6.1.3 基本初等函数的导数(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

11 =20x+2+4x2 =a34=(a-3)=-3. 所以=2-22+ 2.C,y=f八x)的图像在点P(5,(5))处的切线方程为y=-x+ Ax 8,可得Y=f气x)在点P代5，代5))处的切点纵坐标和切线斜率分别 所以k=-四2-22+]-子 11 为/5)=-5+8=3/'(5)=-1， 则f5)+f'(5)=2. (2)x+2y+4=0点(-2，-1)在曲线x)=2上 +4x(-1) 2 因为-2+48--2：m24（-》 3.Af1)=Ax—=im+a=l 所以切线的斜率k=1.由点斜式可得y+【=x一1， 即x-y-2=0,此即为切线方程 吗-24=合所以切线方程为y+1=立+2》 1 4.B函数y=f八x)在x=和处的导数为1， 即x+2y+4=0 则m+-.m+4)-f 2△x 210 △x 例4：(1)将x=1代入曲线C的方程得y=1, 切点P(1,1) f(1)=m+42-l=lm[3+34x+(4)]=3. 4 Ax 5By=7-3 .k=f(1)=3 六曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1), .y-jm 之+42-3-（分-3） 即3x-y-2=0 △x (2)设切点为Q(,。),由(1)可知f()=3后，由题意， 可知，f),即购3说，又。=.所以5 +… -i=36,即 Ax 2-名-1=0，解得。=1或6=-宁 =(+宁 ①当=1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x-y 1=12在点P,-)的切线的斜率为1 -2=0. ②当气=一时，切点坐标为(-子，日)相应的切线 6.1.3 基本初等函数的导数 必备知识·探新知 方程为y+令-引+）即3-4+1=0 知识点2a- 对点训练4：由=3-2， y=x3, 关键能力·攻重难 新及 例1：0=（打=yr=-4- 从而求得公共点为P(1,1)或M(-2,-8),即切线与曲线： ②左(r C的公共点除了切点处，还有另一公共点(-2，-8) ③y'=(3'）'=31m3. 例5：B方法-：名+)--) ④y=(logs*)'=hn5 1 =m6+)-)+x)-。- (2)C(cosx)'=-inx,.A不正确： h (sinx)'=c0sx,B不正确： =16+h)-+i）--h) h “(A'= )++-1- 2左D不E确 对点训练1：(1)Dfx)=a(a>0,a≠1)是常数函数， -h 所以W'(x)=0.所以f'(2)=0 =f'()+f'(xo) =2f'() 2D)== 方法二：m名+h)-八-) 所以W'(x)=-3x+,所以f'(1)=-3. h (3)①y'=(x)'=6x =回2×6+，-] ②y=(2)）'=21n2. 2h =2+)-西- ③y=(y 2h =2f'( ④=(=xy=-2 课堂检测·固双基 1.Cf'(0)= 例2：B由于所以店于是儿=1，两 画0+42-30t4-0+3x0 △x 以曲线在点（子）处的切线的斜半等于1，切线方程为4x-4 144 +1=0 (2)x+y-2=0由题意知，y'=e,曲线在点(0,1)处的斜 6.1.4求导法则及其应用 *与=6=1，设m,a=>0)的导数为y=x> 必备知识·探新知 知识点1f'(x)±g'(x)f'(x)g(x)+f尺x)g'(x) 1 0),曲线)=支(x>0)在点P处的切线斜率=一京(m>0), 知识点2y.·u,y对uu对x : 关健能力·攻重难 由题意知kk=-1,所以k=-1,由此易得m=1,n=1,即点P 的坐标为(1,1)，k2=-1点P处的切线方程为x+y-2=0. 例1：ay=m君-9y-0 对点训练2：(1y=xn3+1fx)=3∴f"(x)=3n3. (2):y=↓. =x5…y=-5x5 +.f'(0)=ln3, ∴，所求切线方程为y=xn3+1. (2)Cy'=3x2, 压x 点(2,8)处的切线斜竿k=∫'(2)=12， (4)y=1g,y= 1 ∴切线方程为y-8=12(x-2),即y=12x-16, xin 10' .k=12,b=-16,.k-b=28 (5)5y=5”,y=55 (3)D切线的斜率长=m子=-1”()=一 6y=c(受-=血y=sk 设切点为(%)，则'()=-1-马 对点训练1：C①(imx)=msx,正确：②()'=；子， =-1, ∴0=1或-1，∴切点坐标为(1,1)或(-1，-1) 错误：8(og'=山3错误：国（血x)'=,正确：所以①④ 例3：易知P点在曲线y=x上，当P点为切点时，由上面解正确，故选C 法知切线方程为12x-y-16=0 当P点不是切点时，设切点为A(,%),由定义可求得切 例2：()Af(=(+)=x+() 线的斜率为k=3 1在线上水=…=站. (2)Dy'=(x2sinx)'=(x2)'·sinx+x2·(sinx)'= 2xsin x+xcos x. -3x后+4=0.(0+1)(0-2)2=0，=-1或6 =2(舍去)， 3)c=(} %=-1,k=3,此时切线方程y+1=3(x+1),即3x-y+ =cosx）'-cosx·x 2=0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程分别为12x-y-16 =二sinx-cosx 。_xsin x+cosx =0和3x-y+2=0. 课堂检测·固双基 对点训练2：(1)D因为f'(x)=sinx+xc0s x-sinx= 1.By'=2x,y'x==1 x@s.所W'(）=0,放选D k=1,.8=45°，故选B. (2)Afx)=e2+x·nx, 2Cy=如x的定义域为(0，+)，且y=士，设切点为（气 f'(x)=nx+1,f'(1)=m1+1=1. n).媚儿女切线方程为y-h6=亡-5.因 (3)①y'=(x3-x2-x+3)'=(x)'-(x2)'-x'+3= 3x2-2x-1. 为切线过点(0,0)，所以-ln。=-1得x。=e,故切线的斜率 ②方法一：因为y=2x+3x3 为始 所以y=(2x2+3x3)'=(2x2)'+(3x3)' 3C设x)=eg(x)=lhx,则'(x)=k,g'(x)= 方法三：y=(径+)▣()+() 12 设直线与曲线切点的横坐标为， 则行}解得长=。故选C 22少以-÷是 U'(x)=g() 例3：(1)设y=u2,4=4-3x,则y,‘=2u,4,'=-3,于是y 43-f=3g) =y.′·4，'=-6(4-3x)=18x-24, 即y'=18x-24 fr-到=品 (2)设y=0s4,4=2x-平，则y'=-m,4'=2, 5.1fx)=xg(x)=In x. f)=2xg=且x>0"-g到=2x-=1 于是y'=%'4'=-2sim2x-） 即2公--1=0，解得x=1或x=-之（舍去）. 即y=-2m(2x-平） 故x=1, : (3)设y=n4,u=4x-1,则y'= 4'=4, 145! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 6789%:;< １．一物体的运动方程为ｆ（ｘ）＝ ｘ２ － ３ｘ，则ｆ ′（０） ＝ （Ｃ ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． Δｘ －３ Ｂ．（Δｘ）２ － ３Δｘ Ｃ． －３ Ｄ． ０ ２．（２０２３·阜阳高二检测）函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图像在 点Ｐ（５，ｆ（５））处的切线方程是ｙ ＝ － ｘ ＋ ８，则 ｆ（５）＋ ｆ ′（５）＝ （Ｃ ） Ａ． １２ Ｂ． １ Ｃ． ２ Ｄ． ０ ３．已知函数ｆ（ｘ）＝ － １ｘ，则曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）在（１， －１）处的切线方程是 （Ａ ） Ａ． ｘ － ｙ －２ ＝ ０ Ｂ． ２ｘ －２ｙ ＋３ ＝ ０ Ｃ． ｘ ＋ ｙ ＝０ Ｄ． ｘ － ｙ ＝０ ４．已知函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０处的导数为１， 则ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０ ＋ Δｘ）－ ｆ（ｘ０） ２Δｘ ＝ （Ｂ ） Ａ． ０ Ｂ． １２ Ｃ． １ Ｄ． ２ ５．已知曲线ｙ ＝ １２ ｘ ２ － ３上一点Ｐ １，－ ５( )２ ，则过 点Ｐ的切线的斜率为 （Ｂ ） Ａ．槡３３ Ｂ． １ Ｃ． －１ Ｄ． －槡 ３ ３ 请同学们认真完成练案［１４                       ］ ６． １． ３　 基本初等函数的导数 !"#$%&'( 课程目标 １．借助教材实例了解利用定义求函数的导数．（数学运算） ２．掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．（数学运算） ３．会解决与曲线的切线相关的问题．（数学建模） 学法指导 通过六个简单的常用函数的求导，体会导数求解的一般方法及特殊到一般的思想． )*+,%-.+ 几个常用函数的导数 函数 导数 ｆ（ｘ）＝ ｃ ｆ ′（ｘ）＝０ ｆ（ｘ）＝ ｘ ｆ ′（ｘ）＝１ ｆ（ｘ）＝ ｘ２ ｆ ′（ｘ）＝２ｘ ｆ（ｘ）＝ ｘ３ ｆ ′（ｘ）＝３ｘ２ ｆ（ｘ）＝ １ｘ ｆ ′（ｘ）＝ － １ ｘ２ ｆ（ｘ）＝槡ｘ ｆ ′（ｘ）＝ １ ２槡ｘ 基本初等函数的导数公式 函数 导数 ｆ（ｘ）＝ ｃ（ｃ为常数） ｆ ′（ｘ）＝０ ｆ（ｘ）＝ ｘα（α∈Ｑ，且α≠０） ｆ ′（ｘ）＝ 　 αｘα                  － １ !&$ # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ ｆ ′（ｘ）＝ 　 ｃｏｓ ｘ ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ｘ ｆ ′（ｘ）＝ 　 － ｓｉｎ ｘ ｆ（ｘ）＝ ａｘ（ａ ＞０，且ａ≠１） ｆ ′（ｘ）＝ ａｘ ｌｎ ａ ｆ（ｘ）＝ ｅｘ ｆ ′（ｘ）＝ 　 ｅｘ ｆ（ｘ）＝ ｌｏｇａｘ（ａ ＞０，且ａ≠１） ｆ ′（ｘ）＝ １ｘｌｎ ａ ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ ｆ ′（ｘ）＝ 　 　 　 　 　 知识解读：（１）上述导数公式表是比较全面 的，涵盖了基本初等函数中的常数函数、指数函 数、对数函数、幂函数和三角函数，其中幂函数的 导数公式中幂指数可以推广到全体实数． （２）若函数式中含有根式，一般将其转化为 分数指数幂的形式，再利用ｙ ＝ ｘα 的导数公式 解决． （３）记忆正弦函数、余弦函数的导数时，一要 注意函数名的变化，二要注意符号的变化． （４）各类考试中最常见的是求幂函数和以自 然常数为底数的特殊指数函数ｙ ＝ ｅｘ与对数函数 ｙ ＝ ｌｎ ｘ的导数                     ． /012%345 题型探究 题型一 公式法求导数 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）① ｙ ＝ １ ｘ４ ；② ｙ ＝ ｘ·３槡ｘ；③ ｙ ＝ ３ ｘ；④ ｙ ＝ ｌｏｇ５ｘ． ［分析］　 先将①②化为幂函数的形式再求 导，③④直接用公式求导． 　 　 ［尝试作答          ］ 　 　 （２）下列结论正确的是 （Ｃ ） Ａ．若ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ，则ｙ′ ＝ ｓｉｎ ｘ Ｂ．若ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，则ｙ′ ＝ － ｃｏｓ ｘ Ｃ．若ｙ ＝ １ｘ，则ｙ′ ＝ － １ ｘ２ Ｄ．若ｙ ＝槡ｘ，则ｙ′ ＝槡ｘ２ 　 　 ［规律方法］　 运用基本初等函数的导数公 式求导的注意事项 （１）对于简单的函数，直接套用公式． （２）对于较为复杂，不能直接套用公式的，可 先把题中函数恒等变形为基本初等函数，再求导． 对点训练? （１）ｆ（ｘ）＝ ａ３（ａ ＞ ０，ａ≠１）， 则ｆ ′（２）＝ （Ｄ ） Ａ． ８ Ｂ． １２ Ｃ． ８ｌｎ ３ Ｄ． ０ （２）已知ｆ（ｘ）＝ １ ｘ３ ，则ｆ ′（１）＝ （Ｄ ） Ａ． １ Ｂ． －１ Ｃ． ３ Ｄ． －３ （３）求下列函数的导数． ①ｙ ＝ ｘ６；②ｙ ＝２ ｘ；③ｙ ＝ ｌｏｇ３ｘ；④ｙ ＝ １ｘ２                                                ． !&% ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 题型二 导数公式的应用 ２．（１）曲线ｙ ＝槡ｘ在点１４， １( )２ 处的切线方程 为 （Ｂ ） Ａ． ４ｘ －４槡３ｙ ＋２槡３ － １ ＝ ０ Ｂ． ４ｘ －４ｙ ＋１ ＝ ０ Ｃ． ４槡３ｘ －４ｙ ＋２ －槡３ ＝ ０ Ｄ． ４ｘ ＋４ｙ －３ ＝ ０ （２）设曲线ｙ ＝ ｅｘ在点（０，１）处的切线与曲线 ｙ ＝ １ｘ（ｘ ＞０）上点Ｐ处的切线垂直，则点Ｐ处的切 线方程为　 ｘ ＋ ｙ －２ ＝ ０． 对点训练? （１）曲线ｆ（ｘ）＝ ３ ｘ在点（０， １）处的切线方程是　 　 　 　 　 ． （２）已知曲线ｙ ＝ ｘ３在点（２，８）处的切线方程 为ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ，则ｋ － ｂ ＝ （Ｃ ） Ａ． ４ Ｂ． －４ Ｃ． ２８ Ｄ． －２８ （３）若曲线ｆ（ｘ）＝ １ｘ上某点处的切线的倾斜角 为３４ π，则该点的坐标为 （Ｄ ） Ａ．（１，１） Ｂ．（－１，－１） Ｃ．（－１，１） Ｄ．（１，１）或（－１，－１） 易错警示 　 　 不能正确理解切点的实质而致误 ３．经过点Ｐ（２，８）作曲线ｙ ＝ ｘ３的切线，求切线方 程． ［错解］　 设ｆ（ｘ）＝ ｘ３，由定义得ｆ ′（２）＝ １２， ∴所求切线方程为ｙ －８ ＝ １２（ｘ －２）， 即１２ｘ － ｙ －１６ ＝ ０． ［误区警示］　 曲线过点Ｐ的切线与在点Ｐ 处的切线不同． 　 　 ［正解          ］ 　 　 ［点评］　 在求切线方程的过程中，关键是寻 找两个条件：一是切点，二是切线的斜率．其中切 点又是关键，需要找清切点，如本例中点Ｐ（２，８） 不一定是切点，做题时要高度关注                                             ． 6789%:;< １．曲线ｙ ＝ ｘ２在ｘ ＝ １２处的切线的倾斜角α是 （Ｂ ） Ａ． ０°　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ４５°　 　 Ｃ． １３５°　 　 　 Ｄ． ６０° ２．已知曲线ｙ ＝ ｌｎ ｘ的切线过原点，则此切线的斜 率为 （Ｃ ） Ａ． ｅ Ｂ． － ｅ Ｃ． １ｅ Ｄ． － １ ｅ ３．（２０２４·广州高二检测）已知直线ｙ ＝ ｋｘ是曲线 ｙ ＝ ｌｎ ｘ的切线，则ｋ ＝ （Ｃ ） Ａ． ｅ Ｂ． － ｅ Ｃ． １ｅ Ｄ． － １ ｅ ４．若ｆ（ｘ）＝ ｘ３，ｇ（ｘ）＝ ｌｏｇ３ｘ，则ｆ ′（ｘ）－ ｇ′（ｘ）＝ 　 　 　 　 ． ５．已知ｆ（ｘ）＝ ｘ２，ｇ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ，若ｆ ′（ｘ）－ ｇ′（ｘ）＝１，则 ｘ ＝ 　 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１５                   ］ !&&