2.1平均变化率与瞬时变化率 课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

第二章导数及其应用 2.1平均变化率与瞬时变化率 学习目标 1.结合具体的实例理解函数的平均变化率的概念,会根据具体函数求出函数的平均变化 率,提升学生的数学建模和数学运算素养.（数学建模） 2.结合具体情境,掌握以直代曲的数学思想,提高分析问题、解决问题的能力.（逻辑推理） 3.通过具体的实例理解平均速度的概念,能够明确平均速度和平均变化率之间的关系.（数 学抽象） 4.知道函数的瞬时变化率的概念,能够结合具体实例,理解瞬时变化率的几何意义,提升学生的数学建模和逻辑推理等素养.（逻辑推理） 自主预习 阅读课本P50-P55，5分钟后完成下列问题： 1.什么是平均变化率？它的计算公式是怎样的？ 2.什么是瞬时变化率？它的计算公式又是怎样的？ 3.瞬时变化率与平均变化率有什么联系与区别？ 我们一起来探究“平均变化率与瞬时变化率”吧！ 新课引入 中国 歼20最大飞行速度2.92马赫 约1225×2.92≈3577km/h. 美国 F22猛禽最大飞行速度2.25马赫 约1225×2.25≈2756km/h. 新课引入 在2021年的特大暴雨中，郑州遭受了极其严重的洪涝灾害。据报道，此次暴雨强度极高，1小时内的降雨量达到了201.9毫米，远超过了此前的降水极值，是我国大陆短时强降水标准的10倍，暴雨红色预警标准的近7倍。7月20日凌晨2时到7月21日凌晨2时，郑州降雨量达到了622.7毫米，总降雨量相当于317个西湖灌进郑州。 新课引入 "飞行速度"、"降雨强度"刻画的都是瞬时变化的情况，也是数学中导数概念的原型。导数是数学中最重要，最基本的概念之一，在日常生活和科学研究中有广泛的应用。 本章将讨论导数概念及其几何意义，学习导数的运算，解决相关的应用问题。 实例分析 结论形成 f(x1)变为 Δx Δy [x1，x2] 快慢 f(x2) 结论形成 牛刀小试 牛刀小试 方法小结 实例分析 结论形成 某一点处变化的快慢 结论形成 牛刀小试 牛刀小试 方法小结 牛刀小试 牛刀小试 牛刀小试 牛刀小试 方法小结 题型一 平均变化率 【练习1】在附近，取，在四个函数①、②、③、④中，平均变化率最大的是( ) A.④ B.③ C.② D.① 解时，①在附近的平均变化率 ；②在附近的平均变化率；③在附近的平均变化率；④在附近的平均变化率，,故应选. 题型一 平均变化率 【练习2】某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等.在各时段内平均增长速度分别为，，，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为( ) A. B. C. D. 解设三个连续时段为，，，各时段的增长量相等， 设为M，则， 整个时段内的平均增长速度为. 故选：. 题型一 平均变化率 【练习3】水以匀速注入如图容器中，试找出与容器对应的水的 高度与时间的函数关系图象（　　） A. B. C. D. 题型二 瞬时变化率 【练习4】有一机器人的运动方程为，是时间，是位移)，则该机器人在时刻时的瞬时速度为( ) A.7 B.14 C.21 D.28 解:该机器人在时刻时的瞬时速度为 . 故选：. 题型二 瞬时变化率 【练习5】若函数在处的瞬时变化率是，则( ) A. B. C.1 D.3 解: 当时， 故选：. 课堂小结   1.函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 2.函数的平均变化率为 . 如果当趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是在的瞬时变化率. 3.平均变化率反映某一区间上变化的快慢， 瞬时变化率反映某一点处的变化快慢. 谢谢观看 [提示]　 eq \o(v,\s\up6(－))＝ eq \f(h(0.5)－h(0),0.5－0)＝4.05(m/s). 　在1≤t≤2这段时间里，运动员的平均速度 eq \o(v,\s\up6(－))是多少？ [提示]　 eq \o(v,\s\up6(－))＝ eq \f(h(2)－h(1),2－1)＝－8.2(m/s). 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10. 　在0≤t≤0.5这段时间里，运动员的平均速度 eq \o(v,\s\up6(－))是多少？ eq \f(f(x2)－f(x1),x2－x1) eq \f(f(x2)－f(x1),x2－x1) 函数的平均变化率 　对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从_________ _______，它在区间[x1，x2]的平均变化率＝___________．通常我们把自变量的变化x2－x1称作自变量x的改变量，记作______，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值y的改变量，记作______．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 eq \f(Δy,Δx)＝__________．用它来刻画函数值在区间__________上变化的______． [拓展] (1)平均变化率的几何意义就是函数y＝f(x)图象上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)所在直线的斜率． (2)平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s＝s(t)，在时间段[t1，t2]上的平均速度，即 eq \o(v,\s\up6(－))＝ eq \f(s(t2)－s(t1),t2－t1). [解析]　自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为 eq \f(f(2)－f(1),2－1)＝ eq \f(2＋\f(1,2)－(1＋1),1)＝ eq \f(1,2)； 自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为 eq \f(f(5)－f(3),5－3)＝ eq \f(5＋\f(1,5)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,3))),2)＝ eq \f(14,15). 因为 eq \f(1,2)＜ eq \f(14,15)，所以函数f(x)＝x＋ eq \f(1,x)在自变量x从3变到5时函数值变化得较快． 　已知函数f(x)＝x＋ eq \f(1,x)，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． 答案　C [触类旁通] 1．已知函数f(x)＝x2－1，则自变量x由1变到1.1时，f(x)的平均变化率为(　　) A．0.21 B．－0.21 C．2.1 D．－2.1 解析　平均变化率 eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(f(1.1)－f(1),1.1－1)＝ eq \f(1.12－12,0.1)＝2.1.故选C. 求函数平均变化率的步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)； (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1； (3)最后求平均变化率 eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(f(x2)－f(x1),x2－x1).　 　当Δt趋近于0时，问题1中的平均速度趋近于几？怎样理解这一速度？ [提示]　当Δt趋近于0时， eq \f(Δs,Δt)趋近于－6，这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度． 　一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间．试求质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度． [提示]　 eq \f(Δs,Δt)＝ eq \f(8－3(1＋Δt)2－8＋3×12,Δt)＝－6－3Δt. 瞬时变化率 　对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则该函数的平均变化率为 eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(f(x1)－f(x0),x1－x0)＝__________． 如果当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率．瞬时变化率刻画的是函数在___________________． eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx) [拓展]　 对瞬时变化率的几点说明 (1)在 eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)中，Δx可正，可负，但不可为0，但Δy可以为0，此时f(x)为常数函数. (2)在 eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)中，当Δx趋向于0时， eq \f(Δy,Δx)也趋于一个定值，与Δx无关． (3)瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢． (4)函数在x0处的瞬时变化率仅与x0有关，而与Δx无关． (2)由题意知Δt＝3－2＝1，Δs＝s(3)－s(2)＝12， 所以平均速度为 eq \f(Δs,Δt)＝ eq \f(12,1)＝12(m/s). 已知某质点按规律s＝2t2＋2t(s的单位：m，t的单位：s)做直线运动，求： (1)该质点在前3 s内的平均速度； (2)质点在2 s到3 s内的平均速度． [解析]　(1)由题意可知Δt＝3， Δs＝s(3)－s(0)＝24， 所以平均速度为 eq \f(Δs,Δt)＝ eq \f(24,3)＝8(m/s). [触类旁通] 2．一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系s(t)＝t2＋1，该质点在[2，2＋Δt](Δt>0)上的平均速度不大于5，求Δt的取值范围． 解析　质点在[2，2＋Δt]上的平均速度为 eq \o(v,\s\up6(－))＝ eq \f([(2＋Δt)2＋1]－(22＋1),Δt)＝ eq \f(4Δt＋(Δt)2,Δt) ＝4＋Δt. 又 eq \o(v,\s\up6(－))≤5，即4＋Δt≤5，所以Δt≤1. 又Δt>0，所以Δt的取值范围为(0，1]. 关于物体的平均速度 (1)如果已知物体运动的轨迹方程，则可以转化为计算函数的平均变化率来求物体运动的平均速度． (2)如果物体的运动轨迹未知，只知道在某些时刻的位移，则可以“以直代曲”，将运动轨迹近似看成直线解决相关的问题．　 　高台跳水是世界锦标赛比赛项目之一，运动员在腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的．假设t s后运动员相对于水面的高度(单位：m)为H(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，试确定t＝2 s时，运动员的瞬时速度． [解析]　先求运动员在2 s到2.1 s(即t∈[2，2.1])的平均速度为 eq \o(v,\s\up6(－))＝ eq \f(ΔH,Δt)＝ eq \f(H(t1)－H(t0),t1－t0)＝ eq \f(H(2.1)－H(2),2.1－2) ＝ eq \f(2.041－3.4,0.1)＝－13.59(m/s). 将时间间隔每次缩短为前面的 eq \f(1,10)，计算相应的平均速度得到下表： t0/s t1/s 时间的改 变量(Δt)/s 高度的改变量 (ΔH)/m 平均速度 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ΔH,Δt)))/(m/s) 2 2.01 0.01 －0.131 49 －13.149 2 2.001 0.001 －0.013 104 9 －13.104 9 2 2.000 1 0.000 1 －0.001 310 049 －13.100 49 2 2.000 01 0.000 01 －0.000 131 000 49 －13.100 049 2 … … … … 可以看出，当时间趋于t＝2 s时，平均速度趋于－13.1 m/s，因此可以认为t＝2 s时，运动员的瞬时速度为－13.1 m/s. [触类旁通] 3．假设t s后运动员相对于水面的高度(单位：m)为H(t)＝－4.9t2＋4.9t＋10，且运动员在区间[0，t0]上的平均速度为0，试确定t0，并估计此时刻的瞬时速度． 解析　由已知得 eq \o(v,\s\up6(－))＝ eq \f(H(t0)－H(0),t0－0) ＝eq \o\al(2,0) eq \f(－4.9t＋4.9t0＋10－10,t0) ＝－4.9t0＋4.9＝0. 所以t0＝1. 可以计算出相应的平均速度得到下表： t0/s t1/s 时间的改 变量(Δt)/s 高度的改变量 (ΔH)/m 平均速度 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ΔH,Δt)))/(m/s) 1 1.1 0.1 －0.539 －5.39 1 1.01 0.01 －0.049 49 －4.949 1 1.001 0.001 －0.004 904 9 －4.904 9 1 1.000 1 0.000 1 －0.000 490 049 －4.900 49 1 … … … … 可以看出，当时间t1趋于t0＝1 s时，平均速度趋于－4.9 m/s，因此可估计运动员在t0＝1 s时的瞬时速度为－4.9 m/s. 求瞬时变化率时，要首先明确求哪个点处的瞬时变化率，然后以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步缩小区间长度，根据平均变化率的变化情况估计出瞬时变化率．　 $