第2章 第1节 平均变化率与瞬时变化率（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦导数及其应用开篇内容，系统讲解平均变化率、瞬时变化率的概念及与平均速度、瞬时速度的联系，通过高台跳水、质点运动等物理情境导入，从具体平均变化率过渡到抽象瞬时变化率，构建从直观到抽象的学习支架。 其亮点在于结合知识辨析与典例解析，用数学眼光观察物理现象中的变化规律，以数学思维推理从平均到瞬时的逻辑过程，用数学语言精准表达概念（如Δy/Δx公式）。采用问题辨析深化理解（如Δx趋于0的含义），典例联系实际（高台跳水平均速度计算），帮助学生掌握概念本质，教师可直接用于课堂教学提升效率。

知识点 1 平均变化率 §1　平均变化率与瞬时变化率 必备知识 清单破 1.概念:对一般的函数y=f(x)来说,当自变量x从x1变为x2时,函数值从f(x1)变为f(x2),它在区间[x1,x 2]上的平均变化率= .通常我们把自变量的变化x2-x1称作自变量x的改变量,记作Δx, 函数值的变化f(x2)-f(x1)称作函数值y的改变量,记作Δy.这样,函数的平均变化率就可以表示为 函数值的改变量与自变量的改变量之比,即 =  . 2.作用:用平均变化率来刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢. 第二章 导数及其应用 高中同步 知识点 2 瞬时变化率 1.概念:对于一般的函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中,若设Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),则该 函数的平均变化率为 = = .如果当Δx趋于0时,平均变化率趋于 某个值,那么这个值就是f(x)在点x0处的瞬时变化率. 2.作用:瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢. 第二章 导数及其应用 高中同步 知识点 3 平均速度与瞬时速度 1.平均速度:设物体运动的位移s与时间t的关系是s=s(t),则从t0到t1这段时间内,物体运动的平 均速度 = . 2.瞬时速度:设物体运动的位移s与时间t的关系是s=s(t),当Δt趋于0时,函数s(t)在t0到t0+Δt之间 的平均变化率 = 趋于一个常数,我们把这个常数称为物体在t0时刻的瞬时速度. 第二章 导数及其应用 高中同步 1.已知某质点的运动规律为s(t)=5t2,则在t=1到t=3这段时间内,该质点的平均速度是20吗? 知识辨析 2.如果质点A的运动方程为s=3t2,则它在t=1时的瞬时速度是6吗? 3.Δx趋于0表示Δx的值最后变为0,对吗? 4.函数的平均变化率为零说明函数值没有发生变化,对吗? 5.函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率与Δx的正负有关吗? 第二章 导数及其应用 高中同步 1.是.平均速度为 = = =20. 一语破的 2.是. = =6+3Δt.当Δt趋于0时,平均变化率趋于6,故质点A在t=1时的瞬时速度 为6. 3.不对.Δx趋于0表示Δx的值无限逼近于0,但不为0. 4.不对.平均变化率为0只能说明初始函数值和最终函数值相等. 5.无关.在瞬时变化率的定义中,若Δx改变符号,则Δy也相应改变符号,故y=f(x)在x=x0处的瞬时 变化率与Δx的正负无关. 第二章 导数及其应用 高中同步 定点 1 求函数的平均变化率 关键能力 定点破 1.求函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的三个步骤 (1)求自变量的改变量x2-x1; (2)求函数值的改变量f(x2)-f(x1); (3)求平均变化率  . 2.    f(x)在点x0附近的平均变化率可用  求得. 第二章 导数及其应用 高中同步 在高台跳水运动中,运动员的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单 位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10. (1)求运动员在第一个0.5 s内的平均速度; (2)求运动员在1≤t≤2这段时间内的平均速度. 典例 第二章 导数及其应用 高中同步 解析    (1)运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率为 =4.05, 故运动员在第一个0.5 s内的平均速度为4.05 m/s. (2)在1≤t≤2这段时间内,高度h的平均变化率为 =-8.2. 故运动员在1≤t≤2这段时间内的平均速度为-8.2 m/s. 规律总结 　　结合物理知识可知,在第一个0.5 s内,高度h的平均变化率为正值,表示此时运动员处于上 升状态;在1≤t≤2这段时间内,高度h的平均变化率为负值,表示此时运动员处于下降状态.事 实上平均变化率的值可正,可负,也可以是0. 第二章 导数及其应用 高中同步 定点 2 求函数的瞬时变化率 1.求函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率的步骤 (1)求函数y=f(x)在点x0附近的平均变化率 = . (2)当Δx趋于0时,得出 所趋于的某一常数A,常数A即为函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率. 2.Δx趋于0是指自变量的改变量Δx无限接近于0,但始终不为0. 第二章 导数及其应用 高中同步 一质点做直线运动,其位移s与时间t的关系为s(t)=t2+2t,设其在t∈[2,3]内的平均速度为 v1,在t=3时的瞬时速度为v2,则 = (　    ) A. 　　　    B.  C. 　　　    D.  典例 B 第二章 导数及其应用 高中同步 解析    由题意得v1=  = =7,  =  =8+Δt, 当Δt趋于0时,8+Δt趋于8,即v2=8, 所以 = . 第二章 导数及其应用 高中同步 $