数公式,并能进行简单的应公式及应用,提升逻辑推理、数学运算核心素养 用.(重点、易混点) 必备知识 课前案。自主学习 素养初成 拉 梳理 2.f(x。)与f'(x)的异同 区别 联系 导学1导函数 f(x。)是具体的 f(。) 问题1 对于函数f(x)一一c2十2,如何求 在x一x。处的导数 值,是数值 f(x。)是导函数 f(1),#"(),#"(-),f'(a)(aR)? f'(x)在x一x。处的 f'(x)是f(x)在 函数值,因此求函数 某区间I上每一 在某一点处的导数 /(x)点都存在导数而 一般先求导函数,再 定义的一个新函 计算导函数在这一点 数,是函数 的函数值 问题2 若x。是一变量x,f(x)是常量吗? 导学2基本初等函数的导数 问题1 函数y一f(x)一x的导数是什么? O结论形成 1.函数f(x)可导与导函数 问题2 如果函数y一f(x)在其定义域内的 函数y一x的导数y'一1的意义是 ,则称f(x)可导,此时,对定义 什么? 域内的每一个值x,都对应一个确定的导 数f(x).于是,在f(x)的定义域内; f(x)是 ,这个函数通常称为函数 y-f(x)的 ,记作f(x)(或y,y), 即f()-'-y'- 导函数通常也简称为导数 65 数学·选择性必修 第三册(配RJB版) 结论形成 1.几个常见函数的导数 (3)y-2,则y'-2*ln2. ,(3)'一 xln2' C 。 2.(1)一 2.常用函数的求导公式,其中C,g,a均为常 _-3 数,a>0且a去1. # B.1 C.0 C二 ,(x“)二 ,(a)'二 D.1 22 (e)'=___,(logx)'=___,(lnx)'= 3.若函数f(x)-10{,则f(1)= _ _ ,(sinx)'=,(cosx)'= #A. B.10 基础自测 D.1oln10 1 C.10ln10 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“×”) (1)y-2,则-1. ( 4.函数f(x)=sinx,则f(6π)= 2. 关键能力 课堂案。互动探究 素养提升 题型一 利用导数公式计算导数 1.求下列函数的导数 例l 求下列函数的导数: (1)y-logx; (1)y-3; (2); (2)y-logx; (3)y-(). (4)-2# [自主解答] -规律万法 (1)如果函数解析式符合基本初等函数,则用求导 公式直接求导, (2)如果不能直接用公式,可以把题中所给函数式 进行调整后再选择合适的求导公式. [触类旁通] 66 第六章 导数及其应用 题型二 利用导数公式求曲线的切线方程 规律万法 (一题多变) 已知一点求切线方程 例② 已知曲线=lnx,点P(e,1)是曲线 求切线 根据点斜 →是切点→求导→ 上一点,求曲线在点P处的切线方程 斜率 式写方程 [自主解答] 不一定 →设切点→ 写切线 求切点和 是切点 方程 切线方程 [触类旁通] 2.(1)曲线三e*在点A处的切线与直线 x十ey-1=0垂直,则点A的坐标为( ) A.(-1,e-1) B.(1,e) C.(0,1) D.(1,e-1) (2)余弦曲线y-cosx在点(,o)处的切 线方程为 ( _ [母题变式] B._ 1.(变结论)若本例条件不变,求曲线过O(0.0) 的切线. 题型三 导数公式的综合应用 求证:在双曲线y-1上任意一点处的 例 切线与x轴、v轴围成的三角形的面积为 常数. [自主解答] 2.(变条件、变结论)若方程lnx三mx恰有一 个根,求的取值范围 67 ·数学·选择性必修 第三册(配RJB版) [填密思维提能区] [素养聚焦 本题通过导数公式的综合应用,培养 易错案例 逻辑推理、数学运算核心素养。 求点坐标 规律万法 [典例] 过原点作曲线y一e{的切线,则切 利用基本初等函数的求导公式,可求其图象在 点的坐标为 某一点P(x。,y)处的切线方程,可以解决一些与 [错解]设切点P(x。,y), 距离、面积相关的最值问题,此外,导数不仅在数学 则y'l-。-e{。, 中有着广泛的应用,在物理、化学等自然与社会科 学中同样拥有广泛的应用. 2。-0:。' [触类旁通] 则y。一e{。x。. 3.已知点P为抛物线y三x^{}上任意一点,当 所以切点P的坐标为(x。,e*x。). P到直线l;x十v十2=0的距离最小时,求 [正解]y一e{,设切点为(x。,y。), 点P的坐标及点P到直线/的距离 则y。-e。, 则切线方程为y-e*。=e。(x-x。), 由于原点在切线上, 则一e*。-e*。(-x。)→x。=1, y。-e。-e. 即切点为(1,e). [答案](1,e) [纠错心得] 要注意区分已知点是否为切点, 遇到需要设切点的情况,要牢记导数的几何意义 以及切点既在切线上也在曲线上, 课堂小结 知识落实 技法强化 (1)对于复杂函数的导数,往往先化 (1)导函数的简,再求导. 过概念。 (2)解决有关切线问题应充分利用 (2)基本初等 切点满足的三个关系:一是切点坐 函数的导数标满足曲线方程;二是切点坐标满 公式. 足对应切线的方程;三是切线的斜 率是曲线在此切点处的导数值 请完成[课后案1学业评价(十五) 68