8.4.1 平面&8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系-【名师大课堂】2025-2026学年高中数学必修第二册同步小作业（人教A版）

第四节 空间点、直线、平面之间的位置关系 课时1平面 A级 基础练 1.如果点A在直线a上，直线a在平面a内， 5.如图，在三棱锥P一ABC中，E,F分别是 点B在平面α内，那么可以用符号表示为 PA,AB的中点，G,H分别是PC,BC上的 点，且CC-CH1 GPHB2 A.ACa,aCa,B∈a B.A∈a,aCa,B∈a C.ACa,a∈a,BCa D.A∈a,a∈a,B∈a 2.已知直线a,b分别在两个不同的平面a,B 内，则“直线a和直线b相交”是“平面a和 平面β相交”的 ( (1)证明：E,F,G,H四点共面； A.充分不必要条件 (2)证明：三条直线EG,FH,AC交于一点， B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(多选)下列几何元素可以确定唯一平面的 是 A.三个点 B.圆上不重合的三个点 C.平行四边形的两条边 D.三角形的一个顶点和一条边 4.(多选)已知&，B为两个平面，A,B,M,N为 四个不同的点，a为直线，下列推理正确的 是 () A.A∈a,A∈B,B∈a,B∈B→aCB B.M∈a,M∈B,N∈a,N∈B→a∩B=MN C.A∈a,A∈B→a∩B=A D.A,B,M∈a,A,B,M∈B,且A,B,M不共 线→&，3重合 41 B级综合练 1.（多选)如图，在三棱柱 ;5.如图，已知正方体ABCD-A1B,C1D1,E,F ABC-ABC1中，E,F分 分别是棱CC1,AA,的中点. 别为棱A,B,和A,C,上的 D 点（不包括端点），且BE∩ CF=P,则下列结论正确 的是 ) A.B,C,E,F四点共面 B.P∈平面ABB1A C.平面AEF与平面BB,C,C不相交 (1)画出平面BED,F与平面ABCD的交 线，并说明理由； D.P,A1,A三点共线 (2)设H为直线B,D与平面BED,F的交 2.如图，正方体ABCD一 ABC1D1中，E,F分别是 A 点，求证：B,H,D1三点共线. AA1,CC,的中点，则与直 E 线AD,,EF,DC都相交 的直线 () A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有且仅有三条 D.无数条 3.(多选)在正方体ABCD-A'B'C'D'中，E, F,G分别为棱BB',DD',CC上的一点，且 D'F B'E CG DD BBTCC =X,H是B'C'的中点，1 是棱C'D'上的动点，则 A.当入=3时，GE平面AEP B.当X=时，ACC平面AEF C.当0<A<1时，存在点I,使A,F,H,I四 点共面 D.当0<<1时，存在点I,使FI,EH,CC 三条直线交于同一点 4.如图，在长方体ABCD D -ABCD1中，点E, E B F分别是棱AD1,A1A 的中点，点O为AC与 BD的交点.若平面 EOF∩平面ABCD=l,L∩AB=G,且AG= kBG,则实数k= 42 课时2空间点、直线、平面之间的位置关系 A级基础练 1.分别和两条异面直线都相交的两条直线的 :4.(多选)下列说法正确的是 () 位置关系是 ( A.若直线l不在平面a内，则l∥a A.异面 B.相交 B.若直线l上有无数个点不在平面a内，则 C.平行 D.异面或相交 l∥a 2.如图所示，在长方体ABCD一A,BC,D C.若l∥a,则直线l与平面a内任何一条直 中，P是线段AC1上的动点（含端点），则 线都没有公共点 下列直线中，始终与直线BP异面的是 D.平行于同一平面的两直线可以相交 ) 5.已知平面a∥平面β，若P,Q是a,3之间的 D 两个点，则 () A.过P,Q的平面一定与α，3都相交 B.过P,Q有且仅有一个平面与a,3都平行 C.过P,Q的平面不一定与a,B都平行 D.过P,Q可作无数个平面与a,3都平行 A.DD B.B C 6.如图，在正方体ABCD一A1B,C1D1中，直 C.DC D.AC 线AC与平面A,B,C,D,的位置关系是 3.(多选)如图是一个正方体的展开图，则在原 ;直线AD,与直线CC,的位置关 正方体中 ( 系是 ;平面ACD与平面 AB,CD,的位置关系是 ；平面 B,CC,与平面AA,D1的位置关系 是 A.CD∥GH B.AB与EF异面 C.AD∥EF D.AB与CD相交由(1)得正三棱柱的高h=2R=2√3 因为Va=5a·A=号×6X6sn60X2,5=5, V=青R=4x, 所以V校接-V球=54一43π， 即制作该模具所需材料的体积为(54一4√3π)cm3. (3)由对称性知6个顶点到内壁的最短距离都相 等.如图，连接OM,OA,则由(1)知OM=2OH= 2√3，所以AO=√OM+AM=√(2√3)+(3) =√/15， 所以A到球面上的，点的距离最小值为AO一R √15一√3，即模具顶点到内壁的最短距离为（√5 √3)cm. G 0〉、 第四节 空间点、直线、平面之间的 位置关系 课时1平面 A级基础练 1.B点A在直线a上，表示为A∈a.直线a在平面 a内，表示为aCa.点B在平面a内，表示为B∈a. 故选B. 2.A当直线a和直线b相交时，平面a和平面B必 有公共点，即平面α和平面B相交，充分性成立；当 平面a和平面B相交时，直线a和直线b可能有公 共点，也可能没有公共点，即必要性不成立.故 选A. 3.BC三个不共线的，点才能确定唯一平面，A错误； 圆上不重合的三，点一定不共线，能确定唯一平面，B 正确；因为两条相交直线或两条平行直线都能确定 一个平面，所以平行四边形的任意两条边都能确定 唯一平面，C正确；当顶点在这条边上时，这个点和 直线不能确定唯一平面，D错误. 4.ABD对于A,由基本事实2可知，aC3,A正确. 对于B,由基本事实2可知，直线MVCa,MNCB, 所以a∩3=MN,B正确.对于C,因为A∈a,A∈3， 所以A∈a∩B,由基本事实3可知a∩B为经过点A 的一条直线而不是点A,故a∩B=A的写法错误，C 错误.对于D,因为A,B,M不共线，所以由基本事 实1可知，过A,B,M有且只有一个平面，故a,B重 合，故D正确. 5.证明：(1)连接GH,EF, 因为E,F分别是PA,AB的中，点，所以EF∥PB. 因为=路合，所以GH/P服 所以GH∥EF,即E,F,G,H四，点共面. (2)由(1)知，GH∥EF,又GH<EF, 所以EG,FH必相交于一点，设为，点O 因为O∈EG,EGC平面PAC,所以O∈平面PAC. 同理O∈平面ABC. 又平面PAC∩平面ABC=AC, 所以O∈AC,即三条直线EG,FH,AC交于一点. B级综合练 1.ABD对于A,因为BE∩CF=P,所以BE,CF共 面，即B,C,E,F四，点共面，故A正确.对于B,P∈ BE,BEC平面ABB1A1,所以P∈平面ABB1A1, 故B正确.对于C,直线AE与直线BB1相交，AE C平面AEF,BB,C平面BB,CC,则平面AEF与 平面BB,C,C相交，故C错误.对于D,因为P∈ CF,CFC平面ACC1A1,所以P∈平面ACC1A1,由 B知P∈平面ABB1A1,又平面ABB1A1∩平面 ACC1A1=AA1,所以P∈AA1,故D正确. 2.D如图，在DC上任意取一，点 D N,直线A,D,与点N确定一个 A 平面，这个平面与EF有且仅有 M E 1个交点，设为M,当点N取不 同的位置就确定不同的平面，从 而与EF有不同的交，点，而直线MN与直线A1D,, EF,DC都相交，故在空间中与直线A,D1,EF,DC 都相交的直线有无数条. 3.BCD对于A,当A=号时，知图1，连接EG,GF, 由图可知A,G,E,F不共面，故G庄平面AEF,所 以A错误； A D' B 图1 图2 对于B,如图2，当入=号时，E,F分别为B',DD 的中点，连接FC,EC',AC.由正方体结构特征知 AE∥CF,则A,F,E,C四点共面，AC'C平面 AEF,所以B正确；对于C,如图3，延长AF与 A'D'的延长线交于点M,连接MH,取MH与C' 3 D的交点为点I,则A,F,H,I四点共面，所以C正 确；对于D,如图4，连接EH并延长与CC'的延长 线交于点N,连接FN,取FN与C'D'的交点为点 I,则FI,EH,CC'三条直线交于同一点N,所以D 正确， D B'A H C' D B 图3 图4 4.答案：3 1 解析：如图，延长EF,交DA D 的延长线于点H,连接OH. 因为H∈EF,EFC平面 D EOF,H∈AD,ADC平面 ABCD,平面EOF∩平面H ABCD=I,所以H∈I,故直线OH即直线I,则OH 与AB的交点为点G.取AD的中点M,连接MO, ME.因为点E,F分别是棱AD1,A1A的中点，所 以AF=A,A=2ME.又△AFHD△MEH,所 以品品子，即A1=1,A为MI的中 点.又△MHGn△MH0,所以-8-日，所 以AG=号M0-子AB,则BG=是AB,所以AG 3G,即6=司 5.解：(1)如图，分别延长D1F,DA,相交于一点P,连 接PB,则直线PB即为平面BED,F与平面AB CD的交线，理由如下： ◇ H D A 因为P∈AD,P∈D,F,DAC平面ABCD,D1FC平面 BEDF,所以P∈平面ABCD,P∈平面BED,F, 即P为平面ABCD和平面BED,F的公共，点. 又点B为平面ABCD和平面BED1F的公共点， 所以直线PB为平面BED,F与平面ABCD的 交线 (2)如图，连接BD1· D B H D 在正方体ABCD-AB1C,D1中， 因为BB1∥DD1,且BB,=DD1, 所以四边形BB,D,D为平行四边形. 因为H为直线B,D与平面BED,F的交，点，所以 H∈BD. 又BDC平面BB1D1D,所以H∈平面BB1D,D, 又H∈平面BED,F,平面BED,F∩平面BB,D,D =BD1, 所以H∈BD1,所以B,H,D1三点共线 课时2空间点、直线、平面之间的位置关系 A级基础练 1.D如图所示，a,b是两条 a 异面直线.AB,AC都与a, b相交，而AB,AC相交. AB,DE也都与a,b相交， 而AB,DE异面.故分别和 B CE b 两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是异 面或相交. 2.D在长方体ABCD-A1B,C,D1中，BB1∥DD1,当 点P是AC1与BD1的交点时，BPC平面 BDD1B1,DD1C平面BDDB1,DD1与BP共面， A错误；当点P与C1重合时，BP与B,C相交，B 错误；当点P与A1重合时，BP∥D1C,C错误；因 为ACC平面ABCD,B￠AC,B∈平面ABCD,P ￠平面ABCD,所以BP与AC是异面直线，D 正确. 3.ABD把展开图还原成正方体，如图所示，则，点B 与D重合，点E与C重合.由正方体的性质得CD ∥GH,AB与EF异面，AD与EF异面，AB与CD 相交.故选ABD. D(B) E(C) 4.CDA中，直线l也可能与平面a相交，故A错 误.B中，直线l与平面a相交时，l上也有无数个 点不在平面a内，故B错误.C中，当l∥a时，l与a 4 没有公共点，所以1与α内任何一条直线都没有公 共，点，故C正确.D中，平行于同一个平面的直线， 可以平行也可以相交，也可以是异面直线，故D 正确. 5.C当过P,Q的直线与a,B相交时，过P,Q的平 面一定与平面a,B都相交；当过P,Q的直线与a,B 都平行时，可以作唯一的一个平面与Q,B都平行 故选C. 6.答案：平行异面相交平行 解析：由题图可知直线AC与平面A,B,C1D,平 行.根据正方体的性质知，直线AD,与直线CC1异 面，平面ACD1与平面AB,C,D1相交.因为在正 方体中平面BB1C,C∥平面ADD1A1,所以平面 B,CC1∥平面AA1D1. 第五节空间直线、平面的平行 课时1直线与直线平行 A级基础练 1.B由于E,F分别是B1O,CO的中点，故EF∥ B,C1,因为和棱BC1平行的棱有AD,BC,A1D1, 所以符合题意的棱共有4条. 2.C当∠B'A'C'与∠BAC的方向相同（或相反）时， ∠BA'C'=30°，其余情况，∠B'A'C'=180°-30°= 150°.故选C. 3.D如图，当∠AOB=∠AO1B1,且OA∥OA1, OA与O1A1的方向相同时，OB与O1B1不一定平 行.故选D ∠B -A101 0 B 4.B因为E,F,G分别为A,C1,B1C1,BB1的中点， 所以EF∥A,B1,EF∥AB,FG∥BC1,所以∠EFG 与∠ABC,的两组对应边分别平行，一组对应边方 向相同，另一组对应边方向相反，故∠EFG与 ∠ABC1互补 5.解：(1)在△ABO与△A'BO中， 因为∠A0B=∠AOB'提0-号， 所以△ABO∽△A'B'O, 所以AB=2 AB 7=3,∠BA0=∠BA'O,所以A'B ∥AB. 同理A'C'∥AC,B'C∥BC. (2)由(1)得∠BAC=∠BA'C', 同理∠ABC=∠A'B'C',所以△ABCP△A'B'C'. 又带号所以 ()- 课时2直线与平面平行 A级基础练 1.B当a中a,bCa,a∥a时，直线a与直线b的位置 关系是平行或者异面，故充分性不成立；当a工a,b Ca,a∥b时，由直线与平面平行的判定定理，知 a∥a,故必要性成立，所以“a∥a”是“a∥b”的必要 不充分条件. 2.ACD因为矩形ABCD的对角线的交点为O,所 以O是BD的中点，又M为PB的中，点，所以OM ∥PD.因为OM￠平面PDA,PDC平面PDA,所 以OM∥平面PDA.因为OM寸平面PDC,PDC 平面PDC,所以OM∥平面PDC,故A,C,D正确. OM与平面PAC有公共，点O,故B错误. 3.AB连接AM并延长交CD于E,连接BN并延 长交CD于F,由重心性质可知，E,F重合为一点， 且该点为(D的中点E,由册器号得MN ∥AB.因为ABC平面ABC,ABC平面ABD,MN 中平面ABC,MN丈平面ABD,所以MN∥平面 ABC,且MN∥平面ABD.故选AB. 4.D对于A,若m∥n,nCa,则m∥a或mCa,故A 错误；对于B,若m∥a,n∥a,则m∥n或m与n相 交或m与n异面，故B错误；对于C,若m∥n,n a,则m∥a或mCa,故C错误；对于D,由线面平行 的性质知D正确. 5.答案：24√3 解析：设过BC和点D的截面与A1C1交于点E.因 为BC∥B,C,BC寸平面AB,C,B,C,C平面 A,B,C1,所以BC∥平面AB,C.又BCC平面 BCED,平面BCED∩平面A,B,C,=DE,所以DE ∥BC,所以DE∥B,C1,又D为棱A1B1的中点，所 以DE是△A,BC的中位线，所以DE=B,C =4(cm).过点D作DF⊥BC于点F,则DF= √J6十4-2=4√3(cm),所以截面BCED的面积 为5=2×(4+8X45=245cm) B级综合练 1.A对于A,设正方体下底面 的两条对角线的交点为O(如 图所示)，连接OQ,则OQ∥ AB.因为OQ与平面MNQ有 B 交，点，所以OQ与平面MVQ 0、 不平行，即AB与平面MNQ 不平行.对于B,C,D,根据直线与平面平行的判定 5