2.1.2 瞬时变化率课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.1.2 瞬时变化率 第二章 导数及其应用 作者编号：、32200 1.理解函数瞬时变化率的概念. 2.掌握函数瞬时变化率的求法． 学习目标 作者编号：、32200 问题1：高台跳水运动员的速度.在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度(单位：)与起跳后的时间(单位：)存在函数关系计算运动员在这段时间里的平均速度，你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 在这段时间里， ∴在这段时间里， 显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态.因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态. 课题探究 作者编号：、32200 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在 时刻的瞬时速度. 探究 瞬时速度与平均速度有什么关系? 你能利用这种关系求运动员在t=1 s时的瞬时速度吗? 课题探究 作者编号：、32200 为了求运动员在t=1时刻的瞬时速度，我们在t=1之后或之前，任意取一个时刻1+∆t， ∆t是非零时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为零. 当∆t >0时， 1+∆t在1之后，把运动员在时间段[1, 1十∆t]内近似看成匀速直线运动，计算时间段[1, 1+∆t]内的平均速度，用近似表示运动员在t=1时的瞬时速度； 当∆t <0时，1+∆t在1之前，在时间段[1+∆t, 1]可作类似处理. 为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格： 课题探究 作者编号：、32200 当时, 当时, 当时, 当时, 当时, 当时, , , , , …… …… 课题探究 作者编号：、32200 我们发现，当无限趋近于时，即无论从小于的一边，还是从大于的一边无限趋近于时，平均速度都无限趋近于. 事实上，由可以发现，当无限趋于时，也无限趋近于，所以无限趋近于.这与前面得到的结论一致. 从物理的角度看，当时间间隔无限趋近于时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度.因此，运动员在时的瞬时速度. 课题探究 作者编号：、32200 对于一般的函数，在自变量x从变到的过程中，若设， ，则该函数的平均变化率为=， 如果当趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是在点的瞬时变化率.瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢． 概念讲解 课题探究 作者编号：、32200 思考：如果某物体在某时间段内的平均速度为0，能否判定该物体在此时间段内的瞬时速度都为0? 不能 课题探究 作者编号：、32200 【例1】某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度. 即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. 课题探究 作者编号：、32200 变式1：某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，试求物体的初速度. 解：求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度， 即物体的初速度为1 m/s. 课题探究 作者编号：、32200 解：设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 则2t0＋1＝9，∴t0＝4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. 变式2：某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 课题探究 作者编号：、32200 求物体运动的瞬时速度： （1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t). （3）求Δt趋于0时， 的值. （2）求平均速度 方法归纳 课题探究 作者编号：、32200 【例2】估算函数y=x-在x=1处的瞬时变化率. 课题探究 作者编号：、32200 估算一个函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率的步骤: 方法归纳 课题探究 作者编号：、32200 根据今天所学，回答下列问题： 1.如何求物体运动的瞬时速度？ 2.如何求函数的瞬时变化率？ 课后小结 作者编号：、32200 1.某运动物体的位移s(单位:米)关于时间t(单位:秒)的函数关系式为s=2t+1，则该物体在t=1秒时的瞬时速度为(　　) A.1米/秒 B.2米/秒 C.3米/秒 D.4米/秒 2.已知物体运动的速度与时间之间的关系是v(t)=t2+2t+2，则在时间间隔[1，1+Δt]内的平均加速度是　　　　　，在t=1时的瞬时加速度是　　　　　.  B 4+Δt 4 当堂检测 作者编号：、32200 3.一质点运动规律是s＝t2＋3(s的单位为m，t的单位为s)，则在t＝1 s时的瞬时速度估计是____ m/s. 4.(多选)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则(　　 ) A.该物体在1≤t≤3时的平均速度是28 B.该物体在t＝4时的瞬时速度是56 C.该物体位移的最大值为43 D.该物体在t＝5时的瞬时速度是70 2 ABD 当堂检测 作者编号：、32200 解：∵＝＝＝3＋Δt， 当Δt趋于0时，趋于3， ∵＝＝＝1＋Δt， 当Δt趋于0时，趋于1， 又＝＝(2t0＋1)＋Δt. 当Δt趋于0时，趋于2t0＋1， 所以=1+，. 当Δx趋于0时，1+趋于2， 因此可以推算函数y=x-在x=1处的瞬时变化率为2. 解：因为Δy=(1+Δx)--(1-)=Δx+， (1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)； (2)求平均变化率； (3)当Δx趋于0时，趋于的那个确定值即为所求函数在某点处的瞬时变化率. $$